高中數(shù)學(xué)人教A版3第二章隨機(jī)變量及其分布單元測(cè)試 優(yōu)秀獎(jiǎng)

選修2-3第二章2.一、選擇題1．若X是一個(gè)隨機(jī)變量，則E(X－E(X))的值為eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)03960485)()A．無(wú)法求 B．0C．E(X) D．2E(X)[答案]B[解析]只要認(rèn)識(shí)到E(X)是一個(gè)常數(shù)，則可直接運(yùn)用均值的性質(zhì)求解．∵E(aX＋b)＝aE(X)＋b，而E(X)為常數(shù)，∴E(X－E(X))＝E(X)－E(X)＝0.2．已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下：X135Pm則其數(shù)學(xué)期望E(X)等于eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)03960486)()A．1 B．C．2＋3m[答案]D[解析]由＋m＋＝1得，m＝，∴E(X)＝1×＋3×＋5×＝.3．有N件產(chǎn)品，其中有M件次品，從中不放回地抽n件產(chǎn)品，抽到次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望值是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)03960487)()A．n B．(n－1)eq\f(M,N)C．eq\f(nM,N) D．(n＋1)eq\f(M,N)[答案]C[解析]設(shè)抽到的次品數(shù)為X，∵共有N件產(chǎn)品，其中有M件次品，從中不放回地抽取n件產(chǎn)品，∴抽到的次品數(shù)X服從參數(shù)為N、M、n的超幾何分布，∴抽到次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望值E(X)＝eq\f(nM,N).4．今有兩臺(tái)獨(dú)立工作在兩地的雷達(dá)，每臺(tái)雷達(dá)發(fā)現(xiàn)飛行目標(biāo)的概率分別為和，設(shè)發(fā)現(xiàn)目標(biāo)的雷達(dá)臺(tái)數(shù)為X，則E(X)＝eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)03960488)()A． B．C． D．[答案]B[解析]由題意知，X取值為0,1,2，P(X＝0)＝(1－×(1－＝，P(X＝1)＝×(1－＋(1－×＝，P(X＝2)＝×＝，∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝.5．(2023·珠海高二檢測(cè))若隨機(jī)變量X的分布列如下表，則E(X)等于eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)03960489)()X012345P2x3x7x2x3xxA．eq\f(1,18) B．eq\f(1,9)C．eq\f(20,9) D．eq\f(9,20)[答案]D[解析]由2x＋3x＋7x＋2x＋3x＋x＝1，得x＝eq\f(1,18)，所以E(X)＝0×eq\f(2,18)＋1×eq\f(3,18)＋2×eq\f(7,18)＋3×eq\f(2,18)＋4×eq\f(3,18)＋5×eq\f(1,18)＝eq\f(20,9).6．如果a1、a2、a3、a4、a5、a6的期望為3，那么2(a1－3)，2(a2－3)，2(a3－3)，2(a4－3)，2(a5－3)，2(a6－3)的期望是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)03960490)()A．0 B．3C．6 D．12[答案]A[解析]由E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b＝2×3－6＝0.二、填空題7．某射手射擊所得環(huán)數(shù)X的分布列如下：eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)03960491)X78910Pxy已知X的期望E(X)＝，則y的值為_(kāi)_______．[答案][解析]∵x＋y＝,7x＋10y＝－－，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝,y＝).8．一袋中裝有分別標(biāo)記著1、2、3數(shù)字的3個(gè)小球，每次從袋中取出一個(gè)球(每只小球被取到的可能性相同)，現(xiàn)連續(xù)取3次球，若每次取出一個(gè)球后放回袋中，記3次取出的球中標(biāo)號(hào)最小的數(shù)字與最大的數(shù)字分別為X、Y，設(shè)ξ＝Y(jié)－X，則E(ξ)＝\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)03960492)[答案]eq\f(4,3)[解析]由題意知ξ的取值為0、1、2，ξ＝0，表示X＝Y(jié)；ξ＝1表示X＝1，Y＝2，或X＝2，Y＝3；ξ＝2表示X＝1，Y＝3.∴P(ξ＝0)＝eq\f(3,33)＝eq\f(1,9)，P(ξ＝1)＝eq\f(2×2×3,33)＝eq\f(4,9)，P(ξ＝2)＝eq\f(2×3＋A\o\al(3,3),33)＝eq\f(4,9)，∴E(ξ)＝0×eq\f(1,9)＋1×eq\f(4,9)＋2×eq\f(4,9)＝eq\f(4,3).9．設(shè)p為非負(fù)實(shí)數(shù)，隨機(jī)變量X的概率分布為：eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)03960493)X012Peq\f(1,2)－ppeq\f(1,2)則E(X)的最大值為_(kāi)_______．[答案]eq\f(3,2)[解析]由表可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤\f(1,2)－p≤1，,0≤p≤1，))從而得P∈[0，eq\f(1,2)]，期望值E(X)＝0×(eq\f(1,2)－p)＋1×p＋2×eq\f(1,2)＝p＋1，當(dāng)且僅當(dāng)p＝eq\f(1,2)時(shí)，E(X)最大值＝eq\f(3,2).三、解答題10．(2023·衡水中學(xué)高二檢測(cè))甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行射擊比賽，射擊次數(shù)相同，已知兩名運(yùn)動(dòng)員擊中的環(huán)數(shù)X穩(wěn)定在7環(huán)，8環(huán)，9環(huán)，10環(huán)，他們比賽成績(jī)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)03960494)環(huán)數(shù)擊中頻率選手78910甲乙請(qǐng)你根據(jù)上述信息，解決下列問(wèn)題：(1)估計(jì)甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員擊中的環(huán)數(shù)都不少于9環(huán)的概率；(2)若從甲、乙運(yùn)動(dòng)員中只能任選一名參加某大型比賽，請(qǐng)你從隨機(jī)變量均值意義的角度，談?wù)勛屨l(shuí)參加比較合適？[解析](1)記甲運(yùn)動(dòng)員擊中n環(huán)為事件An；乙運(yùn)動(dòng)員擊中n環(huán)為事件Bn(n＝1,2,3，…，10)，甲運(yùn)動(dòng)員擊中的環(huán)數(shù)不少于9環(huán)的事件A9∪A10，乙運(yùn)動(dòng)員擊中的環(huán)數(shù)不少于9環(huán)為事件B9∪B10.由題意可知事件A9與事件A10互斥，事件B9與事件B10互斥，事件A9∪A10與事件B9∪B10獨(dú)立．∴P(A9∪A10)＝P(A9)＋P(A10)＝1－－＝，P(B9∪B10)＝P(B9)＋P(B10)＝＋＝.∴甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員擊中的環(huán)數(shù)都不少于9環(huán)的概率等于×＝.(2)設(shè)甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員擊中的環(huán)數(shù)分別為隨機(jī)變量X、Y，由題意知X、Y的可能取值為：7、8、9、10.甲運(yùn)動(dòng)員射擊環(huán)數(shù)X的概率分布列為：X78910P甲運(yùn)動(dòng)員射擊環(huán)數(shù)X的均值E(X)＝7×＋8×＋9×＋10×＝.乙運(yùn)動(dòng)員射擊環(huán)數(shù)Y的概率分布列為：Y78910P乙運(yùn)動(dòng)員射擊環(huán)數(shù)Y的均值E(Y)＝7×＋8×＋9×＋10×＝.∵E(X)>E(Y)，∴從隨機(jī)變量均值意義的角度看，選甲去比較合適．一、選擇題1．已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的對(duì)稱(chēng)軸在y軸的左側(cè)，其中a、b、c∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在這些拋物線中，記隨機(jī)變量ξ＝|a－b|的取值，則ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)為eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)03960495)()A．eq\f(8,9) B．eq\f(3,5)C．eq\f(2,5) D．eq\f(1,3)[答案]A[解析]∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸在y軸的左側(cè)，∴－eq\f(b,2a)<0，即eq\f(b,a)>0，∴a與b同號(hào)．∴ξ的分布列為ξ012Peq\f(1,3)eq\f(4,9)eq\f(2,9)∴E(ξ)＝0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(4,9)＋2×eq\f(2,9)＝eq\f(8,9).2．設(shè)口袋中有黑球、白球共7個(gè)，從中任取2個(gè)球，已知取到白球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望值為eq\f(6,7)，則口袋中白球的個(gè)數(shù)為eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)03960496)()A．3 B．4C．5 D．2[答案]A[解析]設(shè)白球x個(gè)，則黑球7－x個(gè)，取出的2個(gè)球中所含白球個(gè)數(shù)為ξ，則ξ取值0、1、2，P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(2,7－x),C\o\al(2,7))＝eq\f(7－x6－x,42)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,x)·C\o\al(1,7－x),C\o\al(2,7))＝eq\f(x7－x,21)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,x),C\o\al(2,7))＝eq\f(xx－1,42)，∴0×eq\f(7－x6－x,42)＋1×eq\f(x7－x,21)＋2×eq\f(xx－1,42)＝eq\f(6,7)，∴x＝3.二、填空題3．設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為1、2、3、(X＝k)＝ak＋b(k＝1、2、3、4)．又X的均值E(X)＝3，則a＋b＝\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)03960497)[答案]eq\f(1,10)[解析]由條件知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b×1＋2a＋b×2＋3a＋b×3＋4a＋b×4＝3，,a＋b＋2a＋b＋3a＋b＋4a＋b＝1，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(30a＋10b＝3，,10a＋4b＝1，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,10),b＝0))，∴a＋b＝eq\f(1,10).4．已知隨機(jī)變量ξ和η，其中η＝4ξ－2，且E(η)＝7，若ξ的分布列如下表，則n的值為\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)03960498)ξ1234Peq\f(1,4)mneq\f(1,12)[答案]eq\f(1,3)[解析]η＝4ξ－2?E(η)＝4E(ξ)－2?7＝4·E(ξ)－2?E(ξ)＝eq\f(9,4)?eq\f(9,4)＝1×eq\f(1,4)＋2×m＋3×n＋4×eq\f(1,12)，又eq\f(1,4)＋m＋n＋eq\f(1,12)＝1，聯(lián)立求解可得n＝eq\f(1,3).三、解答題5．(2023·南安高二檢測(cè))根據(jù)某電子商務(wù)平臺(tái)的調(diào)查統(tǒng)計(jì)顯示，參與調(diào)查的1000位上網(wǎng)購(gòu)物者的年齡情況如圖所示.eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)03960499)(1)已知[30,40)、[40,50)、[50,60)三個(gè)年齡段的上網(wǎng)購(gòu)物者人數(shù)成等差數(shù)列，求a，b的值．(2)該電子商務(wù)平臺(tái)將年齡在[30,50)之間的人群定義為高消費(fèi)人群，其他的年齡段定義為潛在消費(fèi)人群，為了鼓勵(lì)潛在消費(fèi)人群的消費(fèi)，該平臺(tái)決定發(fā)放代金券，高消費(fèi)人群每人發(fā)放50元的代金券，潛在消費(fèi)人群每人發(fā)放100元的代金券，現(xiàn)采用分層抽樣的方式從參與調(diào)查的1000位上網(wǎng)購(gòu)者中抽取10人，并在這10人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行回訪，求此三人獲得代金券總和X的分布列與數(shù)學(xué)期望．[解析](1)∵[30,40)、[40,50)、[50,60)三個(gè)年齡段的上網(wǎng)購(gòu)物者人數(shù)成等差數(shù)列，∴由頻率分布直方圖得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(＋a＋b＋＋×10＝1，,2b＝a＋.))解得a＝，b＝.(2)利用分層抽樣從樣本中抽取10人，其中屬于高消費(fèi)人群的有(a＋b)×10×10＝6人，屬于潛在消費(fèi)人群的有10－6＝4人．從中取出3人，并計(jì)算3人所獲得代金券的總和X，則X的所有可能取值為：150,200,250,300.P(X＝150)＝eq\f(C\o\al(3,6),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,6)，P(X＝200)＝eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(1,4),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,2)，P(X＝250)＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(2,4),C\o\al(3,10))＝eq\f(3,10)，P(X＝300)＝eq\f(C\o\al(3,4),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,30)，∴X的分布列為：X150200250300Peq\f(1,6)eq\f(1,2)eq\f(3,10)eq\f(1,30)E(X)＝150×eq\f(1,6)＋200×eq\f(1,2)＋250×eq\f(3,10)＋300×eq\f(1,30)＝210.6．甲、乙兩個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員互不影響地在同一位置投球，命中率分別為eq\f(1,2)與p，且乙投球2次均未命中的概率為eq\f(1,16).eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)03960500)(1)求乙投球的命中率p；(2)若甲投球1次，乙投球2次，兩人共命中的次數(shù)記為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．[解析](1)設(shè)“甲投球一次命中”為事件A，“乙投球一次命中”為事件B．由題意得(1－P(B))2＝(1－p)2＝eq\f(1,16)，解得p＝eq\f(3,4)或p＝eq\f(5,4)(舍去)，所以乙投球的命中率為eq\f(3,4).(2)由題設(shè)和(1)知P(A)＝eq\f(1,2)，P(eq\x\to(A))＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(3,4)，P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,4).ξ可能的取值為0、1、2、3，故P(ξ＝0)＝P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B)·eq\x\to(B))＝eq\f(1,2)×(eq\f(1,4))2＝eq\f(1,32)，P(ξ＝1)＝P(A)P(eq\x\to(B)·eq\x\to(B))＋Ceq\o\al(1,2)P(B)P(eq\x\to(B))·P(eq\x\to(A))＝eq\f(1,2)×(eq