【名師一號(hào)】高中數(shù)學(xué) 1.2.3空間幾何體的直觀圖 A必修2

1.2.3空間幾何體的直觀圖1自學(xué)導(dǎo)引(學(xué)生用書(shū)P10)1.會(huì)用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出簡(jiǎn)單幾何體的直觀圖.

2.體會(huì)直觀圖與平面直角坐標(biāo)系下圖形的轉(zhuǎn)化,提高空間想象能力.

2課前熱身(學(xué)生用書(shū)P10)1.表示空間圖形的________,叫做空間圖形的直觀圖.

2.用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)空間圖形的直觀圖時(shí),圖形中平行于x軸?y軸或z軸的線段,在直觀圖中分別畫(huà)成________于x′軸?y′軸或z′軸的線段.平行于x軸和z軸的線段,在直觀圖中長(zhǎng)度________;平行于y軸的線段,長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的________.

平面圖形平行不變一半3名師講解(學(xué)生用書(shū)P10)利用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的幾何圖形的直觀圖應(yīng)注意的問(wèn)題

(1)要根據(jù)圖形的特點(diǎn)選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,這樣可以簡(jiǎn)化作圖步驟;

(2)平行于y軸的線段畫(huà)直觀圖時(shí)一定要畫(huà)成原來(lái)長(zhǎng)度的一半;

(3)對(duì)于圖形中與x軸?y軸?z軸都不平行的線段,可通過(guò)確定端點(diǎn)的辦法來(lái)解決,即過(guò)端點(diǎn)作坐標(biāo)軸的平行線段,再借助于所作的平行線段確定端點(diǎn)在直觀圖中的位置.

4典例剖析(學(xué)生用書(shū)P10)題型一水平放置的平面圖形的直觀圖

5例1:畫(huà)出水平放置的等腰梯形的直觀圖.

解:畫(huà)水平放置的直觀圖應(yīng)遵循以下原則:

(1)直角坐標(biāo)系中∠x(chóng)′O′y′=45°;

(2)橫線相等,即A′B′=AB,C′D′=CD;

(3)豎線是原來(lái)的,即O′E′=OE.

6畫(huà)法:(1)如圖,取AB所在直線為x軸,

AB中點(diǎn)O為原點(diǎn),建立直角坐標(biāo)系,

畫(huà)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)系x′O′y′,使

∠x(chóng)′O′y′=45°.

(2)以O(shè)′為中點(diǎn)在x′軸上取A′B′=AB,在y′軸上取O′E′=OE,以E′為中點(diǎn)畫(huà)C′D′∥x′軸,并使C′D′=CD.

(3)連結(jié)B′C′,D′A′,所得的四邊形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD

的直觀圖,如下圖.

7誤區(qū)警示:畫(huà)水平放置的幾何圖形的直觀圖時(shí),不能將與y軸平行的線畫(huà)成與原來(lái)的長(zhǎng)度相等,如本例中的O′E′.

8變式訓(xùn)練1:畫(huà)出邊長(zhǎng)為3cm的正方形的直觀圖.

解:(1)畫(huà)軸.如下圖,使∠x(chóng)′O′y′=45°.

(2)在x′軸上截取O′A′=3cm.

在y′軸上截取O′C′=1.5cm.

作C′B′∥O′A′且C′B′=3cm.

連結(jié)A′B′,則平行四邊形O′A′B′C′

就是邊長(zhǎng)為3cm的正方形的直觀圖.

9題型二空間圖形的直觀圖

例2:用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出六棱錐P—ABCDEF的直觀圖,其中底面ABCDEF為正六邊形,點(diǎn)P在底面的投影是正六邊形的中心O.(尺寸自定)

10解:畫(huà)法:(1)畫(huà)出六棱錐P—ABCDEF的底面.①在正六邊形ABCDEF中,取AD所在的直線為x軸,對(duì)稱軸MN所在的直線為y軸,兩軸相交于點(diǎn)O(如圖(1)所示),畫(huà)相應(yīng)的x′軸?y′軸以及和x′軸垂直的z′軸,三軸相交于點(diǎn)O′,使∠x(chóng)′O′y′=45°,∠x(chóng)′O′z′=90°;(如圖(2)所示)

11②在圖(2)中以O(shè)′為中點(diǎn),在x′軸上取A′D′=AD,在y′軸上取M′N′=MN,以N′點(diǎn)為中點(diǎn)畫(huà)B′C′平行于x′軸,并且等于BC;再以M′點(diǎn)為中點(diǎn)畫(huà)E′F′平行于x′軸,并且等于EF;③連接A′B′,C′D′,D′E′,F′A′得到正六邊形ABCDEF水平放置的直觀圖A′B′C′D′E′F′.

12(2)畫(huà)正六棱錐P—ABCDEF的頂點(diǎn).在O′z′軸上截取點(diǎn)P′,使P′O′=PO.

(3)成圖.連接P′A′,P′B′,P′C′,P′D′,P′E′,P′F′,并擦去x′軸?y′軸和z′軸,便得到六棱錐P—ABCDEF的直觀圖P′—A′B′C′D′E′F′.(如圖(3)所示).

13變式訓(xùn)練2:畫(huà)出底面是正方形,側(cè)棱均相等的四棱錐的直觀圖.

解:畫(huà)法:(1)畫(huà)軸.畫(huà)Ox軸?Oy軸?Oz軸,∠x(chóng)Oy=45°(或135°),∠x(chóng)Oz=90°,如圖(1).

14(2)畫(huà)底面.以O(shè)為中心在xOy平面內(nèi),畫(huà)出正方形的直觀圖ABCD.

(3)畫(huà)頂點(diǎn).在Oz軸上截取OP,使OP的長(zhǎng)度是原四棱錐的高.

(4)成圖.順次連接PA?PB?PC?PD,并擦去輔助線,將被遮住的部分改為虛線,得四棱錐的直觀圖,如圖(2).

15題型三畫(huà)三視圖所表示的空間圖形的直觀圖

例3:如圖已知幾何體的三視圖,用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出它的直觀圖.

16解:由幾何體的三視圖知道,這個(gè)幾何體是一個(gè)簡(jiǎn)單組合體,它的下部是一個(gè)圓柱,上部是一個(gè)圓錐,并且圓錐的底面與圓柱的上底面重合.我們可以先畫(huà)出下部的圓柱,再畫(huà)出上部的圓錐.

17畫(huà)法:(1)畫(huà)軸,如圖(1),畫(huà)x軸?y軸?z軸,使∠x(chóng)Oy=45°,∠x(chóng)Oz=90°.

(2)畫(huà)圓柱的兩底面.畫(huà)出底面⊙O.在z軸上截取O′,使OO′等于三視圖中相應(yīng)高度,過(guò)O′作Ox的平行線O′x′,Oy的平行線O′y′,利用O′x′與O′y′畫(huà)出底面⊙O′(與⊙O一樣).

(3)畫(huà)圓錐的頂點(diǎn).在Oz上截取點(diǎn)P,使PO′等于三視圖中相應(yīng)的高度.

(4)成圖.連結(jié)PA′,PB′,A′A,B′B,整理得到三視圖表示的幾何體的直觀圖,如圖(2).

1819規(guī)律技巧:由三視圖想象幾何體畫(huà)直觀圖時(shí),也要根據(jù)“長(zhǎng)對(duì)正,寬相等,高平齊”的基本特征,想象視圖中每部分對(duì)應(yīng)的實(shí)物部分的形象.

20變式訓(xùn)練3:如下圖是一個(gè)空間幾何體的三視圖,試用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出它的直觀圖.

21解:畫(huà)法:(1)畫(huà)軸.如下圖(1),畫(huà)x軸?y軸?z軸,使∠x(chóng)Oy=45°,∠x(chóng)Oz=90°.

(2)畫(huà)兩底面.由三視圖知該幾何體為正六棱臺(tái),用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出底面ABCDEF,在z軸上截取OO′,使OO′等于三視圖中的相應(yīng)高度.過(guò)O′作Ox的平行線O′x′,Oy的平行線O′y′,利用O′x′與O′y′畫(huà)出底面A′B′C′D′E′F′.

(3)成圖.連結(jié)A′A?B′B?C′C?D′D?E′E?F′F.整理得到三視圖表示的幾何體的直觀圖,如圖(2).

2223易錯(cuò)探究

例4:已知△ABC的平面直觀圖△A′B′C′是邊長(zhǎng)為a的正三角形,那么原△ABC的面積為()錯(cuò)解:A

2425正解:由直觀圖的畫(huà)法知,原三角形的高是直觀圖△A′B′C′的高的倍.

所以△ABC的面積為答案:C

26技能演練(學(xué)生用書(shū)P12)

基礎(chǔ)強(qiáng)化271.關(guān)于斜二測(cè)直觀圖的畫(huà)法,以下說(shuō)法不正確的是()

A.原圖形中平行于x軸的線段,其對(duì)應(yīng)線段平行于x′軸,長(zhǎng)度不變

B.原圖形中平行于y軸的線段,其對(duì)應(yīng)線段平行于y′軸,長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的

C.畫(huà)與直角坐標(biāo)系xOy對(duì)應(yīng)的x′O′y′時(shí),∠x(chóng)′O′y′必須是45°

D.在畫(huà)直觀圖時(shí),由于選軸的不同,所得的直觀圖可能不同答案:C

282.下列敘述正確的個(gè)數(shù)是()

①相等的角在直觀圖中仍相等;

②長(zhǎng)度相等的線段,在直觀圖中長(zhǎng)度仍相等;

③若兩條線段平行,在直觀圖中對(duì)應(yīng)的線段仍平行;

④若兩條線段垂直,在直觀圖中對(duì)應(yīng)的線段也垂直.

A.0B.1

C.2D.3

解析:由直觀圖的畫(huà)法知,僅有③正確.

答案:B

293.利用斜二測(cè)畫(huà)法得到如下結(jié)論:

①三角形的直觀圖是三角形;

②平行四邊形的直觀圖是平行四邊形;

③正方形的直觀圖是正方形;

④梯形的直觀圖是梯形.

其中正確的是()

A.①②B.③④

C.②③D.①④答案:D

304.以下說(shuō)法正確的是()

A.任何物體的三視圖都與物體的擺放位置有關(guān)

B.任何物體的三視圖都與物體的擺放位置無(wú)關(guān)

C.有的物體的三視圖與物體的擺放位置無(wú)關(guān)

D.正方體的三視圖一定是全等的正方形

答案:C

315.如下圖所示的水平放置的三角形的直觀圖,D′是△A′B′C′中B′C′邊的中點(diǎn),那么A′B′?A′D′?A′C′三條線段對(duì)應(yīng)原圖形中線段AB?AD?AC中()

32A.最長(zhǎng)的是AB,最短的是AC

B.最長(zhǎng)的是AC,最短的是AB

C.最長(zhǎng)的是AB,最短的是AD

D.最長(zhǎng)的是AD,最短的是AC

解析:還原為原圖形知,在△ABC中AD⊥BC.

且∠C=∠B,∴AB最長(zhǎng),AD最短.

答案:C

336.如圖,△O′A′B′是△OAB的水平放置的直觀圖,則△OAB的面積為_(kāi)_______.

解析:S△OAB=×4×6=12.

12347.已知一個(gè)正方形的直觀圖是一個(gè)平行四邊形,其中有一邊長(zhǎng)是4,則此正方形的面積是________.解析:根據(jù)直觀圖的畫(huà)法,平行于x軸的線段長(zhǎng)度不變,平行y軸的線段變?yōu)樵瓉?lái)的.于是當(dāng)長(zhǎng)為4的邊平行x軸,則正方形邊長(zhǎng)為4,所以面積是16;長(zhǎng)為4的邊平行于y軸時(shí),正方形邊長(zhǎng)為8,面積為64.

16或64358.畫(huà)出棱長(zhǎng)為2cm的正方體的直觀圖.解:(1)作水平放置的正方形的直觀圖ABCD(圖(1)).

使∠BAD=45°,AB=2cm,AD=1cm.

(2)過(guò)A作z′軸使∠BAz′=90°,分別過(guò)點(diǎn)A?B?C?D,沿z′軸的正方向取AA′=BB′=CC′=DD′=2cm.

(3)連接A′B′?B′C′?C′D′?D′A′,得到的圖形就是所求的正方體直觀圖(圖(2)).

36能力提升

9.如下圖的正方形O′A′B′C′的邊長(zhǎng)為1cm,它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖,則原圖形的周長(zhǎng)為()

A.6cm B.8cm

37解析:將直觀圖還原為原圖形,如下圖所示:

由直觀圖知,OB=cm,BC=OA=1cm.

∴OC=AB

∴平行四邊形OABC的周長(zhǎng)為8cm.

答案:B

3810.已知幾何體的三視圖,如下圖所示,用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出它的直觀圖(單位cm).

39解:由三視圖可知其幾何體是底面邊長(zhǎng)為2cm,高為3cm的正六棱錐,其直觀圖如下圖所示:40畫(huà)法:(1)畫(huà)軸.取底面中心O′,畫(huà)x′軸?y′軸?z′軸,使∠x(chóng)′O′y′=45°,∠x(chóng)′O′z′=90°.

(2)畫(huà)底面.在水平面x′O′y′內(nèi)畫(huà)邊長(zhǎng)為2cm正六邊形的直觀圖.

(3)畫(huà)高線.在O′z′上取點(diǎn)P′,使O′P′=3cm.

(4)成圖.連接P′A′?P′B′?P′C′?P′D′?P′E′?P′F′(畫(huà)側(cè)棱)去掉輔助線,并且遮住的部分改為虛線,即得到如圖所示的直觀圖.

41品味高考(學(xué)生用書(shū)P13)

11.(北京高考)如