第02-2章 角動(dòng)量和角動(dòng)量守恒

§2-3角動(dòng)量定理與角動(dòng)量守恒angularmomentumandlawofconservationofangularmomentumrqOmv位矢角夾rv大量天文觀測表明rqmvsin常量大?。篖rqmvsin方向：rmv()rvLq定義：rpLrmv運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)mO對

點(diǎn)的角動(dòng)量為一、角動(dòng)量angularmomentumL注意：Ｌ與參考點(diǎn)O的選取有關(guān)。

例：

(1)

質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)(對圓心)：(2)

質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)：對0點(diǎn)二、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理及其守恒定律theoremofparticalangularmomentumanditsconservation地球上的單擺OmqvrLmvr大小會變L變太陽系中的行星OrvmqsinqLmvr大小未必會變?？渴裁磁袛啵縇變變變Lvrmsin大小Lmvrq質(zhì)點(diǎn)對的角動(dòng)量mO問題的提出導(dǎo)致角動(dòng)量隨時(shí)間變化的根本原因是什么？LddtL思路：分析與什么有關(guān)？+()由Lvrm則ddtLddtrvmddtrvmrddt(vm)0vmv(兩平行矢量的叉乘積為零)mdvdtmaF得ddtLrF角動(dòng)量的時(shí)間變化率質(zhì)點(diǎn)對參考點(diǎn)的mO位置矢量ddtLr所受的合外力F等于叉乘一、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理ddtLrF是力矩的矢量表達(dá)：rF而OrFmd即力矩rFM大小MFrsin方向垂直于rF所決定的平面，由右螺旋法則定指向。Fdqq得質(zhì)點(diǎn)對給定參考點(diǎn)的mOddtLrFM角動(dòng)量的時(shí)間變化率所受的合外力矩稱為質(zhì)點(diǎn)的

角動(dòng)量定理

的微分形式v質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理也可用積分形式表達(dá)ddtLM由,dLMdt0ttdLMdtL0LLL0稱為沖量矩角動(dòng)量的增量這就是質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理

的積分形式ddtLrFM角動(dòng)量的時(shí)間變化率所受的合外力矩0ttdLMdtL0LLL0沖量矩角動(dòng)量的增量微分形式積分形式特例：當(dāng)M0時(shí)，有LL00即LL0當(dāng)質(zhì)點(diǎn)所受的合外力對某參考點(diǎn)的力矩OmM為零時(shí)，質(zhì)點(diǎn)對該點(diǎn)的角動(dòng)量的時(shí)間變化率為ddtLL零，即質(zhì)點(diǎn)對該點(diǎn)的角動(dòng)量守恒。質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律稱為二、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒（2）外力并不為零，但在任意時(shí)刻外力始終指向或背向固定點(diǎn)。這種力叫有心力，該固定點(diǎn)稱為力心。由于有心力對力心的力矩為零，質(zhì)點(diǎn)對該力心的角動(dòng)量就一定守恒。如行星在太陽引力下繞太陽的運(yùn)動(dòng)就是在有心力作用下的運(yùn)動(dòng)，對太陽的角動(dòng)量守恒。（1）不受外力作用，即.如質(zhì)點(diǎn)做勻速直線運(yùn)動(dòng)。關(guān)于外力矩為零，即有兩種情況：二、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒小球被繩子拴著，繩子穿過光滑水平桌面上的小孔，向下拉繩子，小球的速度怎樣變化？動(dòng)量、角動(dòng)量改變嗎？小球被繩子拴著，繩子穿過光滑水平桌面上的小孔，向下拉繩子，小球的速度怎樣變化？動(dòng)量、角動(dòng)量改變嗎？合外力等于繩的拉力，合外力對圓心的力矩為零。由角動(dòng)量守恒知rmv不變（角動(dòng)量方向也恒定），當(dāng)r減小時(shí)v增大。故拉繩時(shí)動(dòng)量變大，角動(dòng)量不變。小球被繩子拴著，繩子穿過光滑水平桌面上的小孔，向下拉繩子，小球的速度怎樣變化？動(dòng)量、角動(dòng)量改變嗎？行星繞太陽運(yùn)轉(zhuǎn)（橢圓軌道），行星與太陽的連線在單位時(shí)間內(nèi)掃過的面和相等－－開普勒行星運(yùn)動(dòng)第二定律三、質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理theoremofangularmomentumofparticalsystem質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量LSiLirSiimivi各質(zhì)點(diǎn)對給定參考點(diǎn)的角動(dòng)量的矢量和慣性系中某給定參考點(diǎn)m12m3mr13r2r3v2vv1O質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理LSiLiSirimivi將對時(shí)間求導(dǎo)ddtLSiLiddtSiMi內(nèi)力矩在求矢量和時(shí)成對相消Om12mF1F1內(nèi)F2內(nèi)外F2外r12rd某給定參考點(diǎn)Si+iF內(nèi)外Fi外ririSiMi內(nèi)+SiMiSiMi外得ddtLSiMi外M質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量的時(shí)間變化率質(zhì)點(diǎn)受外力矩的矢量和質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理稱為微分形式質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量的時(shí)間變化率只取決于質(zhì)點(diǎn)系所受外力矩的矢量和，而與內(nèi)力矩?zé)o關(guān)。ddtLSiMi外M質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量的時(shí)間變化率質(zhì)點(diǎn)受外力矩的矢量和質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理的微分形式質(zhì)點(diǎn)系所受的0tdtMtdLLL0LL0質(zhì)點(diǎn)系的沖量矩角動(dòng)量增量質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理的積分形式若M0則LL0或L恒矢量當(dāng)質(zhì)點(diǎn)系所受外力對某固定參考點(diǎn)的力矩矢量和為零，則質(zhì)點(diǎn)系對該點(diǎn)的總角動(dòng)量守恒。這稱為質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量守恒定律。質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量守恒定律關(guān)于外力矩為零即，有三種情況：(2)所有的外力都通過某固定參考點(diǎn)，但質(zhì)點(diǎn)系所受的外力的矢量和未必為零，但是每個(gè)外力對該點(diǎn)的力矩皆為零，同樣質(zhì)點(diǎn)系對該點(diǎn)的角動(dòng)量守恒。(1)質(zhì)點(diǎn)系不受外力，即（孤立系統(tǒng)），顯然質(zhì)點(diǎn)系對某固定參考點(diǎn)的外力矩為零，質(zhì)點(diǎn)系對該點(diǎn)的角動(dòng)量守恒。(3)每個(gè)外力的力矩不為零，但外力矩的矢量和為零。例如，對重力場中的質(zhì)點(diǎn)系，作用于各質(zhì)點(diǎn)的重力對質(zhì)心的力矩不為零，但所有重力對質(zhì)心的力矩的矢量和卻為零，那么質(zhì)點(diǎn)系對質(zhì)心的角動(dòng)量守恒。【小結(jié)】幾個(gè)守恒定律的條件1.動(dòng)量守恒定律：

（合外力為零或外力遠(yuǎn)小于內(nèi)力；質(zhì)點(diǎn)系）2.機(jī)械能守恒定律：

（合外力作功為零、沒有摩擦力；質(zhì)點(diǎn)系）3.角動(dòng)量守恒定律：（對定點(diǎn)的合外力矩為零；質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系）（１）（2）（3）（4）兩人同時(shí)到達(dá)；用力上爬者先到；握繩不動(dòng)者先到；以上結(jié)果都不對。（請點(diǎn)擊你要選擇的項(xiàng)目）兩人質(zhì)量相等O一人握繩不動(dòng)一人用力上爬隨堂小議可能出現(xiàn)的情況是終點(diǎn)線終點(diǎn)線滑輪質(zhì)量既忽略輪繩摩擦又忽略（１）（2）（3）（4）兩人同時(shí)到達(dá)；用力上爬者先到；握繩不動(dòng)者先到；以上結(jié)果都不對。（請點(diǎn)擊你要選擇的項(xiàng)目）兩人質(zhì)量相等O一人握繩不動(dòng)一人用力上爬隨堂小議可能出現(xiàn)的情況是終點(diǎn)線終點(diǎn)線滑輪質(zhì)量既忽略輪繩摩擦又忽略O(shè)m12mv12vR同高從靜態(tài)開始往上爬忽略輪、繩質(zhì)量及軸摩擦質(zhì)點(diǎn)系m12m,若m12m系統(tǒng)受合外力矩為零，角動(dòng)量守恒。系統(tǒng)的初態(tài)角動(dòng)量系統(tǒng)的末態(tài)角動(dòng)量m1v1R2m2vR0得2vv1不論體力強(qiáng)弱，兩人等速上升。若m12m系統(tǒng)受合外力矩不為零，角動(dòng)量不守恒?？蓱?yīng)用質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理進(jìn)行具體分析討論。例：質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)由A點(diǎn)自由落下，求其運(yùn)動(dòng)時(shí)的