第四節(jié)隨機變量的數(shù)字特征

第四節(jié)隨機變量的數(shù)字特征醫(yī)用高等數(shù)學(xué)一、數(shù)學(xué)期望及其性質(zhì)三、幾個常見分布的數(shù)學(xué)期望和方差二、方差及其性質(zhì)隨機變量的數(shù)字特征表示隨機變量分布特征的數(shù)量指標，稱為隨機變量的數(shù)字特征。醫(yī)用高等數(shù)學(xué)常用的數(shù)字特征有二類：位置參數(shù)：表示隨機變量分布的集中程度、平均水平。如：數(shù)學(xué)期望等。變異參數(shù)：表示隨機變量分布的離散程度、變異大小。如：方差、協(xié)方差、變異系數(shù)等。一、數(shù)學(xué)期望及其性質(zhì)數(shù)學(xué)期望(mathematicalexpectation)

例1小組8個人，英語得90分的3人，80分的4人，60分的1人，求平均分數(shù).

X表示分數(shù),X的分布：X908060pi3/84/81/8例2一批鋼筋共有10根，抗拉強度指標為120和130的各2根，125的有3根，110，135，140的各1根，求它們的平均抗拉強度。X120130125110135140piX表示抗拉強度指標,X的分布：離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望設(shè)離散型隨機變量X

的概率函數(shù)為若級數(shù)收斂，則稱該級數(shù)的和為隨機變量X

的數(shù)學(xué)期望(mathematicalexpectation)或總體均數(shù)(populationmean)，記為E(X)或簡記為EX，即EX=

。醫(yī)用高等數(shù)學(xué)【例3】甲乙兩人進行打靶，所得分數(shù)分別記為X，Y，它們的分布律分別為試比較他們成績的好壞解我們分別計算X和Y的數(shù)學(xué)期望：

EX=0×0+1×0.2+2×0.8=1.8（分）。

EY=0×0.1+1×0.8+2×0.1=1（分）。這意味著，如果進行多次射擊，甲所得分數(shù)的平均值接近于1.8分，而乙得分的平均值接近1分。很明顯乙的成績遠不如甲。例4甲、乙兩位外科醫(yī)生，各自對10名心臟病患者進行手術(shù)治療。假定這兩組病人的年齡、病情等基本相同，用X，Y

分別表示他們的手術(shù)成功例數(shù)，其概率函數(shù)如下表，試比較兩位醫(yī)生技術(shù)水平的高低。X01234P0.0280.1210.2340.2670.20056789100.1030.0370.0090.0010.0000.000Y01234P0.0010.0100.0440.1170.20556789100.2470.2050.1170.0440.0100.000乙醫(yī)生技術(shù)水平高。甲乙兩位醫(yī)生平均手術(shù)成功例數(shù)的數(shù)學(xué)期望例5（最佳普查方案）在共有N個人的人群中，普查某種疾病，若逐個驗血就需作N次檢驗，現(xiàn)問能否用概率的思想方法來減少檢驗的工作量？

醫(yī)用高等數(shù)學(xué)解：分組，每組有k個人。k個人血混在一起。若檢驗為陰性，說明k個人全部為陰性。只檢驗一次即可，平均每人檢驗1/k次。若檢驗為陽性，k個人再一一檢驗，共檢驗k+1次。平均每人檢驗(k+1)/k次。設(shè)發(fā)病率p很小，且每人的反應(yīng)是獨立的。X1/k(k+1)/kPX1/k(k+1)/kP為了減少檢驗的工作量，

平均每人檢驗0.1956次。X–1012pi0.10.20.40.3X2014pi【例6】設(shè)隨機變量X的分布律為求E(2X–1)，E(X2)．解：

E(2X–1)=[2(–1)–1]0.1+[20–1]0.2

+[21–1]0.4+[22–1]0.3=0.8．E(X2)==1.7．0.20.50.3連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望設(shè)連續(xù)型隨機變量X

的概率密度函數(shù)為p(x)，如果積分收斂，則稱該積分值為連續(xù)型隨機變量X

的數(shù)學(xué)期望。記為EX，即例設(shè)隨機變量X

服從參數(shù)為

的指數(shù)分布，其概率密度函數(shù)為試求EX。數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)：（1）常數(shù)C

的數(shù)學(xué)期望等于常數(shù)C，即E(C)=C。（2）若a

是常數(shù)，X

是任一隨機變量，則E(aX)=aE(X)。（3）設(shè)X

為一隨機變量，a和b為常數(shù)，則

E(aX+b)=aE(X)+b（4）兩個隨機變量的和的數(shù)學(xué)期望，等于它們各自數(shù)學(xué)期望之代數(shù)和，即（5）若隨機變量X

與Y

獨立，則

E(XY)=EXEY有限多個練習(xí)1：你(花1美元)，機器擲出三顆骰子（骰子從1到6中）。三顆骰子都是6，你可贏3美元；三顆骰子有兩個6，你可贏2美元；三顆骰子僅有一個6，你可贏1美元.沒有6時，你才輸1美元.請問你愿意賭嗎？練習(xí)2：設(shè)電氣設(shè)備在某時段最大負荷的時間x（單位：min)是一個隨機變量，其分布密度為試求最大負荷的平均時間。于是Y的平均值是

Y-1123P125/21675/21615/2161/216(-1)×125/216+1×75/216+2×15/216+3×1/216=-17/216≈-0.08解：令一次賭博你可贏Y美元,則其分布列為E(Y)=練習(xí)1：你(花1美元)，機器擲出三顆骰子（骰子從1到6中）。三顆骰子都是6，你可贏3美元；三顆骰子有兩個6，你可贏2美元；三顆骰子僅有一個6，你可贏1美元.沒有6時，你才輸1美元.請問你愿意賭嗎？練習(xí)2：設(shè)電氣設(shè)備在某時段最大負荷的時間x（單位：min)是一個隨機變量，其分布密度為試求最大負荷的平均時間。解：最大負荷的平均時間，即為x的數(shù)學(xué)期望，故注：數(shù)學(xué)期望是體現(xiàn)隨機變量集中位置的數(shù)字特征?；仡櫦滓曳讲畹母拍罾含F(xiàn)有甲、乙兩位射手，甲射手射擊中命中的環(huán)數(shù)用X表示，乙射手射擊中命中的環(huán)數(shù)用Y表示，甲、乙兩射手射擊中命中的環(huán)數(shù)分布分別為：現(xiàn)在問甲、乙兩位射手誰的射擊水平誰更穩(wěn)定些？易知，甲、乙兩位射手每次射擊命中的平均環(huán)數(shù)分別為，．

通常用來表達隨機變量X取值的分散程度或集中程度．據(jù)此分析，算得

由于,因此,我們認為乙的射擊水平更穩(wěn)定些。甲：乙：方差，記為D(X)或var(X)二方差(variance)及其性質(zhì)

設(shè)X

為一隨機變量，若E(XEX)2

存在，則稱它為隨機變量X

的方差，記作V(X)，即V(X)=E(XEX)2醫(yī)用高等數(shù)學(xué)07-04-20標準差(standarddeviation)

設(shè)隨機變量X

的方差為V(X)，則稱為隨機變量X

的標準差，記為SD。即對離散型隨機變量X對連續(xù)型隨機變量X醫(yī)用高等數(shù)學(xué)07-04-22計算方差的常用計算公式V(X)=E(X2)(EX)2證明:D(X)=E[X-E(X)]2【例】設(shè)X的概率密度為求：DX.解：

計算方差的常用計算公式V(X)=E(X2)(EX)2方差的性質(zhì)：（1）常數(shù)的方差等于零，即V(C)=0（2）設(shè)X

為一隨機變量，a

為常數(shù)，則V(aX)=a2V(X)醫(yī)用高等數(shù)學(xué)07-04-28（3）設(shè)X

為一隨機變量，a和b為常數(shù)，則

V(aX+b)=a2V(X)（4）設(shè)X，Y

是任意兩個相互獨立的隨機變量，則V(X+Y)=V(X)+V(Y)推廣：(a)

有限多個；

(b)

V(XY)=V(X)+V(Y)V(X)=E(X2)(EX)2獨立性醫(yī)用高等數(shù)學(xué)試求V(X)。例設(shè)隨機變量X

服從參數(shù)為

的指數(shù)分布，其概率密度函數(shù)為指數(shù)分布：醫(yī)用高等數(shù)學(xué)變異系數(shù)(coefficientofvariation)

設(shè)隨機變量X

的數(shù)學(xué)期望為EX，標準差為，則稱為是隨機變量X

的變異系數(shù)，記作CV(X)。【練習(xí)】設(shè)隨機變量X具有概率密度解：于是它由公式，得離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望設(shè)離散型隨機變量X

的概率函數(shù)為EX=

。

連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望設(shè)連續(xù)型隨機變量X的概率密度函數(shù)為p(x)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)：（1）常數(shù)C

的數(shù)學(xué)期望等于常數(shù)C，即E(C)=C。（2）若a

是常數(shù)，X

是任一隨機變量，則（3）設(shè)X

為一隨機變量，a和b為常數(shù)，則（5）若隨機變量X

與Y

獨立，則

E(XY)=EXEY（4）二方差(variance)及其性質(zhì)

設(shè)X

為一隨機變量，若E(XEX)2

存在，則稱它為隨機變量X

的方差，記作V(X)，即V(X)=E(XEX)2計算方差的常用計算公式V(X)=E(X2)(EX)2方差的性質(zhì)：（1）常數(shù)的方差等于零，即V(C)=0（2）設(shè)X

為一隨機變量，a

為常數(shù)，則V(aX)=a2V(X)（3）設(shè)X

為一隨機變量，a和b為常數(shù)，則

V(aX+b)=a2V(X)（4）設(shè)X，Y

是任意兩個相互獨立的隨機變量，則V(X+Y)=V(X)+V(Y)推廣：(a)

有限多個；

(b)

V(XY)=V(X)+V(Y)V(X)=E(X2)(EX)20-1分布B(1,p)E(X)=1×p+0×(1-p)=p；1、二項分布

B(n,p)幾個重要的隨機變量的數(shù)學(xué)期望

E(X2)=1×p+0×(1-p)=p；1、二項分布B(n,p)設(shè)則且2、泊松分布3、正態(tài)分布

X~N(,2)因為X=+Z則：E(X)=E(+Z)=D(X)=D(+Z)=2D(Z)=2例設(shè)隨機變量X~B(n,p)，且EX=8，V(X)=4.8，求：（1）n,p；（2）E(2X1)；（3）V(2X1)

；（4）E[2(X21)]。解：二項分布B(n,p)，E(X)=np,V(X)=np(1-p)(1)np=8,np(1-p)=4.8解得：n=20,p=0.4(2)E(2X+1)=2E(X)+1=

17,E(2X-1)=2E(X)-1=

15(3)V(2X+1)=4V(X)=19.2（4）E[2(X21)]=2E[(X2)-2=2E(X2)-2

。E(X2)]=V(X)+(E(X))2E(X2)]=4.8+(8)2=68.8E[2(X21)]=2E[(X2)-1=135.6小結(jié)：隨機變量的數(shù)字特征數(shù)學(xué)期望（均數(shù)）數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)方差，標準差方差的性質(zhì)幾個常見分布的數(shù)學(xué)期望和方差醫(yī)用高等數(shù)學(xué)07-04-39第七章總結(jié)1（廣義加法定理）若事件A與B為任意兩個事件，則P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

若有事件A

與B

滿足AB，則有P(A-B)=P(A)-P(B)2條件概率(conditionalprobability)

設(shè)A、B

是樣本空間中的兩個事件，且P(B)>0，稱為在事件B

發(fā)生的條件下事件A

發(fā)生的條件概率。一概率公式P(AB)=P(A)×P(B|A)(當(dāng)P(A)>0時)P(AB)=P(B)×P(A|B)(當(dāng)P(B)>0時)定理設(shè)A1,A2,…,An為n

個隨機事件，則有P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)

…P(An|A1A2…An-1)3事件的獨立性(independent)

若事件A

發(fā)生與否不影響事件B

的發(fā)生，即P(B|A)=P(B)，則稱事件B

獨立于事件A。定理

兩個事件A、B

相互獨立的充要條件是它們積事件的概率等于其各自概率的積。即P(AB)=P(A)P(B)4全概率公式設(shè)事件組A1,A2,…,An是樣本空間

的一個完備事件組，且P(Ai)>0，i=1,2,…,n；則對任意事件B，有BA1AnA3A2…5逆概率公式（Bayes公式）設(shè)事件組A1,A2,…,An是樣本空間

的一個完備事件組，則對任意事件B(P(B)>0)，成立(i=1,2,…,n)事件A

發(fā)生的概率為p，不發(fā)生的概率為q=1p，則在n次試驗中，事件A

恰好發(fā)生k次（0≤k≤n）的概率為1伯努利概型（二項分布）二、幾種常見分布泊松分布(Poissondistribution)

若隨機變量X

的概率函數(shù)為則稱隨機變量X

服從參數(shù)為

的泊松分布，記作X~P()。泊松定理在n

重伯努利試驗中，如果當(dāng)n時，npn（>0常數(shù)），則有(k=0,1,2,…)三隨機變量分布函數(shù)與概率密度函數(shù)分布函數(shù)(distributionfunction)

設(shè)X

是一隨機變量，x是任意實數(shù)，函數(shù)

F(x)=P(Xx)(<x<)稱為隨機變量X

的分布函數(shù)。

設(shè)離散型隨機變量X

的分布率：

隨機變量X

的分布函數(shù):概率密度函數(shù)(probabilitydensityfunction)

如果對于隨機變量X

的分布函數(shù)F(x)，存在非負可積函數(shù)p(x)，使對任意實數(shù)x，有則稱X

為連續(xù)型隨機變量，其中函數(shù)p(x)稱為X

的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度，或密度函數(shù)。四正態(tài)分布(normaldistribution)

若隨機變量X

的概率密度為其中，和(>0)為常數(shù)，則稱X

服從參數(shù)為,2的正態(tài)分布。記為X~N(