2017-2018學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末復(fù)習(xí)專題05平面向量導(dǎo)學(xué)案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE41學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE第五講平面向量一、基礎(chǔ)知識(shí)整合(一）平面向量的概念及線性運(yùn)算1．向量的有關(guān)概念(1）向量：既有____________又有____________的量叫做向量，向量的大小，也就是向量的____________(或稱模)。eq\o（AB,\s\up6（→）)的模記作____________．(2）零向量：____________的向量叫做零向量，其方向是________的．（3)單位向量:長度等于__________________的向量叫做單位向量.eq\f（a,\b\lc\｜\rc\|（\a\vs4\al\co1（a))）是一個(gè)與a同向的____________．－eq\f（a，｜a｜）是一個(gè)與a________的單位向量．（4）平行向量：方向________或________的________向量叫做平行向量．平行向量又叫____________，任一組平行向量都可以移到同一直線上．規(guī)定：0與任一向量____________．（5)相等向量：長度____________且方向____________的向量叫做相等向量．（6）相反向量：長度____________且方向____________的向量叫做相反向量．（7)向量的表示方法:用________表示；用____________表示；用________表示．2．向量的加法和減法（1）向量的加法①三角形法則：以第一個(gè)向量a的終點(diǎn)A為起點(diǎn)作第二個(gè)向量b，則以第一個(gè)向量a的起點(diǎn)O為________以第二個(gè)向量b的終點(diǎn)B為________的向量eq\o（OB,\s\up6（→))就是a與b的________（如圖1)．推廣:eq\o（A1A2,\s\up6（→））＋eq\o（A2A3,\s\up6（→）)＋…＋An－1An＝____________.圖1圖2②平行四邊形法則：以同一點(diǎn)A為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量a，b為鄰邊作?ABCD，則以A為起點(diǎn)的__________就是a與b的和（如圖2）．在圖2中,eq\o(BC,\s\up6（→））＝eq\o（AD，\s\up6(→）)＝b,因此平行四邊形法則是三角形法則的另一種形式．③加法的運(yùn)算性質(zhì)：a＋b＝____________(交換律）；(a＋b)＋c＝____________（結(jié)合律）;a＋0＝____________＝a。(2）向量的減法已知向量a，b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,作eq\o（OA,\s\up6(→）)＝a,eq\o(OB,\s\up6(→)）＝b，則eq\o（BA，\s\up6(→））＝____________,即a－b表示從向量b的終點(diǎn)指向向量a（被減向量)的終點(diǎn)的向量(如圖)．3．向量的數(shù)乘及其幾何意義(1)定義：實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量,記作____________，它的長度與方向規(guī)定如下:①eq\b\lc\｜\rc\|（\a\vs4\al\co1(λa))＝____________;②當(dāng)λ>0時(shí),λa與a的方向____________；當(dāng)λ<0時(shí),λa與a的方向____________;當(dāng)λ＝0時(shí),λa＝____________。（2)運(yùn)算律：設(shè)λ，μ∈R，則：①λ（μa）＝____________；②(λ＋μ)a＝____________;③λ（a＋b）＝____________.4．兩個(gè)向量共線定理向量a(a≠0）與b共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得____________．（二)平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示1．平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1,λ2，使________________．我們把不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組__________．2．向量的夾角(1)已知兩個(gè)________向量a和b，作eq\o(OA,\s\up6（→）)＝a，eq\o(OB，\s\up6(→）)＝b，則∠AOB＝θ叫做向量a與b的夾角（如圖）．（2）向量夾角θ的范圍是_______________．a(chǎn)與b同向時(shí)，夾角θ＝________;a與b反向時(shí)，夾角θ＝____________。（3)如果向量a與b的夾角是____________，我們就說a與b垂直，記作____________．3．平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示（1）平面向量的正交分解把一個(gè)向量分解為兩個(gè)____________的向量,叫做向量的正交分解．(2）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i，j作為基底．任作一個(gè)向量a，由平面向量基本定理知,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x,y，使得a＝xi＋yj。則實(shí)數(shù)對(duì)__________叫做向量a的(直角)坐標(biāo)，記作a＝__________，其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo),y叫做a在y軸上的坐標(biāo)，該式叫做向量的坐標(biāo)表示．與a相等的向量的坐標(biāo)也為________．顯然，i＝________，j＝________,0＝________.4．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算（1)已知a＝（x1,y1），b＝(x2,y2），則a±b＝__________________________.(2）如果A（x1，y1)，B(x2，y2）,則eq\o(AB，\s\up6（→))＝___________________________.(3）若a＝（x，y)，則λa＝____________。(4)如果a＝（x1,y1)，b＝（x2,y2)(b≠0），則a∥b的充要條件是____________________．※5.線段的分點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)點(diǎn)P是線段P1P2上的一點(diǎn)，且P1(x1，y1），P2(x2,y2），P(x,y)．當(dāng)eq\o（P1P，\s\up6(→)）＝λeq\o（PP2,\s\up6（→)）時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（x1＋λx2,1＋λ），\f(y1＋λy2，1＋λ))).特別地:①當(dāng)λ＝1時(shí)，點(diǎn)P為線段P1P2的中點(diǎn),其坐標(biāo)為Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(x1＋x2，2），\f（y1＋y2，2)）)。②G(x，y)為△ABC的重心，若A(x1,y1),B（x2，y2），C(x3，y3），則AB中點(diǎn)D的坐標(biāo)為eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2，2）））.再由eq\o（CG,\s\up6(→））＝2eq\o(GD,\s\up6(→）),我們便得到了三角形的重心坐標(biāo)G(eq\f（x1＋x2＋x3，3），eq\f(y1＋y2＋y3，3))．（三）平面向量的數(shù)量積1．?dāng)?shù)量積的概念已知兩個(gè)非零向量a與b，我們把數(shù)量________________叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積），記作____________，即a·b＝________,其中θ是a與b的夾角，｜a|cosθ（|b|cosθ)叫向量a在b方向上（b在a方向上）的____________．a(chǎn)·b的幾何意義：數(shù)量積a·b等于__________________________________．2．?dāng)?shù)量積的運(yùn)算律及常用結(jié)論（1）數(shù)量積的運(yùn)算律①交換律：___________________；②數(shù)乘結(jié)合律：____________________；③分配律：_____________________．（2)常用結(jié)論①（a±b)2＝________________________；②(a＋b）·(a－b)＝_________________；③a2＋b2＝0?______________________;④｜eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a)）－eq\b\lc\|\rc\｜(\a\vs4\al\co1(b）)|________eq\b\lc\｜\rc\｜（\a\vs4\al\co1(a）)＋eq\b\lc\｜\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))。3．?dāng)?shù)量積的性質(zhì)設(shè)a,b都是非零向量，e是與b方向相同的單位向量，θ是a與e的夾角，則①e·a＝____________。②a⊥b?____________.③當(dāng)a與b同向時(shí)，a·b＝____________；當(dāng)a與b反向時(shí)，a·b＝____________.特別地，a·a＝____________或eq\b\lc\｜\rc\｜(\a\vs4\al\co1(a))＝____________.④cosθ＝____________.⑤eq\b\lc\｜\rc\|(\a\vs4\al\co1（a·b))≤____________.4．?dāng)?shù)量積的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2,y2)，則①a·b＝________________；a2＝________________;eq\b\lc\|\rc\｜(\a\vs4\al\co1(a））＝________________。②a⊥b?____________________.③eq\b\lc\｜\rc\|(\a\vs4\al\co1（x1x2＋y1y2)）≤________________________。（四）平面向量的應(yīng)用1．用向量方法解決幾何問題的“三步曲"（1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系,用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；(2）通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如平行、垂直、距離、夾角等問題；（3)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系．2．向量的符號(hào)形式及圖形形式的重要結(jié)論（1）向量的和與差的模：eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1（a＋b))＝______________,eq\b\lc\｜\rc\|（\a\vs4\al\co1(a－b））＝________________________。（2)①G為△ABC重心的一個(gè)充要條件:___________________；②O為△ABC外心的一個(gè)充要條件：______________________；③P為△ABC垂心的一個(gè)充要條件:______________________.（3）不同的三點(diǎn)A，B，C共線?存在α，β∈R，使得eq\o（OA,\s\up6(→)）＝αeq\o（OB,\s\up6(→)）＋βeq\o(OC,\s\up6（→））,O為平面任意一點(diǎn),且____________．3．向量坐標(biāo)形式的幾個(gè)重要結(jié)論設(shè)a＝(x1，y1)，b＝（x2，y2)，A（x3，y3)，B(x4，y4)，θ為a與b的夾角．(1)長度或模eq\b\lc\|\rc\｜（\a\vs4\al\co1(a)）＝__________；eq\b\lc\｜\rc\｜（\a\vs4\al\co1（\o(AB，\s\up6(→))))＝________________.(2)夾角cosθ＝_________＝________________。(3）位置關(guān)系a∥b?____________（b≠0且λ∈R)?____________.a⊥b?____________?____________。【答案】（一）平面向量的概念及線性運(yùn)算1．（1)大小方向長度eq\b\lc\|\rc\｜（\a\vs4\al\co1（\o（AB，\s\up6(→))））（2)長度為0任意(3）1個(gè)單位長度單位向量方向相反（4)相同相反非零共線向量平行（5)相等相同(6）相等相反(7）字母有向線段坐標(biāo)2．(1）①起點(diǎn)終點(diǎn)和eq\o(A1An，\s\up6（→）)②對(duì)角線eq\o（AC，\s\up6(→））③b＋aa＋（b＋c）0＋a(2）a－b3．(1)λa①｜λ|｜a|②相同相反0（2)①μ（λa)②λa＋μa③λa＋λb4．b＝λa（二）平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示1．a(chǎn)＝λ1e1＋λ2e2基底2．(1）非零（2)0°≤θ≤180°0°180°(3）90°a⊥b3．(1)互相垂直(2）（x，y)(x，y)(x，y)(1,0）(0，1）（0，0)4．（1)（x1±x2，y1±y2)（2)(x2－x1，y2－y1)（3）(λx,λy）（4)x1y2－x2y1＝0（三）平面向量的數(shù)量積1.eq\b\lc\|\rc\|（\a\vs4\al\co1（a））eq\b\lc\|\rc\｜(\a\vs4\al\co1（b）)cosθa·b｜a|｜b|cosθ投影a的長度eq\b\lc\|\rc\｜(\a\vs4\al\co1（a））與b在a的方向上的投影eq\b\lc\｜\rc\|（\a\vs4\al\co1（b）)cosθ的乘積2．(1）①a·b＝b·a②（λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb）③（a＋b）·c＝a·c＋b·c(2)①a2±2a·b＋b2②a2－b2③a＝0且b＝0④≤3．①｜a|cosθ②a·b＝0③｜a||b｜－｜a｜｜b｜｜a｜2eq\r(a·a）④eq\f（a·b,|a｜｜b｜)⑤｜a｜｜b|4．①x1x2＋y1y2xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2，1)eq\r(xeq\o\al(2，1）＋yeq\o\al(2,1））②x1x2＋y1y2＝0③eq\r(xeq\o\al(2，1)＋yeq\o\al（2，1)）eq\r（xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al（2，2））(四）平面向量的應(yīng)用2．(1)eq\r(a2＋2a·b＋b2）eq\r（a2－2a·b＋b2)（2）①eq\o(GA，\s\up6（→))＋eq\o(GB，\s\up6（→）)＋eq\o（GC，\s\up6（→））＝0②eq\b\lc\|\rc\｜(\a\vs4\al\co1(\o(OA，\s\up6(→)）)）＝eq\b\lc\|\rc\｜（\a\vs4\al\co1(\o(OB,\s\up6(→)））)＝eq\b\lc\|\rc\|（\a\vs4\al\co1（\o（OC,\s\up6(→)））) ③eq\o（PA，\s\up6（→））·eq\o（PB,\s\up6（→）)＝eq\o(PB,\s\up6(→）)·eq\o(PC，\s\up6（→)）＝eq\o(PC，\s\up6（→)）·eq\o(PA,\s\up6（→)）（3)α＋β＝13．（1）eq\r(xeq\o\al（2，1）＋yeq\o\al（2,1））eq\r（(x4－x3）2＋（y4－y3）2）(2）eq\f（a·b，\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))\b\lc\｜\rc\|(\a\vs4\al\co1（b）））eq\f（x1x2＋y1y2，\r(xeq\o\al(2，1）＋yeq\o\al(2,1））\r（xeq\o\al(2,2）＋yeq\o\al（2，2）)）(3)a＝λbx1y2－x2y1＝0a·b＝0x1x2＋y1y2＝0二、自主小測(cè)1.如圖，在正六邊形ABCDEF中，eq\o（BA，\s\up15(→))＋eq\o(CD,\s\up15（→）)＋eq\o（EF，\s\up15（→））＝（)A.0 B.eq\o（BE，\s\up15（→）)C.eq\o（AD,\s\up15(→)) D。eq\o(CF,\s\up15（→）)【答案】D【解析】由題圖知eq\o(BA，\s\up15（→））＋eq\o（CD,\s\up15（→））＋eq\o（EF,\s\up15（→）)＝eq\o(BA,\s\up15（→）)＋eq\o(AF，\s\up15（→））＋eq\o(CB,\s\up15(→)）＝eq\o(CB,\s\up15(→））＋eq\o(BF,\s\up15（→)）＝eq\o（CF,\s\up15（→））.2。(2015·全國Ⅰ卷)已知點(diǎn)A（0，1)，B(3，2），向量eq\o（AC,\s\up15(→))＝（－4，－3)，則向量eq\o(BC,\s\up15（→）)＝()A。（－7，－4） B。(7，4） C。(－1，4) D.（1,4）【答案】A【解析】根據(jù)題意得eq\o(AB,\s\up15(→))＝(3，1),∴eq\o（BC,\s\up15（→））＝eq\o(AC，\s\up15(→））－eq\o(AB，\s\up15（→)）＝（－4，－3）－(3，1)＝(－7，－4)，故選A。3.向量a＝(1，－1），b＝（－1，2)，則（2a＋b)·a等于（）A。－1 B.0 C.1 D.2【答案】C【解析】因?yàn)閍＝（1，－1),b＝(－1,2)，所以2a＋b＝2（1，－1)＋（－1，2）＝（1，0）,得(2a＋b)·a＝(1,0）·(1，－1)＝1，選C。4.設(shè)向量a,b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，則實(shí)數(shù)λ＝____________.【答案】eq\f(1，2)【解析】∵向量a,b不平行，∴a＋2b≠0,又向量λa＋b與a＋2b平行，則存在唯一的實(shí)數(shù)μ，使λa＋b＝μ（a＋2b)成立,即λa＋b＝μa＋2μb，則得eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(λ＝μ，，1＝2μ，）)解得λ＝μ＝eq\f(1，2）.5。已知向量a,b,其中｜a|＝eq\r(3），｜b|＝2,且(a－b)⊥a，則向量a和b的夾角是________.【答案】eq\f(π，6)【解析】因?yàn)椋╝－b）⊥a,所以(a－b)·a＝｜a｜2－|a|｜b｜·cos〈a，b〉＝3－2eq\r(3）×cos〈a，b〉＝0，解得cos〈a，b〉＝eq\f(\r（3），2)，由于<a，b〉∈［0，π].則向量a,b的夾角為eq\f（π,6）。三、熱點(diǎn)題型展示類型一平面向量的概念及其線性運(yùn)算例1.設(shè)a0為單位向量,①若a為平面內(nèi)的某個(gè)向量,則a＝｜a｜a0；②若a與a0平行,則a＝|a｜a0；③若a與a0平行且|a|＝1，則a＝a0.上述命題中，假命題的個(gè)數(shù)是（）A．0B．1C．2D．3【答案】D【解析】向量是既有大小又有方向的量，a與|a｜a0的模相同，但方向不一定相同,故①是假命題；若a與a0平行，則當(dāng)a為零向量時(shí)，a的方向任意；當(dāng)a不為零向量時(shí)，a與a0的方向有兩種情況:一是同向,二是反向，反向時(shí)a＝－|a｜a0,故②③也是假命題．綜上所述,假命題的個(gè)數(shù)是3.故選D。例2。設(shè)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則（）A.B。C。D.【答案】A【解析】由題知=,故選A.【名師點(diǎn)睛】1．準(zhǔn)確理解向量的概念，請(qǐng)?zhí)貏e注意以下幾點(diǎn):(1）a∥b，有a與b方向相同或相反兩種情形；（2)向量的模與數(shù)的絕對(duì)值有所不同，如|a|＝|b|?/a＝±b；（3)零向量的方向是任意的,并不是沒有，零向量與任意向量平行；（4）對(duì)于任意非零向量a，eq\f(a，\b\lc\｜\rc\｜(\a\vs4\al\co1（a)))是與a同向的單位向量,這也是求單位向量的方法；2．向量具有大小和方向兩個(gè)要素,既能像實(shí)數(shù)一樣進(jìn)行某些運(yùn)算,又有直觀的幾何意義,是數(shù)與形的完美結(jié)合．向量是一個(gè)幾何量,因此,在研究向量的有關(guān)問題時(shí)，一定要結(jié)合圖形進(jìn)行分析、判斷，這是研究平面向量最重要的方法與技巧．3．向量加法的三角形法則可簡記為“首尾相接，指向終點(diǎn)"；減法法則可簡記為“起點(diǎn)重合,指向被減向量”；加法的平行四邊形法則可簡記“起點(diǎn)重合,指向?qū)琼旤c(diǎn)”．4．平面向量的三種線性運(yùn)算的結(jié)果仍為向量,在三種線性運(yùn)算中，加法是最基本、最重要的運(yùn)算,減法運(yùn)算與數(shù)乘運(yùn)算都以加法運(yùn)算為基礎(chǔ),都可以歸結(jié)為加法運(yùn)算．類型二向量共線及向量的坐標(biāo)表示例1。已知向量，,則(）A.B.C.D。【答案】A【解析】因?yàn)?所以=(5，7），故選A.例2.設(shè)向量，不平行，向量與平行，則實(shí)數(shù)_________．【答案】【解析】因?yàn)橄蛄颗c平行，所以，則所以．例3。在中，點(diǎn)，滿足,．若，則 ; ．【答案】【解析】方法一：特殊化，不妨設(shè)，利用坐標(biāo)法，以A為原點(diǎn)，AB為軸，為軸，建立直角坐標(biāo)系，，,則,。方法二:在△ABC中,eq\o（MN，\s\up6(→）)＝eq\o(AN，\s\up6（→))－eq\o（AM,\s\up6（→））＝eq\f（1，2)（eq\o（AB,\s\up6（→））＋eq\o(AC，\s\up6（→)））－eq\f(2,3）eq\o（AC，\s\up6(→））＝eq\f（1,2)eq\o（AB,\s\up6(→))－eq\f(1,6)eq\o(AC，\s\up6(→)），所以x＝eq\f（1，2),y＝－eq\f（1,6）.故填eq\f(1，2)；－eq\f（1,6）。【名師點(diǎn)睛】1.對(duì)于兩個(gè)向量共線定理(a(a≠0)與b共線?存在唯一實(shí)數(shù)λ使得b＝λa）中條件“a≠0”的理解:(1）當(dāng)a＝0時(shí)，a與任一向量b都是共線的；(2)當(dāng)a＝0且b≠0時(shí)，b＝λa是不成立的，但a與b共線．因此,為了更具一般性,且使充分性和必要性都成立，我們要求a≠0。換句話說，如果不加條件“a≠0",“a與b共線”是“存在唯一實(shí)數(shù)λ使得b＝λa"的必要不充分條件．2.相等向量具有傳遞性,非零向量的平行也具有傳遞性．共線向量即為平行向量，它們均與起點(diǎn)無關(guān)．3.向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量．解題時(shí),不要把它與函數(shù)圖象的移動(dòng)混為一談．4。向量用坐標(biāo)表示后，向量的計(jì)算和證明都?xì)w結(jié)為數(shù)的運(yùn)算，這使問題大大簡化．一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)，當(dāng)且僅當(dāng)向量的起點(diǎn)為原點(diǎn)時(shí)，向量的坐標(biāo)才等于其終點(diǎn)的坐標(biāo)．兩個(gè)向量相等,當(dāng)且僅當(dāng)其坐標(biāo)相同．5。向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要利用加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行．若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，解題過程中要注意方程思想的運(yùn)用及正確使用運(yùn)算法則．6.兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：①若a＝(x1，y1),b＝(x2，y2），則a∥b（b≠0）的充要條件是x1y2－x2y1＝0；②a∥b(a≠0)，當(dāng)且僅當(dāng)唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa。7。向量共線的坐標(biāo)表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數(shù)．當(dāng)兩向量的坐標(biāo)均非零時(shí),也可以利用坐標(biāo)對(duì)應(yīng)成比例來求解．類型三平面向量基本定理及其應(yīng)用例1.在下列向量組中，可以把向量表示出來的是(）B。C.D.【答案】B【解析】由于平面向量的基本定理可得，不共線的向量都可與作為基底.只有成立。故選B.例2.在中，點(diǎn)D在線段BC的延長線上，且，點(diǎn)O在線段CD上（與點(diǎn)C，D不重合）若則x的取值范圍是____________?！敬鸢浮俊窘馕觥恳李}意,存在實(shí)數(shù)，使得，則有=，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.例3.向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示．若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，則eq\f（λ，μ）＝________.【答案】4【解析】設(shè)i，j分別為水平向右和豎直向上的單位向量，則a＝－i＋j,b＝6i＋2j，c＝－i－3j，所以－i－3j＝λ(－i＋j）＋μ(6i＋2j)，即－i－3j＝（－λ＋6μ)i＋（λ＋2μ)j，根據(jù)平面向量基本定理得eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（－1＝－λ＋6μ，，－3＝λ＋2μ，)）解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝－2，,μ＝－\f（1，2).））所以eq\f(λ，μ)＝4.故填4.【名師點(diǎn)睛】1．對(duì)平面向量基本定理的理解（1）平面向量基本定理實(shí)際上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理論依據(jù)，也是向量坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)．（2）平面向量的一組基底是兩個(gè)不共線向量，平面向量基底可以有無窮多組．(3）用平面向量基本定理可將平面中任一向量分解成形如a＝λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R,e1，e2為同一平面內(nèi)不共線的兩個(gè)向量)的形式,它是向量線性運(yùn)算知識(shí)的延伸．(4）如果e1，e2是同一平面內(nèi)的一組基底,且λ1e1＋λ2e2＝0（λ1，λ2∈R)，那么λ1＝λ2＝0。2．對(duì)兩向量夾角的理解兩向量的夾角是指當(dāng)兩向量的起點(diǎn)相同時(shí)，表示兩向量的有向線段所形成的角．若起點(diǎn)不同,則應(yīng)通過平移,使其起點(diǎn)相同類型四數(shù)量積的定義及幾何意義例1.已知點(diǎn)A(－1，1)，B（1，2），C(－2，－1),D(3,4)，則向量eq\o（AB，\s\up6（→)）在eq\o(CD,\s\up6（→)）方向上的投影為（)A。eq\f(3\r（2),2）B。eq\f（3\r（15)，2）C．－eq\f(3\r(2），2)D．－eq\f(3\r（15）,2)【答案】A【解析】∵eq\o(AB，\s\up6（→)）＝(2，1)，eq\o(CD，\s\up6(→))＝（5，5)，∴由向量數(shù)量積的幾何意義知向量eq\o（AB,\s\up6(→））在eq\o（CD,\s\up6(→））方向上的投影為｜eq\o（AB,\s\up6（→）)｜c(diǎn)os〈eq\o（AB,\s\up6（→）），eq\o(CD,\s\up6(→）)>＝eq\f(\o（AB，\s\up6（→））·\o（CD,\s\up6（→)），|\o(CD,\s\up6（→)）|）＝eq\f（15,\r（52＋52）)＝eq\f（3\r(2）,2）.故選A.例2.對(duì)任意向量，下列關(guān)系式中不恒成立的是（)A．B．C．D．【答案】B【解析】因?yàn)椋赃x項(xiàng)A正確;當(dāng)與方向相反時(shí),不成立，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；向量的平方等于向量的模的平方，所以選項(xiàng)C正確;,所以選項(xiàng)D正確．故選B．【名師點(diǎn)睛】1．平面向量的加法、減法及數(shù)乘運(yùn)算的結(jié)果仍是一個(gè)向量，但是平面向量數(shù)量積運(yùn)算的結(jié)果不是一個(gè)向量，而是一個(gè)實(shí)數(shù)．2．注意平面向量的數(shù)量積與數(shù)的乘法的區(qū)別：在數(shù)的乘法中,若ab＝0，則a，b中至少有一個(gè)為0.但在向量的數(shù)量積中，由a·b＝0不能推得a＝0或b＝0，因?yàn)楫?dāng)兩個(gè)非零向量a，b垂直時(shí)，也有a·b＝0.應(yīng)注意平面向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即（a·b)·c＝a·（b·c)不一定成立．3．注意0與實(shí)數(shù)0的區(qū)別:0a＝0≠0,a＋（－a)＝0≠0，a·0＝0≠0；0的方向是任意的,并非沒有方向．?dāng)?shù)量積a·b＝｜a｜|b|cosθ＝x1x2＋y1y2（其中兩向量夾角為θ，a＝（x1，y1），b＝(x2，y2))．其幾何意義是:a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影｜b｜c(diǎn)osθ的乘積．在理解數(shù)量積與投影概念的基礎(chǔ)上，利用二者的關(guān)系解題．類型五向量的夾角與模例1.若非零向量a,b滿足|a|=｜b|,且（a-b）(3a+2b）,則a與b的夾角為（）A。B.C。D。【答案】A【解析】由題意，即，所以,，，選A。例2。若向量滿足:則(）A．2B．C．1D．【答案】B．【解析】把①代入②得故選B．【名師點(diǎn)睛】由向量數(shù)量積的定義a·b＝｜a｜|b|cosθ(θ為a，b的夾角)可知，數(shù)量積的值、模的乘積、夾角知二可求一,再考慮到數(shù)量積還可以用坐標(biāo)表示，因此又可以借助坐標(biāo)進(jìn)行運(yùn)算．當(dāng)然，無論怎樣變化，其本質(zhì)都是對(duì)數(shù)量積定義的考查．求解夾角與模的題目在近年高考中出現(xiàn)的頻率很高，應(yīng)熟練掌握其解法．注意兩個(gè)非零向量a，b的夾角與a，b所在直線的夾角的區(qū)別．前者的取值范圍是[0，π]，后者的取值范圍是eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1(0，\f(π，2）))。5．求向量模的常用方法：利用公式eq\b\lc\|\rc\|（\a\vs4\al\co1（a)）eq\s\up12（2）＝a2即｜a|＝eq\r(a2)將模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積．類型六數(shù)量積的基本運(yùn)算及應(yīng)用例1.已知△ABC是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，連接并延長到點(diǎn),使得，則的值為()A。 B。 C。 D.【答案】B【解析】設(shè)，，∴，，，∴，故選B.例2。設(shè)向量，，若,則實(shí)數(shù).【答案】【解析】因?yàn)?，因?yàn)?，所以，解?【名師點(diǎn)睛】兩個(gè)向量垂直的充要條件是兩向量的數(shù)量積為0,即：a＝（x1,y1），b＝（x2，y2）,則a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0。應(yīng)認(rèn)識(shí)到此充要條件對(duì)含零向量在內(nèi)的所有向量均成立，因?yàn)槲覀冇挚梢暳阆蛄颗c任意向量垂直．6．利用平面向量的數(shù)量積可以解決幾何中的垂直、夾角、長度等問題,即只需將問題轉(zhuǎn)化為向量形式,用向量的運(yùn)算來求解．如果能夠建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用向量的坐標(biāo)運(yùn)算往往更為簡捷．幾何圖形中向量的數(shù)量積問題是近幾年高考的又一熱點(diǎn)，作為一類既能考查向量的線性運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積及平面幾何知識(shí)，又能考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力及轉(zhuǎn)化與化歸能力的問題,實(shí)有其合理之處．解決此類問題的常用方法是:①利用已知條件，結(jié)合平面幾何知識(shí)及向量數(shù)量積的基本概念直接求解（較易)；②將條件通過向量的線性運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再利用①求解（較難）；③建系，借助向量的坐標(biāo)運(yùn)算，此法對(duì)解含垂直關(guān)系的問題往往有很好效果．類型七平面向量的應(yīng)用例1.若是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足,則一定是(）A．等邊三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【答案】B【解析】由題意得，，即，所以，，所以，即，所以三角形一定是直角三角形，故選B.例2。一質(zhì)點(diǎn)受到平面上的三個(gè)力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3(單位:N)的作用而處于平衡狀態(tài),已知F1,F2成60°角，且F1，F(xiàn)2的大小分別為2和4，則F3的大小為____________．【答案】【解析】F1＋F2＝－F3，∴eq\b\lc\｜\rc\|(\a\vs4\al\co1(F3))eq\s\up12（2)＝eq\b\lc\｜\rc\｜(\a\vs4\al\co1(F1＋F2））eq\s\up12(2)＝4＋16＋2×2×4×eq\f(1，2）＝28，∴eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1＋F2））＝。故填?！久麕燑c(diǎn)睛】1．充分認(rèn)識(shí)平面向量具有幾何形式和代數(shù)形式的“雙重身份”，重視向量的工具作用．2．利用向量解題的基本思路有兩種,一是幾何法:利用向量加減法的法則，抓住幾何特征解題；二是坐標(biāo)法：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,將向量用坐標(biāo)表示，然后利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題．3．向量與三角函數(shù)結(jié)合的問題，通常是將向量的數(shù)量積與模經(jīng)坐標(biāo)運(yùn)算后轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，然后用三角函數(shù)基本知識(shí)求解,其中涉及到的有關(guān)向量的知識(shí)有:①向量的坐標(biāo)表示及加、減法，數(shù)乘運(yùn)算;②向量的數(shù)量積;③向量平行、垂直的充要條件;④向量的模、夾角等．四、易錯(cuò)易混辨析例1．已知向量，且向量與夾角為銳角，求的范圍；【錯(cuò)解】因?yàn)橄蛄颗c夾角為銳角，所以=+2＞0，解得＞—2?！惧e(cuò)因分析】從出發(fā)解出的值，忽視剔除同向的情況．【預(yù)防措施】解題時(shí),每步都要求是等價(jià)轉(zhuǎn)化，在轉(zhuǎn)化時(shí)，要認(rèn)真分析各種情況，要做到不重不漏.【正解】因?yàn)橄蛄颗c夾角為銳角，所以=+2＞0，解得＞-2.當(dāng)=時(shí),與同向，故的范圍為.例2.已知平行四邊形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(－1，0），（3，0),(1，－5），求第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)．【錯(cuò)解】設(shè)A(－1,0）,B（3,0)，C(1,－5)，D(x,y）．[2分]因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，則＝eq\o(BC，\s\up6（→)），而＝(x＋1，y）,eq\o（BC,\s\up6（→))＝(－2，－5)．由＝eq\o(BC,\s\up6（→））,得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＋1＝－2,,y＝－5。)）∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝－3，，y＝－5.）)∴D(－3，－5)，故第四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（—3，—5)． 【錯(cuò)因分析】此題極易出現(xiàn)思維定勢(shì)，認(rèn)為平行四邊形只有一種情形,在解題思路中出現(xiàn)漏解．實(shí)際上,題目條件中只給出平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)，并沒有規(guī)定順序,可能有三種情形．【預(yù)防措施】認(rèn)真閱讀試題，分析滿足條件的各種情況，若滿足條件的情況有多種,需要分類討論,分類討論時(shí)，要做到不重不漏.【正解】如圖所示,設(shè)A(－1，0）,B（3，0)，C（1，－5)，D(x，y）．[2分］①若四邊形ABCD1為平行四邊形,則eq\o(AD1,\s\up6(→)）＝eq\o（BC，\s\up6（→）),而eq\o（AD1，\s\up6(→））＝（x＋1，y)，eq\o(BC，\s\up6(→)）＝(－2，－5)．由eq\o(AD1，\s\up6（→））＝eq\o（BC，\s\up6（→）),得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1＝－2,,y＝－5.））∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝－5。))∴D1(－3,－5)． ②若四邊形ACD2B為平行四邊形，則eq\o(AB，\s\up6（→）)＝eq\o（CD，\s\up6（→)）2.而eq\o（AB，\s\up6（→）)＝(4，0)，eq\o(CD2，\s\up6(→））＝（x－1,y＋5)．∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x－1＝4，，y＋5＝0.）)∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝5,，y＝－5。））∴D2（5，－5）． ③若四邊形ACBD3為平行四邊形，則eq\o（AD3,\s\up6（→））＝eq\o（CB,\s\up6（→）).而eq\o（AD3,\s\up6（→))＝（x＋1，y）,eq\o(CB,\s\up6(→))＝（2,5)，∴eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＋1＝2,，y＝5，））∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，，y＝5.)）∴D3（1,5)． 綜上所述，平行四邊形第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（－3，－5)或(5，－5）或（1,5)． 【名師點(diǎn)睛】1。注意掌握一些重要結(jié)論，靈活運(yùn)用結(jié)論解題．如向量的共線定理，平面向量基本定理，三角形“四心”的向量結(jié)論等．2.應(yīng)用向量解決問題的關(guān)鍵是要構(gòu)造合適的向量，觀察條件和結(jié)論，選擇使用向量的性質(zhì)解決相應(yīng)的問題．如用數(shù)量積解決垂直、夾角問題；用三角形法則、向量長度的計(jì)算公式解決平面幾何中線段的長度問題；用向量共線解決三點(diǎn)共線問題；用向量的線性運(yùn)算解決力、速度的問題等．如果題設(shè)條件中有向量，則可以聯(lián)想向量的有關(guān)概念和性質(zhì)直接使用；如果沒有向量，則需要有向量的工具意識(shí)和應(yīng)用意識(shí)，強(qiáng)化知識(shí)的聯(lián)系,善于構(gòu)造向量解決問題．五、強(qiáng)化訓(xùn)練提高1.如圖,正方形ABCD中，點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的一個(gè)靠近B點(diǎn)的三等分點(diǎn)，那么eq\o(EF,\s\up15(→）)等于()A.eq\f(1，2）eq\o（AB,\s\up15（→)）－eq\f(1，3）eq\o（AD，\s\up15(→）) B。eq\f(1,4）eq\o（AB，\s\up15(→)）＋eq\f（1,2)eq\o（AD，\s\up15(→))C。eq\f(1，3)eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\f(1,2)eq\o（DA,\s\up15(→)) D.eq\f(1,2)eq\o(AB，\s\up15(→））－eq\f(2，3)eq\o(AD，\s\up15（→)）【答案】D【解析】在△CEF中，有eq\o(EF，\s\up15(→）)＝eq\o（EC，\s\up15(→）)＋eq\o（CF，\s\up15(→))。因?yàn)辄c(diǎn)E為DC的中點(diǎn)，所以eq\o(EC,\s\up15（→))＝eq\f(1，2)eq\o（DC,\s\up15（→））.因?yàn)辄c(diǎn)F為BC的一個(gè)靠近B點(diǎn)的三等分點(diǎn)，所以eq\o(CF,\s\up15（→))＝eq\f(2，3）eq\o(CB,\s\up15（→)）。所以eq\o(EF，\s\up15（→))＝eq\f（1,2)eq\o（DC,\s\up15（→））＋eq\f（2，3）eq\o（CB,\s\up15（→))＝eq\f（1,2)eq\o（AB，\s\up15（→））＋eq\f（2,3）eq\o(DA，\s\up15(→））＝eq\f（1，2）eq\o(AB，\s\up15（→)）－eq\f（2,3）eq\o(AD，\s\up15（→）)，故選D.2。若向量，,則=(）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題意，向量,故選B．3.如圖所示，已知，點(diǎn)在線段上，且,設(shè)，則等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】依題意可知，且，故，.4.已知向量，且,則實(shí)數(shù)=（）D。【答案】C【解析】因?yàn)樗杂忠驗(yàn)?所以，，所以，,解得：。故選C。5.設(shè)向量a,b滿足｜a+b｜=,|a-b|=，則ab=(）A。1B。2C.3D.5【答案】A【解析】因?yàn)?10，,兩式相加得:，所以，故選A.6.平面向量,,（），且與的夾角等于與的夾角，則（）A．B．C．D．【答案】D.【解析】方法一：由題意得：，選D。方法二：由于OA，OB關(guān)于直線對(duì)稱，故點(diǎn)C必在直線上,由此可得.7。設(shè),，其中、、為實(shí)數(shù)，若，則的取值范圍是（）A．B.［—6，1]C．[—1，6］D．[4,8]【答案】B【解析】由得，由②得，∴，把代入得，解得，所以．故選B．8.是邊長為的等邊三角形，已知向量，滿足，，則下列結(jié)論正確的是（)A.B。C。D.【答案】D【解析】如圖，由題意,,則，故錯(cuò)誤；，所以，又，所以，故錯(cuò)誤；設(shè)中點(diǎn)為，則，且，而,所以，故選D。9。已知向量，則下列向量中與成的是(）A.B.C。D。【答案】B【解析】對(duì)于A選項(xiàng)中的向量，，則；對(duì)于B選項(xiàng)中的向量，，則；對(duì)于C選項(xiàng)中的向量,，則；對(duì)于D選項(xiàng)中的向量,此時(shí)，兩向量的夾角為。故選B。10.已知菱形的邊長為2，，點(diǎn)分別在邊上，，．若，，則（)A.B.C.D?！敬鸢浮緾．【解析】，，即①，同理可得②，①+②得，故選C．11.已知為圓上的三點(diǎn)，若，則與的夾角為_______．【答案】．【解析】由，故三點(diǎn)共線,且是線段中點(diǎn)，故是圓的直徑，從而，因此與的夾角為12.已知向量，若與共線，則_______?！敬鸢浮俊窘馕觥?，所以與不共線，那么當(dāng)與共線時(shí)，，即得.13。如圖在平行四邊形中，已知，，則的值是.ADADCBP【答案】22【解析】由題意,，，所以,即,解得．14.設(shè)向量a=（m，1),b=(1,2），且|a+b|2=｜a｜2+｜b|2，則m=.【答案】【解析】由,得，所以,解得.15。已知單位向量與的夾角為，且，向量與的夾角為，則=.【答案】【解析】因?yàn)樗?6.已知是邊長為4的正三角形，D、P是內(nèi)部兩點(diǎn)，且滿足，則的面積為．【答案】?！窘馕觥咳C的中點(diǎn)E，連接AE，根據(jù)△ABC是邊長為4的正三角形∴AE⊥BC,，而，則點(diǎn)D為AE的中點(diǎn)，則AD=，取,以AD，AF為邊作平行四邊形,可知,而△APD為直角三角形，且AF=,∴△APD的面積為.17。已有正方形ABCD的邊長為1，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn),則eq\o（DE,\s\up15(→)）·eq\o(CB,\s\up15（→）)的值為________；eq\o（DE，\s\up15（→))·eq\o(DC，\s\up15（→))的最大值為________。【答案】11?！窘馕觥糠ㄒ蝗鐖D，eq\o（DE，\s\up15(→））·eq\o（CB，