初中數(shù)學(xué)人教版八年級上冊全等三角形1角的平分線的性質(zhì) 全省一等獎(jiǎng)

《角的平分線的性質(zhì)》（第2課時(shí)）教學(xué)案例實(shí)錄與評析評析：道真縣玉溪鎮(zhèn)中心學(xué)校胡軍執(zhí)教：遵義縣第六中學(xué)李祖琴教學(xué)內(nèi)容解析：本節(jié)課是人教版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書八年級數(shù)學(xué)上冊第十二章“全等三角形”第3節(jié)“角平分線的性質(zhì)”第2課時(shí)的內(nèi)容。在此之前第1課時(shí)學(xué)習(xí)的角平分線的尺規(guī)作圖，這為本節(jié)課學(xué)習(xí)角平分線的性質(zhì)做好了鋪墊；本章前面學(xué)習(xí)的全等三角形的有關(guān)知識(shí)，為本節(jié)課證明角平分線的性質(zhì)創(chuàng)造了條件；本節(jié)課對角平分線性質(zhì)的探究為今后學(xué)習(xí)圖形對稱、等腰三角形奠定了基礎(chǔ)；對角平分線性質(zhì)的證明為學(xué)生學(xué)會(huì)思考問題，注重書寫格式，清楚地表達(dá)思考的過程提供了方法，使學(xué)生體會(huì)證明的必要性；角平分線性質(zhì)的應(yīng)用為證明線段相等、角相等開辟了新的途徑。教學(xué)重、難點(diǎn)基于對本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容的分析，本節(jié)課的重點(diǎn)定為：角平分線性質(zhì)的理解和應(yīng)用；難點(diǎn)是：探究角平分線的性質(zhì)及文字命題的論證。學(xué)習(xí)目標(biāo)知識(shí)與技能：1.掌握“角平分線線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等”這一的性質(zhì)；2.能運(yùn)用“角平分線線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等”這一性質(zhì)解決簡單的幾何問題；3.初步學(xué)會(huì)將文字語言轉(zhuǎn)化為圖形和符號(hào)語言并按步驟進(jìn)而證明，提高分析問題及邏輯推理能力。過程與方法：通過實(shí)驗(yàn)探究活動(dòng)，經(jīng)歷“角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相”這一性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)和證明過程。情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過學(xué)習(xí)，體驗(yàn)獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的成就感；滲透從不同的側(cè)面認(rèn)識(shí)事物的辯證思維方法。教學(xué)過程實(shí)錄及評析：一、創(chuàng)設(shè)情境、導(dǎo)入新課

師（多媒體展示）問題情境：如圖1，在公路和鐵路交叉所成的角平分線上有一空曠場地，市政府決定利用此空曠地投資修建一個(gè)批發(fā)市場，那么這個(gè)批發(fā)市場到公路和鐵路的距離哪個(gè)更近？生：有的回答“一樣近”。

師：為什么會(huì)“一樣近”？本節(jié)課我們就帶著這個(gè)問題走進(jìn)今天的學(xué)習(xí)內(nèi)容。

板書：角平分線的性質(zhì)。

評析：教師試圖通過創(chuàng)設(shè)確定在公路和鐵路交叉所成的角平分線上有一空曠場地批發(fā)市場（點(diǎn)）到公路和鐵路（角的兩邊）的距離關(guān)系為問題情境引出“角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等”（“一樣近”）的結(jié)論，使學(xué)生體驗(yàn)到理論來自實(shí)際的需要，從而引導(dǎo)學(xué)生對學(xué)習(xí)本課新知識(shí)產(chǎn)生強(qiáng)烈的求知欲。從教學(xué)的理念上看這個(gè)問題情境的設(shè)置體現(xiàn)了新課程從實(shí)際生活引入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)材料，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)來自生活的教學(xué)理念。但從數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)看，課堂上沒有從角平分線性質(zhì)的本質(zhì)特征（一是角平分線上任一點(diǎn)到角的兩邊的距離（兩條線段）的存在，二是這兩條線段的數(shù)量關(guān)系是相等）給學(xué)生造成某種數(shù)量關(guān)系的認(rèn)知沖突，學(xué)生只是簡單答成“一樣近。究其原因是因?yàn)檫^于關(guān)注形式，淡化了數(shù)學(xué)的本質(zhì)。在課堂教學(xué)中，創(chuàng)設(shè)的問題情境要蘊(yùn)含數(shù)學(xué)知識(shí)的本源，抓住數(shù)學(xué)知識(shí)本源和數(shù)學(xué)思想方法，與新課程理念所倡導(dǎo)的理念有機(jī)整合，糾正“去數(shù)學(xué)化”傾向，還數(shù)學(xué)教學(xué)本來面目！

二、實(shí)驗(yàn)探究、學(xué)習(xí)新知

活動(dòng)一：折紙實(shí)驗(yàn)。

師：不利用工具，請你將一張用紙片做的角分成兩個(gè)相等的角。你有什么辦法？

生：對拆。

師：再打開紙片，看看折痕與這個(gè)角有何關(guān)系？（讓五個(gè)學(xué)生上講臺(tái)演示自己的活動(dòng)成果）。

眾生：角平分線。

評析：活動(dòng)一的教學(xué)目的是讓學(xué)生通過折紙實(shí)驗(yàn)初步感知“角平線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等”這一事實(shí)。但是，此活動(dòng)只讓學(xué)生折出角平分線是一個(gè)不完整的活動(dòng)，學(xué)生在折紙過程中沒有達(dá)到實(shí)驗(yàn)探究的效果。教科書中通過折紙活動(dòng)得到“角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等”的結(jié)論是由如圖2所示通過兩次折紙得到的。這里只完成了第一次。而第二次是再折出一個(gè)直角三角形并展開后會(huì)出現(xiàn)兩條折痕，這兩條折痕的數(shù)量關(guān)系如何，此時(shí)沒有體現(xiàn)出來。至于在第二種折法中再折一次，又會(huì)出現(xiàn)兩條折痕，而且這兩條折痕是等長的，這種方法可以做無數(shù)次，所以這種等長的折痕可以折出無數(shù)確被教師忽略了（即角平分線上的點(diǎn)的任意性），從而導(dǎo)致教學(xué)過程變成了信馬由韁的活動(dòng)，學(xué)生在“蒙”和“碰”中前行，漫無目的。問題產(chǎn)生的主要原因是教師沒有領(lǐng)悟探究角平分線的性質(zhì)折紙實(shí)驗(yàn)的本質(zhì)是首先尋找到角的兩邊距離等長的兩條折痕，教學(xué)抓不住“本質(zhì)”就會(huì)變得無的放矢。（注：在課堂上確有學(xué)生折出直角三角形來了，可惜教師沒有發(fā)現(xiàn)或被忽視。）

活動(dòng)二：探究、猜想角平分線的性質(zhì)

探究步驟：

1.如圖3，在所折的折痕上取點(diǎn)的三個(gè)不位置，分別過點(diǎn)作，，點(diǎn)、為垂足。

2.測量、的長。

3.將三次數(shù)據(jù)填入下表：測量次數(shù)的長的長與的數(shù)量關(guān)系第一次

第二次

第三次

4.觀察每次測量結(jié)果,猜想線段與的有怎樣的數(shù)量關(guān)系，寫出結(jié)論：

生：按老師的要求獨(dú)立完成實(shí)驗(yàn)探究（過程略）。

師：從上面的活動(dòng)你得出什么結(jié)論？

生：每次測量出的線段與一樣長。

師：其他同學(xué)是不是都是這樣？

眾生：是。

師：由此你能得出什么猜想？

生：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等。

評析：雖然學(xué)生對“角平分線”的性質(zhì)給出了教師期望的比較完美的猜想結(jié)果，但從課堂教學(xué)的過程看這絕不是學(xué)生在理解和感悟的基礎(chǔ)上給出的。學(xué)生的回答可能基于兩個(gè)原因：一是學(xué)生確實(shí)通過活動(dòng)二得到“角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等”的猜想；二是學(xué)生可能受學(xué)習(xí)“角平分線”的畫法和折紙實(shí)驗(yàn)的啟發(fā)，從而產(chǎn)生了聯(lián)想；三是學(xué)生可能在課前進(jìn)行了預(yù)習(xí)，從教科書上直接得到。從課堂教學(xué)的實(shí)際效果看，“讓學(xué)生經(jīng)歷“角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相”這一性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)過程這一目標(biāo)未能得到有效的落實(shí)。

師：如何證明“角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等”這一猜想？

活動(dòng)三：驗(yàn)證猜想

師板書命題：“角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等”。

師（多媒體展示）：證明一個(gè)幾何中的命題有以下步驟：

1.根據(jù)題意，畫出圖形；

2.根據(jù)題設(shè)、結(jié)論，結(jié)合圖形，寫出已知、求證；

3.經(jīng)過分析，找出由已知推出求證的途徑，寫出證明的過程。

師：結(jié)合圖3思考：命題的已知、求證是什么？

生1：命題的已知、求證是：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊位置相等。

生2：作的是90°的角。

師對學(xué)生的回答顯得無奈，只好再作提示：首先要明確什么是已知，什么是求證？并用多媒體直接展示：

已知：1.角平分線上的點(diǎn)；2.點(diǎn)到角的兩邊的距離。

求證：這一點(diǎn)到角的兩邊距離相等。

師提示用數(shù)學(xué)語言表示為：

已知：如圖3，平分，點(diǎn)在上。

生：于點(diǎn)，于點(diǎn)。

師肯定：這就是把已知條件中的文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言。

師：求證怎樣寫？

生：求證：

師：你們能不能證明？

生齊答：能。

師：請同學(xué)們證明（并請一學(xué)生到黑板上板演）

生：獨(dú)立證明。

一學(xué)生板演實(shí)錄：

證明：如圖4，∵平分。

∴。

又∵于點(diǎn)，于點(diǎn)。

∴

在△和△中。

，，。

∴△≌△?！?。

師：巡視、指導(dǎo)學(xué)生完成證明，并有針對性的講評（略）

師：證明一個(gè)幾何命題的步驟有那些？

生答：寫出已知、求證并證明。

師：怎樣結(jié)合圖3用數(shù)學(xué)語言來表述角的平分線的性質(zhì)？

生答師板書：符號(hào)語言：如圖3，∵是的平分線，點(diǎn)在上，于點(diǎn)，于點(diǎn)?！?。

評析：教師試圖通過活動(dòng)三引導(dǎo)學(xué)生對如何證明“猜想“，并展開探究，呈現(xiàn)角平分線“性質(zhì)”的形成過程。從教學(xué)的視角看，這環(huán)節(jié)有點(diǎn)亂，表面上教學(xué)理念新穎，數(shù)學(xué)活動(dòng)調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，課堂上學(xué)生的參與度高，氣氛熱烈，教學(xué)民主，學(xué)生的主體地位得到了很好的體現(xiàn)。但從數(shù)學(xué)的視角看，這這環(huán)節(jié)的教學(xué)沒有抓住證明命題的本質(zhì)，特別是當(dāng)學(xué)生的思維“離經(jīng)叛道”（如學(xué)生答成：命題的已知、求證是：“角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊位置相等”；“作的是90°的角”）時(shí)，教師顯得無奈。事實(shí)上，探究角平分線的性質(zhì)及文字命題的論證是本課的難點(diǎn)，要突破分析證明命題的途徑這一難點(diǎn)需要在學(xué)習(xí)中逐步培養(yǎng)學(xué)生的分析能力，對于文字命題要盡量幫助學(xué)生分析并畫好了圖形，結(jié)合圖形寫出已知、求證及證明過程，

三、學(xué)以致用、鞏固新知

師：應(yīng)用這個(gè)性質(zhì)，必須抓做什么條件？

生：角的平分線和角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離。

師（多媒體展示）練習(xí)題：

1.判斷：

⑴如圖5，為的平分線，則。()

⑵如圖6，于點(diǎn)，于點(diǎn)，則。（）

⑶是的平分線，在上取一點(diǎn)到的距離等于，則到的距離為。（

）

注：此題教師采用的方法是教師問，學(xué)生答的形式，過程略。

2.回答“問題情境”中提出的問題。

生：批發(fā)市場到公路和鐵路的距離相等。

3.實(shí)踐應(yīng)用：如圖7：在△中，，是的平分線，于，在上，。

求證：。

此題抽兩個(gè)學(xué)生上黑板板書解題過程。

生1：證明：∵，∴?！?，∴。

∵是的平分線，∴。

在△和△中，

，，?！唷鳌铡??！?。

生2：證明：∵是的平分線，∴。

又∵，∴，

∵，∴。

在△和△中

，，?！唷鳌铡?。

∴。

以下證明與生1相同，略。

師：講評（過程略）

師：比較上面兩種證法，哪種方法簡單？

生：第一種。

4.鏈接中考

如圖8，在△中，，平分，于，若，，。

求△的周長。

此時(shí)因教學(xué)時(shí)間關(guān)系教師只作了提示，要求學(xué)生課后完成。

評析：此環(huán)節(jié)主要意圖是通過課堂練習(xí)落實(shí)能運(yùn)用“角平分線線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等”這一性質(zhì)解決簡單的幾何問題這一知識(shí)與技能目標(biāo)。從課堂教學(xué)過程觀察，學(xué)生在實(shí)踐應(yīng)用過程中還有不少學(xué)生象生2的解答哪樣，沒有用好本課所學(xué)的性質(zhì)。

四、暢談收獲、布置作業(yè)

師：這節(jié)課從知識(shí)和方法的角度你有什么收獲呢？與你的同伴進(jìn)行交流。

生：活動(dòng)交流，暢談收獲，并歸納出本節(jié)收獲是：

在知識(shí)上：理解了“角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等”這一性質(zhì)。

在方法上主要學(xué)習(xí)了：

⑴運(yùn)用觀察、測量、猜想、驗(yàn)證等方法獲得新知識(shí)；

⑵解決角平分線的問題的常用方法:從角平分線上的一點(diǎn)向角的兩邊作(找）垂線段。

⑶證線段相等常用方法：①全等，②角平分線的性質(zhì)。

作業(yè)：略。

綜述：在本節(jié)課的教學(xué)中，教師試圖通過三個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生把“角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等”這一性質(zhì)揭示出來。通過實(shí)驗(yàn)探究的學(xué)習(xí)和建構(gòu)，使學(xué)生理解和掌握角平分線的性質(zhì)。但從課堂教學(xué)實(shí)際情境看，未能達(dá)到教師的教學(xué)預(yù)設(shè)。主要表現(xiàn)以下不足：

1.未能有效的使用教材完成教學(xué)任務(wù)

本節(jié)教材為學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)提供的基本線索是：先介紹作一個(gè)角的平分線的方法，再由折紙活動(dòng)即對的對折，得到第一條折痕是的平分線，再折出一個(gè)直角三角形，折疊形成的兩條折痕是角的平分線上一點(diǎn)到的兩邊的距離，猜想這兩個(gè)距離相等，通過利用三角形全等證明猜想，得到角平分線的兩條性質(zhì)，并運(yùn)用這兩條性質(zhì)進(jìn)行證明。從執(zhí)教教師對教學(xué)內(nèi)容的安排上，教師將本節(jié)內(nèi)容用三課時(shí)的時(shí)間來完成，即第一課時(shí)學(xué)習(xí)尺規(guī)作圖，第二課時(shí)就是本節(jié)內(nèi)容，第三課時(shí)學(xué)習(xí)另一條性質(zhì)。這樣安排教學(xué)時(shí)間是否合理，值得考慮。從本課教學(xué)過程看，學(xué)生折紙時(shí)只折出角的平分線，然后在所折的折痕（角平分線）上取點(diǎn)的三個(gè)不位置，分別過點(diǎn)作，，再通過測量猜想出角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等這一結(jié)論。這一改編將角平分線的兩條性質(zhì)割裂，學(xué)生準(zhǔn)確理解和運(yùn)用角平分線的性質(zhì)并沒有得到實(shí)現(xiàn)。究其原因是教師領(lǐng)悟教材深度不夠，沒有抓住角平分線的性質(zhì)的本質(zhì)特征組織教學(xué)。這一案例說明了教師只有用心鉆研教材，才能準(zhǔn)確地理解教材的編寫意圖，把握所教授內(nèi)容中的數(shù)學(xué)本質(zhì)，從而創(chuàng)造性地使用教材。并在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)，將教材中的知識(shí)重新“激活”，實(shí)現(xiàn)書本知識(shí)與人類生活世界的溝通，與學(xué)生經(jīng)驗(yàn)、成長需要的溝通，與發(fā)現(xiàn)、發(fā)展知識(shí)的人和歷史的溝通，使知識(shí)恢復(fù)到鮮活的狀態(tài)，呈現(xiàn)出生命的活力。

2.未能組織有效的教學(xué)活動(dòng)落實(shí)教學(xué)目標(biāo)

組織有效教學(xué)活動(dòng)，是為了有效地落實(shí)教學(xué)目標(biāo)，從本節(jié)課學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)的效果觀察，在多個(gè)環(huán)節(jié)的活動(dòng)中學(xué)生知其然不知其所以然，教學(xué)目標(biāo)未能有效地得到落實(shí)。如在活動(dòng)三證明角平線的性質(zhì)時(shí)，如何將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，基本上是教師直接給予的，學(xué)生并沒有感受到證明的必要性，沒有達(dá)到在數(shù)學(xué)活動(dòng)中進(jìn)行積極思考和主動(dòng)建構(gòu)，使數(shù)學(xué)活動(dòng)變成了無效活動(dòng)。其根本原因是教師沒有抓住所教授內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)，數(shù)學(xué)活動(dòng)不能圍繞揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)而展開，教師過于追求活動(dòng)的“花樣翻新”，過于追求課堂的“熱熱鬧鬧”，出現(xiàn)了華而不實(shí)、偏離主題的現(xiàn)象，致使數(shù)學(xué)教學(xué)單薄而不厚重。因此，數(shù)學(xué)活動(dòng)不但要注重形式，更要注重活動(dòng)的實(shí)質(zhì)。那么，怎樣的數(shù)學(xué)活動(dòng)才是有效的呢？有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)應(yīng)該是以“揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，發(fā)展思維能力”為目標(biāo)的，是能夠激發(fā)學(xué)生進(jìn)行火熱的思考和主動(dòng)的探究的，是在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生能夠深刻地感悟和揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)、并自主地完成知識(shí)建構(gòu)的。這就要求教師在設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)活動(dòng)時(shí)，需要注意以下幾點(diǎn)：

一是數(shù)學(xué)活動(dòng)要有數(shù)學(xué)內(nèi)容。新課程以人的發(fā)展為本，提倡向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)，組織他們主動(dòng)探索和揭示所學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)，并掌握形式化的數(shù)學(xué)知識(shí)。因此，數(shù)學(xué)課堂應(yīng)當(dāng)緊緊圍繞教學(xué)內(nèi)容，調(diào)動(dòng)學(xué)生原有的經(jīng)驗(yàn)，給學(xué)生以空間和時(shí)間，讓他們積極有效地探索和解決新的問題，從而獲取新的認(rèn)識(shí)。

二是數(shù)學(xué)活動(dòng)要讓學(xué)生有數(shù)學(xué)思考、有發(fā)展變