機(jī)械工程控制基礎(chǔ) 第二章 20130227

機(jī)械工程控制基礎(chǔ)主講教師：葉春生csye@Tel中科技大學(xué)材料學(xué)院機(jī)械工程控制基礎(chǔ)第一章自動(dòng)控制的一般概念第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第三章控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法第四章頻域分析法第五章控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性第六章控制系統(tǒng)的校正第二章系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.1系統(tǒng)的微分方程2.2相似原理2.3傳遞函數(shù)2.4系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖及其簡化2.5反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)一階線性微分方程回顧一階線性微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式:若Q(x)0,若Q(x)0,稱為非齊次方程

.1.解齊次方程分離變量兩邊積分得故通解為稱為齊次方程

;對(duì)應(yīng)齊次方程通解齊次方程通解非齊次方程特解解非齊次方程用常數(shù)變易法:則故原方程的通解即即作變換兩端積分得在閉合回路中,所有支路上的電壓降為0例.有一電路如圖所示,電阻

R

和電～解:列方程.已知經(jīng)過電阻R的電壓降為Ri

經(jīng)過L的電壓降為因此有即初始條件:由回路電壓定律:其中電源求電流感L

都是常量,～解方程:由初始條件:得利用一階線性方程解的公式可得暫態(tài)電流穩(wěn)態(tài)電流～因此所求電流函數(shù)為解的意義:拉普拉斯變換拉普拉斯變換法是一種解線性微分方程的簡便運(yùn)算方法．由于拉普拉斯變換的運(yùn)用，我們能使許多普通函數(shù)，如正弦函數(shù)、阻尼正弦函數(shù)和指數(shù)函數(shù)轉(zhuǎn)換成復(fù)變數(shù)的代數(shù)函數(shù)．微積分的運(yùn)算能內(nèi)在復(fù)平面內(nèi)的代數(shù)運(yùn)算來代替．于是，線性微分方程能轉(zhuǎn)換成復(fù)變數(shù)的代數(shù)方程．微分方程的解可用拉普拉斯變換表，或部分分式展開式求出．拉普拉斯變換法的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是可以用顯示系統(tǒng)特性的圖解方法來計(jì)算，而無需實(shí)際去解系統(tǒng)的微分力程．它的另一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是當(dāng)我們解微分方程時(shí)，可同時(shí)獲得解的瞬態(tài)分量和穩(wěn)態(tài)分量．拉普拉斯變換的定義本節(jié)介紹拉普拉斯變換的定義，對(duì)拉普拉斯變換存在的條件作簡略的討論，并舉例說明幾種常用函數(shù)的拉普拉斯變換的推導(dǎo)．拉普拉斯變換的定義如下:

f(t)=時(shí)間t的函數(shù)，而且當(dāng)t<0時(shí)，f(t)=0；s=

復(fù)變數(shù)；L=運(yùn)算符號(hào)，放在某量之前，表示該量用拉普拉斯積分進(jìn)行變換;s=復(fù)變數(shù)兩個(gè)基本函數(shù)單位脈沖函數(shù)

單位階躍函數(shù)拉普拉斯變換的特性(1)線性性衰減定理拉普拉斯變換的特性(2)延時(shí)定理時(shí)間尺度定理拉普拉斯變換的特性(3)延時(shí)定理時(shí)間尺度定理15拉氏變換的基本性質(zhì)（1）線性微分積分時(shí)移頻移16拉氏變換的基本性質(zhì)（2）尺度變換終值定理卷積定理初值定理初值定理終值定理18常用的拉氏變換公式拉普拉斯反變換的定義由復(fù)變數(shù)表達(dá)式推導(dǎo)成為時(shí)間表達(dá)式的數(shù)學(xué)運(yùn)算叫做反變換．拉普拉斯反變換的符號(hào)是L-1,其數(shù)學(xué)表達(dá)式為求解拉普拉斯反變換的部分分式法如果則通常,在控制系統(tǒng)中用部分分式化簡為用拉普拉斯變換法解線性微分方程如果則通常,在控制系統(tǒng)中用部分分式化簡為2.0引言許多動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，不管它們是機(jī)械的、電氣的、熱力的、液壓的，還是經(jīng)濟(jì)學(xué)的、生物學(xué)的等，都可以用微分方程加以描述．如果對(duì)這些微分方程求解，就可以獲得動(dòng)態(tài)系統(tǒng)對(duì)輸入量(或稱作用函數(shù))的響應(yīng)．系統(tǒng)的微分方程，可以通過支配著具體系統(tǒng)的物理學(xué)定律，例如機(jī)械系統(tǒng)中的牛頓定律，電系統(tǒng)中的克?；舴蚨傻全@得．?dāng)?shù)學(xué)模型系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的數(shù)學(xué)表達(dá)式、叫做數(shù)學(xué)模型．要分析動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，首先應(yīng)推導(dǎo)它的數(shù)學(xué)模型．我們必須牢牢記住，推導(dǎo)一個(gè)合理的數(shù)學(xué)模型，是整個(gè)分析過程中最至要的事情．典型的二階系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型隨動(dòng)系統(tǒng)AServoSystem（位置控制系統(tǒng)）如圖所示。隨動(dòng)系統(tǒng)原理圖⑴該系統(tǒng)的任務(wù)：控制機(jī)械負(fù)載的位置。使其與參考位置相協(xié)調(diào)。⑵工作原理：用一對(duì)電位計(jì)作系統(tǒng)的誤差測量裝置，它們可以將輸入和輸出位置信號(hào)，轉(zhuǎn)換為與位置成正比的電信號(hào)。輸入電位計(jì)電刷臂的角位置，由控制輸入信號(hào)確定，角位置就是系統(tǒng)的參考輸入量，而電刷臂上的電位與電刷臂的角位置成正比，輸出電位計(jì)電刷臂的角位置，由輸出軸的位置確定。(3)當(dāng)激磁電流固定時(shí)，電動(dòng)機(jī)產(chǎn)生的力矩（電磁轉(zhuǎn)距）為：電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)矩系數(shù)為電樞電流對(duì)于電樞電路電動(dòng)機(jī)電樞繞組的電感和電阻電動(dòng)機(jī)的反電勢常數(shù)電動(dòng)機(jī)的軸的角位移。電動(dòng)機(jī)的力矩平衡方程為：J:電動(dòng)機(jī)負(fù)載和齒輪傳動(dòng)裝置，折合到電動(dòng)機(jī)軸上的組合轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。f:電動(dòng)機(jī)負(fù)載和齒輪傳動(dòng)裝置，折合到電動(dòng)機(jī)軸上的粘性摩擦系數(shù)。電動(dòng)機(jī)產(chǎn)生的力矩（電磁轉(zhuǎn)距）為：

對(duì)于電樞電路電動(dòng)機(jī)的力矩平衡方程為：

隨動(dòng)系統(tǒng)方框圖2.1系統(tǒng)的微分方程建立微分方程的一般方法系統(tǒng)微分方程式的建立的一般方法

1、基本步驟(基于機(jī)理分析法)

1）確定系統(tǒng)的輸入,輸出量(體現(xiàn)建模目的)。

2）根據(jù)系統(tǒng)遵循的物理,化學(xué)定律(機(jī)理)列出(各環(huán)節(jié))原始方程式,提出必要假設(shè),以簡化模型(體現(xiàn)系統(tǒng)的本質(zhì)特征)。

3）列出原始方程式中的中間變量與其它因素關(guān)系式.4）聯(lián)立所有方程式,消去中間變量,使得到反映輸入輸出關(guān)系的微分方程.

實(shí)例1：RLC電路uc(t)r(t)RLi1、明確系統(tǒng)的輸入和輸出

輸入r(t),輸出uc(t)2、列寫原始的微分方程3、消除中間變量，并簡化整理彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng)輸入外力輸出位移

阻尼系數(shù)，與運(yùn)動(dòng)方向相反實(shí)例2：機(jī)械運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)J1J2基本關(guān)系式實(shí)例3：齒輪系的運(yùn)動(dòng)方程齒輪1齒數(shù)Z1

齒輪2齒數(shù)Z2

轉(zhuǎn)矩M齒輪1和齒輪2的運(yùn)動(dòng)方程（1）以齒輪1的角速度為輸出，外部為輸入（1）（2）（1）以齒輪2的角速度

為輸出，外部為輸入電樞電壓控制直流電動(dòng)機(jī)電樞回路電壓平衡方程SM負(fù)載實(shí)例4：機(jī)電系統(tǒng)微分方程若以角速度為輸出量、電樞電壓為輸入量，消去中間變量，直流電動(dòng)機(jī)的微分方程為電磁轉(zhuǎn)矩方程電動(dòng)機(jī)軸上轉(zhuǎn)矩平衡方程當(dāng)電樞回路的電感可以忽略不計(jì)若電樞回路電阻和電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量都很小，可忽略不計(jì)，則上式可進(jìn)一步簡化實(shí)例5：無源RC網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)測溫?zé)犭娕?，求熱偶溫度變化微分方程。質(zhì)量比熱介質(zhì)到熱偶熱阻為

，輸入介質(zhì)溫度，輸出熱電偶溫度

熱量溫度指示儀熱偶實(shí)例6：測溫?zé)犭娕紝懗蓸?biāo)準(zhǔn)形式將與輸入量有關(guān)的各項(xiàng)寫在方程的右邊；與輸出量有關(guān)的各項(xiàng)寫在方程的左邊。方程兩邊各導(dǎo)數(shù)項(xiàng)均按降冪排列。

當(dāng)初始條件為零時(shí)，對(duì)方程兩邊取拉氏變換，有非線性微分方程的線性化非線性微分方程的線性化實(shí)際的物理元件都存在一定的非線性，例如彈簧系數(shù)是位移的函數(shù)電阻、電容、電感與工作環(huán)境、工作電流有關(guān)電動(dòng)本身的摩擦、死區(qū)小偏差線性化法

設(shè)連續(xù)變化的非線性函數(shù)平衡狀態(tài)A為工作點(diǎn)在平衡狀態(tài)點(diǎn)運(yùn)用臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開為泰勒級(jí)數(shù)展開-非線性系統(tǒng)的線性近似方法函數(shù)y=f(x)在x=x0處展開忽略高次項(xiàng)具有兩個(gè)自變量的非線性函數(shù)的線性化增量線性方程對(duì)于非線性系統(tǒng)或環(huán)節(jié)，假設(shè)系統(tǒng)工作過程中，其變量的變化偏離穩(wěn)態(tài)工作點(diǎn)增量很小，各變量在工作點(diǎn)處具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，于是可將非線性函數(shù)（數(shù)模）在工作點(diǎn)的某一鄰域展開成泰勒級(jí)數(shù)，忽略高次（二次以上）項(xiàng)，便可得到關(guān)于各變量近似線性關(guān)系，我們稱這一過稱為非線性系統(tǒng)(數(shù)模)的線性化。非線性實(shí)例-流體運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)A截面積（1）入水流量為輸入，液位為輸出（2）若假設(shè)液位不可壓縮，根據(jù)質(zhì)量守恒定律：其中為出水流量（3）根據(jù)流量公式為出口節(jié)流閥流量系數(shù)，當(dāng)變化不大時(shí)，可視為只與閥門開度有關(guān)，若開度一定，為常數(shù)。（4）消去中間變量得：非線性微分方程將上例流體運(yùn)動(dòng)非線性方程線性化如：可將非線性特性在處線性化代入原方程得：即有：去掉高階項(xiàng)，即為線性化方程。不難看出線性化方程與工作點(diǎn)有關(guān)，工作點(diǎn)不同，方程就不同。非線性實(shí)例-液壓伺服機(jī)構(gòu)1、明確系統(tǒng)的輸入和輸出:輸入x,輸出y1、明確系統(tǒng)的輸入和輸出:輸入x,輸出y2、列寫原始的微分方程:設(shè)p=p1-p23、非線性函數(shù)線性化1）確定系統(tǒng)預(yù)定工