廣東省汕頭市河浦中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析

廣東省汕頭市河浦中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若，是兩個(gè)非零向量，則“”是“”的（

）（A）充分不必要條件

（B）充要條件

（C）必要不充分條件

（D）既不充分也不必要條件參考答案：B略2.已知?jiǎng)又本€l與圓O：x2+y2=4相交于A，B兩點(diǎn)，且滿足|AB|=2，點(diǎn)C為直線l上一點(diǎn)，且滿足，若M是線段AB的中點(diǎn)，則的值為（）A．3 B．2 C．2 D．﹣3參考答案：A【考點(diǎn)】向量在幾何中的應(yīng)用．【分析】由題意設(shè)動(dòng)直線l為y=（x+2），表示出B，C的坐標(biāo)，再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式以及向量共線定理和向量的數(shù)量積即可求出【解答】解：動(dòng)直線l與圓O：x2+y2=4相交于A，B兩點(diǎn)，且滿足|AB|=2，則△OAB為等邊三角形，于是可設(shè)動(dòng)直線l為y=（x+2），根據(jù)題意可得B（﹣2，0），A（﹣1，），∵M(jìn)是線段AB的中點(diǎn)，∴M（﹣，）設(shè)C（x，y），∵，∴（﹣2﹣x，﹣y）=（﹣1﹣x，﹣y），∴，解得，∴C（﹣，），∴=（﹣，）?（﹣，）=+=3，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量在幾何中的應(yīng)用，關(guān)鍵構(gòu)造直線，考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量的數(shù)量積，屬于中檔題3.已知等差數(shù)列{}中，，則的值是（

）A．15

B．30

C．31

D．64參考答案：答案：A4.函數(shù)的大致圖象是（

）參考答案：C函數(shù)是奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故排除AB當(dāng)x=2時(shí)，，故排除D故選C

5.已知對(duì)任意的，函數(shù)的值總大于0，則的取值范圍是A. B. C. D.參考答案：B6.已知拋物線C：y2=8x，過點(diǎn)P（2，0）的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的值為(

) A．﹣16 B．﹣12 C．4 D．0參考答案：B考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．專題：平面向量及應(yīng)用；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：由拋物線y2=8x與過其焦點(diǎn)（2，0）的直線方程聯(lián)立，消去y整理成關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)出A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點(diǎn)坐標(biāo)，=x1?x2+y1?y2，由韋達(dá)定理可以求得答案．解答： 解：由題意知，拋物線y2=8x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），∴直線AB的方程為y=k（x﹣2），由得k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1?x2=4，x1+x2=y1?y2=k（x1﹣2）?k（x2﹣2）=k2=k2=﹣16∴=x1?x2+y1?y2=4﹣16=﹣12，故選B．點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，解決問題的關(guān)鍵是聯(lián)立拋物線方程與過其焦點(diǎn)的直線方程，利用韋達(dá)定理予以解決，屬于中檔題．7.若某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）A．16 B．32 C．48 D．144參考答案：C【考點(diǎn)】L!：由三視圖求面積、體積．【分析】幾何體為四棱錐，結(jié)合直觀圖判斷相關(guān)幾何量的數(shù)據(jù)，把數(shù)據(jù)代入棱錐的體積公式計(jì)算．【解答】解：由三視圖知：幾何體為四棱錐，且四棱錐的一條側(cè)棱與底面垂直，如圖：其中BC=2，AD=6，AB=6，SA⊥平面ABCD，SA=6，∴幾何體的體積V=××6×6=48．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由三視圖求幾何體的體積，根據(jù)三視圖判斷幾何體的形狀及數(shù)據(jù)所對(duì)應(yīng)的幾何量是解答本題的關(guān)鍵．8.已知非零向量，，若，，則向量和夾角的余弦值為（

）A. B. C. D.參考答案：B【分析】直接利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律即可求解?！驹斀狻吭O(shè)向量與向量的夾角為，，由可得：，化簡即可得到：，故答案選B。【點(diǎn)睛】本題主要考查向量數(shù)量積的運(yùn)算，向量夾角余弦值的求法，屬于基礎(chǔ)題。9.設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則公比A．1

B.2

C．4

D．8參考答案：C10.已知函數(shù)f（x）=sin（2x+φ），其中φ為實(shí)數(shù)，若f(x)≤|f()|對(duì)于任意x∈R恒成立，且f()＞f(π)，則f()的值為（）A． B．0 C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的圖象．【分析】由題意得f（）是函數(shù)f（x）的最值，求得φ=kπ﹣．再根據(jù)f（）＞f（π），可得sinφ＜0．故可取φ=﹣，從而求得f（）的值．【解答】解：由題意可得，f（）是函數(shù)f（x）的最值，故有2×+φ=kπ+，k∈Z，即φ=kπ﹣．再根據(jù)f（）=sin（π+φ）=﹣sinφ＞f（π）=sin（2π+φ）=sinφ，可得sinφ＜0．故可取φ=﹣，故f（）=sin（﹣）=sin=，故選：D．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，橢圓內(nèi)一點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，-6），P為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是

．參考答案：3012.已知函數(shù)，定義,，(,)．把滿足（）的x的個(gè)數(shù)稱為函數(shù)的“周期點(diǎn)”．則的周期點(diǎn)是

；周期點(diǎn)是

．參考答案：13.一個(gè)空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為_____.參考答案：48

略14.已知斜率為2的直線l過拋物線的焦點(diǎn)F,且與y軸相交于點(diǎn)A,若(O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為4，則拋物線方程為_______.參考答案：15.邊長為2的正三角形ABC內(nèi)（包括三邊）有點(diǎn)P，?=1，求?的取值范圍．參考答案：[3﹣2，5﹣]【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】先建立坐標(biāo)系，根據(jù)?=1，得到點(diǎn)P在（x﹣1）2+y2=2的半圓上，根據(jù)向量的數(shù)量積得到?=﹣x﹣y+4，設(shè)x+y=t，根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系額判斷t的范圍，即可求出?的取值范圍．【解答】解：以B為原點(diǎn)，BC所在的直線為x軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，∵正三角形ABC邊長為2，∴B（0，0），A（1，），C（2，0），設(shè)P的坐標(biāo)為（x，y），（0≤x≤2，0≤y≤），∴=（﹣x，﹣y），=（2﹣x，﹣y），∴?=x（x﹣2）+y2=1，即點(diǎn)P在（x﹣1）2+y2=2的半圓上，∵=（﹣1，﹣）∴?=﹣x﹣y+4，設(shè)x+y=t，則直線x+y﹣t=0與圓交點(diǎn)，∴d=≤，解得0≤t≤2+1，當(dāng)直線x+y﹣t=0過點(diǎn)D（﹣1，0）時(shí)開始有交點(diǎn)，∴﹣1=t，即t≥﹣1，∴﹣1≤t≤2+1，∴3﹣2≤4﹣t≤5﹣，故?的取值范圍為[3﹣2，5﹣]．故答案為：[3﹣2，5﹣]．16.在一個(gè)密封的容積為1的透明正方體容器內(nèi)裝有部分液體，如果任意轉(zhuǎn)動(dòng)該正方體，液面的形狀都不可能是三角形，那么液體體積的取值范圍是

▲

．參考答案：答案：17.已知，則

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖是一個(gè)二次函數(shù)的圖象.(1）寫出這個(gè)二次函數(shù)的零點(diǎn)；(2）寫出這個(gè)二次函數(shù)的解析式及時(shí)函數(shù)的值域參考答案：（1）由圖可知這個(gè)二次函數(shù)的零點(diǎn)為(2）可設(shè)兩點(diǎn)式，又過點(diǎn)，代入得，，其在中，時(shí)遞增，時(shí)遞減，最大值為

又，最大值為0，時(shí)函數(shù)的值域?yàn)?/p>

19.已知二次函數(shù)和“偽二次函數(shù)”

（、、），（I）證明：只要，無論取何值，函數(shù)在定義域內(nèi)不可能總為增函數(shù)；（II）在二次函數(shù)圖象上任意取不同兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，記直線的斜率為，（i）求證：；（ii）對(duì)于“偽二次函數(shù)”，是否有（i）同樣的性質(zhì)?證明你的結(jié)論.參考答案：解：（I）如果為增函數(shù),則(1)恒成立,

當(dāng)時(shí)恒成立,(2)由二次函數(shù)的性質(zhì),(2)不可能恒成立.則函數(shù)不可能總為增函數(shù).

--------3分（II）（i）

=.

由,

則--------5分（ii）不妨設(shè),對(duì)于“偽二次函數(shù)”:

=,

(3)

--------7分由(ⅰ)中(1),如果有(ⅰ)的性質(zhì)，則

,(4)

比較(3)(4)兩式得，即：，(4)

--------10分不妨令，

(5)設(shè)，則，∴在上遞增，

∴.

∴(5)式不可能成立,（4）式不可能成立,.

∴“偽二次函數(shù)”不具有(ⅰ)的性質(zhì).-------12分略20.已知，函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的最小值；（Ⅱ）若在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍．參考答案：解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，（），．所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值．……………６分（Ⅱ）．當(dāng)時(shí)，在上恒大于零，即，符合要求．當(dāng)時(shí)，要使在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，恒成立．即恒成立．設(shè)，則，又，所以，即在區(qū)間上為增函數(shù)，的最小值為，所以．綜上，的取值范圍是，或．……………13分

略21.已知函數(shù)滿足，其中，(1）對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)的集合；(2）當(dāng)時(shí)，的值恒為負(fù)數(shù)，求的取值范圍.參考答案：令，則.

因?yàn)樗允荝上的奇函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)，是增函數(shù)所以是R上的增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，是減函數(shù)所以是R上的增函數(shù)；綜上所述，且時(shí)，是R上的增函數(shù)。

(1）由有

解得

(2）因?yàn)槭荝上的增函數(shù)，所以也是R上的增函數(shù)由得所以要使的值恒為負(fù)數(shù)，只需，即

解得又，所以的取值范圍是或1<

22.已知，．（1）證明：；（2）若時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：（1）見解析.（2）見解析.分析：（1）構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可證得.據(jù)此進(jìn)一步可證得.則題中的不等式得證.（2）設(shè)，則，則原問題成立的必要條件是.進(jìn)一步證得當(dāng)時(shí)可知實(shí)數(shù)的取值范圍是.詳解：（1）設(shè)，則，故上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.從而.而當(dāng)時(shí)，.（2）設(shè)，則，.要求在上恒成立必須有.即.以下證明：當(dāng)時(shí).只要證，只要證在上恒成立.令，則對(duì)恒成立，又，所以.從而不等式得證.點(diǎn)睛：