數(shù)學(xué)人教B版必修3課堂探究13中國古代數(shù)學(xué)中的算法案例Word版含解析

講堂研究1．展轉(zhuǎn)相除法與更相減損之術(shù)的異同解析：同樣點(diǎn)：①都是求最大條約數(shù)的方法．②更相減損之術(shù)的理論依照為：由m－n＝r，得m＝n＋r，能夠看出，m，n與n，r有同樣的條約數(shù)；展轉(zhuǎn)相除法的理論依照是：由m＝nq＋r能夠看出，m，n和n，r有同樣的條約數(shù)，即兩者的“算理”相像．不同點(diǎn)：①更相減損之術(shù)進(jìn)行的是減法運(yùn)算，展轉(zhuǎn)相除法進(jìn)行的是除法運(yùn)算，計(jì)算次數(shù)上展轉(zhuǎn)相除法計(jì)算次數(shù)相對較少．②結(jié)果上，展轉(zhuǎn)相除法表現(xiàn)結(jié)果是以相除余數(shù)為0獲得，而更相減損之術(shù)則以減數(shù)與差相等而獲得．2.秦九韶算法是多項(xiàng)式求值最初進(jìn)的方法解析：(1)秦九韶算法把求一個(gè)n次多項(xiàng)式的值轉(zhuǎn)變?yōu)榍髇個(gè)一次多項(xiàng)式的值，即把求nn－1的值轉(zhuǎn)變?yōu)榍筮f推公式f(x)＝anx＋an－1x＋＋a1x＋a0v0＝an，(k＝1,2,，n)中vn的值，因此我們能夠?qū)⑦@個(gè)遞推關(guān)系經(jīng)過循環(huán)vk＝vk－1x＋an－k，構(gòu)造編寫程序在計(jì)算機(jī)上來實(shí)現(xiàn)．(2)運(yùn)算次數(shù)減少，只要至多n次乘法和n次加法運(yùn)算，而直接乞降所用乘法的次數(shù)為nn＋1，加法的次數(shù)為n次，進(jìn)而大大提升了運(yùn)算效率．計(jì)算機(jī)做一次乘法運(yùn)算需要的時(shí)2間是做加法運(yùn)算的幾倍到十幾倍，權(quán)衡一個(gè)算法“優(yōu)”“劣”的標(biāo)準(zhǔn)之一就是運(yùn)算效率，減少乘法運(yùn)算的次數(shù)也就加速了計(jì)算速度．因此說，秦九韶算法是多項(xiàng)式求值的最初進(jìn)的算法．3．教材中的“研究與研究”古希臘求兩個(gè)正整數(shù)的最大條約數(shù)的方法是展轉(zhuǎn)相除法(即歐幾里得算法)：用較大的數(shù)除以較小的數(shù)所得的余數(shù)和較小的數(shù)組成新的一對數(shù)，持續(xù)做上邊的除法，直到大數(shù)被小數(shù)除盡，這個(gè)較小的數(shù)就是最大條約數(shù)．以求288和123的最大條約數(shù)為例，操作以下：(288,123)→(42,123)→(42,39)→(3,39)．想想這類算法的道理．試著編寫程序在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)．解析：歐幾里得展轉(zhuǎn)相除法求正整數(shù)a，b(a＞b)的最大條約數(shù)的步驟是：計(jì)算出a÷b的余數(shù)r，若r＝0，則b為a，b的最大條約數(shù)；若r≠0，則把前面的除數(shù)b作為新的被除數(shù)，把余數(shù)r作為新的除數(shù)，持續(xù)運(yùn)算，直到余數(shù)為零，此時(shí)的除數(shù)即為a，b的最大條約數(shù)．從其算法思想我們能夠看出，展轉(zhuǎn)相除法的基本步驟是用較大的數(shù)(用a表示)除以較小的數(shù)(用b表示)，獲得除式：a＝nb＋r(0≤r＜b)．因?yàn)檫@是一個(gè)頻頻履行的步驟，且履行的次數(shù)由余數(shù)r能否等于0決定，因此我們能夠把它看做一個(gè)循環(huán)體，用循環(huán)構(gòu)造就能夠來實(shí)現(xiàn)其算法．程序略．【例1】分別用展轉(zhuǎn)相除法和更相減損之術(shù)求以下兩數(shù)的最大條約數(shù)．(1)261,319；(2)1734,816.解析：使用展轉(zhuǎn)相除法可依照m＝nq＋r，頻頻履行，直到r＝0為止；用更相減損之術(shù)就是依據(jù)m－n＝r，頻頻履行，直到n＝r為止．解：(1)展轉(zhuǎn)相除法：319÷261＝1(余58)261÷58＝4(余29)58÷29＝2(余0)∴319與261的最大條約數(shù)是29.更相減損之術(shù)：(261,319)→(261,58)→(203,58)→(145,58)→(87,58)→(29,58)→(29,29)．∴319與

261的最大條約數(shù)是

29.(2)展轉(zhuǎn)相除法：1734

÷816＝2(余

102)，816÷102＝8(余

0)，∴1734

與

816的最大條約數(shù)是

102.更相減損之術(shù)：因?yàn)閮蓴?shù)皆為偶數(shù)，第一除以

2獲得

867,408，再求

867與

408的最大條約數(shù).(867,408)→(459,408)→(51,408)→(51,357)→(51,306)→(51,255)→(51,204)→(51,153)→(51,102)→(51,51)．∴1734

與

816的最大條約數(shù)是

51×2＝102.反省關(guān)于第二個(gè)問題，用更相減損之術(shù)求解時(shí)，最后的結(jié)論有的同學(xué)可能會寫成而沒有乘以2，進(jìn)而得出與用展轉(zhuǎn)相除法不同樣的答案，51是它們的條約數(shù)，們的條約數(shù)，因此最大條約數(shù)就為51×2＝102.

51，2也是它【例2】求375,85兩數(shù)的最小公倍數(shù)．解析：兩數(shù)的最小公倍數(shù)就是兩數(shù)之積與此兩數(shù)最大條約數(shù)的商．解：先求最大條約數(shù)，375＝85×4＋35,85＝35×2＋15，35＝15×2＋5，15＝5×3＋0，∴375與85的最大條約數(shù)是5，∴375與85的最小公倍數(shù)是375×85÷5＝6375.反省先求最大條約數(shù)，因?yàn)閮蓴?shù)的最小公倍數(shù)就是兩數(shù)之積與兩數(shù)最大條約數(shù)的商，因此這類方法也能夠推行到n(n≥3)個(gè)數(shù)的狀況.【例3】用秦九韶算法計(jì)算多項(xiàng)式f(x)＝x6－12x5＋60x4－160x3＋240x2－192x＋64當(dāng)x＝2時(shí)的值．解析：用秦九韶算法計(jì)算多項(xiàng)式的值，重點(diǎn)是正確地將多項(xiàng)式改寫，而后由內(nèi)向外挨次計(jì)算求得．解：先將多項(xiàng)式f(x)進(jìn)行改寫：f(x)＝x6－12x5＋60x4－160x3＋240x2－192x＋64(((((x－12)x＋60)x－160)x＋240)x－192)x＋64.而后由內(nèi)向外計(jì)算得v0＝1，v1＝v0x＋a5＝1×2－12＝－10，v2＝v1x＋a4＝－10×2＋60＝40，v3＝v2x＋a3＝40×2－160＝－80，v4＝v3x＋a2＝－80×2＋240＝80，v541，＝vx＋a＝80×2－192＝－32v6＝－32×2＋64＝0.因此當(dāng)x＝2時(shí)多項(xiàng)式f(x)的值為f(2)＝0.反省有的同學(xué)習(xí)慣于慣例解法，可能會直接代