人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第28章銳角三角函數(shù)

第二十八章銳角三角函數(shù)28.1銳角三角函數(shù)

直角三角形ABC可以簡(jiǎn)記為Rt△ABC，你能說(shuō)出各條邊的名稱嗎？┓C斜邊c鄰邊對(duì)邊abC┓AB

某商場(chǎng)有一自動(dòng)扶梯，其傾斜角為30°，高為7m，扶梯的長(zhǎng)度是多少?BAC┓30°7m實(shí)際問(wèn)題

在上面的問(wèn)題中，如果高為10m，扶梯的長(zhǎng)度是多少？

已知等腰直角三角形ABC，∠C=90°，計(jì)算∠A的對(duì)邊與斜邊的比，你能得出什么結(jié)論？ABC┓在Rt△ABC中,∠C＝90°．當(dāng)∠A＝30°時(shí),當(dāng)∠A＝45°時(shí),固定值固定值

在直角三角形中，對(duì)于銳角A的每一個(gè)確定的值，其對(duì)邊與斜邊的比值也是唯一確定的嗎？想一想所以＝＝Rt△AB1C1∽R(shí)t△AB2C2∽R(shí)t△AB3C3

所以，在直角三角形中，當(dāng)銳角A的度數(shù)一定時(shí)，不論三角形的大小如何，∠A的對(duì)邊與斜邊的比是一個(gè)固定值．

觀察右圖中的Rt△AB1C1、Rt△AB2C2和Rt△AB3C3，∠A的對(duì)邊與斜邊有什么關(guān)系？

在Rt△ABC中，∠C=90°，我們把銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫做∠A的正弦（sine），記作sinA，即一個(gè)角的正弦表示定值、比值、正值．知識(shí)要點(diǎn)正弦

在直角三角形中，

對(duì)于銳角A的每一個(gè)確定的值，其鄰邊與斜邊、對(duì)邊與鄰邊的比值也是唯一確定的嗎？想一想

在直角三角形中，當(dāng)銳角A的度數(shù)一定時(shí)，不管三角形的大小如何，∠A的對(duì)邊與斜邊的比，∠A的鄰邊與斜邊的比，∠A的對(duì)邊與鄰邊的比都是一個(gè)固定值．歸納

在Rt△ABC中，∠C=90°，我們把銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦（cosine），記作cosA，即一個(gè)角的余弦表示定值、比值、正值．知識(shí)要點(diǎn)余弦

在Rt△ABC中，∠C=90°，我們把銳角A的對(duì)邊與鄰邊的比叫做∠A的正切（tangent），記作tanA，即一個(gè)角的正切表示定值、比值、正值．知識(shí)要點(diǎn)正切

銳角三角函數(shù)銳角A的正弦、余弦、正切叫做∠A的銳角三角函數(shù)（trigonometricfunctionofacuteangle）知識(shí)要點(diǎn)

1．sinA、cosA、tanA是在直角三角形中定義的，∠A是銳角(注意數(shù)形結(jié)合，構(gòu)造直角三角形)．

2．sinA、cosA、tanA是一個(gè)比值（數(shù)值）．

3．sinA、cosA、tanA的大小只與∠A的大小有關(guān)，而與直角三角形的邊長(zhǎng)無(wú)關(guān)．提示1、如圖1，在Rt△MNP中，∠N＝90゜.

∠P的對(duì)邊是_________,∠P的鄰邊是___________;

∠M的對(duì)邊是________,∠M的鄰邊是___________.2、設(shè)Rt△ABC，∠C＝90゜，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為a、b、c，根據(jù)下列所給條件求∠B的三個(gè)三角函數(shù)值.

a=5，c=13.小練習(xí)在直角三角形中共有五個(gè)元素：邊a,b,c,銳角∠A,∠B.這五個(gè)元素之間有如下等量關(guān)系：ABCcab(1)三邊之間關(guān)系：a2+b2=c2(勾股定理)

(2)銳角之間關(guān)系：∠A+∠B=90°(3)邊角之間關(guān)系：課堂小結(jié)第二十八章銳角三角函數(shù)28.2解直角三角形及其應(yīng)用28.2.1解直角三角形導(dǎo)入新課復(fù)習(xí)引入ACBcba(1)三邊之間的關(guān)系:a2+b2=_____；(2)銳角之間的關(guān)系：∠A+∠B=_____；(3)邊角之間的關(guān)系：sinA=_____，cosA=_____，tanA=_____.

問(wèn)題

如圖，在Rt△ABC中，共有六個(gè)元素（三條邊，三個(gè)角），其中∠C=90°，那么其余五個(gè)元素之間有怎樣的關(guān)系呢？c290°講授新課已知兩邊解直角三角形一如圖，在Rt△ABC中，（1）根據(jù)∠A＝75°，斜邊AB＝6，你能求出這個(gè)直角三角形的其他元素嗎？ABCα6=75°互動(dòng)探究如圖，在Rt△ABC中，（2）根據(jù)AC＝2.4，斜邊AB＝6，你能求出這個(gè)直角三角形的其他元素嗎？ABCα62.4在直角三角形中，除直角外有5個(gè)元素（即3條邊、2個(gè)銳角），只要知道其中的2個(gè)元素（至少有1個(gè)是邊），就可以求出其余的3個(gè)未知元素.由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的過(guò)程，叫作解直角三角形.已知一邊及一銳角解直角三角形二典例精析例2

如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，b=20,解這個(gè)直角三角形(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位).ABCb=20ca35°解：例3

如圖，已知AC=4，求AB和BC的長(zhǎng)．解析：作CD⊥AB于點(diǎn)D，根據(jù)三角函數(shù)的定義，在Rt△ACD，Rt△CDB中，即可求出CD，AD，BD的長(zhǎng)，從而得解．在Rt△CDB中，∵∠DCB=∠ACB-∠ACD=45°，D解：如圖，作CD⊥AB于點(diǎn)D.在Rt△ACD中，∵∠A=30°，∴∠ACD=90°-∠A=60°，∴BD=CD=2，已知一銳角三角函數(shù)值解直角三角形三例4

如圖，在Rt△ABC

中，∠C=90°，cosA=，BC=5，試求AB的長(zhǎng).解：ACB設(shè)∴AB的長(zhǎng)為在解直角三角形中，已知一邊與一銳角三角函數(shù)值，一般可結(jié)合方程思想求解.練一練1.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6，則AB=（）A．4B．6C．8D．10D2.如圖，在菱形ABCD中，AE⊥BC于點(diǎn)E，EC=4，sinB＝，則菱形的周長(zhǎng)是（）A．10B．20C．40D．28C圖②當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，如圖②，BC=BD+CD=12+5=17.圖①解：∵cos∠B=，∴∠B=45°.當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，如圖①，∵AC=13，∴由勾股定理得CD=5，∴BC=BD-CD=12-5=7.∴BC的長(zhǎng)為7或17.當(dāng)三角形的形狀不確定時(shí)，一定要注意分類討論.例5

在△ABC中，AB=，AC=13，cos∠B=，求BC的長(zhǎng).當(dāng)堂練習(xí)2.如圖，在Rt△ABC中，斜邊BC上的高AD=3，cosB=，則AC的長(zhǎng)為（）A．3B．3.75C．4.8D．5B1.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，則BC的長(zhǎng)是（）

D3.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6，∠BAC的平分線，解這個(gè)直角三角形.DABC6解：因?yàn)锳D平分∠BAC，4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，根據(jù)下列條件解直角三角形.（1）a=30,b=20；解：根據(jù)勾股定理得ABCb=20a=30c在Rt△ABC中，∠C＝90°，根據(jù)下列條件解直角三角形.

(2)∠B＝72°，c=14.ABCbac=14解：5.如圖，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=2，求BC.DABC解：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于D.在△ACD中，∠C=45°，AC=2，∴CD=AD=sinC·AC=2sin45°=.在△ABD中，∠B=30°，∴BD=∴BC=CD+BD=解直角三角形依據(jù)解法:只要知道五個(gè)元素中的兩個(gè)元素（至少有一個(gè)是邊），就可以求出余下的三個(gè)未知元素勾股定理兩銳角互余銳角的三角函數(shù)課堂小結(jié)28.2.2應(yīng)用舉例——什么是仰角、俯角？如何將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題？——什么是坡度、坡比？——如何將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題？

在進(jìn)行測(cè)量時(shí)，從下向上看，視線與水平線的夾角叫做仰角；從上往下看，視線與水平線的夾角叫做俯角.

在修路、挖河、開(kāi)渠和筑壩時(shí)，設(shè)計(jì)圖紙上都要注明斜坡的傾斜程度．如圖，坡面的鉛直高度(h)和水平長(zhǎng)度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比)，記作i，即

.

坡度通常寫(xiě)成1:m的形式，如

i＝1:6．坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作α，有

顯然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡．＝

tanα．

1、學(xué)生探究：在RtΔABC中，若∠C=90°，問(wèn)題1：兩銳角∠A、∠B有什么關(guān)系？問(wèn)題2：三邊a、b、c的關(guān)系如何？問(wèn)題3：∠A與邊的關(guān)系是什么？2、數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)運(yùn)用解直角三角形有下面兩種情況：（1）已知兩條邊求直角三角形中的其他元素；（2）已知一邊及一角求直角三角形中的其他元素.例1如圖，一棵大樹(shù)在一次強(qiáng)烈的地震中于離地面5米處折斷倒下，樹(shù)頂落在離樹(shù)根12米處，大樹(shù)在折斷之前高多少？解：利用勾股定理可以求出折斷后倒下部分的長(zhǎng)度為13+5=18（米）答：大樹(shù)在折斷之前高為18米.5m12m例2如圖，在相距2000米的東、西兩座炮臺(tái)A、B處同時(shí)發(fā)現(xiàn)入侵?jǐn)撑濩，炮臺(tái)A測(cè)得敵艦C在它的南偏東400的方向，炮臺(tái)B測(cè)得敵艦C在它的正南方，試求敵艦與兩炮臺(tái)的距離.（精確到1米）ADCB4002000例3如圖，為了測(cè)量旗桿的高度BC，在離旗桿底部10米的A處，用高1.50米的測(cè)角儀DA測(cè)得旗桿頂端C的仰角α=52°.求旗桿BC的高.

解：在Rt△CDE中，CE=DE×tanα=AB×tanα=10×tan52°≈12.80.BC=BE+CE=DA+CE≈1.50+12.80=14.3.答：旗桿BC的高度約為14.3米.1.(1)如圖，一輛消防車的梯子長(zhǎng)為18m，與水平面間的夾角為60°，如果這輛消防車的高度為2m，求梯子可達(dá)到的高度．AC=100m(2)我軍某部在一次野外訓(xùn)練中，有一輛坦克準(zhǔn)備通過(guò)一座小山，已知山腳和山頂?shù)乃骄嚯x為100米，山高為100米，如果這輛坦克能夠爬30°的斜坡，試問(wèn)：它能不能通過(guò)這座小山？AC100米100米B2.（1）某貨船沿正北方向航行，在點(diǎn)A處測(cè)得燈塔C在北偏西30°，船以每小時(shí)20海里的速度航行2小時(shí)，到達(dá)點(diǎn)B后，測(cè)得燈塔C在北偏西60°方向，請(qǐng)問(wèn)當(dāng)這艘貨船到達(dá)C的正東方向時(shí)，船距燈塔C有多遠(yuǎn)？（2）如圖，某電信部門計(jì)劃修建一條連接B、C兩地的電纜，測(cè)量人員，在山腳A點(diǎn)測(cè)得B、C兩地的仰角分別為30°、45°，在B地測(cè)得C地的仰角為60°．已知C地比A地高200米，電纜BC至少長(zhǎng)多少米？3.(1)植樹(shù)節(jié)，某