第04章 抽樣理論與參數(shù)估計(jì)

第04章抽樣理論與參數(shù)估計(jì)Outline第一節(jié)抽樣的基本概念第二節(jié)抽樣方法第三節(jié)抽樣分布第四節(jié)樣本容量的計(jì)算第五節(jié)參數(shù)估計(jì)第一節(jié)抽樣的基本概念一、總體、個(gè)體與樣本二、參數(shù)與統(tǒng)計(jì)量反映總體數(shù)據(jù)特征的量數(shù)統(tǒng)稱為總體參數(shù)，簡稱為參數(shù)。反映樣本數(shù)據(jù)特征的量數(shù)統(tǒng)稱為樣本統(tǒng)計(jì)量，簡稱為統(tǒng)計(jì)量。抽樣的基本概念總體(population)：要研究的事物或現(xiàn)象的總體個(gè)體(unit)：組成總體的每個(gè)元素(成員)總體容量(populationsize)：一個(gè)總體中所含個(gè)體的數(shù)量樣本(sample)：從總體中抽取的部分個(gè)體樣本容量(samplesize)：樣本中所含個(gè)體的數(shù)量抽樣(sampling)：為推斷總體的某些重要特征，需要從總體中按一定抽樣技術(shù)抽取若干個(gè)體的過程參數(shù)(parameter)：反映總體數(shù)據(jù)特征的量數(shù)統(tǒng)計(jì)量(statistic)：反映樣本數(shù)據(jù)特征的量數(shù)統(tǒng)計(jì)量是樣本的函數(shù)，只依賴于樣本；樣本均值、樣本方差等都是統(tǒng)計(jì)量總體參數(shù)Vs.樣本統(tǒng)計(jì)量第二節(jié)抽樣方法一、簡單隨機(jī)抽樣二、等距抽樣三、分層抽樣一、簡單隨機(jī)抽樣所謂簡單隨機(jī)抽樣simplerandomsampling，就是在對(duì)某一特定總體中抽取樣本時(shí)，總體中每一個(gè)元素或個(gè)體被抽取的可能性是同等的，而且任何元素或個(gè)體之間彼此被抽取的機(jī)會(huì)是獨(dú)立的。1.抽簽法2.隨機(jī)數(shù)字表二、等距抽樣又稱系統(tǒng)抽樣systematicsampling。先把總體所包含的各個(gè)元素或個(gè)體編上號(hào)碼。假設(shè)共有N個(gè)元素，則編出的號(hào)碼從1至N，然后可根據(jù)擬抽取的樣本容量n求得抽樣間距是k，看，k=N/n，這時(shí)可隨機(jī)確定一個(gè)起點(diǎn)a（1≤a≤k）,起點(diǎn)確定后，從起點(diǎn)開始每間隔k個(gè)單位抽取一個(gè)，這樣抽取的號(hào)碼序列也就確定了，即由號(hào)碼a,a+k,a+2k……a+（n-1)k組成容量為n的樣本。受總體數(shù)據(jù)的周期性的影響。三、分層抽樣stratifiedrandomsampling。按照總體已有的某些特征，承認(rèn)總體中已有的差異，按差異將總體分成幾個(gè)不同的部分，每一部分稱為一個(gè)層，在每一個(gè)層中實(shí)行簡單隨機(jī)抽樣。這種抽樣方法較充分地利用了總體的已有信息，是一種實(shí)用和操作都較方便的抽樣方法。分多少層視具體情況而定。原則：層內(nèi)差異變小，層與層之間的差異要盡可能大。-層內(nèi)同質(zhì)，層外異質(zhì)?？煞乐购唵坞S機(jī)抽樣造成的樣本構(gòu)成與總體構(gòu)成不成比例的現(xiàn)象。第三節(jié)抽樣分布一、樣本平均數(shù)分布二、χ2分布三、t分布四、F分布一、樣本平均數(shù)的分布samplingdistributionofthemean采用隨機(jī)抽樣的方法，從總體中抽取大小為n的樣本，計(jì)算出它的平均數(shù)X1，然后將這些個(gè)體放回總體去，再次取n個(gè)個(gè)體，又可以計(jì)算出X2，…再將n個(gè)個(gè)體放回去，再抽取n個(gè)個(gè)體，可以計(jì)算出無限個(gè)X，這些樣本平均數(shù)X所有可能值的概率分布叫平均數(shù)X的抽樣分布總體方差已知總體方差未知總體方差已知的樣本平均數(shù)分布-總體分布正態(tài)總體方差未知的樣本平均數(shù)分布中心極限定理CentralLimitTheorem設(shè)從均值為，方差為2（有限）的任意一個(gè)總體中抽取大小為ｎ的樣本，當(dāng)ｎ充分大時(shí)，樣本均值X的抽樣分布近似服從均值為，方差為2/ｎ的正態(tài)分布。注：什么叫ｎ充分大呢？總體偏離正態(tài)越遠(yuǎn)，則要求ｎ就越大。在實(shí)際應(yīng)用中常要求ｎ30或者ｎ50標(biāo)準(zhǔn)誤standarderror樣本平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差稱為標(biāo)準(zhǔn)誤練習(xí)某電梯承受的最大拉力為1000千克,可乘坐13人。已知人群的平均體重為60千克，標(biāo)準(zhǔn)差為14千克，且服從正態(tài)分布。問電梯發(fā)生事故的概率是多少？總體方差未知的樣本平均數(shù)分布當(dāng)總體方差2未知時(shí)，用S2作為2的估計(jì)值二、樣本方差的分布-2分布樣本方差的分布較復(fù)雜，它與總體分布有關(guān)。在這里只研究當(dāng)總體為正態(tài)分布時(shí)，樣本方差的分布。設(shè)x1,x2,…,xn為來自正態(tài)分布N(，2)的樣本，則從數(shù)學(xué)上可以推導(dǎo)出正態(tài)總體下樣本方差S2的分布為:2分布Chi-squaredistribution2分布的特點(diǎn)正偏態(tài)分布當(dāng)df→∞時(shí)，2分布為正態(tài)分布2值都是正值可加性k個(gè)2分布的和也是2分布2=df;2=2df(df>2)連續(xù)型分布2分布表

df=5，求

=0.05和

=0.01時(shí)的單側(cè)臨界值解：

三、t分布student’stdistribution自由度degreeoffreedom可以自由取值的變量的個(gè)數(shù)任意說出三個(gè)整數(shù)任意說出三個(gè)和為100的整數(shù)t分布的特點(diǎn)

對(duì)稱：左側(cè)為負(fù)，右側(cè)為正，均值為0-

<t<+n→時(shí),t分布為正態(tài)分布，方差為1n>30時(shí),t分布為接近正態(tài)分布，方差>1,n<30時(shí),t分布與正態(tài)分布相差較大，隨n-1減小方差越大n>45時(shí),t分布與正態(tài)分布沒有多大差異在小樣本n<30時(shí),t分布具有重要作用t分布的一些推論四、F分布FdistributionF分布的特點(diǎn)F(n1，n2)分布形態(tài)是正偏態(tài)分布，形式隨n1，n2不同而不同，隨n1，n2的增加而漸趨正態(tài)分布F為兩個(gè)方差比率，所以為正值n1=1，n2任意時(shí)，F(xiàn)值與自由度為n2的t值的平方相等，即F(1,n2)=t2(n2)F(n1,n2)=1/F1-(n2,n1)F分布的應(yīng)用F分布是統(tǒng)計(jì)學(xué)家費(fèi)歇爾(R.A.Fisher)于1924年首先發(fā)現(xiàn)的假設(shè)檢驗(yàn)區(qū)間估計(jì)方差分析回歸分析第四節(jié)樣本容量的計(jì)算最大允許誤差d是確定樣本容量的一個(gè)因素。方差與樣本容量的關(guān)系樣本容量n，總體方差2，允許誤差d，可靠性系數(shù)Z/2的關(guān)系總體方差越大，需要的樣本容量越大；允許誤差越大，需要的樣本容量越?。豢煽啃韵禂?shù)越大，需要的樣本容量越大；練習(xí)1.要使95%置信區(qū)間的允許誤差為5，應(yīng)選取多大的樣本容量？假定總體的標(biāo)準(zhǔn)差為25。2.一項(xiàng)調(diào)查中，總體比率的計(jì)劃值為0.35，則當(dāng)允許的最大絕對(duì)誤差為0.05時(shí)，在求其95%置信區(qū)間時(shí)應(yīng)采用多大的樣本容量？3.一家廣告公司想估計(jì)某類商店去年所花的平均廣告費(fèi)有多少。檢驗(yàn)表明，總體方差約為1800000。如置信度取95％，并要使估計(jì)值處在總體平均值附近500元的范圍內(nèi)，這家廣告公司應(yīng)取多大的樣本？第五節(jié)參數(shù)估計(jì)一、點(diǎn)估計(jì)二、區(qū)間估計(jì)參數(shù)估計(jì)設(shè)總體有待估參數(shù)，自總體中抽取樣本x1,x2,…,xn點(diǎn)估計(jì)pointestimate用樣本的某一統(tǒng)計(jì)量估計(jì)

如用樣本均值估計(jì)總體均值區(qū)間估計(jì)intervalestimate求出一定概率下的取值范圍點(diǎn)估計(jì)統(tǒng)計(jì)量作為估計(jì)量estimator充分性sufficiency用到樣本的所有數(shù)據(jù)無偏性u(píng)nbiasedness估計(jì)值的平均值與真值一致有效性efficiency當(dāng)總體參數(shù)的無偏估計(jì)量有不止一個(gè)統(tǒng)計(jì)量時(shí)，無偏估計(jì)變異性最小者有效性高，變異大者有效性低一致性consistency當(dāng)樣本容量無限增大時(shí)，估計(jì)值越來越接近所估計(jì)的總體參數(shù)有效性哪個(gè)是更好的估計(jì)量？算術(shù)平均數(shù)vs.中數(shù)無偏估計(jì)量unbiasedestimator二、區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)的原理樣本統(tǒng)計(jì)量的分布規(guī)律幾個(gè)概念顯著性水平significancelevel也叫置信系數(shù)，指估計(jì)總體參數(shù)可能落入某區(qū)間時(shí)犯錯(cuò)誤的概率通常有三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)：

：0.05,0.01,0.001

1-：0.95,0.99,0.999置信水平、置信度