弧長曲線公式

弧長曲線公式第一頁，共二十六頁，2022年，8月28日第一節(jié)一、對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)二、對弧長的曲線積分的計(jì)算法機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束對弧長的曲線積分第十章第二頁，共二十六頁，2022年，8月28日一、對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)假設(shè)曲線形細(xì)長構(gòu)件在空間所占弧段為AB,其線密度為“大化小,常代變,近似和,求極限”

可得為計(jì)算此構(gòu)件的質(zhì)量,1.引例:

曲線形構(gòu)件的質(zhì)量采用機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第三頁，共二十六頁，2022年，8月28日設(shè)是空間中一條有限長的光滑曲線,義在上的一個(gè)有界函數(shù),都存在,上對弧長的曲線積分,記作若通過對的任意分割局部的任意取點(diǎn),2.定義下列“乘積和式極限”則稱此極限為函數(shù)在曲線或第一類曲線積分.稱為被積函數(shù)，稱為積分弧段.曲線形構(gòu)件的質(zhì)量和對機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第四頁，共二十六頁，2022年，8月28日如果L是xoy

面上的曲線弧,如果L

是閉曲線,則記為則定義對弧長的曲線積分為機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束思考:(1)若在L上f(x,y)≡1,(2)定積分是否可看作對弧長曲線積分的特例?否!

對弧長的曲線積分要求ds0,但定積分中dx可能為負(fù).第五頁，共二十六頁，2022年，8月28日3.性質(zhì)（k為常數(shù))(由組成)(l為曲線弧

的長度)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第六頁，共二十六頁，2022年，8月28日二、對弧長的曲線積分的計(jì)算法基本思路:計(jì)算定積分轉(zhuǎn)化定理:且上的連續(xù)函數(shù),證:是定義在光滑曲線弧則曲線積分求曲線積分根據(jù)定義機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第七頁，共二十六頁，2022年，8月28日點(diǎn)設(shè)各分點(diǎn)對應(yīng)參數(shù)為對應(yīng)參數(shù)為則機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第八頁，共二十六頁，2022年，8月28日說明:因此積分限必須滿足(2)注意到因此上述計(jì)算公式相當(dāng)于“換元法”.因此機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第九頁，共二十六頁，2022年，8月28日如果曲線L的方程為則有如果方程為極坐標(biāo)形式:則推廣:設(shè)空間曲線弧的參數(shù)方程為則機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十頁，共二十六頁，2022年，8月28日例1.

計(jì)算其中L是拋物線與點(diǎn)B(1,1)之間的一段弧.解:上點(diǎn)O(0,0)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十一頁，共二十六頁，2022年，8月28日例2.計(jì)算半徑為R,中心角為的圓弧L

對于它的對稱軸的轉(zhuǎn)動慣量I(設(shè)線密度

=1).解:建立坐標(biāo)系如圖,則機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十二頁，共二十六頁，2022年，8月28日例3.計(jì)算其中L為雙紐線解:在極坐標(biāo)系下它在第一象限部分為利用對稱性,得機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十三頁，共二十六頁，2022年，8月28日例4.計(jì)算曲線積分

其中為螺旋的一段弧.解:

線機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十四頁，共二十六頁，2022年，8月28日例5.

計(jì)算其中為球面被平面所截的圓周.解:由對稱性可知機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十五頁，共二十六頁，2022年，8月28日思考:例5中改為計(jì)算解:

令,則圓的形心在原點(diǎn),故,如何機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十六頁，共二十六頁，2022年，8月28日例6.計(jì)算其中為球面解:化為參數(shù)方程則機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十七頁，共二十六頁，2022年，8月28日例7.有一半圓弧其線密度解:故所求引力為求它對原點(diǎn)處單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力.

機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十八頁，共二十六頁，2022年，8月28日內(nèi)容小結(jié)1.定義2.性質(zhì)(l曲線弧

的長度)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第十九頁，共二十六頁，2022年，8月28日3.計(jì)算?對光滑曲線弧?對光滑曲線弧?對光滑曲線弧機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十頁，共二十六頁，2022年，8月28日思考與練習(xí)1.已知橢圓周長為a,求提示:原式=利用對稱性分析:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十一頁，共二十六頁，2022年，8月28日2.

設(shè)均勻螺旋形彈簧L的方程為(1)求它關(guān)于z軸的轉(zhuǎn)動慣量(2)求它的質(zhì)心.解:設(shè)其密度為

ρ(常數(shù)).(2)L的質(zhì)量而(1)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十二頁，共二十六頁，2022年，8月28日故重心坐標(biāo)為作業(yè)P1313(3),(4),(6),(7)5第二節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束第二十三頁，共二十六頁，2022年，8月28日P1313(3),(4),(6),(7),5第二節(jié)目錄上頁下頁返回結(jié)束作業(yè)第二十四頁，共二十六頁，2022年，8月28日備用題1.設(shè)C是由極坐標(biāo)系下曲線及所圍區(qū)域的邊界,求提示:分段積分機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束