第二章單自由度系統(tǒng)振動

機械振動與模態(tài)分析西南交通大學(xué)牽引動力實驗室第2章單自由度系統(tǒng)的振動

張立民第2章單自由度系統(tǒng)的振動2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動2.2單自由度系統(tǒng)的強迫振動2.3單自由度系統(tǒng)的工程應(yīng)用第2章單自由度系統(tǒng)的振動2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動

正如第一章所述，振動系統(tǒng)可分為離散模型和連續(xù)模型兩種不同的類型。離散模型具有有限個自由度，而連續(xù)模型則具有無限個自由度。

系統(tǒng)的自由度定義為能完全描述系統(tǒng)運動所必須的獨立的坐標(biāo)個數(shù)。

在離散模型中，最簡單的是單自由度線性系統(tǒng)，它用一個二階常系數(shù)常微分方程來描述。這類模型常用來作為較復(fù)雜系統(tǒng)的初步近似描述。第2章單自由度系統(tǒng)的振動2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動第2章單自由度系統(tǒng)的振動2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動第2章單自由度系統(tǒng)的振動2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動第2章單自由度系統(tǒng)的振動

構(gòu)成離散模型的元素有三個，彈性元件、阻尼元件和慣性元件。2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動第2章單自由度系統(tǒng)的振動通常假定彈簧為無質(zhì)量元件。如圖2-1(a)所示，彈簧力Fs

與其相對變形x2-x1的典型函數(shù)關(guān)系如下圖2-1（b）所示。

圖2-1彈簧模型2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動

當(dāng)x2-x1

比較小時，可以認(rèn)為彈簧力與彈簧變形量成正比，比例系數(shù)為圖中曲線的斜率k，如果彈簧工作于彈簧力與其相對變形成正比的范圍內(nèi)，則稱彈簧為線性彈簧，常數(shù)稱為彈簧常數(shù)k

，或彈簧剛度。一般用k

表示。單位為（N/m）。

阻尼元件通常稱為阻尼器，一般也假設(shè)為無質(zhì)量。

常見的阻尼模型三種形式:圖2-2阻尼模型阻尼元件由物體在粘性流體中運動時受到的阻力所致的粘滯阻尼。由相鄰構(gòu)件間發(fā)生相對運動所致的干摩擦（庫侖）阻尼。由材料變形時材料內(nèi)部各平面間產(chǎn)生相對滑移或滑動引起內(nèi)摩擦所致的滯后阻尼。粘滯阻尼是一種最常見的阻尼模型。2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動

如無特別說明，后續(xù)所說的阻尼均指粘滯阻尼，其阻尼力Fd與阻尼器兩端的相對速度成正比，如圖2-2（b），比例系數(shù)c

稱為粘性阻尼系數(shù)，它的單位為牛頓-秒/米（N-s/m），阻尼器通常用c

表示。圖2-2阻尼模型2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動

慣性元件就是離散系統(tǒng)的質(zhì)量元件，慣性力Fm與質(zhì)量元件的加速度成正比，如圖2-3所示，比例系數(shù)就是質(zhì)量m

。m

的單位為千克（kg

）。

圖2-3質(zhì)量模型

慣性元件2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動

并聯(lián)時彈簧的等效剛度

在實際工程系統(tǒng)中，常常會有多個彈性元件以各種形式組合在一起的情況，其中最典型的是并聯(lián)和串聯(lián)兩種形式，分別如圖2-4（a）和2-4（b）所示。

圖2-4彈簧的組合2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動（2-1）所以等效彈簧剛度為

（2-2）

并聯(lián)時彈簧的等效剛度圖解彈性元件的組合2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動（2-1）

（2-2）串聯(lián)時彈簧的等效剛度2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動在圖2-4（b）所示的串聯(lián)情況下，可以得到如下關(guān)系將x0

消掉，可得（2-6）（2-5）（2-4）（2-3）如果有n

個彈簧串聯(lián)時，可以證明有以下結(jié)論2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動（2-1）題1串聯(lián)串聯(lián)并聯(lián)2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動

（2-2）并聯(lián)并聯(lián)串并聯(lián)2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動（2-1）

（2-2）2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動（2-1）

（2-2）問題，將如圖所示機床簡化成單自由度系統(tǒng)，寫出其運動方程。2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動（2-1）問題：判斷正誤，左側(cè)系統(tǒng)等效成右側(cè)圖2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動（2-1）

（2-2）問題：判斷正誤，左側(cè)系統(tǒng)等效成右側(cè)圖2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動（2-1）

（2-2）問題：判斷等效的正誤2.1.1

單自由度系統(tǒng)的運動方程

圖2-5單自由度模型

單自由度彈簧-阻尼器-質(zhì)量系統(tǒng)可由圖2-5（a）表示，下面用牛頓定律來建立系統(tǒng)的運動方程。繪系統(tǒng)的分離體圖如圖2-5（b）。

運動微分方程2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動（2-8）

由于

，

方程（2-7）變?yōu)?

（2-8）式是一個二階常系數(shù)常微分方程。常數(shù)m

，c，k是描述系統(tǒng)的系統(tǒng)參數(shù)。方程（2-8）的求解在振動理論中是十分重要的。

用F(t)表示作用于系統(tǒng)上的外力，用x(t)表示質(zhì)量m

相對于平衡位置的位移，可得:（2-7）

2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動ωn稱為系統(tǒng)的無阻尼自然角頻率（可用量綱分析）?？梢宰C明（2-9）式具有如下形式的通解:

（2-9）（2-10）2.1.2無阻尼自由振動

本節(jié)首先討論單自由度系統(tǒng)的自由振動。在自由振動情況下，F(xiàn)(t)恒等于零。在（2-8）式中令，F(xiàn)(t)=0

，c=0

則有:

其中A1和A2為積分常數(shù)，由系統(tǒng)的初始條件決定，即由初始位移x(0)和初始速度決定。運動方程2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動若引入

（2-11）可得:蔣(2-11)代入(2-10)可導(dǎo)得:

（2-12）（2-13）

A和φ也是積分常數(shù)，同樣由x(0)和決定。方程（2-13）表明系統(tǒng)以為ωn

頻率的簡諧振動，這樣的系統(tǒng)又稱為簡諧振蕩器。（2-13）式描述的是最簡單的一類振動。

2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動

在簡諧振動中，完成一個完整的運動周期所需的時間定義為周期T

周期

從物理概念上講，T代表完成一個完整的振蕩所需的時間，事實上T等于振動過程中相鄰的兩個完全相同的狀態(tài)所對應(yīng)的時間差，其單位為秒。

自然頻率自然頻率的單位為赫茲(HZ)。自然頻率通常也用每秒的循環(huán)次數(shù)表示，其數(shù)學(xué)表達式為:2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動

（2-14）（2-15）（2-16）

下面給出用初始條件表示的積分常數(shù)A和φ

的表達式。引入符號，，利用方程（2-10）不難證明簡諧振子對初始條件x0和v0

的響應(yīng)為

比較方程（2-11）和（2-16），并利用（2-12）式的關(guān)系，可以導(dǎo)出振幅A與相角φ

有如下形式積分常數(shù)A和φ

的表達式2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動（2-17）2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動

例2-1

如圖2-6

，一個半徑為R的半圓形薄殼，在粗糙的表面上滾動，試推導(dǎo)此殼體在小幅運動下的運動微分方程，并證明此殼體的運動象簡諧振子，計算振子的自然振動頻率。

圖2-6例2-1題圖2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動（a）

分析:本例運動方程的建立過程要比彈簧質(zhì)量系統(tǒng)復(fù)雜一些，運用理論力學(xué)中平面運動的理論，可建立系統(tǒng)的運動方程。

設(shè)殼體傾斜角為θ（如圖2-6），設(shè)c

為殼體與粗糙表面的接觸點，在無滑動的情況下，殼體瞬時在繞c點作轉(zhuǎn)動。對c

點取矩，可得系統(tǒng)的運動微分方程。

解：2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動（b）

其中，IC為繞點C的轉(zhuǎn)動慣量，MC為重力作用下的恢復(fù)力矩。為方便起見，設(shè)殼體的長度為單位長度，由圖2-6，對于給定的θ，對C點的恢復(fù)力矩MC

有如下形式：（a）2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動（b）（c）殼體對C點的轉(zhuǎn)動慣量為:

其中，dw是給定角φ位置的微元體重量，ρ是殼體單位面積的質(zhì)量。

2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動

當(dāng)殼體作小幅振動時，即θ很小時，引入近似表達式sinθ≈θ，cosθ≈1

，并將（b）、（c）兩式代入（a）中，得到:

（d）（e）（f）整理可得:

（e）式表明，當(dāng)θ很小時，系統(tǒng)運動的確象簡諧振子，其自然頻率為:

（a）2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動（2-18b）（2-19）(2-20)2.1.3有阻尼自由振動

有阻尼自由振動方程:

其中，稱為粘性阻尼因子。設(shè)（2-18b）式的解有如下形式:將（2-19）代入（2-18b）中，可得代數(shù)方程(特征方程)

有阻尼自由振動方程

2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動（2-18a）

寫成:

(2-20)這就是系統(tǒng)的特征方程，它是s

的二次方程，有兩個解：

很明顯，s1、s2

的性質(zhì)取決于阻尼因子ζ

，其相互關(guān)系可以從s

平面，即復(fù)平面上得到反映（如圖2-7）。

（2-21）圖2-7s1

、s2

的復(fù)平面表示2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動（2-20）式的根s1

、s2

作為阻尼因子ζ

的函數(shù)在復(fù)平面上描繪出一條曲線，圖中可直觀地了解參數(shù)ζ對系統(tǒng)運動行為的影響，或者說對系統(tǒng)響應(yīng)的影響。參數(shù)ζ對系統(tǒng)響應(yīng)的影響。(2-20)2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動

當(dāng)ζ=0時，得到兩個復(fù)根±iωn

，此時系統(tǒng)就是簡諧振子。

當(dāng)0

＜ζ

＜

1時，為復(fù)共軛，在圖中對稱地位于實軸的兩側(cè)，并位于半徑為ωn的圓上。

當(dāng)ζ=1時，特征方程的根s1

、s2為－ωn

，落在實軸上。

當(dāng)ζ

＞1時，特征方程的根始終在實軸上,且隨著ζ→∞，s1→0、s2

→∞（2-21）2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動

將特征方程的根（2-21）代入（2-19）式，可得系統(tǒng)的通解

:（2-22）（2-19）（2-21）系統(tǒng)的通解2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動

式（2-22），對應(yīng)于ζ

＞1的情況，此時系統(tǒng)的運動是非振蕩的，并且隨時間按指數(shù)規(guī)律衰減，x(t)的確切形狀取決于A1

和A2

，也即取決于初始位移x0

和初速度v0

。ζ

＞1的情況稱為大阻尼或過阻尼。大阻尼(ζ

＞1)（2-22）2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動這也代表一指數(shù)衰減的響應(yīng)，ζ=1的情況稱為臨界阻尼。

在特殊情況ζ=1,方程（2-20）有一個重根，s1=s2=－ωn

，不難證明在這種情況下，系統(tǒng)有如下形式的解:（2-23）由表達式可見當(dāng)ζ=1時，臨界粘性阻尼

臨界阻尼（ζ=1）臨界阻尼是ζ

＞1和ζ

＜1的一個分界點，應(yīng)該注意到，ζ=1時，系統(tǒng)的運動趨近于平衡位置的速度是最大的。ζ=1也是系統(tǒng)振動與非振動運動的臨界點。2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動（2-20）圖2-8

ζ

＞1

時x(t)曲線ζ

＞1

、ζ=1時系統(tǒng)的自由振動如圖2-8--圖2-9

。圖2-9ζ=1

時x(t)曲線2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動其中，，通常稱為有阻尼自由振動頻率。由于

:

0

＜ζ

＜

1時，解（2-22）可改寫成如下形式：

（2-24）小阻尼（0

＜ζ

＜

1）2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動

式（2-24）簡化成（2-27）

可見上式表示的運動為振動，頻率為常值，相角為，而幅值為，以指數(shù)形式衰減。常數(shù)、由初始條件決定。稱為小阻尼或欠阻尼情況。并設(shè)（2-26）2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動小阻尼情況的典型響應(yīng)曲線如圖2-10所示，曲線為響應(yīng)曲線的包絡(luò)線。很明顯，當(dāng)t→∞

，x(t)→0，因此響應(yīng)最終趨于消失。圖2-100

＜ζ

＜

1

時x(t)曲線2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動

例2-2

對于圖2-5所示的單自由度系統(tǒng)，計算系統(tǒng)分別在，和時，對于初始條件，的響應(yīng)。

解:對于，用（2-22）式有，所以（a）因此,系統(tǒng)響應(yīng)應(yīng)有如下形式（b）因此，系統(tǒng)響應(yīng)對（b）式求導(dǎo)，并代入初始條件可得

（c）

可得時，系統(tǒng)的響應(yīng)（d）2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動

對于，從（2-23）式中容易導(dǎo)出和，所以此時的響應(yīng)為:（e）

對于，在（2-27）式中用初始條件得，幅值則與初始速度有關(guān)，，因此（2-27）簡化為

:

（f）

表達式（d）、（e）、（f）分別對應(yīng)于大阻尼、臨界阻尼和小阻尼的情況，其圖形分別見圖2-8～2-10。圖中將、、作為參數(shù)，給出了響應(yīng)隨這些參數(shù)的變化規(guī)律。

2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動2.1.4對數(shù)衰減率

如前所述，在小阻尼情況下粘性阻尼使振動按指數(shù)規(guī)律衰減，而指數(shù)本身又是阻尼因子的線性函數(shù)。下面來尋求通過衰減響應(yīng)確定阻尼因子的途徑。圖2-11ζ＞1時x(t)的一般規(guī)律在圖2-11中，設(shè)t1

和t2表示兩相鄰周期中相距一個完整周期T

的兩對應(yīng)點的時間。2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動由（2-27）式，可得（2-28）（2-27）

由于，是有阻尼振動的周期，所以（2-29）這樣（2-28）式可化為:2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動

觀察（2-29）式的指數(shù)關(guān)系，可以自然地引入以下關(guān)系式:（2-30）

要確定系統(tǒng)的阻尼，可以測量兩任意相鄰周期的對應(yīng)點x1

和x2

，計算對數(shù)衰減率（2-31）此處，δ稱為對數(shù)衰減率。從而得到2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動

對于微小阻尼情況，（2-31）式可近似為（2-32）

值得注意的是，可以通過測量相隔任意周期的兩對應(yīng)點的位移，來確定。設(shè)、為、對應(yīng)的時間，為整數(shù)，則（2-33）

由（2-33）可導(dǎo)得（2-34）2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動

例2-3

實驗觀察到一有阻尼單自由度系統(tǒng)的振動幅值在5個完整的周期后衰減了50%，設(shè)系統(tǒng)阻尼為粘性阻尼，試計算系統(tǒng)的阻尼因子。

解:設(shè)，則

由（2-31）、（2-32）式分別得到：2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動2.1.5彈簧的等效質(zhì)量

在圖2-12中，設(shè)彈簧具有質(zhì)量，其單位長度的質(zhì)量為，那么彈簧的質(zhì)量對系統(tǒng)的振動有多大影響呢？下面就來討論這個問題。圖2-12彈簧等效質(zhì)量系統(tǒng)示意圖

設(shè)質(zhì)量的位移用表示，彈簧的長度為，那么距左端為的質(zhì)量為的微單元的位移則可假設(shè)為，設(shè)為常數(shù)。2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動（2-35）（2-36）

根據(jù)能量守恒原理（2-37）則系統(tǒng)的動能和勢能可分別表示為2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動

可得（2-38）

此處稱為等效質(zhì)量?？梢姀椈傻馁|(zhì)量將會使系統(tǒng)的自然頻率降低到（2-39）（2-39）式表明彈簧將自身質(zhì)量的三分之一貢獻給系統(tǒng)的等效質(zhì)量，當(dāng)然，前提是假設(shè)彈簧按規(guī)律變形的。如果假設(shè)其他類型的變形模式，影響效果則有可能不同。2.1單自由度系統(tǒng)的自由振動第2章單自由度系統(tǒng)的振動2.2單自由度系統(tǒng)的強迫振動2.2單自由度系統(tǒng)的強迫振動

工程振動中一個很重要方面是分析系統(tǒng)對外部激勵的響應(yīng)，這種振動有別于上節(jié)的自由振動，稱為強迫振動，這是本節(jié)要討論的內(nèi)容。

對于線性系統(tǒng)，根據(jù)疊加原理，可以分別求系統(tǒng)對于初始條件的響應(yīng)和對于外部激勵的響應(yīng)，然后再合成為系統(tǒng)的總響應(yīng)。2.2.1

系統(tǒng)對于簡諧激勵的響應(yīng)

對于圖2-5所示的有阻尼單自由度系統(tǒng)，其運動方程為（2-40）

首先考慮最簡單的情況，即簡諧激勵情況，設(shè)F(t)

有如下形式圖2-5單自由度模型（2-41）

運動方程2.2單自由度系統(tǒng)的強迫振動（2-41）將（2-41）代入（2-40），兩邊同除以m

有

（2-42）當(dāng)A

為零時，系統(tǒng)為齊次方程，其解就是系統(tǒng)的自由振動響應(yīng)，自由振動響應(yīng)隨時間衰減，最后消失，所以自由振動響應(yīng)也叫瞬態(tài)響應(yīng)。式（2-42）的特解也就是強迫振動響應(yīng)不會隨時間衰減，所以稱為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。2.2單自由度系統(tǒng)的強迫振動（2-43）將（2-43）代入方程（2-42），可得

（2-44）利用三角函數(shù)關(guān)系

并令（2-44）式中和項的系數(shù)相等可得（2-45）

設(shè)系統(tǒng)（2-42）的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)有如下形式

穩(wěn)態(tài)響應(yīng)2.2單自由度系統(tǒng)的強迫振動（2-46）（2-47）

將（2-46）、（2-47）代入（2-43）得到系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解。解（2-45）式可得

2.2單自由度系統(tǒng)的強迫振動2.2單自由度系統(tǒng)的強迫振動A=2ξXnX=A|H|=Xn*2ξ|H|式中典型的激勵與響應(yīng)關(guān)系曲線如圖2-13所示。

將f(t)用復(fù)數(shù)形式表示:

圖2-13

簡諧激勵f(t)

與響應(yīng)x(t)曲線（2-48）

f(t)的這種表示只是一種數(shù)學(xué)上的處理，是為了求解方便，不言而喻地隱含著激振力僅由f(t)的實部表示，當(dāng)然，響應(yīng)也應(yīng)由x(t)

的實部表示。式中A

一般為復(fù)數(shù)。

2.2單自由度系統(tǒng)的強迫振動系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

（2-50）由上式可見，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)x(t)與激振力f(t)

成正比，且比例因子為（2-51）這稱為復(fù)頻響應(yīng).在復(fù)數(shù)表示情況下，系統(tǒng)響應(yīng)和激勵滿足關(guān)系（2-49）2.2單自由度系統(tǒng)的強迫振動

由（2-51）式，可見的模等于響應(yīng)幅值和激勵幅值的無量綱比，即

常稱為幅值因子。

（2-53）（2-52）

這表明復(fù)頻響應(yīng)是彈簧力與實際的外激勵的無量綱比。這里中的是由靜平衡位置算起的。

由（2-50）、（2-51）式可得

2.2單自由度系統(tǒng)的強迫振動圖2-14

簡諧激勵的響應(yīng)

圖2-14

給出了在不同阻尼比下與的關(guān)系曲線。

從圖中可見，阻尼使系統(tǒng)的振幅值減小，也使峰值相對于的位置左移。2.2單自由度系統(tǒng)的強迫振動（2-54）

當(dāng)ζ=0時，在ω=ωn處︱H(ω)︱不連續(xù)。對（2-53）式求導(dǎo)，并令其等于零，可得到曲線峰值點對應(yīng)的ω

值

當(dāng)ζ=0時，對應(yīng)于無阻尼情況，此時系統(tǒng)的齊次微分方程就是簡諧振子。當(dāng)驅(qū)動頻率ω趨近于系統(tǒng)的自然頻率ωn時，簡諧振子的響應(yīng)趨于無窮，這種狀態(tài)稱為共振，系統(tǒng)會發(fā)生劇烈振動。2.2單自由度系統(tǒng)的強迫振動

值得注意的是，當(dāng)ω=ωn

時，（2-50）式所表示的解已不適用了，必須對系統(tǒng)（2-42）重新求解。

在微小阻尼情況下，如ζ＜0.05，︱H(ω)︱的極大值的位置幾乎與ω/ωn=1相差無幾，引入符號︱H(ω)︱max=Q

，在微小阻尼情況下，有（2-55）品質(zhì)因子Q（2-42）

Q通常稱為品質(zhì)因子。2.2單自由度系統(tǒng)的強迫振動另外，工程上常將︱H(ω)︱

曲線上取值為的兩點P1

和P2稱為半功率點。半功率點所對應(yīng)頻率之差稱為半功率點帶寬，在小阻尼情況下，不難證明(如何證明？)，半功率點帶寬Δω

取如下值（2-56）

比較（2-55）和（2-56）式，可得

（2-57）（2-57）式給出了一種快速估計Q

和ζ

值的方法。

2.2單自由度系統(tǒng)的強迫振動

下面將注意力轉(zhuǎn)到相角上來，由（2-51）和（2-53）式，不難得到

（2-58）這里（2-59）這與（2-47）式的結(jié)果相同。根據(jù)（2-58）式和（2-59）式，（2-50）式可寫為

（2-60）相角φ2.2單自由度系統(tǒng)的強迫振動從（2-60）式和圖2-15可以看出:對應(yīng)于不同ζ值的所有曲線均在ω/ωn=1處通過共同點。

對于ζ=0，隨ω/ωn的變化曲線在ω/ωn=1處間斷。從的φ=0跳到ω/ωn＞1時的φ=π

。這可以通過ζ=0

時的x(t)解來解釋。對于ω/ωn＜1情況隨ω/ωn減小，相角趨于零。

對于ω/ωn＞1情況，隨ω/ωn增大，相角趨于π

。

圖2-15簡諧激勵的相位即ω/ωn＜1時響應(yīng)同相，ω/ωn＞1時響應(yīng)反相。2.2單自由度系統(tǒng)的強迫振動方程（2-61）也清楚地表明簡諧振子在驅(qū)動頻率ω

趨近于自然頻率ωn時，響應(yīng)變?yōu)闊o窮大。

下面討論簡諧振子的共振響應(yīng)，此時系統(tǒng)的運動方程變?yōu)?/p>

:（2-62）（2-61）簡諧振子的共振響應(yīng)2.2單自由度系統(tǒng)的強迫振動不難證明系統(tǒng)有如下特解（2-63）

此式表明，解是幅值隨時間線性增加的振蕩響應(yīng)，這隱含了隨著時間的增大，解將趨于無窮。因此在工程上講，共振是很危險的狀態(tài)，一定要避免。上式所描述的共振響應(yīng)特性示于下圖。

圖2-16

簡諧振子的共振響應(yīng)有阻尼單自由度系統(tǒng)的總響應(yīng)可由其自由響應(yīng)與強迫響應(yīng)疊加而成。

2.2單自由度系統(tǒng)的強迫振動

例2-4

如圖2-17所示，有兩個帶有偏心的質(zhì)量反向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角速度為常數(shù)，不平衡質(zhì)量的垂直位移為，由靜平衡算起。求。

圖2-17例2-4題圖解:由題意不難得到系統(tǒng)的運動方程:簡化為:2.2單自由度系統(tǒng)的強迫振動系統(tǒng)的響應(yīng)為:相角φ由（2-38）式給出。將上改寫為可得:在這一例子中，可將無量綱比寫為

的圖形與的圖形完全不同，這將于稍后敘述。

2.2單自由度系統(tǒng)的強迫振動例2-5研究一種基礎(chǔ)激振的情況。如圖2-18所示:解:系統(tǒng)的運動微分方程有如下形式

:圖2-18

例2-5題圖

簡化為:設(shè)基礎(chǔ)的運動為簡諧運動，有如下形式則系統(tǒng)的響應(yīng)為2.2單自由度系統(tǒng)的強迫振動將簡寫成那么無量綱比可寫為2.2單自由度系統(tǒng)的強迫振動

簡諧振動的復(fù)指數(shù)描述

有阻尼系統(tǒng)的簡諧激振力和在激振力作用下的響應(yīng)的復(fù)指數(shù)描述，可以通過在復(fù)平面上的幾何圖形來說明，將（2-60）式兩邊對求導(dǎo)得（2-64）所以振動速度超前位移π/2相角，加速度超前位移π相角，并且分別放大ω和ω2的因子。

據(jù)上所述，可以將方程（2-42）在復(fù)平面上繪圖如圖2-19，不失一般性地設(shè)A為實數(shù)。

我們知道2.2單自由度系統(tǒng)的強迫振動,圖2-19說明復(fù)向量，與的和與平衡，這正是方程（2-42）所必須滿足的。圖2-19簡諧振子的復(fù)平面表示注意，整個圖形繞著復(fù)平面以角速度ω旋轉(zhuǎn)。從圖中也可以看出，由于整個圖形是封閉的，成為一個平衡系統(tǒng)，所以僅考慮實部就相當(dāng)于將圖中各分量投影于實軸上。理論上講，投影于任何軸上都不改變系統(tǒng)各向量之間的關(guān)系。

2.2單自由度系統(tǒng)的強迫振動疊加原理

這里重新考慮圖2-5所示的二階線性系統(tǒng)。上節(jié)已經(jīng)導(dǎo)出了系統(tǒng)受任意激勵的微分方程

（2-65）在工程上，經(jīng)常又將和分別稱為系統(tǒng)的輸出和輸入。為了分析方便，引入線性微分算子

（2-66）這樣，（2-65）可簡寫為

（2-67）2.2單自由度系統(tǒng)的強迫振動

微分算子代表二階系統(tǒng)的一個“黑盒子”，它包含了系統(tǒng)的所有性質(zhì)，因為系統(tǒng)的參數(shù)、、都在算子中。方程（2-67）表明，如果系統(tǒng)有一個輸入作用于黑合子，則系統(tǒng)的輸出就是。

考慮兩個激勵和，并設(shè)和分別為對應(yīng)于和的響應(yīng)，則有

（2-68）接下來考慮為和的線性組合，即

（2-69）2.2單自由度系統(tǒng)的強迫振動

則稱系統(tǒng)是線性的，否則系統(tǒng)是非線性的。應(yīng)用方程（2-68）、（2-69），（2-70）可以用微分算子的G形式表示，即

方程（2-71）為疊加原理的數(shù)學(xué)描述。很明顯，它僅適用于線性系統(tǒng)。換句話說，疊加原理可理解為，對于線性系統(tǒng)，可以先分別求解系統(tǒng)對于單獨激勵的響應(yīng)，然后將各個響應(yīng)合成為系統(tǒng)的總響應(yīng)。（2-70）（2-71）如果的響應(yīng)滿足

2.2單自由度系統(tǒng)的強迫振動2.2.2

系統(tǒng)對周期激勵的響應(yīng)

在工程振動中，也遇到大量其他類型的非簡諧周期激勵。利用Fourier級數(shù)展開的方法，可以將周期為T

的任何函數(shù)展成如下形式（2-72）

和由右式求得

（2-73）,2.2單自由度系統(tǒng)的強迫振動為了求解方便，將（2-73）式用復(fù)數(shù)形式表示（2-74）這里為復(fù)常數(shù)，由下式給定

由復(fù)數(shù)運算規(guī)律得,(2-74)式等效于下式其中

（2-75）2.2單自由度系統(tǒng)的強迫振動（2-76）（2-77）這里，為對應(yīng)于頻率為的復(fù)頻響應(yīng)，即

有阻尼單自由度系統(tǒng)對于（2-76）式所示激勵的響應(yīng)，可以求得下式

（2-78）（2-79）

類似地，解（2-78）可寫成

（2-80）2.2單自由度系統(tǒng)的強迫振動為的模，而（2-81）

由解的表達式（2-78）和（2-80）可看出，對于周期激勵的響應(yīng)也是周期的，且與有同樣的周期。另外，當(dāng)某個接近系統(tǒng)的自然頻率時，系統(tǒng)的響應(yīng)中此簡諧分量將占主導(dǎo)地位，特別是當(dāng)時，系統(tǒng)均發(fā)生共振，也就是說周期激勵同樣可以激起系統(tǒng)共振，只要某與重合。2.2單自由度系統(tǒng)的強迫振動2.2.3非周期激勵的響應(yīng)

在非周期激勵的情況下，系統(tǒng)的響應(yīng)將不再是“穩(wěn)態(tài)”的，而是“非穩(wěn)態(tài)”的。求解系統(tǒng)在非周期激勵下瞬態(tài)響應(yīng)的方法有多種，將激勵描述成一系列脈沖，通過求各個脈沖的響應(yīng)，然后疊加來求解系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)是常見的方法之一，下面詳細(xì)敘述此方法。

單位脈沖函數(shù)的數(shù)學(xué)定義為當(dāng)時

（2-82）2.2單自由度系統(tǒng)的強迫振動

按單位脈沖函數(shù)的定義，在t=a

時刻作用的一個任意幅值的脈沖力可表示為

（2-83）系統(tǒng)在零初始條件下，對于t=0時的單位脈沖力的響應(yīng)，稱為單位脈沖響應(yīng)，并用h(t)

表示。系統(tǒng)對于t=a時刻單位脈沖力的響應(yīng)則相應(yīng)為h(t–a)。

下面求解有阻尼單自由度系統(tǒng)對于脈沖力的響應(yīng)，此時系統(tǒng)的方程為

（2-84）

由于脈沖的作用時間ε極短，即ε→0

，對方程（2-84）兩邊在區(qū)間ε積分，并設(shè)初始條件

（2-85）2.2單自由度系統(tǒng)的強迫振動其中

（2-86）

符號

表示在區(qū)間內(nèi)系統(tǒng)速度的變化。另一方面，由于脈沖作用時間極短，系統(tǒng)在瞬間不可能獲得位移增量，即。由（2-85）、（2-86）可得

（2-87）2.2單自由度系統(tǒng)的強迫振動

(2-87)式可以理解為作用于時的脈沖力，使系統(tǒng)產(chǎn)生一瞬間的速度增量，這樣就可以將這一脈沖作用等價為系統(tǒng)具有初速度。因此，系統(tǒng)的響應(yīng)為

（2-88）單位脈沖響應(yīng)可以由（2-88）式得到，令，則有

（2-89）2.2單自由度系統(tǒng)的強迫振動對一任意激勵函數(shù)，可以看成由一系列變幅值的脈沖所組成。在任意時刻，對應(yīng)一時間增量，相應(yīng)的脈沖幅值為，脈沖力在數(shù)學(xué)上可描述為，此時系統(tǒng)的

響應(yīng)（2-90）系統(tǒng)總的響應(yīng)為

（2-91）令，我們可得到

（2-92）2.2單自由度系統(tǒng)的強迫振動

（2-92）式稱為卷積或杜哈美（Duhamel）積分，表示系統(tǒng)的響應(yīng)為一系列脈沖響應(yīng)的疊加。將（2-89）式代入（2-92）得

（2-93）

這就是有阻尼單自由度系統(tǒng)對于任意激勵的響應(yīng)。注意，（2-93）未考慮系統(tǒng)的初始條件。根據(jù)卷積的性質(zhì)，（2-92）可寫為另一種形式

（2-94）2.2單自由度系統(tǒng)的強迫振動階躍響應(yīng)

作為卷積的一個例子，下面討論有阻尼單自由度系統(tǒng)對單位階躍函數(shù)的響應(yīng)，單位階躍函數(shù)定義為

（2-95）

很明顯，單位階躍函數(shù)在處不連續(xù)，在此點處，函數(shù)值由0

跳到1

。如果不連續(xù)點在處，則單位階躍函數(shù)用表示。

值得注意，單位階躍函數(shù)與單位脈沖函數(shù)有密切關(guān)系，在數(shù)學(xué)上可表示為

（2-96）此處，僅僅是積分變量。反過來有

2.2單自由度系統(tǒng)的強迫振動（2-97）

系統(tǒng)對于作用于時的單位階躍力的響應(yīng)稱為單位階躍響應(yīng)，并用表示。將和代入卷積公式，可得單位階躍響應(yīng)（2-98）經(jīng)積分可得

（2-99）此處的作用是使（2-99）式在時，。

系統(tǒng)響應(yīng)的求法還有Fourier積分法，Laplace變換法，這里不做介紹。

2.2單自由度系統(tǒng)的強迫振動第2章單自由度系統(tǒng)的振動2.3單自由度系統(tǒng)的工程應(yīng)用2.3

單自由度系統(tǒng)的工程應(yīng)用2.3.1

轉(zhuǎn)子系統(tǒng)臨界轉(zhuǎn)速的概念

圖2-20單盤轉(zhuǎn)子示意圖圖2-21圓盤的瞬時位置及力

設(shè)有一轉(zhuǎn)子如圖2-20所示，其中Oxyz是固定坐標(biāo)系，無質(zhì)量的彈性軸的彎曲剛度為EJ

，在跨中安裝有質(zhì)量為的剛性薄盤。

由于材料、工藝等因素使圓盤的質(zhì)心偏離軸線，偏心距為e

。當(dāng)轉(zhuǎn)子以等角速度ω自轉(zhuǎn)時，偏心引起的離心慣性力將使軸彎曲，產(chǎn)生動撓度，并隨之帶動圓盤公轉(zhuǎn)。設(shè)圓盤在瞬時t

的狀態(tài)如圖2-21所示，這時彈性軸因有動撓度而對圓盤的作用力為，它在坐標(biāo)軸上的投影分別為

（2-100）由材料力學(xué)可知，對于圖2-20所示的模型2.3

單自由度系統(tǒng)的工程應(yīng)用（2-101）圖2-21（2-102）根據(jù)質(zhì)心運動定理，可得（2-103）

由圖2-21的幾何關(guān)系知

對上式求兩次導(dǎo)數(shù)，可得

（2-104）（2-105）設(shè)圓盤在運動中受到粘性阻尼力的作用，它的兩個分量為

2.3

單自由度系統(tǒng)的工程應(yīng)用圖2-21把（2-105）代入（2-103），得到轉(zhuǎn)子模型的運動微分方程

（2-106）可改寫為

式中（2-107）把（2-107）式與有阻尼單自由度系統(tǒng)的強迫振動運動方程作一比較，顯然兩者在數(shù)學(xué)形式上是完全相同的。2.3

單自由度系統(tǒng)的工程應(yīng)用（2-108）把（2-108）代入（2-107）中，得到

（2-109）由此可見，O'點繞固定坐標(biāo)系的Oz

軸在作圓周運動。因此引用其求穩(wěn)態(tài)解的方法，設(shè)2.3

單自由度系統(tǒng)的工程應(yīng)用

可見圓周運動的半徑就是軸的動撓度r

，角速度等于軸的自轉(zhuǎn)角速度ω

，因為有阻尼，動撓度與偏心之間存在相位差φ

。即有

（2-110）對照幾何關(guān)系

2.3

單自由度系統(tǒng)的工程應(yīng)用根據(jù)（2-110）式可繪出在不同ζ

值時，r和φ

隨ω值變化的曲線，分別如圖2-22與圖2-23所示。圖2-22

轉(zhuǎn)子動撓度的幅值-轉(zhuǎn)速曲線(左)圖2-23

轉(zhuǎn)子動撓度的相位-轉(zhuǎn)速曲線(右)2.3

單自由度系統(tǒng)的工程應(yīng)用由于φ的存在，在一般情況下，O、O'和C三點并不在一條直線上，而總是成一個三角形ΔOO'C

，而且ΔOO'C

的形狀在轉(zhuǎn)子以等角速度

ω旋轉(zhuǎn)過程中保持不變。當(dāng)ω＞＞ωn時，φ→π，這三點又近似在一直線上，但點C

位于O和O'之間，即所謂圓盤的輕邊飛出，這種現(xiàn)象稱為自動定心，也叫偏心轉(zhuǎn)向。只有當(dāng)ω＜＜

ωn時，φ→0

，這三點才近似在一直線上，O'點位于O和C之間，即所謂圓盤的重邊飛出。2.3

單自由度系統(tǒng)的工程應(yīng)用

根據(jù)國際標(biāo)準(zhǔn)，臨界轉(zhuǎn)速定義為：系統(tǒng)共振時發(fā)生主響應(yīng)的特征轉(zhuǎn)速，在這里就是使動撓度取得極值的轉(zhuǎn)速，于是可利用條件（2-111）來確定臨界轉(zhuǎn)速，并以ωCr

表示。由（2-99）式得由此解得

（2-112）2.3

單自由度系統(tǒng)的工程應(yīng)用可見外阻尼總使得轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速稍大于其橫向自然頻率，這在圖2-22中也可以看出，各曲線的峰值都偏在ω=

ωn

線的右邊，這一點應(yīng)特別注意。

圖2-22

轉(zhuǎn)子動撓度的幅值-轉(zhuǎn)速曲線2.3

單自由度系統(tǒng)的工程應(yīng)用實際轉(zhuǎn)子系統(tǒng)總存在一定阻尼，動撓度不會無限大，但比一般轉(zhuǎn)速下的動撓度大得多，足以造成轉(zhuǎn)子破壞，因此，工程上要嚴(yán)格避免轉(zhuǎn)子在臨界轉(zhuǎn)速附近工作?？梢?，正確的臨界轉(zhuǎn)速分析計算，在轉(zhuǎn)子設(shè)計和處理實際問題中都很重要。對于小阻尼情況

:（2-113）

對于無阻尼的理想情況，即ζ=0

，在臨界轉(zhuǎn)速時，動撓度r

將達到無限大。而相位角在臨界轉(zhuǎn)速之前為零，之后為π，即在臨界轉(zhuǎn)速前后有相位突變，O

、O'和C三點始終在一條直線上。2.3

單自由度系統(tǒng)的工程應(yīng)用

為了形象地表示自動定心（偏心轉(zhuǎn)向）及在臨界轉(zhuǎn)速時的相位差，把O、O'及C三點在不同轉(zhuǎn)速時的相對位置表示在圖2-24上。

圖2-24在不同轉(zhuǎn)速時的偏心位置2.3

單自由度系統(tǒng)的工程應(yīng)用2.3.2振動傳感器的基本原理

下面以慣性式傳感器的接收為例來討論振動傳感器的基本原理。

機械接收部分：作用是將被測的機械量（如振動位移、速度、加速度等）接收為另一個適合于機電變換的中間量。振動傳感器組成部分機電變換部分:

將中間量變換為電量輸出。

振動傳感器常用的機械接收原理相對式慣性式2.3

單自由度系統(tǒng)的工程應(yīng)用圖2-25慣性傳感器的接收部分簡化模型表示接收關(guān)系的相對振動微分方程為（2-114）可改寫為

（2-115）其中

為傳感器底座完全剛性固定不動時接收部分的自然頻率，也稱為“固定安裝共振頻率”，為接收部分的阻尼比。2.3

單自由度系統(tǒng)的工程應(yīng)用

位移計型慣性接收（，）

設(shè)輸入的被測振動的復(fù)數(shù)形式為

（2-116）

經(jīng)接收后輸出的相對振動的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為（2-117）代入（2-115）式，