第四講均值向量和協(xié)方差陣的檢驗(yàn)

第二章均值向量和

協(xié)方差陣的檢驗(yàn)

在一元正態(tài)總體中，我們已經(jīng)介紹過(guò)什么是假設(shè)檢驗(yàn)以及其基本思想、計(jì)算步驟。比較兩個(gè)總體的均值、標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)，我們可以采用檢驗(yàn)，t檢驗(yàn)，F(xiàn)檢驗(yàn)。在多元分析中也涉及到這方面的內(nèi)容，后面介紹的各種常用統(tǒng)計(jì)方法有時(shí)要對(duì)總體均值向量和協(xié)方差陣作檢驗(yàn)。那么上述有效的檢驗(yàn)方法能否推廣到多維正態(tài)總體呢？多元正態(tài)分布均值向量和協(xié)方差陣的檢驗(yàn)均值向量的檢驗(yàn)協(xié)方差陣的檢驗(yàn)多個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn)總體均值向量的推斷

設(shè)是取自多元正態(tài)總體的一個(gè)樣本，這里，現(xiàn)欲檢驗(yàn)單個(gè)總體均值向量的推斷

樣本均值和樣本方差分別為(1)協(xié)方差陣已知時(shí)，服從自由度為p的卡方分布，用卡方檢驗(yàn)。

（2）若協(xié)方差陣未知，用T2檢驗(yàn)。兩個(gè)總體均值向量的檢驗(yàn)協(xié)方差陣相等的情形

一、兩個(gè)獨(dú)立樣本的情形

與一元隨機(jī)變量的情形相同，常常我們需要檢驗(yàn)兩個(gè)總體的均值是否相等。

設(shè)從總體，中各自獨(dú)立地抽取樣本和，。

考慮假設(shè)若兩總體有共同已知協(xié)差陣，在H0成立時(shí)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為若兩總體協(xié)差陣相等且未知時(shí)，

根據(jù)兩個(gè)樣本可得μ1和μ2的無(wú)偏估計(jì)量為其中1當(dāng)原假設(shè)為真的條件下，檢驗(yàn)的規(guī)則為：協(xié)方差陣不等的情形

兩正態(tài)總體均值與標(biāo)準(zhǔn)差均未知時(shí)的均值差的統(tǒng)計(jì)推斷問(wèn)題，稱(chēng)為貝倫斯-費(fèi)希爾問(wèn)題(Behrens-Fisherproblem)。

分兩種情況：

(1)

時(shí)：

其中

(2)

，不防假設(shè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：

令多總體均值比較

單因素方差分析問(wèn)題的提出統(tǒng)計(jì)的模型及檢驗(yàn)方法多重比較檢驗(yàn)問(wèn)題的提出

方差分析：比較3個(gè)或3個(gè)以上的總體均值是否有顯著性差異。用組間的方差與組內(nèi)方差相比，據(jù)以判別誤差主要源于組間的方差（不同組工人的產(chǎn)量，條件誤差），還是源于組內(nèi)方差（隨機(jī)誤差）。多個(gè)正態(tài)總體均值向量的檢驗(yàn)

——多元方差分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表方差分析表協(xié)方差陣的檢驗(yàn)

總體協(xié)方差陣是否等于已知常數(shù)矩陣的檢驗(yàn)總體協(xié)方差陣是否等于已知常數(shù)矩陣倍數(shù)的檢驗(yàn)單個(gè)總體協(xié)方差陣相等的檢驗(yàn)多總體協(xié)方差陣相等的檢驗(yàn)假設(shè)有k個(gè)多元正態(tài)總體，它們的分布分別為?，F(xiàn)從每個(gè)總體中分別隨機(jī)抽取了一個(gè)樣本，要根據(jù)這些樣本，對(duì)于這些總體的協(xié)方差陣是否相同進(jìn)行檢驗(yàn)。首先，列出原假設(shè)和備擇假設(shè)。它們分別為：

其次，為構(gòu)造出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，記來(lái)自第r個(gè)總體的第i個(gè)樣品的觀(guān)測(cè)向量為

記來(lái)自該總體的樣本的容量為，總的樣本容量為n，即，記各個(gè)樣本的均值向量為：定義各個(gè)樣本叉積矩陣和全部樣本叉積矩陣的總和為：

使用似然比方法，可構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：根據(jù)無(wú)偏性的要求，巴特萊特（Bartlett）建議將的換成，從而n變?yōu)閚-k。對(duì)變化后的取對(duì)數(shù)，可得一個(gè)近似的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：多總體互協(xié)方差陣的檢驗(yàn)首先將這些觀(guān)測(cè)指標(biāo)向量合并組成一個(gè)長(zhǎng)向量，然后將此長(zhǎng)向量按原各觀(guān)測(cè)指標(biāo)向量進(jìn)行分塊，并將此長(zhǎng)向量的均值向量和協(xié)方差陣也進(jìn)行相應(yīng)的分塊，則各觀(guān)測(cè)指標(biāo)向量之間的互協(xié)方差陣的檢驗(yàn)轉(zhuǎn)化為對(duì)此長(zhǎng)向量的協(xié)差矩陣非對(duì)角線(xiàn)各塊互協(xié)差矩陣的檢驗(yàn)。假設(shè)原觀(guān)測(cè)指標(biāo)向量的個(gè)數(shù)為k，它們所組成的長(zhǎng)向量的維數(shù)為p，記此長(zhǎng)向量為則可將此長(zhǎng)向量按原各個(gè)觀(guān)測(cè)指標(biāo)向量剖分為k塊，并對(duì)此向量的均值向量和協(xié)方差陣也進(jìn)行同樣的剖分，使其成為：檢驗(yàn)原k個(gè)觀(guān)測(cè)指標(biāo)向量之間的互協(xié)方差陣是否為零，就是要檢驗(yàn)如下的假設(shè)：若對(duì)此p維觀(guān)測(cè)指標(biāo)向量進(jìn)行了n次觀(guān)測(cè)，得到了一個(gè)容量為n的樣本并已計(jì)算出了樣本叉積矩陣向量，則可將此樣本叉積矩陣按原k個(gè)觀(guān)測(cè)指標(biāo)向量進(jìn)行分塊，得到如下的分塊叉積矩陣為：采用似然比方法，可構(gòu)造如下的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：若對(duì)上述統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行轉(zhuǎn)換，可得到另外一個(gè)等價(jià)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：安德生（Anderson）已給出了上述