信號與系統(tǒng)ch5-連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析51-南航

連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析第五章1引言傅里葉變換-信號系統(tǒng)分析優(yōu)勢避免微分方程求解和卷積計算，簡化了系統(tǒng)響應求解過程物理意義明確。如：信號頻譜、諧波、頻響、帶寬等缺陷要求函數(shù)絕對可積要求系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)運算復雜。必須計算廣義積分，計算比較困難只能求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應第五章連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析

連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析2信號與系統(tǒng)引言拉普拉斯變換-信號系統(tǒng)分析優(yōu)勢可以求系統(tǒng)的全響應計算過程簡化變卷積運算為乘法運算變方程的微積分運算為乘除運算對信號的適應性比傅里葉變換強，不用引入奇異函數(shù)第五章連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析

連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析3信號與系統(tǒng)引言頻域分析法需進行正反兩次變換，且付氏變換的運用要受絕對可積條件的限制，所以求連續(xù)系統(tǒng)的響應時更多地采用復頻域分析法(拉氏變換法)頻域分析法地位重要復頻域分析法是頻域分析法的推廣；信號的頻譜具有明確的物理意義；當系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)無法確知時，在復頻域中無法得到反映系統(tǒng)功能的系統(tǒng)函數(shù)，但在頻域中可通過實驗測得。第五章連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析

連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析4信號與系統(tǒng)主要內(nèi)容拉普拉斯變換與反變換12線性系統(tǒng)的模擬(方框圖)3線性系統(tǒng)的拉斯變換分析法4信號流圖與梅森公式第五章連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析

連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析5信號與系統(tǒng)拉普拉斯變換在數(shù)學中是直接從積分變換的觀點定義的，我們將從信號分析的角度出發(fā)，由傅里葉變換推廣到拉普拉斯變換1、從傅里葉變換到拉普拉斯變換函數(shù)f(t)不滿足絕對可積條件往往是由于當︱t︱→∞

時f(t)不衰減造成的若人為乘上一個衰減因子e-σt，則就可能符合絕對可積條件，因而其傅里葉變換存在。拉普拉斯變換1第五章連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析

連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析6信號與系統(tǒng)拉普拉斯變換1、從傅里葉變換到拉普拉斯變換第五章連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析

連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析7信號與系統(tǒng)拉普拉斯變換雙邊拉普拉斯變換單邊拉普拉斯變換一對拉普拉斯變換對f(t)稱為原函數(shù)F(s)稱為象函數(shù)第五章連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析

連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析8信號與系統(tǒng)拉普拉斯變換2、拉普拉斯變換的物理意義FT:將信號分解為無窮多個分量,每個分量的幅度為LT:將信號分解為無窮多個分量,每個分量的幅度為拉普拉斯變換的s與傅里葉變換的jω相對應第五章連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析

連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析9信號與系統(tǒng)拉普拉斯變換2、拉普拉斯變換的物理意義s為復頻率拉普拉斯變換分析法常稱為復頻域分析法在傅里葉變換中一對合成一個實信號，代表的是一個正弦分量；在拉普拉斯變換中的一對也應合成一個實信號，它代表的是一個什么分量呢？第五章連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析

連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析10信號與系統(tǒng)拉普拉斯變換含義在復平面中的分布情況密切相關(guān)根據(jù)各種不同的分布情況來研究其含義第五章連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析

連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析11信號與系統(tǒng)拉普拉斯變換含義原點直流分量實軸非振蕩信號虛軸與傅里葉變換一樣代表一個等幅的正弦分量s離實軸越遠振蕩頻率越高第五章連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析

連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析12信號與系統(tǒng)拉普拉斯變換含義右半平面合成一個指數(shù)增幅的正弦振蕩信號s離實軸越遠振蕩頻率越高s離虛軸越遠增幅越快左半平面合成一個指數(shù)衰減的正弦振蕩信號s離實軸越遠振蕩頻率越高s離虛軸越遠增幅越快s在左半平面est

為衰減型s在右半平面est

為增長型第五章連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析

連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析13信號與系統(tǒng)拉普拉斯變換2、拉普拉斯變換的物理意義拉普拉斯變換：將f(t)沿σ-j∞→σ+j∞分解為無窮多個est分量拉普拉斯反變換：沿σ-j∞→σ+j∞積分路徑，將無窮多個est分量迭加得f(t)傅里葉變換：沿路徑-j∞→+j∞虛軸的分解與迭加(拉普拉斯變換特例)第五章連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析

連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析14信號與系統(tǒng)拉普拉斯變換的收斂域當f(t)乘上一個因子e-σt后，f(t)e-σt有可能收斂，到底是否收斂還取決于σ的取值，這就是拉普拉斯變換的收斂域問題1第五章連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析

連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析15信號與系統(tǒng)拉普拉斯變換的收斂域1、定義能使f(t)e-σt

滿足絕對可積條件的σ的取值范圍稱拉普拉斯變換的收斂域在收斂域內(nèi)f(t)的拉普拉斯變換F(s)存在，在收斂域外則不存在F(s)的所有極點必須在收斂域外第五章連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析

連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析16信號與系統(tǒng)拉普拉斯變換的收斂域2、單邊拉普拉斯變換收斂域的判別方法在s平面上以σ=

σ0

為界將s平面分為兩個區(qū)域。

σ=

σ0

稱收斂軸（邊界）σ0

為收坐標，σ>σ0

為收斂域（不包含邊界）第五章連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析

連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析17信號與系統(tǒng)拉普拉斯變換的收斂域3、常用單邊拉普拉斯變換的收斂域持續(xù)時間有限的單個脈沖信號能量有限，不管σ取何值

總是滿足，收斂域為整個s平面，拉斯變換無條件存在單位階躍信號收斂域為不包含虛軸的右半平面單邊指數(shù)信號第五章連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析

連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析18信號與系統(tǒng)拉普拉斯變換的收斂域3、常用單邊拉普拉斯變換的收斂域單邊指數(shù)信號第五章連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析

連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析19信號與系統(tǒng)拉普拉斯變換的收斂域3、常用單邊拉普拉斯變換的收斂域單邊斜變信號第五章連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析

連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析20信號與系統(tǒng)拉普拉斯變換的收斂域3、常用單邊拉普拉斯變換的收斂域結(jié)論在電子技術(shù)中常用的有始函數(shù)一般都屬于指數(shù)階函數(shù)，單邊拉普拉斯變換存在，有收斂域。能量有限的信號，單邊拉普拉斯變換的收斂域為整個復平面。有始無終的單邊函數(shù)，單邊拉普拉斯變換的收斂域總是在某一收斂軸的右邊。在收斂域中不包含極點。凡符合絕對可積條件的函數(shù)不僅存在拉普拉斯變換，而且存在傅里葉變換，收斂域必定包含虛軸；反之，凡不符合絕對可積條件的函數(shù)，收斂域必不包含虛軸，傅里葉變換不一定存在。第五章連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析

連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析21信號與系統(tǒng)常用函數(shù)的拉普拉斯變換

1s=為極點收斂域為>第五章連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析

連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析22信號與系統(tǒng)常用函數(shù)的拉普拉斯變換

(t)1/s第五章連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析

連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析23信號與系統(tǒng)常用函數(shù)的拉普拉斯變換

單邊正弦函數(shù)sinω0t(t)衰減的正弦、余弦、雙曲函數(shù)等都可用同樣的方法求出第五章連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析

連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析24信號與系統(tǒng)常用函數(shù)的拉普拉斯變換2、t的正冪函數(shù)tn(t)(n為正整數(shù))第五章連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析

連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析25信號與系統(tǒng)常用函數(shù)的拉普拉斯變換3、單位沖激函數(shù)(t)

常用函數(shù)拉普拉斯變換見p215第五章連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析

連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析26信號與系統(tǒng)常用函數(shù)的拉普拉斯變換符合絕對可積條件的函數(shù)不僅存在拉普拉斯變換，而且存在傅里葉變換。所以，其傅里葉變換和拉普拉斯變換可以相互轉(zhuǎn)化第五章連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析

連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析27信號與系統(tǒng)常用函數(shù)的拉普拉斯變換對不符合絕對可積條件的函數(shù)，其傅里葉變換和拉普拉斯變換則不符合上面的轉(zhuǎn)化關(guān)系第五章連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析

連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析28信號與系統(tǒng)拉普拉斯變換的性質(zhì)拉普拉斯變換性質(zhì)是針對單邊拉普拉斯變換拉普拉斯變換性質(zhì)可簡化運算注意傅里葉變換和拉普拉斯變換性質(zhì)的相似之處和不同之處線性、尺度變換時間與復頻域平移時域微分與積分復頻域微分與積分對參變量的微分與積分初值定理、終值定理、卷積定理1第五章連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析

連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析29信號與系統(tǒng)拉普拉斯變換的性質(zhì)1、線性

2、尺度變換

第五章連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析

連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析30信號與系統(tǒng)拉普拉斯變換的性質(zhì)3、時間平移

例1：f(t)如圖求F(s)第五章連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析

連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析31信號與系統(tǒng)拉普拉斯變換的性質(zhì)3、時間平移例2：求有始周期函數(shù)f(t)的F(s),若其第一個周期的函數(shù)記為f1(t),且第五章連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析

連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析32信號與系統(tǒng)拉普拉斯變換的性質(zhì)3、時間平移結(jié)論對于周期為T的有始周期函數(shù)，求其拉普拉斯變換只要求其第一個周期的變換，然后再乘以函數(shù)的分母含有上述因子，則要考慮其原函數(shù)是有始周期信號。求原函數(shù)時,只求一周內(nèi)信號的反變換,然后再以T為周期延拓。第五章連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析

連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析33信號與系統(tǒng)拉普拉斯變換的性質(zhì)3、時間平移例3：求f(t)已知由圖我們可以寫出f(t)更簡潔的形式第五章連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析

連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析34信號與系統(tǒng)拉普拉斯變換的性質(zhì)3、時間平移例4求下列信號的L變換注意信號的有始問題_t0信號常是由某些基本函數(shù)經(jīng)適當?shù)臅r間平移后疊加構(gòu)成（p228_例題5-6）第五章連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析

連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析35信號與系統(tǒng)拉普拉斯變換的性質(zhì)3、時間平移例5:求f(t)的L變換求的L變換第五章連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析

連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析36信號與系統(tǒng)拉普拉斯變換的性質(zhì)3、時間平移例6求下列波形所示信號的L變換第五章連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析

連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析37信號與系統(tǒng)拉普拉斯變換的性質(zhì)4、復頻域平移

例7第五章連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析

連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析38信號與系統(tǒng)拉普拉斯變換的性質(zhì)5、時域微分

推廣到n階導數(shù)第五章連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析

連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析39信號與系統(tǒng)拉普拉斯變換的性質(zhì)6、時域積分

可推廣到多重積分的情況第五章連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析

連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析40信號與系統(tǒng)拉普拉斯變換的性質(zhì)7、復頻域微分與積分第五章連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析

連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析41信號與系統(tǒng)拉普拉斯變換的性質(zhì)8、對參變量的微分與積分第五章連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析

連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析42信號與系統(tǒng)拉普拉斯變換的性質(zhì)8、對參變量的微分與積分第五章連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析

連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析43信號與系統(tǒng)拉普拉斯變換的性質(zhì)9、初值定理若函數(shù)f(t)存在導數(shù)f(t)，且f(t)?F(s)，f(t)存在拉普拉斯變換第五章連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析

連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析44信號與系統(tǒng)拉普拉斯變換的性質(zhì)9、初值定理如果f(t)在t=0處有沖激及其導數(shù)存在，則F(s)

為假分式，可分解為s的多項式與真分式之和第五章連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析

連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析45信號與系統(tǒng)拉普拉斯變換的性質(zhì)10、終值定理若函數(shù)f(t)及其導數(shù)f(t)存在拉普拉斯變換，F(xiàn)(s)

的極點都位于s平面的左半平面或在原點處有一個單極點。第五章連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析

連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析46信號與系統(tǒng)拉普拉斯變換的性質(zhì)例題

第五章連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析

連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析47信號與系統(tǒng)拉普拉斯變換的性質(zhì)例題

第五章連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析

連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析48信號與系統(tǒng)拉普拉斯變換的性質(zhì)例題例11已知求f(t)的初值和終值第五章連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析

連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析49信號與系統(tǒng)拉普拉斯變換的性質(zhì)11、卷積定理

例12第五章連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析

連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析50信號與系統(tǒng)拉普拉斯變換的性質(zhì)總結(jié)第五章連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析

連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析51信號與系統(tǒng)拉普拉斯變換的性質(zhì)總結(jié)第五章連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析

連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析52信號與系統(tǒng)拉普拉斯變換的性質(zhì)練習第五章連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析

連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析53信號與系統(tǒng)拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換時與傅里葉反變換一樣，我們主要也是依靠常用變換對，再結(jié)合性質(zhì)和典型例子，通過將F(s)化成我們認識的變換對，然后直接寫出原函數(shù)方法部分分式展開法圍線積分法1第五章連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析

連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析54信號與系統(tǒng)拉普拉斯反變換1、部分分式展開法第五章連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析

連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析55信號與系統(tǒng)拉普拉斯反變換1、部分分式展開法第五章連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析

連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析56信號與系統(tǒng)拉普拉斯反變換1、部分分式展開法則應將F(s)化為多項式和真分式之和，而多項式的反變換為沖激函數(shù)及其導數(shù)，真分式則可用部分分式展開法求反變換第五章連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析

連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析57信號與系統(tǒng)拉普拉斯反變換1、部分分式展開法第五章連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析

連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析58信號與系統(tǒng)拉普拉斯反變換

1、部分分式展開法(3)若F(s)分母中的二次式有一對共軛復根則在部分分式展開時應把它們作為整體來處理第五章連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析

連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析59信號與系統(tǒng)拉普拉斯反變換1、部分分式展開法(3)若F(s)分母中的二次式有一對共軛復根第五章連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析

連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析60信號與系統(tǒng)拉普拉斯反變換1、部分分式展開法(3)若F(s)分母中的二次式有一對共軛復根第五章連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析

連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析61信號與系統(tǒng)拉普拉斯反變換1、部分分式展開法(3)若F(s)分母中的二次式有一對共軛復根第五章連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析

連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析62信號與系統(tǒng)拉普拉斯反變換1、部分分式展開法(3)若F(s)分母中的二次式有一對共軛復根第五章連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析

連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析63信號與系統(tǒng)拉普拉斯反變換1、部分分式展開法(3)若F(s)分母中的二次式有一對共軛復根第五章連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析

連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析64信號與系統(tǒng)拉普拉斯反變換1、部分分式展開法(4)若F(s)

有一個p階極點s1,n-p個單極點sp+1，...sn第五章連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析

連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析65信號與系統(tǒng)拉普拉斯反變換1、部分分式展開法(4)若F(s)

有一個p階極點s1,n-p個單極點sp+1，...sn第五章連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析

連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析66信號與系統(tǒng)拉普拉斯反變換1、部分分式展開法(4)若F(s)

有一個p階極點s1,n-p個單極點sp+1，...sn第五章連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析

連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析67信號與系統(tǒng)拉普拉斯反變換1、部分分式展開法(4)若F(s)

有一個p階極點s1,n-p個單極點sp+1，...sn第五章連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析

連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析68信號與系統(tǒng)拉普拉斯反變換2、圍線積分法復變函數(shù)中的圍線積分復變函數(shù)g(s)沿s平面中不經(jīng)過極點的閉合路徑c的積分(積分方向為反時針方向)可由g(s)在圍線內(nèi)極點上的留數(shù)來確定。對照拉普拉斯反變換公式：第五章連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析

連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析69信號與系統(tǒng)拉普拉斯反變換2、圍線積分法對照拉普拉斯反變換公式：一個復變函數(shù)積分問題被積函數(shù)F(s)est,積分路徑-j→+j不是圍線.補充一個半徑為無窮大的半圓使它成為一個閉合路徑，同時可以保證被積函數(shù)的所有極點在圍線內(nèi)。第五章連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析

連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析70信號與系統(tǒng)拉普拉斯反變換2、圍線積分法復變函數(shù)的積分問題轉(zhuǎn)化成求被積函數(shù)極點上留數(shù)的問題。第五章連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析

連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析71信號與系統(tǒng)拉普拉斯反變換2、圍線積分法復變函數(shù)中的約當引理已經(jīng)解決了這個問題，但要滿足兩個條件:1、當∣s∣=R→∞時，∣F(s)∣→02、因子est中指數(shù)st的實部t應滿足t<0t，0為某一常數(shù)。必須有1、F(s)為真分式2、t<0t

有兩種情況（1）t>0

則σ<σ0

應取左半圓?。?）t<0

則σ>σ0

應取右半圓弧單邊拉普拉斯變換t總是大于0第五章連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析

連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析72信號與系統(tǒng)拉普拉斯反變換2、圍線積分法總結(jié)拉普拉斯變換中的被積函數(shù)為