初一奧數(shù)-奇數(shù)及偶數(shù)

七年級(jí)奧數(shù)2020/12/191奇數(shù)與偶數(shù)

主講：劉文峰2020/12/192專題簡(jiǎn)析通常我們所說(shuō)的“單數(shù)”、“雙數(shù)”，也就是奇數(shù)和偶數(shù)，即±1，±3，±5，…是奇數(shù)，0，±2，±4，±6，…是偶數(shù)．用整除的術(shù)語(yǔ)來(lái)說(shuō)就是：能被2整除的整數(shù)是偶數(shù)，不能被2整除的整數(shù)是奇數(shù)．通常奇數(shù)可以表示為2k+1(或2k-1)的形式，其中k為整數(shù)，偶數(shù)可以表示為2k的形式，其中k是整數(shù)．2020/12/193奇數(shù)和偶數(shù)有以下基本性質(zhì)：性質(zhì)1奇數(shù)≠偶數(shù)．性質(zhì)2奇數(shù)±奇數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)±偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)±偶數(shù)=奇數(shù)．性質(zhì)3奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)，偶數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)．性質(zhì)4奇數(shù)個(gè)奇數(shù)之和是奇數(shù)；偶數(shù)個(gè)奇數(shù)之和是偶數(shù)；任意有限個(gè)偶數(shù)之和為偶數(shù)．性質(zhì)5若干個(gè)奇數(shù)的乘積是奇數(shù)，偶數(shù)與整數(shù)的乘積是偶數(shù)．性質(zhì)6如果若干個(gè)整數(shù)的乘積是奇數(shù)，那么其中每一個(gè)因子都是奇數(shù)；如果若干個(gè)整數(shù)的乘積是偶數(shù)，那么其中至少有一個(gè)因子是偶數(shù)．性質(zhì)7如果兩個(gè)整數(shù)的和(或差)是偶數(shù)，那么這兩個(gè)整數(shù)的奇偶性相同；如果兩個(gè)整數(shù)的和(或差)是奇數(shù)，那么這兩個(gè)整數(shù)一定是一奇一偶．性質(zhì)8兩個(gè)整數(shù)的和與差的奇偶性相同．性質(zhì)9奇數(shù)的平方除以8余1，偶數(shù)的平方是4的倍數(shù).2020/12/194性質(zhì)1至性質(zhì)6的證明是很容易的，下面我們給出性質(zhì)7至性質(zhì)9的證明．性質(zhì)7的證明設(shè)兩個(gè)整數(shù)的和是偶數(shù)，如果這兩個(gè)整數(shù)為一奇一偶，那么由性質(zhì)2知，它們的和為奇數(shù)，因此它們同為奇數(shù)或同為偶數(shù)．同理兩個(gè)整數(shù)的和(或差)是奇數(shù)時(shí)，這兩個(gè)數(shù)一定是一奇一偶．性質(zhì)8的證明設(shè)兩個(gè)整數(shù)為X，y．因?yàn)?x+y)+(x-y)=2x為偶數(shù)，由性質(zhì)7便知，x+y與x-y同奇偶．性質(zhì)9的證明若x是奇數(shù)，設(shè)x=2k+1，其中k為整數(shù)，于是x2=(2k+1)2=4k2+4k+1=4k(k+1)+1．因?yàn)閗與k+1是兩個(gè)連續(xù)的整數(shù)，它們必定一奇一偶，從而它們的乘積是偶數(shù)．于是，x2除以8余1．若y是偶數(shù)，設(shè)y=2t，其中t為整數(shù)，于是y2=(2t)2=4t2所以，y2是4的倍數(shù)．2020/12/195例1、在1，2，3，…，1998中的每一個(gè)數(shù)的前面，任意添上一個(gè)“+”或“-”，那么最后運(yùn)算的結(jié)果是奇數(shù)還是偶數(shù)？2020/12/196解：由性質(zhì)8知，這最后運(yùn)算所得的奇偶性同1+2+3+…+1998=999×1999的奇偶性是相同的，即為奇數(shù)．2020/12/197例2、設(shè)1，2，3，…，9的任一排列為a1，a2，…，a9.求證：(a1-1)(a2-2)…(a9-9)是一個(gè)偶數(shù)．證法1因?yàn)?a1-1)+(a2-2)+(a3-3)+…+(a9-9)＝(a1+a2+……+a9)-(1+2+…+9)=0是偶數(shù)，所以，(a1-1)，(a2-2)，…，(a9-9)這9個(gè)數(shù)中必定有一個(gè)是偶數(shù)(否則，便得奇數(shù)個(gè)(9個(gè))奇數(shù)的和為偶數(shù)，與性質(zhì)4矛盾)，從而由性質(zhì)5知(a1-1)(a2-2)…(a9-9)是偶數(shù)．證法2由于1，2，…，9中只有4個(gè)偶數(shù)，所以a1，a3，a5，a7，a9中至少有一個(gè)是奇數(shù)，于是，a1-1，a3-3，a5-5，a7-7，a9-9至少有一個(gè)是偶數(shù)，從而(a1-1)(a2-2)…(a9-9)是偶數(shù)．2020/12/1982020/12/1992020/12/19102020/12/19112020/12/1912例4、設(shè)a，b是自然數(shù)，且滿足關(guān)系式(11111+a)(11111-b)=123456789．求證：a-b是4的倍數(shù)．2020/12/1913證：由已知條件可得11111+a與11111-b均為奇數(shù)，所以a，b均為偶數(shù)．又由已知條件11111(a-b)=ab+2468，①ab是4的倍數(shù)，2468=4×617也是4的倍數(shù)，所以11111×(a-b)是4的倍數(shù)，故：a-b是4的倍數(shù).2020/12/1914例5、某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽，共有40道選擇題，規(guī)定答對(duì)一題得5分，不答得1分，答錯(cuò)倒扣1分．證明：不論有多少人參賽，全體學(xué)生的得分總和一定是偶數(shù)．2020/12/1915證：我們證明每一個(gè)學(xué)生的得分都是偶數(shù)．設(shè)某個(gè)學(xué)生答對(duì)了a道題，答錯(cuò)了b道題，那么還有40-a-b道題沒(méi)有答．于是此人的得分是5a+(40-a-b)-b=4a-2b+40，這是一個(gè)偶數(shù)．所以，不論有多少人參賽，全體學(xué)生的得分總和一定是偶數(shù)．2020/12/1916例6、證明15塊4×1的矩形骨牌和1塊2×2的正方形骨牌不能蓋住8×8的正方形.2020/12/1917證：將8×8正方形的小方格用黑、白色涂色(如圖1－62)．每一塊4×1骨牌不論怎么鋪設(shè)都恰好蓋住兩個(gè)白格，因此15塊4×1的骨牌能蓋住偶數(shù)個(gè)白格．一塊2×2的骨牌只能蓋住一個(gè)白格或三個(gè)白格，總之能蓋住奇數(shù)個(gè)白格．于是15塊4×1骨牌和一塊2×2骨牌在圖上蓋住的白格是奇數(shù)個(gè)．事實(shí)上圖上的白格數(shù)恰為偶數(shù)個(gè)，故不能蓋住8×8的正方形．2020/12/19181．設(shè)有101個(gè)自然數(shù)，記為a1，a2，…，a101．已知a1+2a2+3a3+?+100a100+101a101=s是偶數(shù)，求證：a1+a3+a5+…+a99+a101是偶數(shù)．2．設(shè)x1，x2，…，x1998都是+1或者-1．求證：x1+2x2+3x3+?+1998x1998≠0．3．設(shè)x1，x2，…，xn(n＞4)為1或-1，并且x1x2x3x4+x2x3x4x5+…+xnx1x2x3=0．求證：n是4的倍數(shù)．4．(1)任意重排某一自然數(shù)的所有數(shù)字，求證：所得數(shù)與原數(shù)之和不等于99…9(共n個(gè)9，n是奇數(shù))；(2)重排某一數(shù)的所有數(shù)字，并把所得數(shù)與原數(shù)相加，求證：如果這個(gè)和等于1010，那么原數(shù)能被10整除．2020/12/19195．(1)有n個(gè)整數(shù)，其和為零，其積為n．求證：n是4的倍數(shù)；

(2)設(shè)n是4的倍數(shù)，求證：可以找到n個(gè)整數(shù)，其積為n，其和為零．6．7個(gè)杯子杯口朝下放在桌子上，每次翻轉(zhuǎn)4個(gè)杯子(杯口朝下的翻為杯口朝上，杯口朝上的翻為杯口朝下)，問(wèn)經(jīng)過(guò)若干次這樣的