高中數(shù)學人教A版3第一章計數(shù)原理單元測試 市一等獎

選修2-3第一章第2課時一、選擇題1．已知函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，其中a、b、c∈{0,1,2,3,4}，則不同的二次函數(shù)的個數(shù)共有eq\x(導學號03960051)()A．125個 B．15個C．100個 D．10個[答案]C[解析]由題意可得a≠0，可分以下幾類，第一類：b＝0，c≠0，此時a有4種選擇，c也有4種選擇，共有4×4＝16個不同的函數(shù)；第二類：c＝0，b≠0，此時a有4種選擇，b也有4種選擇，共有4×4＝16個不同的函數(shù)；第三類：b≠0，c≠0，此時a，b，c都各有4種選擇，共有4×4×4＝64個不同的函數(shù)；第四類：b＝0，c＝0，此時a有4種選擇，共有4個不同的函數(shù)．由分類加法計數(shù)原理，可確定不同的二次函數(shù)共有N＝16＋16＋64＋4＝100(個)．故選C．2．(2023·無錫高二檢測)體育老師把9個相同的足球放入編號為1,2,3的三個箱子中，要求每個箱子放球的個數(shù)不小于其編號，則不同的放球方法有eq\x(導學號03960052)()A．8種 B．10種C．12種 D．16種[答案]B[解析]首先在三個箱子中放入個數(shù)與編號相同的球，這樣剩下三個足球，這三個足球可以隨意放置，第一種方法，可以在每一個箱子中放一個，有1種結(jié)果；第二種方法，可以把球分成兩份，1和2，這兩份在三個位置，有3×2＝6種結(jié)果；第三種方法，可以把三個球都放到一個箱子中，有3種結(jié)果．綜上可知共有1＋6＋3＝10種結(jié)果．3．元旦來臨之際，某寢室四人各寫一張賀卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的賀卡，則四張賀卡不同的分配方式有eq\x(導學號03960053)()A．6種 B．9種C．11種 D．23種[答案]B[解析]解法1：設(shè)四人A、B、C、D寫的賀卡分別是a、b、c、d，當A拿賀卡b，則B可拿a、c、d中的任何一張，即B拿a，C拿d，D拿c或B拿c，D拿a，C拿d或B拿d，C拿a，D拿c，所以A拿b時有三種不同的分配方式．同理，A拿c，d時也各有三種不同的分配方式．由分類加法計數(shù)原理，四張賀卡共有3＋3＋3＝9(種)分配方式．解法2：讓四人A、B、C、D依次拿一張別人送出的賀卡，如果A先拿，有3種，此時被A拿走的那張賀卡的人也有3種不同的取法．接下來，剩下的兩個人都各只有1種取法，由分步乘法計數(shù)原理，四張賀卡不同的分配方式有3×3×1×1＝9(種)．4．從個位數(shù)與十位數(shù)之和為奇數(shù)的兩位數(shù)中任取一個，其個位數(shù)為0的概率是eq\x(導學號03960054)()A．eq\f(4,9) B．eq\f(1,3)C．eq\f(2,9) D．eq\f(1,9)[答案]D[解析]本題考查計數(shù)原理與古典概型，∵兩數(shù)之和為奇數(shù)，則兩數(shù)一奇一偶，若個位數(shù)為奇數(shù)，則共有4×5＝20個數(shù)，若個位數(shù)為偶數(shù)，共有5×5＝25個數(shù)，其中個位為0的數(shù)共有5個，∴P＝eq\f(5,20＋25)＝eq\f(1,9).5．如圖，某電子器件是由三個電阻組成的回路，其中共有6個焊接點A、B、C、D、E、F，如果某個焊接點脫落，整個電路就會不通，現(xiàn)在電路不通了，那么焊接點脫落的可能性共有eq\x(導學號03960055)()A．6種 B．36種C．63種 D．64種[答案]C[解析]每個焊接點都有正常與脫落兩種情況，只要有一個脫落電路即不通，∴共有26－1＝63種．故選C．6．從集合{1,2,3，…，10}中任意選出三個不同的數(shù)，使這三個數(shù)成等比數(shù)列，這樣的等比數(shù)列的個數(shù)為eq\x(導學號03960056)()A．3 B．4C．6 D．8[答案]D[解析]當公比為2時，等比數(shù)列可為1、2、4,2、4、8.當公比為3時，等比數(shù)列可為1、3、9.當公比為eq\f(3,2)時，等比數(shù)列可為4、6、9.同時，4、2、1,8、4、2,9、3、1和9、6、4也是等比數(shù)列，共8個．二、填空題7．(2023·溫州高二檢測)有一質(zhì)地均勻的正四面體，它的四個面上分別標有1、2、3、4四個數(shù)字，現(xiàn)將它連續(xù)拋擲3次，其底面落于桌面，記三次在正四面體底面的數(shù)字和為S，則“S恰好為4”的概率為\x(導學號03960057)[答案]eq\f(3,64)[解析]本題是一道古典概型問題．用有序?qū)崝?shù)對(a，b，c)來表示連續(xù)拋擲3次所得的3個數(shù)字，則該試驗中共含4×4×4＝64個基本事件，取S＝a＋b＋c，事件“S恰好為4”中包含了(1,1,2)，(1,2,1)，(2,1,1)三個基本事件，則所求概率P＝eq\f(3,64).8．現(xiàn)有五種不同的顏色，要對圖形中的四個部分進行著色，要求有公共邊的兩塊不能用同一種顏色，不同的涂色方法有________種.eq\x(導學號03960058)[答案]180[解析]依次給區(qū)域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ涂色分別有5、4、3、3種方法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同的涂色方法的種數(shù)為5×4×3×3＝180.9．有10本不同的數(shù)學書，9本不同的語文書，8本不同的英語書，從中任取兩本不同類的書，共有不同的取法________種.eq\x(導學號03960059)[答案]242[解析]取兩本書中，一本數(shù)學、一本語文，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理有10×9＝90(種)不同取法；取兩本書中，一本語文、一本英語，有9×8＝72(種)不同取法；取兩本書中，一本數(shù)學、一本英語，有10×8＝80(種)不同取法．綜合以上三類，利用分類加法計數(shù)原理，共有90＋72＋80＝242(種)不同取法．三、解答題10．有三項體育運動項目，每個項目均設(shè)冠軍和亞軍各一名獎項.eq\x(導學號03960060)(1)學生甲參加了這三個運動項目，但只獲得一個獎項，學生甲獲獎的不同情況有多少種？(2)有4名學生參加了這三個運動項目，若一個學生可以獲得多項冠軍，那么各項冠軍獲得者的不同情況有多少種？[解析](1)三個運動項目，共有六個獎項，由于甲獲得一個獎項且甲可獲得六個獎項中的任何一個．∴甲有6種不同的獲獎情況．(2)每一項體育運動項目中冠軍的歸屬都有4種不同的情況，故各項冠軍獲得者的不同情況有4×4×4＝64(種)．一、選擇題1．某單位有7個連在一起的車位，現(xiàn)有3輛不同型號的車需停放，如果要求剩余的4個車位連在一起，則不同的停放方法的種數(shù)為eq\x(導學號03960061)()A．16 B．18C．24 D．32[答案]C[解析]若將7個車位從左向右按1～7進行編號，則該3輛車有4種不同的停放方法：(1)停放在1～3號車位；(2)停放在5～7號車位；(3)停放在1、2、7號車位；(4)停放在1、6、7號車位．每一種停放方法均有6種，故共有24種不同的停放方法．2．先后擲兩次正方體骰子(骰子的六個面分別標有點數(shù)1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的點數(shù)分別為m、n，則mn是奇數(shù)的概率是eq\x(導學號03960062)()A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,6)[答案]C[解析]先后擲兩次正方體骰子總共有36種可能，要使mn是奇數(shù)，則m、n都是奇數(shù)，因此有以下幾種可能：(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)共9種可能．因此P＝eq\f(9,36)＝eq\f(1,4).二、填空題3．連擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為m和n，向量a＝(m，n)和向量b＝(1，－1)的夾角為θ，則θ為銳角的概率是\x(導學號03960063)[答案]eq\f(5,12)[解析]cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(m－n,\r(2)·\r(m2＋n2))，∵θ∈(0，eq\f(π,2))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a·b>0，,a∥b.))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－n>0，,\f(m－n,\r(2m2＋2n2))<1.))∴m>n，則m＝2時，n＝1；m＝3時，n＝1,2；m＝4時，n＝1,2,3；m＝5時，n＝1,2,3,4；m＝6時，n＝1,2,3,4,5.則這樣的向量a共有1＋2＋3＋4＋5＝15(個)，而第一次投擲骰子得到的點數(shù)m有6種情形，同樣n也有6種情形，∴不同的向量a＝(m，n)，共有6×6＝36個，因此所求概率P＝eq\f(15,36)＝eq\f(5,12).4．從集合{1,2,3,4,5,6}中任取兩個元素作為雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1中的幾何量a、b的值，則“雙曲線漸近線的斜率k滿足|k|≤1”的概率為\x(導學號03960064)[答案]eq\f(1,2)[解析]所有可能取法有6×5＝30種，由|k|＝eq\f(b,a)≤1知b≤a，滿足此條件的有(2,1)，(3,2)，(3,1)，(4,3)，(4,2)，(4,1)，(5,4)，(5,3)，(5,2)，(5,1)，(6,5)，(6,4)，(6,3)，(6,2)，(6,1)共15種，∴所求概率P＝eq\f(15,30)＝eq\f(1,2).三、解答題5．(2023·杭州外國語學校檢測)給出一個正五棱柱，用3種顏色給其10個頂點染色，要求各側(cè)棱的兩個端點不同色，有幾種染色方案？eq\x(導學號03960065)[解析]分兩步，先給上底面的5個頂點染色，每個頂點都有3種方法，共有35種方法，再給下底面的5個頂點染色，因為各側(cè)棱兩個端點不同色，所以每個頂點有2種方法，共有25種方法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有35·25＝7776(種)染色方案．6．用1、2、3、4四個數(shù)字(可重復(fù))排成三位數(shù)，并把這些三位數(shù)由小到大排成一個數(shù)列{an}.eq\