第四講均值向量和協(xié)方差陣的檢驗

第二章均值向量和

協(xié)方差陣的檢驗

在一元正態(tài)總體中，我們已經(jīng)介紹過什么是假設(shè)檢驗以及其基本思想、計算步驟。比較兩個總體的均值、標(biāo)準(zhǔn)差時，我們可以采用檢驗，t檢驗，F(xiàn)檢驗。在多元分析中也涉及到這方面的內(nèi)容，后面介紹的各種常用統(tǒng)計方法有時要對總體均值向量和協(xié)方差陣作檢驗。那么上述有效的檢驗方法能否推廣到多維正態(tài)總體呢？多元正態(tài)分布均值向量和協(xié)方差陣的檢驗均值向量的檢驗協(xié)方差陣的檢驗多個正態(tài)總體參數(shù)的檢驗總體均值向量的推斷

設(shè)是取自多元正態(tài)總體的一個樣本，這里，現(xiàn)欲檢驗單個總體均值向量的推斷

樣本均值和樣本方差分別為(1)協(xié)方差陣已知時，服從自由度為p的卡方分布，用卡方檢驗。

（2）若協(xié)方差陣未知，用T2檢驗。兩個總體均值向量的檢驗協(xié)方差陣相等的情形

一、兩個獨立樣本的情形

與一元隨機變量的情形相同，常常我們需要檢驗兩個總體的均值是否相等。

設(shè)從總體，中各自獨立地抽取樣本和，。

考慮假設(shè)若兩總體有共同已知協(xié)差陣，在H0成立時，檢驗統(tǒng)計量為若兩總體協(xié)差陣相等且未知時，

根據(jù)兩個樣本可得μ1和μ2的無偏估計量為其中1當(dāng)原假設(shè)為真的條件下，檢驗的規(guī)則為：協(xié)方差陣不等的情形

兩正態(tài)總體均值與標(biāo)準(zhǔn)差均未知時的均值差的統(tǒng)計推斷問題，稱為貝倫斯-費希爾問題(Behrens-Fisherproblem)。

分兩種情況：

(1)

時：

其中

(2)

，不防假設(shè)檢驗統(tǒng)計量為：

令多總體均值比較

單因素方差分析問題的提出統(tǒng)計的模型及檢驗方法多重比較檢驗問題的提出

方差分析：比較3個或3個以上的總體均值是否有顯著性差異。用組間的方差與組內(nèi)方差相比，據(jù)以判別誤差主要源于組間的方差（不同組工人的產(chǎn)量，條件誤差），還是源于組內(nèi)方差（隨機誤差）。多個正態(tài)總體均值向量的檢驗

——多元方差分析實驗數(shù)據(jù)如下表方差分析表協(xié)方差陣的檢驗

總體協(xié)方差陣是否等于已知常數(shù)矩陣的檢驗總體協(xié)方差陣是否等于已知常數(shù)矩陣倍數(shù)的檢驗單個總體協(xié)方差陣相等的檢驗多總體協(xié)方差陣相等的檢驗假設(shè)有k個多元正態(tài)總體，它們的分布分別為?，F(xiàn)從每個總體中分別隨機抽取了一個樣本，要根據(jù)這些樣本，對于這些總體的協(xié)方差陣是否相同進行檢驗。首先，列出原假設(shè)和備擇假設(shè)。它們分別為：

其次，為構(gòu)造出檢驗統(tǒng)計量，記來自第r個總體的第i個樣品的觀測向量為

記來自該總體的樣本的容量為，總的樣本容量為n，即，記各個樣本的均值向量為：定義各個樣本叉積矩陣和全部樣本叉積矩陣的總和為：

使用似然比方法，可構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量為：根據(jù)無偏性的要求，巴特萊特（Bartlett）建議將的換成，從而n變?yōu)閚-k。對變化后的取對數(shù)，可得一個近似的檢驗統(tǒng)計量為：多總體互協(xié)方差陣的檢驗首先將這些觀測指標(biāo)向量合并組成一個長向量，然后將此長向量按原各觀測指標(biāo)向量進行分塊，并將此長向量的均值向量和協(xié)方差陣也進行相應(yīng)的分塊，則各觀測指標(biāo)向量之間的互協(xié)方差陣的檢驗轉(zhuǎn)化為對此長向量的協(xié)差矩陣非對角線各塊互協(xié)差矩陣的檢驗。假設(shè)原觀測指標(biāo)向量的個數(shù)為k，它們所組成的長向量的維數(shù)為p，記此長向量為則可將此長向量按原各個觀測指標(biāo)向量剖分為k塊，并對此向量的均值向量和協(xié)方差陣也進行同樣的剖分，使其成為：檢驗原k個觀測指標(biāo)向量之間的互協(xié)方差陣是否為零，就是要檢驗如下的假設(shè)：若對此p維觀測指標(biāo)向量進行了n次觀測，得到了一個容量為n的樣本并已計算出了樣本叉積矩陣向量，則可將此樣本叉積矩陣按原k個觀測指標(biāo)向量進行分塊，得到如下的分塊叉積矩陣為：采用似然比方法，可構(gòu)造如下的檢驗統(tǒng)計量為：若對上述統(tǒng)計量進行轉(zhuǎn)換，可得到另外一個等價的檢驗統(tǒng)計量為：安德生（Anderson）已給出了上述