第4節(jié)超靜定結(jié)構(gòu)計算

2008年廣西人才小高地申報求解超靜定問題的一般方法力法位移法力矩分配法超靜定結(jié)構(gòu)特性第4節(jié)超靜定結(jié)構(gòu)計算超靜定結(jié)構(gòu)必須同時考慮“變形協(xié)調(diào)條件”和“平衡條件”才能求解；力法：以力作為基本未知量，在自動滿足平衡條件的基礎(chǔ)上進(jìn)行分析，主要應(yīng)解決變形協(xié)調(diào)問題。位移法：以位移作為基本未知量，在自動滿足變形協(xié)調(diào)條件的基礎(chǔ)上進(jìn)行分析，主要需解決平衡問題。1.求解超靜定問題的一般方法本章介紹的主要方法：力法、位移法(含彎矩分配法)。超靜定次數(shù)的確定超靜定次數(shù)——多余約束的個數(shù)，力法的未知量數(shù)，也就是使之成為靜定結(jié)構(gòu)需要去掉的約束個數(shù)；根據(jù)結(jié)構(gòu)的幾何組成判斷。3個3個1個1個1個2個6次超靜定5次超靜定2、力法基本原理例1.力法求解圖示單跨梁?；倔w系轉(zhuǎn)化AB基本結(jié)構(gòu)

未知力的位移“荷載”的位移消除基本體系與原結(jié)構(gòu)的差別：力法典型方程:原結(jié)構(gòu)使B點(diǎn)豎向位移為0+力法典型方程——實質(zhì)是變形協(xié)調(diào)條件；即基本體系的位移等于原結(jié)構(gòu)的已知位移。它消除了基本體系與原結(jié)構(gòu)的差別。2、力法基本原理或：位移系數(shù)疊加作彎矩圖解方程得:力法基本思路解除多余約束，轉(zhuǎn)化為靜定的基本結(jié)構(gòu)。多余約束代以多余未知力——基本未知力。分析基本結(jié)構(gòu)在單位基本未知力和外界因素作用下的位移，建立位移協(xié)調(diào)條件——力法典型方程。從典型方程解得基本未知力，由疊加原理獲得結(jié)構(gòu)內(nèi)力。超靜定結(jié)構(gòu)分析通過轉(zhuǎn)化為靜定結(jié)構(gòu)獲得了解決。例.用力法求解圖示結(jié)構(gòu)基本體系解法1:有兩個多于約束解除約束代以未知力基本未知力力法典型方程：力法應(yīng)用EI1a2EI2aPABC原結(jié)構(gòu)作單位和荷載彎矩圖求各系數(shù)項：解力法方程并作彎矩圖把系數(shù)項代入力法方程并求解僅與剛度相對值有關(guān)由疊加原理求疊加的只是控制截面的彎矩，然后根據(jù)規(guī)律連線。X1aX2aPX1=111Pa/4PX2=11解法2:基本體系EI1a2EI2aPABC原結(jié)構(gòu)力法應(yīng)用作單位和荷載彎矩圖求各系數(shù)項：X1=111Pa/4PX2=11解力法方程并作彎矩圖把系數(shù)項代入力法方程并求解由疊加原理力法基本結(jié)構(gòu)的選擇由于從超靜定轉(zhuǎn)化為靜定，將什么約束看成多余約束不是唯一的，因此力法求解的基本結(jié)構(gòu)也不是唯一的。最優(yōu)的體系：彎矩圖簡單，使系數(shù)項為零。力法基本結(jié)構(gòu)選擇選擇最優(yōu)的基本體系。I1I2ll(A)X1X2(B)X1X2(D)X1X2(C)X1X2X1X2P(C)PX1X2X3PX1X2X3X2X3X1PPX1X2X3(A)(B)(D)原結(jié)構(gòu)選擇可以采用的基本體系。瞬變體系，不能作為基本體系基本體系1原結(jié)構(gòu)選擇圖示基本體系相應(yīng)的力法方程。X1X2X2X1基本體系2力法習(xí)題訓(xùn)練PI1I2I2lllX1I1PI1I2I2I1X1=1I1I2I2I1I2增加,減小，圖示結(jié)構(gòu)當(dāng)I1不變，I2增大時，則支座反力X1（絕對值）將如何變化。0.5Pll0.5l0.5l不變力法習(xí)題訓(xùn)練PI1I2I2lllX1I1PI1I2I2I1X1=1I1I2I2I1I2增加,減小，圖示結(jié)構(gòu)當(dāng)I1不變，I2增大時，則支座反力X1（絕對值）將如何變化。0.5Pl增加ll力法習(xí)題訓(xùn)練I1bI1I2lI1bI1I2X1I1bI1I2X1=10無內(nèi)力圖示結(jié)構(gòu)下沉b，判斷結(jié)構(gòu)內(nèi)力如何。溫度及支座沉降作用時，超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力僅由多余約束反力提供?；倔w系力法習(xí)題訓(xùn)練寫出圖示結(jié)構(gòu)及其力法基本體系的力法方程。EIlEIEIEAlPX1X1P基本體系力法方程：X1X1鏈桿伸長量：力法習(xí)題訓(xùn)練△1就是鏈桿長度的改變量鏈桿伸長△1就會與X1方向相反CC1C1C1C1（A）（B）（C）（D）M圖超靜定結(jié)構(gòu)的位移計算選擇虛設(shè)單位力狀態(tài)，使位移△CH計算最簡單。計算超靜定結(jié)構(gòu)的位移，等于計算基本體系的位移；虛設(shè)的單位力加在力法的基本結(jié)構(gòu)上，單位力狀態(tài)不唯一，但應(yīng)盡可能使彎矩圖簡單。虛功原理——單位荷載法Px1x22008年廣西人才小高地申報對稱結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)對稱結(jié)構(gòu)的簡化3.對稱性應(yīng)用一、對稱性結(jié)構(gòu)的特性對稱結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)的幾何形狀、支承情況以及剛度三者必須同時滿足對稱條件。幾何對稱支承對稱剛度對稱對稱結(jié)構(gòu):

幾何形狀、支承情況、剛度分布繞某軸對折后完全重合的結(jié)構(gòu).對稱荷載:

繞對稱軸對折后荷載完全重合，且方向相同。反對稱荷載:繞對稱軸對折后荷載完全重合,但方向相反。對稱結(jié)構(gòu)在正對稱荷載作用下：支座反力、內(nèi)力、變形、位移都正對稱；彎矩圖和軸力圖正對稱,剪力圖反對稱；對稱結(jié)構(gòu)在反對稱荷載作用下：支座反力、內(nèi)力、變形、位移都反對稱；彎矩圖和軸力圖反對稱,剪力圖正對稱；一、對稱性結(jié)構(gòu)的特性PPAPEIEIEIA對稱荷載作用下:等效半結(jié)構(gòu):PPP對稱軸相交截面有正對稱位移:有正對稱內(nèi)力:無反對稱位移:無反對稱內(nèi)力:半結(jié)構(gòu)只要保證對稱軸相交截面的力和位移即可。用相應(yīng)的支座來代替。一、對稱性結(jié)構(gòu)的特性PEIEI該半結(jié)構(gòu)用位移法求解只有一個未知量。APP反對稱荷載作用下:PEIEIEIAPPP對稱軸相交截面有反對稱位移:有反對稱內(nèi)力:無正對稱位移:無反對稱內(nèi)力:一、對稱性結(jié)構(gòu)的特性等效半結(jié)構(gòu):PEIEI有位移就沒有相應(yīng)的約束力。０位移就一定施加了相應(yīng)的約束力。該半結(jié)構(gòu)用力法求解只有一個未知量。PPEIEIEIPEIAB對稱荷載作用下:對稱軸相交截面AB桿軸向變形忽略不計Ｂ端固定支座，無位移，因而ＡＢ桿不發(fā)生任何變形，彎矩剪力均為０，可以去掉不分析。支座加在Ａ點(diǎn)。截面Ａ的所用力都存在。與對稱軸重合的桿無彎矩，半結(jié)構(gòu)中往往去掉。等效半結(jié)構(gòu):一、對稱性結(jié)構(gòu)的特性PEIEIEIPEIEIAB反對稱荷載作用下:對稱軸相交截面AB桿軸向變形忽略不計ＡＢ桿存在側(cè)移，就一定存在彎矩，因而ＡＢ桿必須分析。只需切結(jié)構(gòu)的一半分析，與對稱軸重合的桿剛度削減一半。一、對稱性結(jié)構(gòu)的特性PEI/2EIEI等效半結(jié)構(gòu):取半結(jié)構(gòu)分析取對稱的基本體系：當(dāng)為一般荷載作用時，可分解一組正對稱荷載和一組反對稱荷載的疊加，分別利用對稱性計算，最后內(nèi)力疊加即可；二、對稱結(jié)構(gòu)簡化2PPBAC2EI3EI3EIEIlPllPPPBAC2EI3EI3EIEIPPBAC2EI3EI3EIEIPPPPEIEIEIBAEI3EIEIBA3EIP/2EIP/2Pl/2原結(jié)構(gòu)對稱對稱荷載作用無彎矩反對稱荷載作用半結(jié)構(gòu)1/4結(jié)構(gòu)求圖示結(jié)構(gòu)BA桿B端彎矩MBAEI3EI3EIEIEIEIhhlAP2PPEI3EI3EIEIEIEIAP/2PP/２EI3EI3EIEIEIEIAP/2PPP/２EI3EI3EIEIAP/2PX1X2結(jié)構(gòu)對稱對稱荷載無彎矩反對稱荷載半結(jié)構(gòu)最少2個未知量確定圖示結(jié)構(gòu)用力法求解最少未知量數(shù)目要計算+llEI=常數(shù)PlPP/2P/2P/2P/4P/4P/2P/4P/4P/2P/4P/4P/2P/4P/4P/2P/4P/4P/2P/4P/4X1X1確定圖示結(jié)構(gòu)用力法求解最少未知量數(shù)目對稱反對稱取對稱基本體系對稱荷載作用反對稱荷載作用2008年廣西人才小高地申報位移法基本未知量位移法基本思路形常數(shù)和載常數(shù)位移法應(yīng)用4.位移法一、位移法基本未知量基本假定：彈性小變形，軸向變形忽略不計（除鏈桿外），認(rèn)為桿長不變，仍用兩點(diǎn)的直線距離代替；基本未知量：結(jié)點(diǎn)位移（包括線位移和轉(zhuǎn)角位移）；位移法最少的未知量：只包含獨(dú)立的節(jié)點(diǎn)位移；獨(dú)立結(jié)點(diǎn)位移：不包含支座位移及鉸結(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)角位移；ABDCP位移法基本未知量確定角位移：每一剛結(jié)點(diǎn)都有一個轉(zhuǎn)角位移；角位移數(shù)等于剛結(jié)點(diǎn)的總數(shù)；轉(zhuǎn)角位移對應(yīng)的附加約束是剛臂。線位移：線位移的總數(shù)等于使每個獨(dú)立結(jié)點(diǎn)不能移動需要添加的鏈桿總數(shù)；線位移的總數(shù)等于對應(yīng)鉸接體系的自由度。線位移對應(yīng)的附加約束是鏈桿。一個鏈桿往往能約束一根梁式桿的軸向位移。EI=∞6個7個ABCD如果AB桿EI=∞？4個未知量EA=∞如果AB桿EA=∞？6個未知量ABCD3個EI=∞8個如果AB桿EI=∞？6個未知量判斷位移法基本未知量ABACDBEACDBE2個轉(zhuǎn)角位移鉸接體系幾何不變自由度0無線位移判斷位移法基本未知量3個轉(zhuǎn)角位移鉸接體系2個自由度2個線位移附加約束1附加約束2原結(jié)構(gòu)1）基本未知量：基本體系二、位移法基本思路位移法求解圖示剛架。ABDCPABDCPABDC基本結(jié)構(gòu)基本體系附加約束的反力：ABDCPABDC基本體系PABDC荷載作用△2作用=++二、位移法基本思路ABDC△1作用由此可得位移法基本方程：二、位移法基本思路基本體系PABDC原結(jié)構(gòu)ABDCP消除基本體系與原結(jié)構(gòu)的差異：即使附加約束上的反力為0.實質(zhì)是平衡方程力矩方程水平投影方程位移法基本要點(diǎn)基本未知量：獨(dú)立的節(jié)點(diǎn)位移（不包含支座結(jié)點(diǎn)位移及鉸結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角位移）。基本方程：節(jié)點(diǎn)位移對應(yīng)的平衡方程（力矩方程或投影方程）；位移法的適用范圍：任意結(jié)構(gòu)（靜定和超靜定結(jié)構(gòu)）?；倔w系把結(jié)構(gòu)分劃為若干獨(dú)立的超靜定梁，基本方程把它們組合在一起。等截面直桿的剛度方程（形常數(shù)和載常數(shù)）是關(guān)鍵。三、形常數(shù)和載常數(shù)形常數(shù)：單位位移作用產(chǎn)生的桿端力（桿端彎矩和桿端剪力）；也稱為桿的剛度系數(shù)，即使桿端產(chǎn)生單位位移所需施加的桿端力。桿端彎矩即為桿的轉(zhuǎn)動剛度，桿端剪力即為抗側(cè)剛度；可根據(jù)力法計算；最簡單的辦法是直接記憶；用來計算給定位移作用下的桿端力。載常數(shù)：荷載作用下產(chǎn)生的桿端力（支座反力）；可根據(jù)力法計算；最簡單的辦法也是直接記憶。1111彎矩圖等截面直桿的形常數(shù)轉(zhuǎn)角位移對應(yīng)的轉(zhuǎn)動剛度：近端4i，遠(yuǎn)端2i；側(cè)移對應(yīng)的轉(zhuǎn)動剛度：6i/l。剪力可根據(jù)平衡方程來確定；方向根據(jù)位移方向來判斷。1.兩端固定梁彎矩圖等截面直桿的形常數(shù)轉(zhuǎn)角位移對應(yīng)的轉(zhuǎn)動剛度為：3i和0

；側(cè)移對應(yīng)的轉(zhuǎn)動剛度：3i/l和0剪力可根據(jù)平衡方程來確定；方向根據(jù)位移方向來判斷。1112.一端固定一端簡支梁1彎矩圖轉(zhuǎn)角位移對應(yīng)的轉(zhuǎn)動剛度：i和-i

；側(cè)移對應(yīng)的彎矩形常數(shù)均為：0。剪力均為Q=0；方向根據(jù)位移方向來判斷。3.一端固定一端定向支座梁等截面直桿的形常數(shù)彎矩圖等截面直桿的載常數(shù)Pqqq受力圖等截面直桿的剛度方程剛度方程：利用形常數(shù)和載常數(shù)和疊加以兩端都是剛結(jié)點(diǎn)的桿為例，基本未知量為桿兩端的轉(zhuǎn)角和側(cè)移；位移法基本結(jié)構(gòu)為兩端固定梁。A'B'qP原結(jié)構(gòu)考慮結(jié)點(diǎn)C平衡：基本體系四、位移法應(yīng)用位移法求解圖示剛架。ABDCPPABDCllEI=常量ABDCPMP圖CDP/2C考慮CD桿的平衡：ABDCABDC△2作用△1作用考慮結(jié)點(diǎn)C平衡：D6i/lC考慮CD桿的平衡：CCDC四、位移法應(yīng)用結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)動剛度結(jié)構(gòu)的抗側(cè)剛度把各系數(shù)項代入位移法方程：解方程最后彎矩：由疊加原理四、位移法應(yīng)用用位移法計算圖示剛架,并作彎矩圖.EI=常數(shù).4m四、位移法應(yīng)用3030307040M圖（kN.m）疊加法計算控制截面彎矩基本未知量求剛度系數(shù)BA2EI2EIEIlllCDPEI=∞EIEIEIPEA=∞EIEIEI四、位移法應(yīng)用k11是三根柱子的抗側(cè)剛度之和。k11是結(jié)點(diǎn)B的轉(zhuǎn)動剛度，等于B點(diǎn)所在三個桿端轉(zhuǎn)動剛度之和。qEIEI2EIlllAql2/6四、位移法應(yīng)用用位移法計算圖示結(jié)構(gòu)。（逆時針）位移法基本未知量A點(diǎn)轉(zhuǎn)角ql2/3ql2/6ql2/14ql2/13BCDEIEIABCql2/26基本方程：ql2/8lACDBEIEIEIEIPllACDBEIEIEIEIP無線位移，僅有轉(zhuǎn)角位移?；窘Y(jié)構(gòu)在荷載作用下，無彎矩。方程自由項均為0.基本方程求得轉(zhuǎn)角位移必為0。結(jié)構(gòu)無彎矩和剪力，僅有軸力。四、位移法應(yīng)用未知量：C、D點(diǎn)的轉(zhuǎn)角MP=02008年廣西人才小高