連續(xù)型隨機變量復(fù)習

第二章復(fù)習關(guān)于連續(xù)型隨機變量的問題1、定義

X是隨機變量,若存在非負可積函數(shù)f(x)，(-<x<+)，使對一切實數(shù)x均有則稱X為連續(xù)型隨機變量，且稱f(x)為隨機變量X的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度或密度函數(shù)（pdf）。一、一維連續(xù)型隨機變量及其概率密度函數(shù)

(1)

非負性

f(x)0，(-<x<+)；2、密度函數(shù)的性質(zhì)(3)(2)歸一性(4)若F(x)在x0處可導(dǎo)，則有。而在不在不可導(dǎo)點可以將密度取為0。即(5)f(x)在x0處連續(xù)，且Δh充分小時,有

密度函數(shù)的幾何意義為即y=f(x)，y=a，y=b，x軸所圍成的曲邊梯形面積。二.一維連續(xù)型分布函數(shù)定義：

X是連續(xù)型隨機變量,f(x)是其概率密度函數(shù)，則其分布函數(shù)為(-<x<+)面積為F(x)連續(xù)型隨機變量X取任一固定值的概率為0計算分布函數(shù)的一般步驟：1.由密度函數(shù)的分段判斷分布函數(shù)的分段2.分段積分得到分布函數(shù)連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)必是連續(xù)函數(shù)。例1設(shè)求:(1)常數(shù)K；(2)X的分布函數(shù)；(3)解(1)由性質(zhì)得解之得(2)X的分布函數(shù)為(3)三.幾個常用的連續(xù)型隨機變量的分布若隨機變量X具有概率密度函數(shù)1.均勻分布則稱X在[a,b]上服從均勻分布，記作X~U[a,b]。若X~U[a,b]，則X具有下述等可能性：X落在區(qū)間[a,b]中任意長度相同的子區(qū)間里的概率是相同的。即X落在子區(qū)間里的概率只依賴于子區(qū)間的長度，而與子區(qū)間的位置無關(guān)。X的分布函數(shù)

f(x),F(x)的圖像分別為O

ab

xf(x)O

ab

xF(x)1例3長途汽車起點站于每時的10分、25分、55分發(fā)車，設(shè)乘客不知發(fā)車時間，于每小時的任意時刻隨機地到達車站，求乘客候車時間超過10分鐘的概率。解設(shè)A—乘客候車時間超過10分鐘，X—乘客于某時X分鐘到達，則XU(0,60)2、指數(shù)分布定義:設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為則稱X服從參數(shù)為>0的指數(shù)分布。其分布函數(shù)為指數(shù)分布常用來描述元件的使用壽命,隨機服務(wù)系統(tǒng)的服務(wù)時間等.

例4電子元件壽命X(年)服從參數(shù)為3的指數(shù)分布(1)求該電子元件壽命超過2年的概率；(2)已知該電子元件已使用了1.5年，求它還能使用2年的概率為多少？解指數(shù)分布的特點是“無記憶性”,元件在使用t時間后無損壞,用指數(shù)分布來計算,其壽命與新的時候相同.因此指數(shù)分布又被稱為永遠年輕的分布正態(tài)分布是實踐中應(yīng)用最為廣泛，在理論上研究最多的分布之一，故它在概率統(tǒng)計中占有別重要的地位。４、正態(tài)分布則稱X服從參數(shù)為,2的正態(tài)分布,記為X～N(,2)。定義：若隨機變量X的概率密度函數(shù)為（其中，為實數(shù)，>0）f(x)的圖像為

(1)

單峰對稱密度曲線關(guān)于直線x=對稱，即f(+x)=f(-x)，x∈(-∞,+∞)正態(tài)分布密度函數(shù)f(x)的性質(zhì)(2)x=時，f(x)取得最大值f()=；

(3)的大小直接影響概率的分布，越大，曲線越平坦，越小，曲線越陡峭。（如圖）正態(tài)分布也稱為高斯(Gauss)分布(4)曲線f(x)以x軸為漸近線。正態(tài)分布隨機變量X的分布函數(shù)為其圖像為OμxF(x)1標準正態(tài)分布當參數(shù)＝0，2＝1時，稱隨機變量X服從標準正態(tài)分布，記作X~N(0,1)。分布函數(shù)表示為其密度函數(shù)表示為Ox1Φ(x)標準正態(tài)分布的密度函數(shù)與分布函數(shù)的圖像分別為由密度及分布函數(shù)的對稱性可得對于標準正態(tài)分布的分布函數(shù)Φ(x)的函數(shù)值，書后附有標準正態(tài)分布表。表中給出了x>0的函數(shù)值。當x<0時，可利用Φ(-x)=1-Φ(x)計算得到。例6已知X~N(0,1)，求P(-∞＜X≤-3)，P(|X|＜3)解P(-∞＜X≤-3)=Φ(-3)=1-Φ(3)P(|X|＜3)=P(-3＜X＜3)=Φ(3)-Φ(-3)=Φ(3)-[1-Φ(3)]=2Φ(3)-1=2×0.9987-1=0.9974=1-0.9987=0.0013一般地,X~N(0,1),P(X≤x)=Φ(x),P(|X|＜x)=2Φ(x)-1對于一般正態(tài)分布的隨機變量X～N(,2)，可通過將其分布函數(shù)標準化的方法來計算其分布函數(shù)值(即概率)。定理：設(shè)隨機變量X～N(,2)，其分布函數(shù)為FX(x)，則有證明一般有例7設(shè)有一項工程有甲、乙兩家公司投標承包。甲公司要求投資2.8億元，但預(yù)算外開支波動較大，設(shè)實際費用X~N(2.8,0.52)。乙公司要求投資3億元，但預(yù)算外開支波動較小，設(shè)實際費用Y~N(3,0.22)?，F(xiàn)假定工程資方掌握資金(1)3億元，(2)3.4億元，為了在這兩種情況下，不至造成資金赤字，選擇哪家公司來承包較為合理？解（1）工程資方掌握資金3億元。若委托甲公司承包若委托乙公司承包=0.6554(2)請自己完成。委托甲公司承包較為合理。正態(tài)隨機變量的3原則：設(shè)XN(,2)在工程應(yīng)用中，通常認為P{|X|≤3}≈1，忽略{|X|>3}的值。在一次試驗中，正態(tài)分布的隨機變量X落在以為中心，3為半徑的區(qū)間(-3,

+3)內(nèi)的概率相當大(0.9974)，即X幾乎必然落在上述區(qū)間內(nèi)，或者說在一般情形下，X在一次試驗中落在(-3,

+3)以外的概率可以忽略不計。

三.連續(xù)型隨機變量的函數(shù)的分布1、一維隨機變量的函數(shù)的分布設(shè)連續(xù)型隨機變量X的概率密度函數(shù)為fX(x)，(-<x<+),Y=g(X)為隨機變量X的函數(shù)，則Y的分布函數(shù)為

FY

(y)

＝P(Yy)＝P(g(X)y)＝

從而Y的概率密度函數(shù)fY

(y)為此法也叫“分布函數(shù)法”定理設(shè)X的概率密度為fX(x),y=g(x)嚴格單調(diào)且其反函數(shù)g-1(y)

，有連續(xù)導(dǎo)數(shù),則Y=g(X)也是連續(xù)型隨機變量,其密度為

fY(y)

=fX(g-1(y))|

g-1(y)|利用上述定理來求密度的方法可以稱為公式法：一般地若X~fX(x),y=g(x)是嚴格單調(diào)連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，則

注1、只有當g(x)是x的單調(diào)連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)時，才可用以上公式推求Y的密度函數(shù)；2、注意定義域的選擇。其中h(y)為y＝g(x)的反函數(shù)。例9已知XN(,2),求

解的概率密度關(guān)于x嚴格單調(diào)，反函數(shù)為故2.線性變換及平方變換下的分布例10設(shè)X~U(0,1)，求Y=aX+b的概率密度。(a≠0)解

Y=ax+b關(guān)于x嚴格單調(diào)，反函數(shù)為故而所以例11設(shè)XU(-1,1),求Y=X2的分布函數(shù)與概率密度。當y<0時，當0≤y<1時當y≥1時解例12已知XN(0,1),求Y=X2的分布.補充1：設(shè)電源電壓XN(220,225)（單位：伏特）有三種情況：不超過200伏；200到240伏；超過240伏。在上述三種情況下，某型號電子元件損壞的概率分別為0.1，0.01，0.2，問：（1）任取一個這種元件，求元件損壞的概率（2）若已知電子元件損壞，電壓最可能在哪個區(qū)間解：解：補充3：某公路橋每天第一輛汽車過橋時刻為T，設(shè)[0，t]時段內(nèi)過橋的汽車數(shù)Xt服從參數(shù)為t的泊松分布，求T的概率密度。解當t≤0時，F(xiàn)(t)=0；當t>0時，F(xiàn)(t)