彈性體的振動

彈性體的振動第一頁，共五十二頁，2022年，8月28日6.1引言前面各章在討論振動問題時采用的都是集中參數(shù)模型，它只有有限多個自由度，且運動規(guī)律由常微分方程來確定。事實上，它只是現(xiàn)實問題中的一類力學(xué)模型?？陀^現(xiàn)實的另一類力學(xué)模型是彈性體(也稱連續(xù)系統(tǒng)或分布參數(shù)系統(tǒng))，它的物理參數(shù)是分布型的，具有無限多個自由度，且運動規(guī)律由偏微分方程來確定第二頁，共五十二頁，2022年，8月28日由于描述的都是振動現(xiàn)象，所以在許多方面有共同之處。在多自由度系統(tǒng)振動分析所形成的一系列重要概念。在彈性體振動分析中都有相應(yīng)的地位和發(fā)展。在彈性體振動中系統(tǒng)固有頻率的數(shù)目增大為無限多個；主振型的概念發(fā)展為固有振型函數(shù)，而且這些振型函數(shù)之間也存在關(guān)于分布質(zhì)量與剛度的加權(quán)正交性；在線性振動問題中，疊加原理以及建立在這一原理基礎(chǔ)上的模態(tài)分析法、脈沖響應(yīng)法、頻率響應(yīng)法等同樣適用于彈性體振動分析。第三頁，共五十二頁，2022年，8月28日在考察實際振動問題時，究竟該采用那一類力學(xué)模型，得根據(jù)具體對象作具體處理。例如。飛機蒙皮一般取為薄板模型，渦輪盤取為厚圓板模型。渦輪葉片則取為薄殼或厚殼模型等。當(dāng)考察振動體內(nèi)彈性波的傳播問題時，就得采用彈性體模型。第四頁，共五十二頁，2022年，8月28日討論理想彈性體的振動。理想彈性體滿足以下假設(shè)條件：1）勻質(zhì)分布；2）各向同性；3）服從虎克定律。通過對一些簡單形狀的彈性體的振動分析，著重說明彈性體振動的特點，弄清它與多自由度系統(tǒng)振動的共同點與不同點。第五頁，共五十二頁，2022年，8月28日6.2一維連續(xù)系統(tǒng)振動弦振動從有限多自由度模型到無限多自由度模型－連續(xù)系統(tǒng)第六頁，共五十二頁，2022年，8月28日張力為T的弦振動－多自由度模型第七頁，共五十二頁，2022年，8月28日根據(jù)牛頓第二定律，列出質(zhì)點橫向振動的微分方程為假定作微小振動，因此第八頁，共五十二頁，2022年，8月28日考慮到Dxi=xi+1－xi＝li在微振動中保持不變。進一步簡化方程，可以得到Ti=Ti-1，即弦中張力可近似看做常量T、并且有在弦的兩端有y0＝y(tǒng)n+1＝0。第九頁，共五十二頁，2022年，8月28日寫成矩陣形式，有第十頁，共五十二頁，2022年，8月28日將上式兩端向除以Dxi，得隨著質(zhì)點數(shù)n的增加。質(zhì)點間的距離Dxi越來越小，弦上各質(zhì)點的位移yi(t)將趨于—連續(xù)函數(shù)y(x,t)。同時分別是弦上單位長度的質(zhì)量和作用在弦上單位長度上的載荷第十一頁，共五十二頁，2022年，8月28日于是方程(6．2．4)演化為一階偏微分方程其邊界條件可見，對連續(xù)體若用方程(6.2.3)代替方程(6.2.5)，可近似確定系統(tǒng)在外激擾力作用的響應(yīng)，這種做法在實際問題中常常用到。若把弦作為連續(xù)系統(tǒng)，精確地確定系統(tǒng)的響應(yīng)，則需求解偏微分方程(6.2.5)。第十二頁，共五十二頁，2022年，8月28日弦的振動微分方程及其自由振動直接就連續(xù)體來推導(dǎo)弦橫向振動的微分方程。如圖在弦作微振動假設(shè)下，有考慮到微元段在水平方向的平衡，弦中張力可近似看成是常量T第十三頁，共五十二頁，2022年，8月28日微元段的運動微分方程為與方程(6.2.5)完全相同第十四頁，共五十二頁，2022年，8月28日討淪無阻尼自由振動的情形。此時

p(x，t)＝0，于是程(6.2.5)可寫成稱做一維波動方程，c就是波沿弦向的傳播速度。要求給出系統(tǒng)的邊界條件和初始條件第十五頁，共五十二頁，2022年，8月28日方程(6.2.6)的解可表示成兩種形式，一種是波動解，另一種是振動解。波動解將弦的運動表示為即把弦的運動看成是由兩個相同形式的反向行進波的疊加。振動解則將弦的運動表示成各橫向同步運動的疊加，各點的振幅在空間按特定的模式分布第十六頁，共五十二頁，2022年，8月28日兩種解從不同的角度描述了弦的運動，各有其特點。波動解能形象直觀地描述波動過程，給出任何時劃清晰的波形，但求解比較復(fù)雜；振動解揭示了弦的運動由無窮多個簡諧運動疊加而成第十七頁，共五十二頁，2022年，8月28日對特定動力分析過程，選擇什么形式的解要視實際問題的需要來定。這既取決于擾動源的性質(zhì)，又取決于所考慮物體的相對尺寸，同時還與所關(guān)心的問題等因素有關(guān)。在一般機械系統(tǒng)中，直接進行振動分析更為簡單可行。下面尋求方程（6.2.6)的振動解。第十八頁，共五十二頁，2022年，8月28日觀察弦的自由振動可以發(fā)現(xiàn)。弦的運動呈現(xiàn)同步振動，即在運動中，弦的各點同時達到最大幅值，又同時通過平衡位置，而整個弦的振動形態(tài)不隨時間而變化。用數(shù)學(xué)語言來說，描述弦振動的函數(shù)y(x,t)可以分解為空間函數(shù)和時間函數(shù)的乘積，即第十九頁，共五十二頁，2022年，8月28日其中X(x)足是振型函數(shù)，它描述整個弦的振動形態(tài)。Y(t)描述弦各點的振動規(guī)律。將(6.2.9)代入方程(6.2.6)，得到上式左邊僅是x的函數(shù)，右邊僅是t的函數(shù)，所以要使上式對任意的x、t都成立，只有兩邊都等于同一常數(shù)。設(shè)這一常數(shù)為a，有第二十頁，共五十二頁，2022年，8月28日只有當(dāng)a為負數(shù)時，才能從上述第一個方程中確定振動運動。所以，取于是，上述方程改為第二十一頁，共五十二頁，2022年，8月28日方程（6.2.10)和（6.2.11)的解分別是其中A，B，C，D為積分常數(shù)。另外由邊界條件(6.2.7)，得于是有第二十二頁，共五十二頁，2022年，8月28日而由條件(6.2.15)可得上式稱做弦振動的特征方程。由此可確定一系列特征值bi所以系統(tǒng)的各階固有頻率為：第二十三頁，共五十二頁，2022年，8月28日與其相應(yīng)的特征函數(shù)，亦稱振型函數(shù)為弦對應(yīng)于各階固有頻率pi的主振動為第二十四頁，共五十二頁，2022年，8月28日弦的自由振動可以表示為各階主振動的疊加，即有其中Ai，Bi由運動的初始條件確定。將初始條件(6.2.8)代入上式，有第二十五頁，共五十二頁，2022年，8月28日三角函數(shù)族具有正交性，即由此可得第二十六頁，共五十二頁，2022年，8月28日由以上討論可見，張緊弦的自由振動除了基頻(最低頻率p1)振動外，還可以包含頻率為基頻整數(shù)倍的振動，這種倍頻振動亦稱諧波振動。第二十七頁，共五十二頁，2022年，8月28日6.3導(dǎo)致一維波動方程的其它振動系統(tǒng)比較典型的有：桿的縱向振動軸的扭轉(zhuǎn)振動第二十八頁，共五十二頁，2022年，8月28日第二十九頁，共五十二頁，2022年，8月28日以u(x，t)表示桿上距原點x處在t時刻的縱向位移。在桿上取微元段dx，它的受力如上圖(b)所示。根據(jù)牛頓第二定律，它的運動方程為第三十頁，共五十二頁，2022年，8月28日將它代入式(6.3.1)并化簡，得第三十一頁，共五十二頁，2022年，8月28日可見桿的縱向振動的運動微分方程也是一維波動方程。方程的求解仍可采用上節(jié)中的分離變量法將：第三十二頁，共五十二頁，2022年，8月28日按上類似的方式可得其中固有頻率p與振型函數(shù)X(x)由桿的邊界條件確定。典型的邊界條件有以下幾種：第三十三頁，共五十二頁，2022年，8月28日(1)固定端該處縱向位移為零，即有(2)自由端該處軸向內(nèi)力為零，即有(3)彈性支承設(shè)桿的右端為彈性支承(如圖(a))，則此處軸向內(nèi)力等于彈性力，即第三十四頁，共五十二頁，2022年，8月28日(4)慣性載荷設(shè)桿的右端附—集中質(zhì)量塊(圖(b))，則此處桿的軸向內(nèi)力等于質(zhì)量塊的慣性力，即第三十五頁，共五十二頁，2022年，8月28日軸的扭轉(zhuǎn)振動長為l的等截面直園軸。設(shè)軸單位體積的質(zhì)量為r，圓截面對其中心的極慣性矩為Ip，材料剪切彈性模量為G。第三十六頁，共五十二頁，2022年，8月28日假定軸的橫截面在扭轉(zhuǎn)振動中保持為平面作整體轉(zhuǎn)動。以q(x,t)表示軸上x截面處在t時刻相對左端面的扭轉(zhuǎn)角。為推導(dǎo)軸扭轉(zhuǎn)振動的微分方程，從其中截取一微元段如上圖。列出運動微分方程為其中T為軸上x截面處的扭矩。由材料力學(xué)知，代入式(6.3.8)，整理得第三十七頁，共五十二頁，2022年，8月28日其中。可見軸的扭轉(zhuǎn)振動微分方程仍為一維波動方程。常見的邊界條件有以下幾種：(1)固定端該處轉(zhuǎn)角為零，即有第三十八頁，共五十二頁，2022年，8月28日(2)自由端該處扭矩為零，即(3)彈性支承若軸的右端通過剛度為Kt的扭簧與固定點相連，則有(4)慣性載荷若軸的右端附有一圓盤，則有上(4)中J0為圓盤對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量第三十九頁，共五十二頁，2022年，8月28日6.4梁的彎曲振動粱彎曲振動的運動方程考察勻質(zhì)等截面細直梁的橫向彎曲振動。假定梁只有縱向?qū)ΨQ平面，所受的外力也在此對稱平面內(nèi)，故梁在此平面內(nèi)作彎曲振動；還假定梁的長度與截面高度之比大于10。根據(jù)材料力學(xué)“簡單梁理論”，忽略剪切變形和轉(zhuǎn)動慣量的影響，這種梁稱做歐拉—貝努利(Euler-Bernoulli)梁。于是，梁上各點的運動只需用梁軸線的橫向位移表示第四十頁，共五十二頁，2022年，8月28日設(shè)梁長為l，單位長度的質(zhì)量r及抗彎剛度EI均為常數(shù)，建立如上圖所示的坐標(biāo)系。第四十一頁，共五十二頁，2022年，8月28日在梁上距左端x處取微元段dx，在任意瞬時t，此微元段的橫向位移可用y(x,t)表示。按其受力情況。微元段沿y方向的運動方程為忽略轉(zhuǎn)動慣量的影響，各力對右截面上任一點的矩之和應(yīng)為零，即第四十二頁，共五十二頁，2022年，8月28日略去二階微量，有由材料力學(xué)知，彎矩與撓曲線的關(guān)系為將(6.4.2)和(6.4.3)代入(6.4.1)中，得第四十三頁，共五十二頁，2022年，8月28日上式就是梁彎曲振動的運動微分方程。如p(x,t)=0，梁作自由振動，其運動微分方程為

或?qū)懗善渲械谒氖捻?，共五十二頁?022年，8月28日粱的自由振動粱彎曲振動的運動微分方程(6.4.6)是一個四階偏微分方程。為求其振動解，仍采用分離變量法，即假定方程(6.4.6)的解為

將(6.4.7)代入方程(6.4.6)中，得第四十五頁，共五十二頁，2022年，8月28日要使僅依賴于t的左端與僅依賴于x的右端相等，兩者應(yīng)等于同一常數(shù)。取這一常數(shù)為，于是有方程(6.4.9)的通解為第四十六頁，共五十二頁，2022年，8月28日方程(6.4.10)是一個四階常系數(shù)線性微分方程，它的特征方程是

其特征值為

所以，方程(6.4.10)的通解為第四十七頁，共五十二頁，2022年，8月28日或表示為特征值b及振型函數(shù)由梁的邊界條件來確定。對于梁的彎曲振動，基本的邊界條件有以下幾種：

(1)固支端固支端的撓度和轉(zhuǎn)角都為零，即第四十八頁，共五十二頁，2022年，8月28日(2)鉸支端鉸支端的撓度與彎矩都為零，即(3)自由端自由端的彎矩與剪力都為零，即第四十九頁，共五十二頁，2022年，8月28日還有其它一些邊界條件，如圖所示梁端具有彈性支承或附有集中質(zhì)量。圖(a)所示梁右端的邊界條件為第五十頁，共五