2019屆高三數(shù)學專題練習外接球

2019屆高三數(shù)學專題練習外接球1．正棱柱，長方體的外接球球心是其中心例1：已知各頂點都在同一球面上的正四棱柱的高為4，體積為，則這個球的表面積是（）A．B．A．B．C．D．2．補形法（補成長方體）例2：若三棱錐的三個側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長均為，則其外接球的表面積是3．依據(jù)垂直關(guān)系找球心例3：已知三棱錐P-ABC的四個頂點均在同一個球面上，底面△ABC滿足TOC\o"1-5"\h\zBA=BC仝，ZABC二2，若該三棱錐體積的最大值為3則其外接球的體積為（）\o"CurrentDocument"1632A.B.C.nd.n\o"CurrentDocument"33?對點增分集訓一、單選題1.棱長分別為2、、的長方體的外接球的表面積為（A.B.CA.B.C.D.2．設三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長都為，頂點都在一個球面上，則該球的表面積為（）A.12nB.28nC.44nD.60n3.把邊長為3的正方形ABCD沿對角線對折，使得平面ABC丄平面，則三棱錐D-ABC的外接球的表面積為（）A.B.A.B.C.D.4.某幾何體是由兩個同底面的三棱錐組成，其三視圖如下圖所示，則該幾何體外接球的面積為（）A.B.CA.B.C.D.5.三棱錐A-BCD的所有頂點都在球的表面上，平面，BC=BD=2，AB=2CD=4\：3,則球的表面積為（）A.B.A.B.C.D.6.如圖ABCD-ABCD是邊長為1的正方體，S-ABCD是高為1的正四棱錐，若點S,,,,1111在同一個球面上，則該球的表面積為（）TOC\o"1-5"\h\zA．B．C．D．7.已知球的半徑為,，三點在球的球面上，球心到平面的距離為，AB=AC=2,ZBAC=120。，則球的表面積為（）A.B.C.D.8已知正四棱錐P-ABCD（底面四邊形ABCD是正方形，頂點P在底面的射影是底面的中心）的各頂點都在同一球面上，底面正方形的邊長為，若該正四棱錐的體積為，則此球的體積為（）A.B.C.D.32、〕3n9.如圖，在△ABC中，AB=BC=、沅,ZABC=90。，點為的中點，將AABD沿折起到APED的位置，使PC=PD，連接，得到三棱錐P-BCD.若該三棱錐的所有頂點都在同一球面上，則該球的表面積是（）A.B?C?D?n10.四面體A—BCD中，ZABC=ZABD=ZCBD=60。，AB=3，CB=DB=2，則此四面體外接球的表面積為（）

A．19A．19耳38n24C．11.將邊長為2的正△ABC沿著高折起，使ZBDC=120。,若折起后A、B、C、D四點都在球的表面上，則球的表面積為（）A.B.C.D.在三棱錐A-BCD中，AB=CD=6，AC=BD=AD=BC=5，則該三棱錐的外接球的表面積為（）A.43*43n24A.43*43n2443^43n6C.D.二、填空題TOC\o"1-5"\h\z棱長均為6的直三棱柱的外接球的表面積是.已知棱長都相等正四棱錐的側(cè)面積為，則該正四棱錐內(nèi)切球的表面積為.已知三棱柱ABC-ABC的側(cè)棱垂直于底面，各頂點都在同一球面上，若該棱柱的體積111為，AB=2，AC=1，ZBAC=60。，則此球的表面積等于.在三棱錐A—BCD中，AB=AC，DB=DC,AB+DB=4,AB丄BD，則三棱錐A—BCD外接球的體積的最小值為.

1．正棱柱，長方體的外接球球心是其中心例1：已知各頂點都在同一球面上的正四棱柱的高為4，體積為，則這個球的表面積是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】V=a2h=16,,4R2=a2+a2+h2=4+4+16=24,S=24n，故選C.2．補形法（補成長方體）TcCBacaBOcCTcCBacaBOcC圖1圖2圖3圖4例2：若三棱錐的三個側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長均為，則其外接球的表面積【答案】【解析】4R2=3+3+3=9，S=4nR2=9n.3.依據(jù)垂直關(guān)系找球心例3：已知三棱錐P-ABC的四個頂點均在同一個球面上，底面△ABC滿足BA=BC=\:6，ZABC=—，若該三棱錐體積的最大值為3則其外接球的體積為（）

A．B．A．B．16C.n332D.n3【答案】D【解析】因為△ABC是等腰直角三角形，所以外接球的半徑是r=1八1二朽，設外接球2的半徑是，球心到該底面的距離d，如圖，則S=1x6=3，BD=乙，由題設△ABC2V=-Sh=Zx6h=3，3△ABC6最大體積對應的咼為SD=h—3，故R2=d2+3，即R2=（3—R）2+3，解之得,所以外接球的體積是4nR3=晉，故答案為D?卜對點增分集訓一、單選題1.棱長分別為2、、的長方體的外接球的表面積為（A.B.A.B.C.D.【答案】B【解析】設長方體的外接球半徑為，由題意可知：（2R）2=22+C'3）+C5>，貝y：R2=3,該長方體的外接球的表面積為S=4nR2=4nx3=12n?本題選擇B選項.2．設三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長都為，頂點都在一個球面上，貝該球的表面積為（）A.12nB.28nC.44nD.60n【答案】B【解析】設底面三角形的外接圓半徑為r，由正弦定理可得：2r=，貝9，sin600設外接球半徑為，結(jié)合三棱柱的特征可知外接球半徑R2=C'3>+22=7，外接球的表面積S=4nR2=28n.本題選擇B選項.3.把邊長為3的正方形ABCD沿對角線對折，使得平面ABC丄平面，則三棱錐D-ABC的外接球的表面積為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】把邊長為3的正方形ABCD沿對角線對折，使得平面ABC丄平面，則三棱錐D-ABC的外接球直徑為AC=3、込，外接球的表面積為4nR2=18n，故選C.4.某幾何體是由兩個同底面的三棱錐組成，其三視圖如下圖所示，貝該幾何體外接球的面積為（）

A．B．CA．B．C．D．【答案】C【解析】由題可知，該幾何體是由同底面不同棱的兩個三棱錐構(gòu)成，其中底面是棱長為的正三角形，一個是三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長為a的正三棱錐，另一個是棱長為的正四面體,如圖所示：該幾何體的外接球與棱長為h的正方體的外接球相同，因此外接球的直徑即為正方體的體對角線，所以2R=\'a2+a2+a2=\3anR=a，所以該幾何體外接球面積2（忑TS=4nR2=4nx—a=3a2n，故選C.5.三棱錐A-BCD的所有頂點都在球的表面上，平面，BC=BD=2，AB=2CD=4杼，則球的表面積為（）A.B.C.D.答案】D

【解析】因為BC=BD=2,【解析】因為BC=BD=2,所以cosZCBD=—:.ZCBD=2n因此三角形外接圓半徑為2億=2,(AB\2設外接球半徑為，則R2=22+——=4+12=16,S=4nR2=64n，故選D.I2丿6.如圖ABCD-ABCD是邊長為1的正方體，S-ABCD是高為1的正四棱錐，若點S,,,,1111在同一個球面上，則該球的表面積為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】如圖所示，連結(jié)，，交點為，連結(jié)，易知球心在直線上，設球的半徑R二OS二x，在RtAOMB中，由勾股定理有:1OM2+BM2=BO2，即：（2—x）2+（返］=x2，解得：，則該球的表面積112

81

=n.16本題選擇D選項．(81

=n.16本題選擇D選項．S=4nR2=4nx-18丿7.已知球的半徑為,，三點在球的球面上，球心到平面的距離為，AB=AC=2,ZBAC=120。，則球的表面積為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由余弦定理得：BC=<4+4-2x2x2cos120°=2*3，設三角外接圓半徑為r，由正弦定理可得：=2r，貝嘰sin120°又R2=R2+4，解得：R2=，則球的表面積S=4nR2=n.本題選擇D選項.4338已知正四棱錐P-ABCD（底面四邊形ABCD是正方形，頂點I：■在底面的射影是底面的中心）的各頂點都在同一球面上，底面正方形的邊長為，若該正四棱錐的體積為，則此球的體積為（）A.B.C.D.32叮亍兀答案】C解析】

如圖，設正方形ABCD的中點為，正四棱錐P-ABCD的外接球心為,:底面正方形的邊長為，EA=x5,t正四棱錐的體積為，?.V=-xC10）xPE=50，P-ABCD33貝9PE=5，?OE=|5—R，在△AOE中由勾股定理可得：（5-R）2+5=R，解得，?.V=4nR3=36n，故選C.球39.如圖，在△ABC中，AB=BC嵐，ZABC=90。，點為的中點，將AABD沿折起到△PBD的位置，使PC=PD，連接，得到三棱錐P-BCD.若該三棱錐的所有頂點都在同一球面上，貝該球的表面積是（）A.B?C?D?n【答案】A【解析】由題意得該三棱錐的面是邊長為的正三角形，且平面設三棱錐P-BDC外接球的球心為，7??外接球半徑為R=—2△PCD外接圓的圓心為，則OO-丄面7??外接球半徑為R=—27OD=1，及OB=OD，得OB=—

-27該球的表面積S=4nR2=4nx=7n.故選A.4

10.四面體A—BCD中，ZABC=ZABD=ZCBD=60。,AB=3,CB=DB=2，則此四面體外接球的表面積為（）A.19爲A.19爲8n24C.17*17n6【答案】A解析】解析】由題意，ABCD中，CB=DB=2,ZCBD=60。，可知ABCD是等邊三角形，BF仝,△BCD的外接圓半徑33△BCD的外接圓半徑33???ZABC=ZABD=60。，可得AD=AC=^7，可得AF=^6，?:AF丄FB，AAF丄BCD，???四面體A—BCD高為AF=.6.設外接球，為球心，OE=m，可得：r2+m2=R2①,C'6一兀）+EF2=R2......②由①②解得：R=■?四面體外接球的表面積：S=4nR2=n?故選A.8211.將邊長為2的正△ABC沿著高折起，使ZBDC=120。，若折起后A、B、C、D四點都在球的表面上，則球的表面積為（）

A．B．A．B．C．D．【答案】B【解析】△BCD中，BD=1,CD=1,ZBDC=120。,底面三角形的底面外接圓圓心為，半徑為r,由余弦定理得到BC二込，再由正弦定理得到=2rnr=1，sin120。見圖示：是球的弦，DA=丫3，將底面的圓心平行于豎直向上提起，提起到的高度的一半，即為球心的位置，???OM=亙，在直角三角形中，應用勾股定理得到，即為球的半徑.2???球的半徑?？?+3卡?該球的表面積為4n“D2=7n；故選B12.在三棱錐A-BCD中，AB=CD=6，AC=BD=AD=BC=5，則該三棱錐的外接球的表面積為()A43243nA.24n43743nB.C.D.6答案】D【解析】分別取，的中點，，連接相應的線段，，，由條件，AB=CD=4，BC=AC=AD=BD=5，可知，AABC與AADB,都是等腰三角形，

平面，???AB丄EF，同理CD丄EF,??.是與的公垂線,球心在上，推導出△AGB^^CGD，可以證明為中點,DE」DE」25—9=4，DF二3，EF=>16-9二、亓，.??gf卡，球半徑Do.??gf卡，球半徑Do=故選D．4+9二上21,???外接球的表面積為S=4nXDG2=43n.、填空題13．棱長均為6的直三棱柱的外接球的表面積是答案】【解析】由正弦定理可知底面三角形的外接圓半徑為r=2X侖=2壬=2占'2則外接球的半徑R=［、3+匚3》=、；9+12=訪,則外接球的表面積為S=4nR2=4nx21=84n.14．已知棱長都相等正四棱錐的側(cè)面積為，則該正四棱錐內(nèi)切球的表面積為【答案】^32—16門）n【解析】【解析】設正四棱錐的棱長為a，、a2=16為，解得.丿于是該正四棱錐內(nèi)切球的大圓是如圖HPMN的內(nèi)切圓,其中MN二4,PM=PN=2^3.???PE=2、込.設內(nèi)切圓的半徑為r，由APFO=APEN，得FO=竺ENPN解得r==P6―、2,心+1??內(nèi)切球的表面積為S=4nr2=4nC6一対2)=^32—16丫3)n15.已知三棱柱ABC—ABC的側(cè)棱垂直于底面，各頂點都在同一球面上，若該棱柱的體積111為，AB=2，AC=1，ABAC=60。，則此球的表面積等于.【答案】【解析】???三棱柱ABC—ABC的側(cè)棱垂直于底面，棱柱的體積為，AB=2，AC=1，111ZBAC=60。，2x2x1xsin60oxAA^=43，/.AA]=2，BC2=AB2+AC2—2AB-ACcos60。=4+1—2，BC八3，設AABC外接圓的