高中數(shù)學(xué)人教A版第二章基本初等函數(shù)（Ⅰ）冪函數(shù) 全市獲獎

第一課時：冪函數(shù)一、課前準備1．課時目標（1）理解冪函數(shù)的概念，會畫冪函數(shù)y=x，y=x2，y=x3，y=x－1，y=x的圖象.（2）結(jié)合這幾個冪函數(shù)的圖象，理解冪函數(shù)圖象的變化情況和性質(zhì).（3）重點：常見冪函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)2．基礎(chǔ)預(yù)探（1）、所有冪函數(shù)在都有定義，并且圖象都過點.（2）、①如果，則冪函數(shù)的圖象過，且在區(qū)間上為.②，則冪函數(shù)圖象在區(qū)間上是，在第一象限內(nèi)，當從右邊趨向于原點時，圖象在軸右方無限地逼近，當趨向于時，圖象在軸上無限地逼近.（3）、當為奇數(shù)時，冪函數(shù)為；當為偶數(shù)時，冪函數(shù)為.（4）、下列形式的函數(shù)為冪函數(shù)的是：①；②；③；④；⑤，則.(5)、若函數(shù)在第一象限，其值隨的增大而減小，則的取值范圍是.(6)、冪函數(shù)的性質(zhì)：定義域值域奇偶性單調(diào)性在上單調(diào)遞增.在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.在上單調(diào)遞增.在上單調(diào)遞增.在和上單調(diào)遞增.定點二、基本知識習(xí)題化1.若冪函數(shù)在上是增函數(shù)，則（）.A．>0 B．<0 C．=0 D．不能確定2.函數(shù)的圖象是（）.A.B.C.D.3.若，那么下列不等式成立的是（）.A．<l< B．1<<C．<l< D．1<<4.比大小：（1）；（2）.5.已知冪函數(shù)的圖象過點，則它的解析式為.三、學(xué)習(xí)引領(lǐng)1．冪函數(shù)的定義一般地，函數(shù)叫做冪函數(shù)，其中是自變量，是常數(shù)。說明：冪函數(shù)是五類基本初等函數(shù)中的一種，冪函數(shù)隨的不同，其定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等都有較大的差異，但一旦具體確定后，冪函數(shù)的性質(zhì)又比較容易確定，因此對冪函數(shù)的研究往往都是從具體的函數(shù)入手，對其進行分類討論，以達到以簡馭繁的目的。（1）只有形如的函數(shù)才是冪函數(shù)，如，，等形式的函數(shù)不是冪函數(shù)。（2）定義域、值域當時，，定義域為，值域為；當時，若為偶函數(shù)，如，等，定義域為，值域為；若為奇函數(shù)，如，等，定義域為，值域為；若為非奇非偶函數(shù)，如，等，，。當時，類似討論。2．冪函數(shù)中，當=1，2，3，，時性質(zhì)如下表所示：定義域值域奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性增時，增增增時，減時，減時，減定點結(jié)合以上特征，得冪函數(shù)的性質(zhì)如下：（1）所有的冪函數(shù)在上都有定義，并且圖象都通過點。（2）如果，則冪函數(shù)的圖象過原點，并且在區(qū)間上為增函數(shù)。（3）如果，則冪函數(shù)的圖象在區(qū)間上是減函數(shù)。在第一象限內(nèi)，當從右邊趨向于原點時，圖象在軸右方無限地逼近軸，當趨向于時，圖象在趨上方無限地逼近軸。（4）當為奇數(shù)時，冪函數(shù)為奇函數(shù)；當為偶數(shù)時，冪函數(shù)為偶函數(shù)。說明：①無論為何實數(shù)，冪函數(shù)的圖象一定經(jīng)過第一象限，且一定不經(jīng)過第四象限；②作直線，它與若干個冪函數(shù)的圖象相交，交點從上到下的排列順序，正是按冪指數(shù)的降序排列的，由此可以判斷不同冪函數(shù)圖象的冪指數(shù)的大??；③函數(shù)圖象的畫法是：列表、描點、連線，那么冪函數(shù)的圖象也可用此法畫出。3．形如（其中，）冪函數(shù)的性質(zhì)（1）當為偶數(shù)時，為偶函數(shù)；圖象關(guān)于軸對稱。（2）當、都為奇數(shù)時，為奇函數(shù)；圖象關(guān)于原點對稱。（3）當為偶數(shù)且為奇數(shù)時，是非奇非偶函數(shù)，圖象只能在第一象限內(nèi)。4、冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)與其他函數(shù)相比，冪函數(shù)的圖象的位置和形狀變化復(fù)雜因為指數(shù)稍有變化，圖象的位置和形狀就可能發(fā)生很大的變化，作為冪函數(shù)圖象時，重點考慮定義域、奇偶性、單調(diào)性及曲線變成趨向，特別在第一象限內(nèi)，可把它大概分為四種情形.冪函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)具有如下特征：直線將直線坐標平面在第一象限的直線的右側(cè)分為三個區(qū)域（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ），如圖所示：11（Ⅱ）（Ⅰ）11（Ⅱ）（Ⅰ）（Ⅲ）的圖象經(jīng)過區(qū)域（Ⅱ）；的圖象經(jīng)過區(qū)域（Ⅲ）；并且在直線的右側(cè)，從軸起，冪函數(shù)的指數(shù)由小到大遞增，即“指大圖高”、“指小圖低”在直線的左側(cè)，圖象從下到上，相應(yīng)的指數(shù)由大變小.四、典例導(dǎo)析題型一、根據(jù)冪函數(shù)的概念的考查例1已知是冪函數(shù)，求m，n的值.解析：由題意得，解得，所以.點評：做本題時，常常忽視m2+2m–2=1且2n表達式y(tǒng)=(x∈R)的要求比較嚴格，系數(shù)為1，底數(shù)是x，∈R為常數(shù)，如，y=1=x0為冪函數(shù)，而如y=2x2，y=(x–1)3等都不是冪函數(shù).變式練習(xí)1、下列函數(shù)中，是冪函數(shù)的是=－x =3x2 = =2x題型二、冪式的比較大?。豪?、例2比例下列各組數(shù)的大小.（1）；（2）(–2)–3和(––3；（3）–和–；（4）.分析：比較兩個或多個數(shù)值的大小，一般情況下是將所要比較的兩個或多個數(shù)值轉(zhuǎn)化為比較某一函數(shù)的不同函數(shù)值的大小問題，進而根據(jù)所確定的函數(shù)的單調(diào)性，比較自變量的大小即可.若所給的數(shù)值不能轉(zhuǎn)化為比較同一函數(shù)的不同函數(shù)值的大小問題，可以找出中間量來作為橋梁間接地進行比較，確定出它們的大小關(guān)系，一般情況下是根據(jù)具體情況選擇常數(shù)“1”“－1”或“0”這些數(shù)作為中間量來進行比較.解析：（1），函數(shù)在(0,+∞)上為增函數(shù)，又，則，從而.（2）冪函數(shù)y=x–3在(–∞,0)和(0,+∞)上為減函數(shù)，又∵–2＞–，∴(–2)–3＜(––3.（3）冪函數(shù)y=x–在(0,+∞)上為減函數(shù)，又∵＜，∴–＞–.（4）＞=1；0＜＜=1，＜0，∴＜＜.點評：比較大小題，要綜合考慮函數(shù)的性質(zhì)，特別是單調(diào)性的應(yīng)用，更善于用“搭橋”法進行分組，常數(shù)0和1是常用的“橋梁”.變式練習(xí)2、比較下列各組數(shù)的大?。海?），，1；（2）（－），（－），；（3），，（－）；（4），.題型三、冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)例3、證明冪函數(shù)f（x）=在［0，+∞）上是增函數(shù).分析：利用單調(diào)性的定義證明，設(shè)出變量，根據(jù)變量的大小關(guān)系，作差研究函數(shù)值的大小關(guān)系，從而判定函數(shù)的單調(diào)性.證明：設(shè)，且，則f（x1）－f（x2）=－==，因為x1－x2＜0，+＞0，所以f（x1）＜f（x2），即冪函數(shù)f（x）=在［0，+∞）上是增函數(shù).小結(jié)：以上是用作差法證明函數(shù)的單調(diào)性，還可以用作商法證明函數(shù)的單調(diào)性，作簡要分析，提出注意點：在證得＜1后，要比較f（x1）與f（x2）的大小，要注意分母的符號.變式練習(xí)3、求下列冪函數(shù)的定義域，并指出其奇偶性、單調(diào)性.（1）y=x；（2）y=x；（3）y=x－2.五、隨堂練習(xí)1．下列所給出的函數(shù)中，是冪函數(shù)的是 （）A． B． C． D．2．下列函數(shù)中既是偶函數(shù)又是 （）A． B． C． D．3．如圖1—9所示，冪函數(shù)在第一象限的圖象，比較的大小（）A．B．C．D．4．函數(shù)的定義域是.5．的解析式是 .6．比較下列各組中兩個值大?。?）六、課后作業(yè)1．函數(shù)在區(qū)間上的最大值是 （）A． B． C． D．2．下列命題中正確的是 （）A．當時函數(shù)的圖象是一條直線B．冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過（0，0）和（1，1）點C．若冪函數(shù)是奇函數(shù)，則是定義域上的增函數(shù)D．冪函數(shù)的圖象不可能出現(xiàn)在第四象限3．當時，函數(shù)的圖象恒在的下方，則的取值范圍是_________.4．冪函數(shù)圖象在一、二象限，不過原點，則的奇偶性為.5．下面六個冪函數(shù)的圖象如圖所示，試建立函數(shù)與圖象之間的對應(yīng)關(guān)系. （A）（B）（C）（D）（E）（F）6．由于對某種商品開始收稅，使其定價比原定價上漲x成（即上漲率為），漲價后，商品賣出個數(shù)減少bx成，稅率是新定價的a成，這里a,b均為正常數(shù)，且a<10，設(shè)售貨款扣除稅款后，剩余y元，要使y最大，求x的值.第一課時：冪函數(shù)答案解析一、課前準備2．基礎(chǔ)預(yù)探（1）、，（2）、①和，增函數(shù)②減函數(shù)，y軸，x軸（3）、奇函數(shù)；偶函數(shù)。（4）、⑤(5)、(6)、略二、基本知識習(xí)題化1.解析：根據(jù)冪函數(shù)性質(zhì)可得當時，在上是增函數(shù)，故選A.2.解析：由題意得，函數(shù)為偶函數(shù)，且在第一象限內(nèi)單調(diào)遞增，故選A.3.解析：由題意得，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，可知，故B.4.解析：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)遞增函數(shù)，可得；根據(jù)函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，得.5.解析：設(shè)冪函數(shù)的解析式為，則，所以.四、典例導(dǎo)析變式練習(xí)1、解析：根據(jù)冪函數(shù)的定義，可得是冪函數(shù).2、解析：（1）∵又函數(shù)y=x在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且＞＞1，所以＞＞1.（2）（－）=（），（－）=（），=［（）2］=.∵冪函數(shù)y=x在（0，+∞）上單調(diào)遞減，且＜＜，∴（）＞（）＞，即（－）＞（－）＞.（3）利用冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可以發(fā)現(xiàn)0＜＜1，＞1，（－）＜0，從而可以比較出它們的大小.（4）它們的底和指數(shù)也都不同，而且都大于1，我們插入一個中間數(shù)，利用冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可以發(fā)現(xiàn)＜＜.3、解：（1）函數(shù)y=x，即y=，其定義域為R，是偶函數(shù)，它在［0，+∞）上單調(diào)遞增，在（－∞，0］上單調(diào)遞減.（2）函數(shù)y=x，即y=，其定義域為（0，+∞），它既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，它在（0，+∞）上單調(diào)遞減.（3）函數(shù)y=x－2，即y=，其定義域為（－∞，0）∪（0，+∞），是偶函數(shù).它在區(qū)間（－∞，0）和（0，+∞）上都單調(diào)遞減.五、隨堂練習(xí)1．解析：根據(jù)冪函數(shù)的定義，可得函數(shù)為冪函數(shù)，故選B2．解析：由冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可得，函數(shù)在上是增函數(shù)，故選C。3．解析：由題意，畫出直線，通過交點可判定，故選C。4．解析：由，所以函數(shù)的定義域為，即函數(shù)的定義域為.5．解析：由題意，設(shè)冪函數(shù)，帶入點，即，所以函數(shù)的解析式為.6．解：（1），.（2）函數(shù)上增函數(shù)且六、課后作業(yè)1．解析：由冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)，得函數(shù)在為單調(diào)遞減函數(shù)，所以，故選C.2．解析：由冪函數(shù)的定義，得A中，當時，表示除去原點的一條直線；B中，當時，冪函數(shù)的圖象不經(jīng)過原點；C中，如是奇函數(shù)，但在定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)；D是正確的，根據(jù)函數(shù)的定義，冪函數(shù)在第四象限不可能出現(xiàn)圖象.3．解析：由題意可知，函數(shù)在圖象恒在的下方時，.4．解析：根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，得為奇數(shù)，是偶數(shù).5．解：六個冪函數(shù)的定義域，