2023年自考?xì)v年線性代數(shù)考試試題及答案解析

自考?xì)v年線性代數(shù)考試試題及答案解析精選第一部分選擇題(共28分)單項(xiàng)選擇題[本大題共14小題,每小題2分,共28分]在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目規(guī)定的,請(qǐng)將其代碼填在題后的括號(hào)內(nèi).錯(cuò)選或未選均無(wú)分.1、設(shè)行列式=m,=n,則行列式等于[]A、m+n B、-(m+n)C、n-m D、m-n2、設(shè)矩陣A=,則A-1等于[]A、 B、C、 D、3、設(shè)矩陣A=,A*是A的隨著矩陣,則A*中位于[1,2]的元素是[]A、–6 B、6C、2 D、–24、設(shè)A是方陣,如有矩陣關(guān)系式AB=AC,則必有[]A、A=0 B、BC時(shí)A=0C、A0時(shí)B=C D、|A|0時(shí)B=C5、已知3×4矩陣A的行向量組線性無(wú)關(guān),則秩[AT]等于[]A、1 B、2C、3 D、46、設(shè)兩個(gè)向量組α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βs均線性相關(guān),則[]A、有不全為0的數(shù)λ1,λ2,…,λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B、有不全為0的數(shù)λ1,λ2,…,λs使λ1[α1+β1]+λ2[α2+β2]+…+λs[αs+βs]=0C、有不全為0的數(shù)λ1,λ2,…,λs使λ1[α1-β1]+λ2[α2-β2]+…+λs[αs-βs]=0D、有不全為0的數(shù)λ1,λ2,…,λs和不全為0的數(shù)μ1,μ2,…,μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07、設(shè)矩陣A的秩為r,則A中[]A、所有r-1階子式都不為0 B、所有r-1階子式全為0C、至少有一個(gè)r階子式不等于0 D、所有r階子式都不為08、設(shè)Ax=b是一非齊次線性方程組,η1,η2是其任意2個(gè)解,則下面結(jié)論錯(cuò)誤的是[]A、η1+η2是Ax=0的一個(gè)解 B、η1+η2是Ax=b的一個(gè)解C、η1-η2是Ax=0的一個(gè)解 D、2η1-η2是Ax=b的一個(gè)解9、設(shè)n階方陣A不可逆,則必有[]A、秩(A)<n B、秩(A)=n-1C、A=0 D、方程組Ax=0只有零解10、設(shè)A是一個(gè)n(≥3)階方陣,下面陳述中對(duì)的的是[]A、如存在數(shù)λ和向量α使Aα=λα,則α是A的屬于特點(diǎn)值λ的特點(diǎn)向量B、如存在數(shù)λ和非零向量α,使(λE-A)α=0,則λ是A的特點(diǎn)值C、A的2個(gè)不同的特點(diǎn)值可以有同一個(gè)特點(diǎn)向量D、如λ1,λ2,λ3是A的3個(gè)互不相同的特點(diǎn)值,α1,α2,α3依次是A的屬于λ1,λ2,λ3的特點(diǎn)向量,則α1,α2,α3有也許線性相關(guān)11、設(shè)λ0是矩陣A的特點(diǎn)方程的3重根,A的屬于λ0的線性無(wú)關(guān)的特點(diǎn)向量的個(gè)數(shù)為k,則必有[]A、k≤3 B、k<3C、k=3 D、k>312、設(shè)A是正交矩陣,則下面結(jié)論錯(cuò)誤的是[]A、|A|2必為1 B、|A|必為1C、A-1=AT D、A的行[列]向量組是正交單位向量組13、設(shè)A是實(shí)對(duì)稱矩陣,C是實(shí)可逆矩陣,B=CTAC、則[]A、A和B相似B、A和B不等價(jià)C、A和B有相同的特點(diǎn)值D、A和B協(xié)議14、下面矩陣中是正定矩陣的為[]A、 B、C、 D、第二部分非選擇題[共72分]二、填空題[本大題共10小題,每小題2分,共20分]不寫(xiě)解答過(guò)程,將對(duì)的的答案寫(xiě)在每小題的空格內(nèi).錯(cuò)填或不填均無(wú)分.15、、16、設(shè)A=,B=、則A+2B=、17、設(shè)A=(aij)3×3,|A|=2,Aij表達(dá)|A|中元素aij的代數(shù)余子式[i,j=1,2,3],則(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a3318、設(shè)向量[2,-3,5]和向量[-4,6,a]線性相關(guān),則a=、19、設(shè)A是3×4矩陣,其秩為3,若η1,η2為非齊次線性方程組Ax=b的2個(gè)不同的解,則它的通解為、20、設(shè)A是m×n矩陣,A的秩為r(<n),則齊次線性方程組Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系中具有解的個(gè)數(shù)為、21、設(shè)向量α、β的長(zhǎng)度依次為2和3,則向量α+β和α-β的內(nèi)積[α+β,α-β]=、22、設(shè)3階矩陣A的行列式|A|=8,已知A有2個(gè)特點(diǎn)值-1和4,則另一特點(diǎn)值為、23、設(shè)矩陣A=,已知α=是它的一個(gè)特點(diǎn)向量,則α所相應(yīng)的特點(diǎn)值為、24、設(shè)實(shí)二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩為4,正慣性指數(shù)為3,則其規(guī)范形為、三、計(jì)算題[本大題共7小題,每小題6分,共42分]25、設(shè)A=,B=、求[1]ABT；[2]|4A|、26、試計(jì)算行列式、27、設(shè)矩陣A=,求矩陣B使其滿足矩陣方程AB=A+2B、28、給定向量組α1=,α2=,α3=,α4=、試判斷α4是否為α1,α2,α3的線性組合；若是,則求出組合系數(shù).29、設(shè)矩陣A=、求:[1]秩[A]；[2]A的列向量組的一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)組.30、設(shè)矩陣A=的所有特點(diǎn)值為1,1和-8、求正交矩陣T和對(duì)角矩陣D,使T-1AT=D、31、試用配方法化下面二次型為標(biāo)準(zhǔn)形f(x1,x2,x3)=,并寫(xiě)出所用的滿秩線性變換.四、證明題[本大題共2小題,每小題5分,共10分]32、設(shè)方陣A滿足A3=0,試證明E-A可逆,且[E-A]-1=E+A+A2、33、設(shè)η0是非齊次線性方程組Ax=b的一個(gè)特解,ξ1,ξ2是其導(dǎo)出組Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系、試證明[1]η1=η0+ξ1,η2=η0+ξ2均是Ax=b的解；[2]η0,η1,η2線性無(wú)關(guān).答案:一、單項(xiàng)選擇題[本大題共14小題,每小題2分,共28分]1、D 2、B 3、B 4、D 5、C6、D 7、C 8、A 9、A 10、B11、A 12、B 13、D 14、C二、填空題[本大題共10空,每空2分,共20分]15、616、17、418、–1019、η1+c(η2-η1)[或η2+c(η2-η1)],c為任意常數(shù)20、n-r21、–522、–223、124、三、計(jì)算題[本大題共7小題,每小題6分,共42分]25、解[1]ABT==、[2]|4A|=43|A|=64|A|,而|A|=、所以|4A|=64·[-2]=-12826、解==27、解AB=A+2B即[A-2E]B=A,而[A-2E]-1=所以B=(A-2E)-1A=28、解一所以α4=2α1+α2+α3,組合系數(shù)為[2,1,1]、解二考慮α4=x1α1+x2α2+x3α3,即方程組有唯一解[2,1,1]T,組合系數(shù)為[2,1,1]、29、解對(duì)矩陣A施行初等行變換A=B、[1]秩[B]=3,所以秩[A]=秩[B]=3、[2]由于A和B的列向量組有相同的線性關(guān)系,而B(niǎo)是階梯形,B的第1、2、4列是B的列向量組的一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)組,故A的第1、2、4列是A的列向量組的一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)組.[A的第1、2、5列或1、3、4列,或1、3、5列也是]30、解A的屬于特點(diǎn)值λ=1的2個(gè)線性無(wú)關(guān)的特點(diǎn)向量為ξ1=[2,-1,0]T,ξ2=[2,0,1]T、經(jīng)正交標(biāo)準(zhǔn)化,得η1=,η2=、λ=-8的一個(gè)特點(diǎn)向量為ξ3=,經(jīng)單位化得η3=所求正交矩陣為T(mén)=、對(duì)角矩陣D=[也可取T=、]31、解f(x1,x2,x3)=[x1+2x2-2x3]2-2x22+4x2x3-7x32=[x1+2x2-2x3]2-2[x2-x3]2-5x32、設(shè),即,因其系數(shù)矩陣C=可逆,故此線性變換滿秩.經(jīng)此變換即得f(x1,x2,x3)的標(biāo)準(zhǔn)形 y12-2y22-5y32、四、證明題[本大題共2小題,每小題5分,共10分]32、證由于[E-A][E+A+A2]=E-A3=E,所以E-A可逆,且[E-A]-1=E+A+A2、33、證由假設(shè)Aη0=b,Aξ1=0,Aξ2=0、[1]Aη1=A[η0+ξ1]=Aη0+Aξ1=b,同理Aη2=b,所以η1,η2是Ax=b的2個(gè)解.[2]考慮l0η0+l1η1+l2η2=0,即[l0+l1+l2]η0+l1ξ1+l2ξ2=0、則l0+l1+l2=0,否則η0將是Ax=0的解,矛盾.所以l1ξ1+l2ξ2=0、 又由假設(shè),ξ1,ξ2線性無(wú)關(guān),所以l1=0,l2=0,從而l0=0、所以η0,η1,η2線性無(wú)關(guān).線性代數(shù)期末考試題一、填空題[將對(duì)的答案填在題中橫線上.每小題2分,共10分]1、若,則__________.2、若齊次線性方程組只有零解,則應(yīng)滿足.3、已知矩陣,滿足,則和分別是階矩陣.4、矩陣的行向量組線性.5、階方陣滿足,則.二、判斷正誤[對(duì)的的在括號(hào)內(nèi)填”√”,錯(cuò)誤的在括號(hào)內(nèi)填”×”.每小題2分,共10分]1、若行列式中每個(gè)元素都大于零,則.[]2、零向量一定可以表達(dá)成任意一組向量的線性組合.[]3、向量組中,假如和相應(yīng)的分量成比例,則向量組線性相關(guān).[]4、,則.[]5、若為可逆矩陣的特點(diǎn)值,則的特點(diǎn)值為.<>三、單項(xiàng)選擇題(每小題僅有一個(gè)對(duì)的答案,將對(duì)的答案題號(hào)填入括號(hào)內(nèi).每小題2分,共10分)1、設(shè)為階矩陣,且,則[].① ② ③ ④42、維向量組[3￡s￡n]線性無(wú)關(guān)的充要條件是[].①中任意兩個(gè)向量都線性無(wú)關(guān)②中存在一個(gè)向量不能用其它向量線性表達(dá)③中任一個(gè)向量都不能用其它向量線性表達(dá)④中不含零向量3、下面命題中對(duì)的的是<>.①任意個(gè)維向量線性相關(guān)②任意個(gè)維向量線性無(wú)關(guān)③任意個(gè)維向量線性相關(guān)④任意個(gè)維向量線性無(wú)關(guān)4、設(shè),均為n階方陣,下面結(jié)論對(duì)的的是<>.①若,均可逆,則可逆 ②若,均可逆,則可逆③若可逆,則可逆 ④若可逆,則,均可逆5、若是線性方程組的基礎(chǔ)解系,則是的[]①解向量 ②基礎(chǔ)解系 ③通解 ④A的行向量四、計(jì)算題(每小題9分,共63分)1、計(jì)算行列式.解·2、設(shè),且求.解、,3、設(shè)且矩陣滿足關(guān)系式求.4、問(wèn)取何值時(shí),下面向量組線性相關(guān)?.5、為什么值時(shí),線性方程組有唯一解,無(wú)解和有無(wú)窮多解?當(dāng)方程組有無(wú)窮多解時(shí)求其通解.①當(dāng)且時(shí),方程組有唯一解；②當(dāng)時(shí)方程組無(wú)解③當(dāng)時(shí),有無(wú)窮多組解,通解為6、設(shè)求此向量組的秩和一個(gè)極大無(wú)關(guān)組,并將其它向量用該極大無(wú)關(guān)組線性表達(dá).7、設(shè),求的特點(diǎn)值及相應(yīng)的特點(diǎn)向量.五、證明題(7分)若是階方陣,且證明.其中為單位矩陣.×××大學(xué)線性代數(shù)期末考試題答案一、填空題1、5 2、 3、 4、相關(guān) 5、二、判斷正誤1、× 2、√ 3、√ 4、√ 5、×三、單項(xiàng)選擇題1、③ 2、③ 3、③ 4、② 5、①四、計(jì)算題1、2、,3、4、當(dāng)或時(shí),向量組線性相關(guān).5、①當(dāng)且時(shí),方程組有唯一解；②當(dāng)時(shí)方程組無(wú)解③當(dāng)時(shí),有無(wú)窮多組解,通解為6、則,其中構(gòu)成極大無(wú)關(guān)組,7、特點(diǎn)值,對(duì)于λ1＝1,,特點(diǎn)向量為五、證明題∴,∵【線性代數(shù)】復(fù)習(xí)提綱第一部分:基本規(guī)定[計(jì)算方面]四階行列式的計(jì)算；N階特殊行列式的計(jì)算[如有行和、列和相等]；矩陣的運(yùn)算[包含加、減、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置、逆等的混合運(yùn)算]；求矩陣的秩、逆[兩種方法]；解矩陣方程；含參數(shù)的線性方程組解的情況的討論；齊次、非齊次線性方程組的求解[包含唯一、無(wú)窮多解]；討論一個(gè)向量能否用和向量組線性表達(dá)；討論或證明向量組的相關(guān)性；求向量組的極大無(wú)關(guān)組,并將多余向量用極大無(wú)關(guān)組線性表達(dá)；將無(wú)關(guān)組正交化、單位化；求方陣的特點(diǎn)值和特點(diǎn)向量；討論方陣能否對(duì)角化,如能,要能寫(xiě)出相似變換的矩陣及對(duì)角陣；通過(guò)正交相似變換[正交矩陣]將對(duì)稱矩陣對(duì)角化；寫(xiě)出二次型的矩陣,并將二次型標(biāo)準(zhǔn)化,寫(xiě)出變換矩陣；鑒定二次型或?qū)ΨQ矩陣的正定性.第二部分:基本知識(shí)一、行列式1、行列式的定義用n^2個(gè)元素aij組成的記號(hào)稱為n階行列式.[1]它表達(dá)所有也許的取自不同行不同列的n個(gè)元素乘積的代數(shù)和；[2]展開(kāi)式共有n!項(xiàng),其中符號(hào)正負(fù)各半；2、行列式的計(jì)算一階|α|=α行列式,二、三階行列式有對(duì)角線法則；N階[n>=3]行列式的計(jì)算:降階法定理:n階行列式的值等于它的任意一行[列]的各元素和其相應(yīng)的代數(shù)余子式乘積的和.方法:選取比較簡(jiǎn)樸的一行[列],保保存一個(gè)非零元素,其它元素化為0,運(yùn)用定理展開(kāi)降階.特殊情況上、下三角形行列式、對(duì)角形行列式的值等于主對(duì)角線上元素的乘積；[2]行列式值為0的幾種情況:Ⅰ行列式某行[列]元素全為0；Ⅱ行列式某行[列]的相應(yīng)元素相同；Ⅲ行列式某行[列]的元素相應(yīng)成比例；Ⅳ奇數(shù)階的反對(duì)稱行列式.二、矩陣1、矩陣的基本概念[表達(dá)符號(hào)、一些特殊矩陣――如單位矩陣、對(duì)角、對(duì)稱矩陣等]；2、矩陣的運(yùn)算[1]加減、數(shù)乘、乘法運(yùn)算的條件、結(jié)果；[2]關(guān)于乘法的幾個(gè)結(jié)論:①矩陣乘法通常不滿足互換律[若AB＝BA,稱A、B是可互換矩陣]；②矩陣乘法通常不滿足消去律、零因式不存在；③若A、B為同階方陣,則|AB|=|A|*|B|；④|kA|=k^n|A|3、矩陣的秩[1]定義非零子式的最大階數(shù)稱為矩陣的秩；[2]秩的求法通常不用定義求,而用下面結(jié)論:矩陣的初等變換不改變矩陣的秩；階梯形矩陣的秩等于非零行的個(gè)數(shù)[每行的第一個(gè)非零元所在列,從此元開(kāi)始往下全為0的矩陣稱為行階梯陣].求秩:運(yùn)用初等變換將矩陣化為階梯陣得秩.4、逆矩陣[1]定義:A、B為n階方陣,若AB＝BA＝I,稱A可逆,B是A的逆矩陣[滿足半邊也成立]；[2]性質(zhì):(AB)^-1=(B^-1)*(A^-1),(A')^-1=(A^-1)'；(AB的逆矩陣,您懂的)[注意順序][3]可逆的條件:①|(zhì)A|≠0；②r(A)=n;③A->I;[4]逆的求解隨著矩陣法A^-1=(1/|A|)A*；(A*A的隨著矩陣~)②初等變換法[A:I]->(施行初等變換)[I:A^-1]5、用逆矩陣求解矩陣方程:AX=B,則X=[A^-1]B；XB=A,則X=B(A^-1)；AXB=C,則X=(A^-1)C(B^-1)三、線性方程組1、線性方程組解的鑒定定理:(1)r(A,b)≠r(A)無(wú)解；(2)r(A,b)=r(A)=n有唯一解；(3)r(A,b)=r(A)<n有無(wú)窮多組解；特別地:對(duì)齊次線性方程組AX=0(1)r(A)=n只有零解；(2)r(A)<n有非零解；再特別,若為方陣,(1)|A|≠0只有零解(2)|A|=0有非零解2、齊次線性方程組[1]解的情況:r(A)=n,[或系數(shù)行列式D≠0]只有零解；r(A)<n,[或系數(shù)行列式D＝0]有無(wú)窮多組非零解.[2]解的結(jié)構(gòu):X=c1α1+c2α2+…+Cn-rαn-r.[3]求解的方法和環(huán)節(jié):①將增廣矩陣通過(guò)行初等變換化為最簡(jiǎn)階梯陣；②寫(xiě)出相應(yīng)同解方程組；③移項(xiàng),運(yùn)用自由未知數(shù)表達(dá)所有未知數(shù)；④表達(dá)出基礎(chǔ)解系；⑤寫(xiě)出通解.3、非齊次線性方程組[1]解的情況:運(yùn)用鑒定定理.[2]解的結(jié)構(gòu):X=u+c1α1+c2α2+…+Cn-rαn-r.[3]無(wú)窮多組解的求解方法和環(huán)節(jié):和齊次線性方程組相同.[4]唯一解的解法:有克萊姆法則、逆矩陣法、消元法[初等變換法].四、向量組1、N維向量的定義注:向量事實(shí)上就是特殊的矩陣[行矩陣和列矩陣].2、向量的運(yùn)算:[1]加減、數(shù)乘運(yùn)算[和矩陣運(yùn)算相同]；[2]向量?jī)?nèi)積α'β=a1b1+a2b2+…+anbn；[3]向量長(zhǎng)度|α|=√α'α=√(a1^2+a2^2+…+an^2)(√根號(hào))[4]向量單位化(1/|α|)α；5]向量組的正交化[施密特方法]設(shè)α1,α2,…,αn線性無(wú)關(guān),則β1=α1,β2=α2-[α2’β1/β1’β]*ββ3=α3-[α3’β1/β1’β1]*β1-[α3’β2/β2’β2]*β3、線性組合[1]定義若β=k1α1+k2α2+…+knαn,則稱β是向量組α1,α2,…,αn的一個(gè)線性組合,或稱β可以用向量組α1,α2,…,αn的一個(gè)線性表達(dá).[2]判別方法將向量組合成矩陣,記A＝(α1,α2,…,αn),B=(α1,α2,…,αn,β)若r(A)=r(B),則β可以用向量組α1,α2,…,αn的一個(gè)線性表達(dá)；若r(A)≠r(B),則β不可以用向量組α1,α2,…,αn的一個(gè)線性表達(dá).[3]求線性表達(dá)表達(dá)式的方法:將矩陣B施行行初等變換化為最簡(jiǎn)階梯陣,則最后一列元素就是表達(dá)的系數(shù).4、向量組的線性相關(guān)性[1]線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)的定義設(shè)k1α1+k2α2+…+knαn=0若k1,k2,…,kn不全為0,稱線性相關(guān)；若k1,k2,…,kn全為0,稱線性無(wú)關(guān).[2]判別方法:①r(α1,α2,…,αn)<n,線性相關(guān)；r(α1,α2,…,αn)=n,線性無(wú)關(guān).②若有n個(gè)n維向量,可用行列式判別:n階行列式aij＝0,線性相關(guān)[≠0無(wú)關(guān)](行列式太不好打了)5、極大無(wú)關(guān)組和向量組的秩[1]定義極大無(wú)關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)稱為向量組的秩[2]求法設(shè)A＝(α1,α2,…,αn),將A化為階梯陣,則A的秩即為向量組的秩,而每行的第一個(gè)非零元所在列的向量就構(gòu)成了極大無(wú)關(guān)組.五、矩陣的特點(diǎn)值和特點(diǎn)向量1、定義對(duì)方陣A,若存在非零向量X和數(shù)λ使AX＝λX,則稱λ是矩陣A的特點(diǎn)值,向量X稱為矩陣A的相應(yīng)于特點(diǎn)值λ的特點(diǎn)向量.2、特點(diǎn)值和特點(diǎn)向量的求解:求出特點(diǎn)方程|λI-A|=0的根即為特點(diǎn)值,將特點(diǎn)值λ代入相應(yīng)齊次線性方程組(λI-A)X＝0中求出方程組的所有非零解即為特點(diǎn)向量.3、重要結(jié)論:[1]A可逆的充要條件是A的特點(diǎn)值不等于0；[2]A和A的轉(zhuǎn)置矩陣A'有相同的特點(diǎn)值；[3]不同特點(diǎn)值相應(yīng)的特點(diǎn)向量線性無(wú)關(guān).六、矩陣的相似1、定義對(duì)同階方陣A、B,若存在可逆矩陣P,使P^-1AP=B,則稱A和B相似.2、求A和對(duì)角矩陣∧相似的方法和環(huán)節(jié)[求P和∧]:求出所有特點(diǎn)值；求出所有特點(diǎn)向量；若所得線性無(wú)關(guān)特點(diǎn)向量個(gè)數(shù)和矩陣階數(shù)相同,則A可對(duì)角化[否則不能對(duì)角化],將這n個(gè)線性無(wú)關(guān)特點(diǎn)向量組成矩陣即為相似變換的矩陣P,依次將相應(yīng)特點(diǎn)值構(gòu)成對(duì)角陣即為∧.3、求通過(guò)正交變換Q和實(shí)對(duì)稱矩陣A相似的對(duì)角陣:方法和環(huán)節(jié)和通常矩陣相同,只是第三歩要將所得特點(diǎn)向量正交化且單位化.七、二次型1、定義n元二次多項(xiàng)式f(x1,x2,…,xn)=∑aijxixj稱為二次型,若aij=0(i≠j),則稱為二交型的標(biāo)準(zhǔn)型.i,j=12、二次型標(biāo)準(zhǔn)化:配方法和正交變換法.正交變換法環(huán)節(jié)和上面對(duì)角化完全相同,這是由于對(duì)正交矩陣Q,Q^-1=Q',即正交變換既是相似變換又是協(xié)議變換.3、二次型或?qū)ΨQ矩陣的正定性:[1]定義[略]；[2]正定的充要條件:①A為正定的充要條件是A的所有特點(diǎn)值都大于0；②A為正定的充要條件是A的所有順序主子式都大于0高等教育自學(xué)考試試題部分說(shuō)明:本卷中,AT表達(dá)矩陣A的轉(zhuǎn)置,αT表達(dá)向量α的轉(zhuǎn)置,E表達(dá)單位矩陣,|A|表達(dá)方陣A的行列式,A-1表達(dá)方陣A的逆矩陣,r[A]表達(dá)矩陣A的秩、一、單項(xiàng)選擇題[本大題共10小題,每小題2分,共30分]在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目規(guī)定的,請(qǐng)將代碼填寫(xiě)在題后的括號(hào)內(nèi).錯(cuò)選、多選或未選均無(wú)分.1、設(shè)行列式[]A、 B、1C、2 D、2、設(shè)A,B,C為同階可逆方陣,則[ABC]-1=[]A、A-1B-1C-1 B、C-1B-1A-1C、C-1A-1B-1 D、A-1C-1B-13、設(shè)α1,α2,α3,α4是4維列向量,矩陣A=[α1,α2,α3,α4]、假如|A|=2,則|-2A|=[]A、-32 B、-4C、4 D、324、設(shè)α1,α2,α3,α4是三維實(shí)向量,則[]A、α1,α2,α3,α4一定線性無(wú)關(guān) B、α1一定可由α2,α3,α4線性表出C、α1,α2,α3,α4一定線性相關(guān) D、α1,α2,α3一定線性無(wú)關(guān)5、向量組α1=[1,0,0],α2=[1,1,0],α3=[1,1,1]的秩為[]A、1 B、2C、3 D、46、設(shè)A是4×6矩陣,r[A]=2,則齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系中所含向量的個(gè)數(shù)是[]A、1 B、2C、3 D、47、設(shè)A是m×n矩陣,已知Ax=0只有零解,則以下結(jié)論對(duì)的的是[]A、m≥n B、Ax=b[其中b是m維實(shí)向量]必有唯一解C、r[A]=m D、Ax=0存在基礎(chǔ)解系8、設(shè)矩陣A=,則以下向量中是A的特點(diǎn)向量的是[]A、[1,1,1]T B、[1,1,3]TC、[1,1,0]T D、[1,0,-3]T9、設(shè)矩陣A=的三個(gè)特點(diǎn)值分別為λ1,λ2,λ3,則λ1+λ2+λ3=[]A、4 B、5C、6 D、710、三元二次型f[x1,x2,x3]=的矩陣為[]A、 B、C、 D、二、填空題[本大題共10小題,每小題2分,共20分]請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上對(duì)的答案.錯(cuò)填、不填均無(wú)分.11、行列式=_________、12、設(shè)A=,則A-1=_________、13、設(shè)方陣A滿足A3-2A+E=0,則[A2-2E]-1=_________、14、實(shí)數(shù)向量空間V={[x1,x2,x3]|x1+x2+x3=0}的維數(shù)是_________、15、設(shè)α1,α2是非齊次線性方程組Ax=b的解、則A[5α2-4α1]=_________、16、設(shè)A是m×n實(shí)矩陣,若r[ATA]=5,則r[A]=_________、17、設(shè)線性方程組有無(wú)窮多個(gè)解,則a=_________、18、設(shè)n階矩陣A有一個(gè)特點(diǎn)值3,則|-3E+A|=_________、19、設(shè)向量α=[1,2,-2],β=[2,a,3],且α和β正交,則a=_________、20、二次型的秩為_(kāi)________、三、計(jì)算題[本大題共6小題,每小題9分,共54分]21、計(jì)算4階行列式D=、22、設(shè)A=,判斷A是否可逆,若可逆,求其逆矩陣A-1、23、設(shè)向量α=[3,2],求[αTα]101、24、設(shè)向量組[1]求該向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組；[2]將其它向量表達(dá)為該極大線性無(wú)關(guān)組的線性組合、線性代數(shù)試題課程代碼:04184一、單項(xiàng)選擇題[本大題共20小題,每小題1分,共20分]在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目規(guī)定的,請(qǐng)將其代碼填寫(xiě)在題后的括號(hào)內(nèi).錯(cuò)選、多選或未選均無(wú)分.1、已知2階行列式=m,=n,則=[]A、m-nB、n-mC、m+nD、-[m+n]2、設(shè)A,B,C均為n階方陣,AB=BA,AC=CA,則ABC=[]A、ACBB、CABC、CBAD、BCA3、設(shè)A為3階方陣,B為4階方陣,且行列式|A|=1,|B|=-2,則行列式||B|A|之值為[]A、-8B、-2C、2D、84、已知A=,B=,P=,Q=,則B=[]A、PAB、APC、QAD、AQ5、已知A是一個(gè)3×4矩陣,下面命題中對(duì)的的是[]A、若矩陣A中所有3階子式都為0,則秩[A]=2 B、若A中存在2階子式不為0,則秩[A]=2C、若秩[A]=2,則A中所有3階子式都為0D、若秩[A]=2,則A中所有2階子式都不為06、下面命題中錯(cuò)誤的是[]A、只具有一個(gè)零向量的向量組線性相關(guān) B、由3個(gè)2維向量組成的向量組線性相關(guān)C、由一個(gè)非零向量組成的向量組線性相關(guān) D、兩個(gè)成比例的向量組成的向量組線性相關(guān)7、已知向量組α1,α2,α3線性無(wú)關(guān),α1,α2,α3,β線性相關(guān),則[]A、α1必能由α2,α3,β線性表出B、α2必能由α1,α3,β線性表出C、α3必能由α1,α2,β線性表出D、β必能由α1,α2,α3線性表出8、設(shè)A為m×n矩陣,m≠n,則齊次線性方程組Ax=0只有零解的充足必要條件是A的秩[]A、小于mB、等于mC、小于nD、等于n9、設(shè)A為可逆矩陣,則和A必有相同特點(diǎn)值的矩陣為[]A、ATB、A2C、A-1D、A*10、二次型f[x1,x2,x3]=的正慣性指數(shù)為[]A、0B、1C、2D、3二、填空題[本大題共10小題,每小題2分,共20分]請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上對(duì)的答案.錯(cuò)填、不填均無(wú)分.11、行列式的值為_(kāi)________________________、12、設(shè)矩陣A=,B=,則ATB=____________________________、13、設(shè)4維向量[3,-1,0,2]T,β=[3,1,-1,4]T,若向量γ滿足2γ=3β,則γ=__________、14、設(shè)A為n階可逆矩陣,且|A|=,則|A-1|=___________________________、15、設(shè)A為n階矩陣,B為n階非零矩陣,若B的每一個(gè)列向量都是齊次線性方程組Ax=0的解,則|A|=__________________、16、齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______________、17、設(shè)n階可逆矩陣A的一個(gè)特點(diǎn)值是-3,則矩陣必有一個(gè)特點(diǎn)值為_(kāi)____________、18、設(shè)矩陣A=的特點(diǎn)值為4,1,-2,則數(shù)x=________________________、19、已知A=是正交矩陣,則a+b=_______________________________.20、二次型f[x1,x2,x3]=-4x1x2+2x1x3+6x2x3的矩陣是_______________________________.三、計(jì)算題[本大題共6小題,每小題9分,共54分]21、計(jì)算行列式D=的值.22、已知矩陣B=[2,1,3],C=[1,2,3],求[1]A=BTC；[2]A2.23、設(shè)向量組求向量組的秩及一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組,并用該極大線性無(wú)關(guān)組表達(dá)向量組中的其它向量.24、已知矩陣A=,B=、[1]求A-1；[2]解矩陣方程AX=B.25、問(wèn)a為什么值時(shí),線性方程組有惟一解?有無(wú)窮多解?并在有解時(shí)求出其解[在有無(wú)窮多解時(shí),規(guī)定用一個(gè)特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表達(dá)所有解].26、設(shè)矩陣A=的三個(gè)特點(diǎn)值分別為1,2,5,求正的常數(shù)a的值及可逆矩陣P,使P-1AP=.四、證明題[本題6分]27、設(shè)A,B,A+B均為n階正交矩陣,證明[A+B]-1=A-1+B-1.全國(guó)2023年7月高等教育自學(xué)考試試卷說(shuō)明:在本卷中,AT表達(dá)矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣；A*表達(dá)A的隨著矩陣；R(A)表達(dá)矩陣A的秩；|A|表達(dá)A的行列式；E表達(dá)單位矩陣.1、設(shè)3階方陣A=[α1,α2,α3],其中αi(i=1,2,3)為A的列向量,若|B|=|[α1+2α2,α2,α3]|=6,則|A|=[]A、-12 B、-6C、6 D、122、計(jì)算行列式[]A、-180 B、-120C、120 D、1803、設(shè)A=,則|2A*|=[]A、-8 B、-4C、4 D、84、設(shè)α1,α2,α3,α4都是3維向量,則必有A、α1,α2,α3,α4線性無(wú)關(guān) B、α1,α2,α3,α4線性相關(guān)C、α1可由α2,α3,α4線性表達(dá) D、α1不可由α2,α3,α4線性表達(dá)5、若A為6階方陣,齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系中解向量的個(gè)數(shù)為2,則R(A)=[]A、2 B3C、4 D、56、設(shè)A、B為同階矩陣,且R(A)=R(B),則[]A、A和B相似 B、|A|=|B|C、A和B等價(jià) D、A和B協(xié)議7、設(shè)A為3階方陣,其特點(diǎn)值分別為2,l,0則|A+2E|=[]A、0 B、2C、3 D、248、若A、B相似,則下面說(shuō)法錯(cuò)誤的是[]A、A和B等價(jià) B、A和 B協(xié)議C、|A|=|B| D、A和B有相同特點(diǎn)9、若向量α=(1,-2,1)和β=(2,3,t)正交,則t=[]A、-2 B、0C、2 D、410、設(shè)3階實(shí)對(duì)稱矩陣A的特點(diǎn)值分別為2,l,0,則[]A、A正定 B、A半正定C、A負(fù)定 D、A半負(fù)定二、填空題(本大題共10小題,每小題2分,共20分)請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上對(duì)的答案.錯(cuò)填、不填均無(wú)分.1l、設(shè)A=,B=,則AB=________、12、設(shè)A為3階方陣,且|A|=3,則|3A-l|=________、13、三元方程x1+x2+x3=0的結(jié)構(gòu)解是________、14、設(shè)α=(-1,2,2),則和α反方向的單位向量是______、15、設(shè)A為5階方陣,且R(A)=3,則線性空間W={x|Ax=0}的維數(shù)是______、16、設(shè)A為3階方陣,特點(diǎn)值分別為-2,,l,則|5A-1|=_______、17、若A、B為同階方陣,且Bx=0只有零解,若R(A)=3,則R(AB)=________、18、二次型f(x1,x2,x3)=-2x1x2+-x2x3所相應(yīng)的矩陣是________、19、設(shè)3元非齊次線性方程組Ax=b有解α1=,α2=,且R(A)=2,則Ax=b的通解是________、20、設(shè)α=,則A=ααT的非零特點(diǎn)值是_____、三、計(jì)算題(本大題共6小題,每小題9分,共54分)21、計(jì)算5階行列式D=22、設(shè)矩陣X滿足方程X=求X、23、求非齊次線性方程組的結(jié)構(gòu)解、24、求向量組α1=[1,2,3,4],α2=[0,-1,2,3],α3=[2,3,8,11],α4=[2,3,6,8]的秩、25、已知A=的一個(gè)特點(diǎn)向量=[1,1,-1]T,求a,b及所相應(yīng)的特點(diǎn)值,并寫(xiě)出相應(yīng)于這個(gè)特點(diǎn)值的所有特點(diǎn)向量、26、用正交變換化二次型f(x1,x2,x3)=為標(biāo)準(zhǔn)形,并寫(xiě)出所用的正交變換、四、證明題[本大題共1小題,6分]27、設(shè)α1,α2,α3是齊次線性方程組Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系、證明α1,α1+α2,α2+α3也是Ax=0的基礎(chǔ)解系、全國(guó)2023年10月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)(經(jīng)管類)試題課程代碼:04184說(shuō)明:在本卷中,AT表達(dá)矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣,A*表達(dá)矩陣A的隨著矩陣,E是單位矩陣,|A|表達(dá)方陣A的行列式