第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法

第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法

第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法4.1李雅普諾夫穩(wěn)定性概念4.2李雅普諾夫穩(wěn)定性間接判別法4.3李雅普諾夫穩(wěn)定性直接判別法4.4線性系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析4.5非線性系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法

俄國數(shù)學(xué)家和力學(xué)家A.M.李雅普諾夫在1892年所創(chuàng)立的用于分析系統(tǒng)穩(wěn)定性的理論。李雅普諾夫穩(wěn)定性理論能同時(shí)適用于分析線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)、定常系統(tǒng)和

時(shí)變系統(tǒng)的穩(wěn)定性，是更為一般的穩(wěn)定性分析方法。李雅普諾夫穩(wěn)定性理論主要指李雅普諾夫第二方法，又稱李雅普諾夫直接法。李雅普諾夫穩(wěn)定性理論第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法

4.1李雅普諾夫穩(wěn)定性概念1、穩(wěn)定性：一個(gè)自動(dòng)控制系統(tǒng)當(dāng)受到外界干擾時(shí)，它的平衡狀態(tài)被破壞，但在外擾去掉后,它仍有能力自動(dòng)地在平衡狀態(tài)狀態(tài)下繼續(xù)工作，系統(tǒng)的這種性能，稱為穩(wěn)定性。2、穩(wěn)定系統(tǒng)：具有穩(wěn)定性的系統(tǒng)稱為穩(wěn)定系統(tǒng)。反之為不穩(wěn)定系統(tǒng)。一.物理基礎(chǔ)第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法

穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)能否正常工作的前提條件?？刂葡到y(tǒng)的穩(wěn)定性，通常有兩種定義方式。一種是指系統(tǒng)在零初始條件下通過其外部狀態(tài)，即由系統(tǒng)的輸入和輸出兩者關(guān)系所定義的外部穩(wěn)定性。適用范圍:只適用于線性系統(tǒng)另一種是指系統(tǒng)在零輸人條件下通過其內(nèi)部狀態(tài)變化所定義的內(nèi)部穩(wěn)定性。適用范圍:不但適用于線性系統(tǒng)，而且也適用于非線性系統(tǒng)。對于同一個(gè)線性系統(tǒng)，只有在滿足一定的條件下兩種定義才具有等價(jià)性。

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穩(wěn)定性由控制系統(tǒng)內(nèi)部儲能元件的能量不可能突變所產(chǎn)生的慣性滯后作用所導(dǎo)致。在實(shí)際的應(yīng)用系統(tǒng)中，由于系統(tǒng)中存在儲能元件，并且每個(gè)元件都存在慣性。這樣當(dāng)給定系統(tǒng)的輸入時(shí)，輸出量一般會在期望的輸出量之間擺動(dòng)。此時(shí)系統(tǒng)會從外界吸收能量。對于穩(wěn)定的系統(tǒng)振蕩是減幅的，而對于不穩(wěn)定的系統(tǒng)，振蕩是增幅的振蕩。前者會平衡于一個(gè)狀態(tài)，后者卻會不斷增大直到系統(tǒng)被損壞。

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控制系統(tǒng)的外部穩(wěn)定性，常稱為有界輸入有界輸出穩(wěn)定性。在討論系統(tǒng)的外部穩(wěn)定性時(shí)，一般只適用于線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，而且必須假定系統(tǒng)的初始條件為零。外部穩(wěn)定性的定義是，初始條件為零的線性系統(tǒng)，對任何一個(gè)有界的輸入作用下，若系統(tǒng)所產(chǎn)生的相應(yīng)輸出也是有界的，就稱該動(dòng)態(tài)系統(tǒng)是外部穩(wěn)定的，又簡稱為BIBO穩(wěn)定。外部穩(wěn)定性第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法“有界”涵義:對于單輸入、單輸出系統(tǒng)來說，輸入u(t)和輸出y(t)的有界性，是通過它們各自的模的有界性來表征的。即是說，對于任何一個(gè)輸人u(t)的有界性，有系統(tǒng)相應(yīng)輸出y(t)的有界性，有第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法單輸入-多輸出系統(tǒng)，其輸出y(t)可表示如下：這時(shí)，輸出量y(t)的有界性可按輸出向量的范數(shù)來定義,也可以等效地按y(t)的每個(gè)分量

值的模有界性來定義，即第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法

對于多輸入—多輸出系統(tǒng)來說，輸入量u(t)和輸出量y(t)的有界涵義，可以等效地按其每個(gè)分量值的模的有界性來表征，即若：則有界的涵義為第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法

為了進(jìn)一步理解系統(tǒng)外部穩(wěn)定性的定義，下面以單輸入-單輸出系統(tǒng)為例加以說明。第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法

第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法內(nèi)部穩(wěn)定性一般情況而言，動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的內(nèi)部穩(wěn)定性是指系統(tǒng)零輸入時(shí)內(nèi)部狀態(tài)自由運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性,通常是采用俄國數(shù)學(xué)家李雅普諾夫所提出的定義。李雅普諾夫關(guān)于穩(wěn)定性的定義是針對系統(tǒng)的平衡狀態(tài)而言。它不僅適用于單變量、線性、定常系統(tǒng)，而且也適用于多變量、非線性和時(shí)變系統(tǒng)。第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法系統(tǒng)的傳遞函數(shù)極點(diǎn)與系統(tǒng)的特征值完全相同:外部穩(wěn)定性-------傳遞函數(shù)極點(diǎn)的性質(zhì)狀態(tài)穩(wěn)定性-------狀態(tài)解的運(yùn)動(dòng)軌跡來決定-----狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣-----系統(tǒng)的特征值。當(dāng)分子和分母多項(xiàng)式含有正極點(diǎn)的公因子項(xiàng)時(shí)，在傳遞函數(shù)中，由于零、極點(diǎn)對消后沒有出現(xiàn)該正極點(diǎn)，系統(tǒng)具有外部穩(wěn)定性；而與正特征值相對應(yīng)的狀態(tài)變量是不穩(wěn)定的。若該系統(tǒng)不具有能控能觀性------分子和分母存在有相同的公因子-------傳遞函數(shù)極點(diǎn)數(shù)只是系統(tǒng)特征值的一部分。如果系統(tǒng)具有外部穩(wěn)定性，內(nèi)部穩(wěn)定性？？若系統(tǒng)具有內(nèi)部穩(wěn)定性，也一定具有外部穩(wěn)定性。第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法由以上分析，對線性定常系統(tǒng)可得出如下結(jié)論：1)若內(nèi)部穩(wěn)定，則一定是“外部穩(wěn)定”的。2)若是“外部穩(wěn)定”的，則不能保證其是“內(nèi)部穩(wěn)定”的。3)若線性定常系統(tǒng)具有能控能觀性，則其內(nèi)部穩(wěn)定性和外部穩(wěn)定性是等價(jià)的。由此可見，動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的內(nèi)部穩(wěn)定性的定義要比外部穩(wěn)定性的定義嚴(yán)格。只用傳遞函數(shù)的極點(diǎn)性質(zhì)來判定該系統(tǒng)的穩(wěn)定性并不一定能真正反映出系統(tǒng)穩(wěn)定的性能，甚至有可能導(dǎo)致錯(cuò)誤。一個(gè)具有外部穩(wěn)定的系統(tǒng)，完全有可能由于內(nèi)部狀態(tài)的不穩(wěn)定性造成系統(tǒng)中某些元部件的飽和，甚至損壞而使系統(tǒng)無法正常工作。第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法

3、系統(tǒng)穩(wěn)定性的數(shù)學(xué)表示法系統(tǒng)在受外界干擾后，系統(tǒng)偏差量（被調(diào)量偏離平衡位置的數(shù)值）過渡過程的收斂性，用數(shù)學(xué)方法表示為：為系統(tǒng)被調(diào)量偏離其平衡位置的大小，ε為任意小的規(guī)定量。第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法

勞斯—胡爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)古典控制論：乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)經(jīng)典控制理論-------勞斯判據(jù)、Huiwitz穩(wěn)定判據(jù)、Nquist判據(jù)、根軌跡判據(jù)等來判斷線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性，但不適用于非線性和時(shí)變系統(tǒng)。分析非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的相平面法則只適合于一階、二階非線性系統(tǒng)。4、研究系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法

高階微分方程線性系統(tǒng)的特征根，即特征方程的根，均具有負(fù)實(shí)部，則系統(tǒng)穩(wěn)定；有一個(gè)零根或一對虛根而其余根有負(fù)實(shí)部，則系統(tǒng)屬臨界情況；其他情況，系統(tǒng)不穩(wěn)定。為避免求根而直接由方程的系數(shù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，有勞斯—胡爾維茨代數(shù)判據(jù)。第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法

1892年俄國學(xué)者李雅普諾夫（Lyapunov）發(fā)表了《運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性一般問題》論文，建立了運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的一般理論和方法。它采用狀態(tài)向量來描述，不僅適用于單變量、線性、定常系統(tǒng)，還適用于多變量、非線性、時(shí)變系統(tǒng)。第一法第二法現(xiàn)代控制論：李亞普諾夫穩(wěn)定性第一法：解系統(tǒng)的微分方程式，然后根據(jù)解的性質(zhì)來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，或根據(jù)特征方程根的情況來判據(jù)穩(wěn)定性，這是一種間接方法。建立在一個(gè)直觀的物理事實(shí)上，如果一個(gè)系統(tǒng)的某個(gè)平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的，即，第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法那么隨著系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，其貯存的能量將隨時(shí)間增長而衰減，直至趨于平衡狀態(tài)而能量趨于極小值。實(shí)際系統(tǒng)很難找到一個(gè)統(tǒng)一的，簡便的用于完全描述上述過程的所謂能量函數(shù)。李氏認(rèn)為在判斷一個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性時(shí)，不一定非要找到系統(tǒng)的真正能量函數(shù)，可以根據(jù)不同的系統(tǒng)虛構(gòu)一個(gè)廣義的能量函數(shù)，稱為李雅普諾夫函數(shù)（李氏函數(shù)）。李氏函數(shù)能滿足一定的條件，根據(jù)它來判據(jù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。第二法：第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法

5、平衡狀態(tài)系統(tǒng)一般描述：X為n維狀態(tài)向量。平衡狀態(tài)：當(dāng)在任意時(shí)間都能滿足稱Xe為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)或平衡點(diǎn)。對于線性定常系統(tǒng)A為非奇異時(shí)，X=0是其唯一的平衡狀態(tài)。A為奇異時(shí)，系統(tǒng)有無窮多個(gè)平衡狀態(tài)。對于非線性系統(tǒng)，有一個(gè)或多個(gè)平衡狀態(tài)。對任意，總可經(jīng)過一定的坐標(biāo)變換，把它化到坐標(biāo)原點(diǎn)（即零狀態(tài)）。第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法

1.平衡狀態(tài)穩(wěn)定性問題是系統(tǒng)自身的一種動(dòng)態(tài)屬性，與外部輸入無關(guān)。令系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：初始狀態(tài)：，相應(yīng)的解：表示狀態(tài)向量的初始值，為初始時(shí)刻。平衡狀態(tài)的定義：若對所有t，狀態(tài)x滿足，則稱該狀態(tài)x為平衡狀態(tài)，記為：，滿足下式：二、李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定性概念

第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法變化。由平衡狀態(tài)在狀態(tài)空間確定的點(diǎn)，稱為平衡點(diǎn)。平衡狀態(tài)的求法：線性定常系統(tǒng)的平衡狀態(tài)應(yīng)滿足

。a.線性系統(tǒng)A非奇異：A奇異：有無窮多個(gè)平衡狀態(tài)的各分量相對時(shí)間不再發(fā)生，b.非線性系統(tǒng)可能有多個(gè)eg.

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令第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法

2.范數(shù)的概念定義：n維狀態(tài)空間中，向量x的長度稱為向量的表示，則有：向量的距離：當(dāng)限定在某一范圍之內(nèi)時(shí)，記做范數(shù)，用第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法1)穩(wěn)定性

定義：對于系統(tǒng)，若任意給定實(shí)數(shù),都存在，使得：，從初始狀態(tài)出發(fā)的解滿足：，則稱平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的。3.李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定性概念第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法

第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法

要注意到，按李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性定義，當(dāng)系統(tǒng)作不衰減的振蕩運(yùn)動(dòng)時(shí)，將在平面描繪出一條封閉曲線，但只要不超過，則認(rèn)為穩(wěn)定，這同經(jīng)典控制理論中線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定性的定義是有差異的。第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法

2）漸近穩(wěn)定性定義：對于系統(tǒng)，若任意給定實(shí)數(shù),都存在，使得：，從初始狀態(tài)出發(fā)的解滿足：且對于任意小量，總有：，則稱平衡狀態(tài)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法

經(jīng)典控制理論的穩(wěn)定是李雅普諾夫意義下的一致漸近穩(wěn)定。

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3）大范圍漸近穩(wěn)定性當(dāng)初始條件擴(kuò)展至整個(gè)狀態(tài)空間，且具有漸近穩(wěn)定性時(shí)，稱此平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。此時(shí)，δ→∞，S(δ)→∞。當(dāng)t→∞時(shí)，對于線性系統(tǒng)，如果它是漸近穩(wěn)定的，必具有大范圍漸近穩(wěn)定性，因?yàn)榫€性系統(tǒng)穩(wěn)定性與初始條件無關(guān)。非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性一般與初始條件的大小密切相關(guān)，其δ總是有限的，通常只能在小范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定。系統(tǒng)為大范圍漸近穩(wěn)定的必要條件是它在狀態(tài)空間中只有一個(gè)平衡狀態(tài)。

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局部漸近穩(wěn)定大范圍漸近穩(wěn)定大范圍漸近穩(wěn)定性第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法

4）不穩(wěn)定定義：對于系統(tǒng)，若任意給定實(shí)數(shù),都存在，使得：，從初始狀態(tài)出發(fā)的解，總有：，則稱平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法

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對線性系統(tǒng)來講，任意一個(gè)孤立的平衡狀態(tài)都可以通過坐標(biāo)變化轉(zhuǎn)移到狀態(tài)空間的原點(diǎn)。因此分析坐標(biāo)原點(diǎn)的穩(wěn)定性具有代表意義。對非線性系統(tǒng)來講，如果具有多個(gè)平衡狀態(tài)，各平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性有可能不同。因此應(yīng)對每個(gè)平衡狀態(tài)分別進(jìn)行分析。穩(wěn)定和漸近穩(wěn)定有很大的區(qū)別。在實(shí)際工程中，通常認(rèn)為漸近穩(wěn)定比穩(wěn)定的性質(zhì)更為重要。對線性系統(tǒng)而言，如果平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的，那么也一定是大范圍漸近穩(wěn)定的。5）應(yīng)注意的幾個(gè)問題第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法

4.1李雅普諾夫穩(wěn)定性概念4.2李雅普諾夫穩(wěn)定性間接判別法4.3李雅普諾夫穩(wěn)定性直接判別法4.4線性系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析4.5非線性系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法

4.2李雅普諾夫穩(wěn)定性間接判別法（第一法）間接法：利用狀態(tài)方程解的特性來判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法。適應(yīng)范圍：線性定常系統(tǒng)、線性時(shí)變系統(tǒng)、非線性函數(shù)可線性化的系統(tǒng)。1.間接判別法第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法

2.線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定性的特征值判據(jù)平衡狀態(tài)xe=0漸進(jìn)穩(wěn)定的充要條件：系統(tǒng)矩陣A的全部特征值位于復(fù)平面左半部，即

系統(tǒng)第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法

第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法

第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法解：由A陣的特征方程【例】設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為試分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性可得特征值故系統(tǒng)不是漸進(jìn)穩(wěn)定的第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法

第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法4.非線性函數(shù)可線性化的系統(tǒng)設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為Xe為其平衡狀態(tài)；f[x,t]為與X同維的矢量函數(shù)，且對X具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)。為討論系統(tǒng)在Xe處的穩(wěn)定性，可將非線性矢量函數(shù)f[x,t]在Xe鄰域內(nèi)展成泰勒級數(shù)，得式中R(x)為級數(shù)展開式中的高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。(4—12)(4—13)第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法而稱為雅克比（Jacobian）矩陣第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法若令，并取式(4-13)的一次近似式，可得系統(tǒng)的線性化方程：在一次近似的基礎(chǔ)上，李雅普諾夫給出下述結(jié)論：1)如果方程式（4—15)中系數(shù)矩陣A的所有特征值都具有負(fù)實(shí)部，則原非線性系統(tǒng)式(4—12)在平衡狀態(tài)xe是漸近穩(wěn)定的，而且系統(tǒng)的穩(wěn)定性與R(x)無關(guān)。2)如果A的特征值至少有一個(gè)具有正實(shí)部，則原非線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)xe是不穩(wěn)定的。3)如果A的特征值至少有一個(gè)的實(shí)部為零。系統(tǒng)處于臨界情況，那么原非線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)xe的穩(wěn)定性將取決于高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)R(x)，而不能由A的特征值符號來確定。（4—15)第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法

4.1李雅普諾夫穩(wěn)定性概念4.2李雅普諾夫穩(wěn)定性間接判別法4.3李雅普諾夫穩(wěn)定性直接判別法4.4線性系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析4.5非線性系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法

4.3李雅普諾夫穩(wěn)定性直接判別法李雅普諾夫第二法（直接法）是利用李雅普諾夫函數(shù)直接對平衡狀態(tài)穩(wěn)定性進(jìn)行判斷，無需求出系統(tǒng)狀態(tài)方程的解，對各種控制系統(tǒng)均適用。根據(jù)物理學(xué)原理，若系統(tǒng)貯存的能量（含動(dòng)能與位能）隨時(shí)間推移而衰減，系統(tǒng)遲早會到達(dá)平衡狀態(tài)。實(shí)際系統(tǒng)的能量函數(shù)表達(dá)式相當(dāng)難找，因此李雅普諾夫引入了廣義能量函數(shù)，稱之為李雅普諾夫函數(shù)。它與及t有關(guān)，標(biāo)量函數(shù)，記以V(x,t)；若不顯含t，則記以V(x)。是一個(gè)第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法考慮到能量總大于零，故為正定函數(shù)，能量衰減特性用表示。處的穩(wěn)定性、漸近穩(wěn)定性或不穩(wěn)定性的準(zhǔn)則，而不必直接求出方程的解（這種方法既適用于線性系統(tǒng)，也適用于非線性系統(tǒng)）。

在Lyapunov第二法中，和其對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)的符號特征，提供了判斷平衡狀態(tài)第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法當(dāng)電路加電后，令。

系統(tǒng)有兩個(gè)獨(dú)立儲能元件，L和C。設(shè)，例第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法如果能量隨時(shí)間推移

電感儲能：電容能量：總能量：

第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法討論：L，C互相振蕩，總能量不變。

第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法對于一些純數(shù)學(xué)系統(tǒng)，畢竟還沒有一個(gè)“定義能量函數(shù)”的簡便方法。為了克服這個(gè)困難，Lyapunov定義了一個(gè)虛構(gòu)的能量函數(shù)，稱為Lyapunov函數(shù)。這個(gè)函數(shù)比能量更為一般，其應(yīng)用也更廣泛。遺憾的是至今仍未形成構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)的通用方法，需要憑經(jīng)驗(yàn)與技巧。實(shí)踐表明，對于大多數(shù)系統(tǒng)，可先嘗試用二次型函數(shù)

作為李雅普諾夫函數(shù)。即：P為實(shí)對稱陣。第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法

一.預(yù)備知識5、

[例]本例給出按照以上分類的幾種純量函數(shù)。假設(shè)x為二維向量。第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法

4、正定的2、正半定的3、負(fù)定的不定的正定的1、第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法

二次型函數(shù)是一類重要的標(biāo)量函數(shù)，記其中，P為實(shí)對稱矩陣，有。顯然滿足。

第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法矩陣P的符號性質(zhì)定義如下:設(shè)P為nxn實(shí)對稱方陣，V(x)＝xTPx,為由P所決定的二次型函數(shù)。(1)若V(x)正定，則稱P為正定，記作P＞0。(2)若V(x)負(fù)定，則稱P為負(fù)定，記作P＜0。(3)若V(x)半正定(非負(fù)定)，則稱P為半正定(非負(fù)定)，記作P≥0(4)若V(x)半負(fù)定(非正定)，則稱P為半負(fù)定(非正定)，記作P≤0第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法由上可見，矩陣P的符號性質(zhì)與由其所決定的二次型函數(shù)V(x)=xTPx的符號性質(zhì)完全一致。因此，要判別V(x)的符號只要判別P的符號即可。而后者可由賽爾維斯特(sylvester)判據(jù)進(jìn)行判定。第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法

2、賽爾維斯特準(zhǔn)則1）二次型或?qū)ΨQ矩陣P為正定的充要條件是P的主子行列式均為正，即如果則P為正定，即V(X)正定。第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法2）二次型或?qū)ΨQ陣P為負(fù)定的充要條件是P的主子行列式滿足；（i為偶數(shù)）i=1，2，3，…,n。當(dāng)矩陣P的各順序主子行列式負(fù)、正相間時(shí)，即，，…，則負(fù)定，且稱P為負(fù)定矩陣。為半正定或半負(fù)定。不屬以上所有情況，3）若矩陣的各順序主子行列式含有等于零的情況，則不定。第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法

第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法

二.李氏第二法穩(wěn)定性判據(jù)第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法常數(shù)V圓和典型軌跡第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法

定理1：設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為式中，，如果有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)存在，并且滿足以下條件：是正定的。是負(fù)定的。則在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。如果隨著，有，則原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定的?！纠吭O(shè)系統(tǒng)方程為第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法

試確定其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解：1）平衡狀態(tài)求解，得是給定系統(tǒng)唯一的平衡狀態(tài)。2）選取李氏函數(shù)選顯然正定的

所以系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。又,有則在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法定理1是Lyapunov第二法的基本定理，下面對這一重要定理作幾點(diǎn)說明。(1)這里僅給出了充分條件，也就是說，如果我們構(gòu)造出了Lyapunov函數(shù)，那么系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。但如果我們找不到這樣的Lyapunov函數(shù)，我們并不能給出任何結(jié)論，如不能據(jù)此說該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。(2)對于漸近穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，其Lyapunov函數(shù)必存在。零，則要求負(fù)定的條件可用取負(fù)半定的條件來代替。第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法(3)對于非線性系統(tǒng)，通過構(gòu)造某個(gè)具體的Lyapunov函數(shù)，可以證明系統(tǒng)在某個(gè)穩(wěn)定域內(nèi)是漸近穩(wěn)定的，但這并不意味著穩(wěn)定域外的運(yùn)動(dòng)是不穩(wěn)定的。對于線性系統(tǒng)，如果存在漸近穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，則它必定是大范圍漸近穩(wěn)定的。(4)我們這里給出的穩(wěn)定性定理，既適合于線性系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)，也適合于定常系統(tǒng)、時(shí)變系統(tǒng)，具有極其一般的普遍意義。定理1仍有一些限制條件，比如負(fù)定函數(shù)。如果在即除了原點(diǎn)以外，沿任一軌跡均不恒等于上附加一個(gè)限制條件，必須是第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法

定理2：設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為式中：，如果存在一標(biāo)量函數(shù)，它具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且滿足下列條件：是正定的；是半負(fù)定的；對任意和任意，在時(shí)不恒等于零。則在系統(tǒng)原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。如果還有時(shí)，則為大范圍漸近穩(wěn)定的。式中,表示時(shí)，從出發(fā)的解軌跡。第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法持在切點(diǎn)處（在這點(diǎn)上，注意，若不是負(fù)定的，而只是半負(fù)定的，則典型點(diǎn)的軌跡可能與某個(gè)特定曲面=C相切，然而由于=0），因而必然對任意t和任意在，時(shí)不恒等于零，所以典型點(diǎn)就不可能保要運(yùn)動(dòng)到原點(diǎn)。第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法

【例】設(shè)系統(tǒng)方程為

確定系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性解：1）求平衡狀態(tài)

原點(diǎn)（0,0）為給定系統(tǒng)唯一的平衡狀態(tài)。2）選李氏函數(shù)，選

討論：的定號性，即是否恒為零如果恒為零，勢必時(shí)，恒為零，而恒為零又必要恒為零。而又不可能恒為零。第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法

當(dāng)半負(fù)定

第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法

因此有不可能恒為零系統(tǒng)原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。又由于，有是大范圍漸近穩(wěn)定。若選正定。負(fù)定。而,系統(tǒng)在平衡狀態(tài)（0，0）是大范圍漸近穩(wěn)定。第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且滿足下列條件是正定的；是半負(fù)定的，但。定理3：設(shè)系統(tǒng)方程為，式中，如果存在一個(gè)標(biāo)量函數(shù)V(x,t),它則系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)在李亞普諾夫定義下穩(wěn)定的，但非漸近穩(wěn)定，這時(shí)系統(tǒng)可以保持在一個(gè)穩(wěn)定的等幅振蕩狀態(tài)上。第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法【例】系統(tǒng)方程為

試確定系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解：原點(diǎn)為平衡狀態(tài)，選取李氏函數(shù)在任意x值上均可保持為零，則系統(tǒng)在原點(diǎn)處是李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定，但不是漸近穩(wěn)定的。第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法

定理4：設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為式中.如果存在一個(gè)標(biāo)量函數(shù)V(x,t),它具有連續(xù)的一階偏函數(shù)，且滿足下列條件在原點(diǎn)的某一領(lǐng)域內(nèi)是正定的，在同樣的領(lǐng)域內(nèi)是正定的，則系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。

第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法

例

系統(tǒng)

試確定系統(tǒng)在平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。

(1)由,得,(2)選

則滿足定理4，該系統(tǒng)為不穩(wěn)定系統(tǒng)。

第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法

第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法

推論1若則不穩(wěn)定推論2若則是李雅普諾夫

意義下的穩(wěn)定Lyapunov第二法是充分條件，如果我們構(gòu)造出了Lyapunov函數(shù)，那么系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。但如果我們找不到這樣的Lyapunov函數(shù)，我們并不能給出任何結(jié)論，如不能據(jù)此說該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法

4.1李雅普諾夫穩(wěn)定性概念4.2李雅普諾夫穩(wěn)定性間接判別法4.3李雅普諾夫穩(wěn)定性直接判別法4.4線性系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析4.5非線性系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法

2）求3）判定號性,負(fù)定則漸進(jìn)穩(wěn)定；4）判?半正（負(fù)）定反設(shè)

選取李氏函數(shù)的方法1）構(gòu)造一個(gè)二次型函數(shù)4.4線性系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法

解：令負(fù)定大范圍漸近穩(wěn)定eg1.試用李氏第二法判穩(wěn)第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法

定常連續(xù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的判別是惟一平衡狀態(tài)?？梢匀∠铝姓ǘ涡秃瘮?shù)作為李雅普諾夫函數(shù)，即

設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為，A為非奇異矩陣，故原點(diǎn)求導(dǎo)并考慮狀態(tài)方程令得到第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法

根據(jù)定理1，只要Q正定（即負(fù)定），則系統(tǒng)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。于是線性定常連續(xù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的判定條件可表示為：給定一正定矩陣P，存在滿足的正定矩陣Q。判據(jù)線性定常連續(xù)系統(tǒng)在平衡狀態(tài)xe=0處漸近穩(wěn)定的充分必要條件是，給定一個(gè)正定對稱矩陣Q，存在一個(gè)正定對稱矩陣P，使得成立。而且標(biāo)量函數(shù)是系統(tǒng)的一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)。第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法對上述判據(jù)，應(yīng)注意如下幾點(diǎn)：1)判據(jù)闡述的條件，是充分必要的;2)若沿任一軌跡不恒等于零．那么Q可取為半正定矩陣;3)對正定對稱短陣Q，可任意給定其型式，但最終的判別結(jié)果將與Q的型式選擇無關(guān)。因此，為了計(jì)算方便，常取Q為單位矩陣，即Q＝I;4)判別系統(tǒng)穩(wěn)定性時(shí)，通常采取先選取矩陣Q，然后代入李雅普諾夫方程式，求解出矩陣P，依P的符號性質(zhì)進(jìn)行判別。這種方法，計(jì)算比較簡單、方便。第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法（2）判斷步驟Step1:確定系統(tǒng)平衡狀態(tài)Step2:確定Q和P的形式Step3:根據(jù)計(jì)算P矩陣的各元素Step4:判斷P的正定性，如果P為正定，那么系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的可以先給定一個(gè)正定的P矩陣，然后驗(yàn)證Q矩陣是否正定的步驟去分析穩(wěn)定性。但若P選取不當(dāng)，往往會導(dǎo)致Q矩陣不定，使得判別過程多次重復(fù)進(jìn)行。因此，可以先指定正定的Q矩陣，然后驗(yàn)證P矩陣是否正定。第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法

第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法

第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法

定理：若系統(tǒng)的矩陣A是t的函數(shù)（即時(shí)變函數(shù)），則系統(tǒng)在平衡點(diǎn)Xe=0處是大范圍漸近穩(wěn)定的充要條件為：對于任意給定連續(xù)對稱正定矩陣Q(t),存在一個(gè)連續(xù)對稱正定矩陣P(t),使得第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法2.線形時(shí)變連續(xù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的判別式中，是系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，是初始條件，若取穩(wěn)定性根據(jù)P(t)是否具有連續(xù)、對稱和正定性來分析解得第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法判斷步驟Step1:確定系統(tǒng)平衡狀態(tài)Step2:確定Q和P的形式，Q=IStep3:Step4:判斷P（t）的正定性，如果P為正定，那么系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法

3.線形定常離散系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的判別設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為，原點(diǎn)是平衡狀態(tài)。取正定二次型函數(shù)以代替，有考慮狀態(tài)方程，有令定理：線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為當(dāng)系統(tǒng)在平衡點(diǎn)Xe=0是大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定時(shí)，其充分必要條件是：對于任意給定的對稱正定矩陣Q都存在對稱正定矩陣P，使得第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法

上式稱為李雅普諾夫代數(shù)方程。是系統(tǒng)的一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)，于是有

第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法判斷步驟Step1:確定系統(tǒng)平衡狀態(tài)Step2:確定Q和P的形式Step3:根據(jù)計(jì)算P矩陣的各元素Step4:判斷P的正定性，如果P為正定，那么系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的4.時(shí)變離散系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的判別第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法

4.1李雅普諾夫穩(wěn)定性概念4.2李雅普諾夫穩(wěn)定性間接判別法4.3李雅普諾夫穩(wěn)定性直接判別法4.4線性系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析4.5非線性系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法4.5非線性系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析在線性定常系統(tǒng)中，若平衡狀態(tài)是局部漸近穩(wěn)定的，則它是大范圍漸近穩(wěn)定的，然而在非線性系統(tǒng)中，不是大范圍漸近穩(wěn)定的平衡狀態(tài)可能是局部漸近穩(wěn)定的。與此相反，在線性系統(tǒng)中局部不穩(wěn)定的平衡狀態(tài)必然也是在大范圍內(nèi)不穩(wěn)定的；然而在非線性系統(tǒng)中，局部不穩(wěn)定的狀態(tài)并不能說明系統(tǒng)就是不穩(wěn)定的。由于非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性具有局部的性質(zhì)，因此在尋找李亞普諾夫函數(shù)時(shí)，通常都要確定平衡點(diǎn)周圍鄰域的最大穩(wěn)定范圍。也就是說，滿足穩(wěn)定性條件的李亞普諾夫函數(shù)在適用范圍上是有界的。非線性系統(tǒng)的特性和線性系統(tǒng)完全不同，必須特別的加以對待。第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法李雅普諾夫利用V(x)及其導(dǎo)數(shù)的符號特征，直接對平衡狀態(tài)穩(wěn)定性作出判斷，無需求出動(dòng)態(tài)方程的解。在非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題中，Lyapunov穩(wěn)定性分析方法具有基礎(chǔ)性的地位，遺憾的是對一般非線性系統(tǒng)仍未形成構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)的一般方法。在具體確定許多非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性時(shí)，并不是直截了當(dāng)?shù)?。技巧和?jīng)驗(yàn)在解決非線性問題時(shí)顯得非常重要。在本章中，對于實(shí)際非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析僅限于幾種簡單的情況。第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法用于判斷非線性系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性充分條件的克拉索夫斯基方法；用于構(gòu)成非線性系統(tǒng)Lyapunov函數(shù)的變量梯度法，或舒茨—基布遜（Schultz-Gibson）法；用于某些非線性控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的魯里葉(Lure’)法，以及用于構(gòu)成吸引域的波波夫方法等。如果要檢驗(yàn)非線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)的漸近穩(wěn)定性，則非線性系統(tǒng)的線性化模型穩(wěn)定性分析遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。必須研究沒有線性化的非線性系統(tǒng)。有幾種基于Lyapunov第二法的方法可達(dá)到這一目的，包括:第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法1.克拉索夫斯基方法（雅可比矩陣法）克拉索夫斯基方法（雅可比矩陣法）給出了非線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)漸近穩(wěn)定的充分條件。是線性系統(tǒng)中尋找李雅普諾夫函數(shù)法的一種推廣。在非線性系統(tǒng)中，可能存在多個(gè)平衡狀態(tài)。可通過適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換，將所要研究的平衡狀態(tài)變換到狀態(tài)空間的原點(diǎn)。所以，可把要研究的平衡狀取為原點(diǎn)。第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法定理（克拉索夫斯基定理）

考慮如下非線性系統(tǒng)式中，x為n維狀態(tài)為的非線性n維向量函數(shù)，

向量，假定，且對可微（i=1,2,…,n）。該系統(tǒng)的雅可比矩陣定義為又定義第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法第四章穩(wěn)定性與李雅普諾夫方法注意，克拉索夫斯基定理與通常的線性方法不同，它不局限于稍稍偏離平衡狀態(tài)。和以或的形式而不是以的形式表示。前面所述的定理對于非線性系統(tǒng)給出了大范圍漸近穩(wěn)定性的充分條件，對線性系統(tǒng)則給出了充要條件。非線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)