福建省級普通高中學(xué)業(yè)水平合格性考試數(shù)學(xué)學(xué)科考試

第34頁福建省普通高中學(xué)業(yè)水平合格性考試數(shù)學(xué)學(xué)科考試說明〔適用于2023級高中學(xué)生〕一、命題依據(jù)依據(jù)教育部公布的?普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)〔實(shí)驗(yàn)〕?、2023年?福建省普通高中數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)指導(dǎo)意見??福建省普通高中學(xué)生學(xué)業(yè)水平考試實(shí)施方法〔試行〕?和本考試說明，并結(jié)合我省普通教學(xué)實(shí)際進(jìn)行命題．二、命題原那么1．導(dǎo)向性原那么命題應(yīng)全面貫徹黨的教育方針，以黨的“十九大〞精神為指導(dǎo)，全面貫徹落實(shí)?國家中長期教育改革和開展規(guī)劃綱要〔2023—2023年〕?和教育部?關(guān)于全面深化課程改革落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的意見?的有關(guān)要求，按照“德育為先，能力為重，全面開展〞的總要求，面向全體學(xué)生，遵循學(xué)生身心開展規(guī)律，同時(shí)結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)，有機(jī)融入社會(huì)主義核心價(jià)值觀教育和中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化教育．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)科的立德樹人不但表達(dá)在通過數(shù)學(xué)史的滲透弘揚(yáng)數(shù)學(xué)文化上，更表達(dá)在突出數(shù)學(xué)的理性思維，引導(dǎo)學(xué)生樹立法那么意識(shí)，養(yǎng)成行必有據(jù)、依章辦事的生活習(xí)慣，確立正確的世界觀、人生觀、價(jià)值觀．命題應(yīng)有利于促進(jìn)學(xué)生全面、和諧、健康的開展，有利于中學(xué)實(shí)施素質(zhì)教育，有利于表達(dá)數(shù)學(xué)學(xué)科新課程理念，充分發(fā)揮學(xué)業(yè)水平考試對普通高中數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)的積極導(dǎo)向作用，把“使學(xué)生學(xué)會(huì)思考，成為善于認(rèn)識(shí)和解決問題的人才〞的要求落到實(shí)處．2．根底性原那么命題應(yīng)注重對數(shù)學(xué)學(xué)科根底知識(shí)、根本技能、根本思想和根本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的考查，處理好知識(shí)、技能、數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)系，要根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，考查學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)思維分析世界，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界的能力，充分關(guān)注學(xué)生在數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的表現(xiàn)，試題難易適當(dāng)，不出偏題和怪題．3．科學(xué)性原那么試題設(shè)計(jì)必須與?福建省普通高中學(xué)生學(xué)業(yè)水平合格性考試數(shù)學(xué)學(xué)科考試說明〔適用于2023級高中學(xué)生〕?要求相一致，具有較高的信度、效度和一定的區(qū)分度．試卷應(yīng)結(jié)構(gòu)合理、版面美觀；試題內(nèi)容科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)、文字簡潔、圖表標(biāo)準(zhǔn)、符號標(biāo)準(zhǔn)；試題答案正確無誤，評分標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)確合理，具有較強(qiáng)的可操作性．4．實(shí)踐性原那么堅(jiān)持理論聯(lián)系實(shí)際，試題背景應(yīng)來自學(xué)生所能理解的生活現(xiàn)實(shí)，符合學(xué)生所具有的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)和其它學(xué)科現(xiàn)實(shí)，貼近學(xué)生的生活實(shí)際，關(guān)注數(shù)學(xué)的應(yīng)用及其與社會(huì)的聯(lián)系，考查學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力．命題可通過設(shè)立開放性問題和探究性問題，考查學(xué)生從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力，考查學(xué)生的思維過程、實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神．5．公平性原那么試題的考查內(nèi)容、素材選取、試卷形式對每個(gè)學(xué)生而言要表達(dá)公平性，制定的評分標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)合理，尊重不同的解答方式和表現(xiàn)形式．6．綜合性原那么高中數(shù)學(xué)盡管內(nèi)容多樣，但在本質(zhì)上是一個(gè)有機(jī)整體，不同知識(shí)、不同單元之間都存在實(shí)質(zhì)性聯(lián)系．命題時(shí)要凸顯知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，注重整體性和系統(tǒng)性，突出理性思維．從知識(shí)層面看，應(yīng)綜合考慮知識(shí)主線的邏輯走向，注意相互間的關(guān)聯(lián)，突出核心內(nèi)容的考查；從素養(yǎng)層面看，應(yīng)綜合考慮各種能力和思想方法對高中數(shù)學(xué)知識(shí)的統(tǒng)攝作用，注重考查知識(shí)蘊(yùn)涵的思想和方法．三、考試目標(biāo)與要求高中學(xué)生學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)學(xué)科考試的考查方面包括：中學(xué)數(shù)學(xué)根底知識(shí)、根本技能、根本思想和根本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)．1．知識(shí)要求知識(shí)是指?普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)〔實(shí)驗(yàn)〕?〔以下簡稱?課程標(biāo)準(zhǔn)?〕中所規(guī)定的必修課程中的數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、法那么、公式、公理、定理以及由其內(nèi)容反映的數(shù)學(xué)思想方法，還包括按照一定程序與步驟進(jìn)行運(yùn)算、處理數(shù)據(jù)、繪制圖表等根本技能．對知識(shí)的要求依次是了解、理解、掌握三個(gè)層次．〔1〕了解：要求對所列知識(shí)的含義有初步的、感性的認(rèn)識(shí)，知道這一知識(shí)內(nèi)容是什么，能按照一定的程序和步驟照樣模仿，并能〔或會(huì)〕在有關(guān)的問題中識(shí)別和認(rèn)識(shí)它．這一層次所涉及的主要行為動(dòng)詞有：了解，知道，識(shí)別，模仿，會(huì)求，會(huì)解等．〔2〕理解：要求對所列知識(shí)內(nèi)容有較深刻的理性認(rèn)識(shí)，知道知識(shí)間的邏輯關(guān)系，能夠?qū)λ兄R(shí)作正確的描述說明并用數(shù)學(xué)語言表達(dá)，能夠利用所學(xué)的知識(shí)內(nèi)容對有關(guān)問題進(jìn)行比擬、判別、討論，具備利用所學(xué)知識(shí)解決簡單問題的能力．這一層次所涉及的主要行為動(dòng)詞有：理解，描述，說明，表達(dá)，推測，想象，比擬，判別，初步應(yīng)用等．〔3〕掌握：要求能夠?qū)λ械闹R(shí)內(nèi)容進(jìn)行推導(dǎo)證明，能夠利用所學(xué)知識(shí)對問題進(jìn)行分析、研究、討論，并且加以解決．這一層次所涉及的主要行為動(dòng)詞有：掌握，導(dǎo)出，分析，推導(dǎo)，證明，研究，討論，運(yùn)用、解決問題等．2．能力要求能力是指空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力以及應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)．〔1〕空間想象能力空間想象能力是對空間形式的觀察、分析、抽象的能力，主要表現(xiàn)為識(shí)圖、畫圖和對圖形的想象能力．識(shí)圖是指觀察研究所給圖形中幾何元素之間的相互關(guān)系；畫圖是指將文字語言和符號語言轉(zhuǎn)化為圖形語言以及對圖形添加輔助圖形或?qū)D形進(jìn)行各種變換；對圖形的想象主要包括有圖想圖和無圖想圖兩種，是空間想象能力高層次的標(biāo)志．對空間想象能力的考查主要表達(dá)在：能根據(jù)條件正確作出圖形，根據(jù)圖形想象出直觀形象；能正確地分析出圖形中根本元素及其相互關(guān)系；能對圖形進(jìn)行分解、組合與變形；會(huì)運(yùn)用圖形與圖表等手段形象地揭示問題的本質(zhì)．〔2〕抽象概括能力抽象概括能力是指對具體的、生動(dòng)的實(shí)例，經(jīng)過分析提煉，發(fā)現(xiàn)研究對象的本質(zhì)；從給定的大量信息材料中概括出一些結(jié)論，并能將其應(yīng)用于解決問題或做出新的判斷．抽象是指舍棄事物非本質(zhì)的屬性，揭示其本質(zhì)的屬性；概括是指把僅僅屬于某一類對象的共同屬性區(qū)分出來的思維過程．抽象和概括是相互聯(lián)系的，沒有抽象就不可能有概括，而概括必須在抽象的根底上得出某種觀點(diǎn)或某個(gè)結(jié)論．對抽象概括能力的考查主要表達(dá)在：能夠根據(jù)解題的需要熟練地實(shí)現(xiàn)三種語言〔即文字、符號、圖表〕的相互轉(zhuǎn)化；能從給定的信息材料中概括出相應(yīng)的結(jié)論，并能將其應(yīng)用于解決問題或作出新的判斷．〔3〕推理論證能力推理論證能力是根據(jù)的事實(shí)和已獲得的正確數(shù)學(xué)命題，論證某一數(shù)學(xué)命題真實(shí)性的初步的推理能力．推理是思維的根本形式之一，它由前提和結(jié)論兩局部組成；論證是由已有的正確的前提到被論證的結(jié)論的一連串的推理過程．推理既包括演繹推理，也包括合情推理；論證方法既包括按形式劃分的演繹法和歸納法，也包括按思考方法劃分的直接證法和間接證法．一般運(yùn)用合情推理進(jìn)行猜測，再運(yùn)用演繹推理進(jìn)行證明．對推理論證能力的考查主要表達(dá)在：能根據(jù)題設(shè)條件符合邏輯地探求相應(yīng)的結(jié)論，并能正確表達(dá)推理過程，推理言之有據(jù)、形式標(biāo)準(zhǔn)、結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)．〔4〕運(yùn)算求解能力運(yùn)算求解能力是思維能力和運(yùn)算技能的結(jié)合．運(yùn)算包括對數(shù)字的計(jì)算、估值和近似計(jì)算，對式子的組合變形與分解變形，對幾何圖形各幾何量的計(jì)算求解等．運(yùn)算能力包括分析運(yùn)算條件、探究運(yùn)算方向、選擇運(yùn)算公式、確定運(yùn)算程序等一系列過程中的思維能力，也包括在實(shí)施運(yùn)算過程中遇到障礙而調(diào)整運(yùn)算的能力．對運(yùn)算求解能力的考查主要表達(dá)在：會(huì)根據(jù)法那么、公式進(jìn)行正確運(yùn)算、變形和數(shù)據(jù)處理，能根據(jù)問題的條件尋找與設(shè)計(jì)合理、簡捷的運(yùn)算途徑；能根據(jù)要求對數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)和近似計(jì)算．〔5〕數(shù)據(jù)處理能力數(shù)據(jù)處理能力主要是指針對研究對象的特殊性，選擇合理的收集數(shù)據(jù)的方法，根據(jù)問題的具體情況，選擇適宜的統(tǒng)計(jì)方法整理數(shù)據(jù)，并構(gòu)建模型對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析、推斷，獲得結(jié)論．對數(shù)據(jù)處理能力的考查主要表達(dá)在：會(huì)收集、整理、分析數(shù)據(jù)，能從大量數(shù)據(jù)中提取對研究問題有用的信息，并作出推斷與決策．〔6〕應(yīng)用意識(shí)應(yīng)用意識(shí)是指面對實(shí)際問題，能自覺應(yīng)用所學(xué)知識(shí)和方法從數(shù)學(xué)的角度進(jìn)行解決的意識(shí)．它包括在實(shí)際情境中發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的意識(shí)，主動(dòng)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的意識(shí)．對應(yīng)用意識(shí)的考查主要表達(dá)在：能綜合運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法解決問題，包括解決相關(guān)學(xué)科、生產(chǎn)、生活中簡單的數(shù)學(xué)問題；能理解問題陳述的材料，并對所提供的信息資料進(jìn)行歸納、整理和分類，將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題；能應(yīng)用相關(guān)的數(shù)學(xué)方法解決問題進(jìn)而加以驗(yàn)證，并能用數(shù)學(xué)語言正確地表達(dá)和說明．應(yīng)用的主要過程是依據(jù)現(xiàn)實(shí)的生活背景，提煉相關(guān)的數(shù)量關(guān)系，將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，并加以解決．〔7〕創(chuàng)新意識(shí)創(chuàng)新意識(shí)是指能自覺地發(fā)現(xiàn)、提出新問題，或能根據(jù)特定的問題情境，創(chuàng)造性地應(yīng)用所學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的意識(shí)，是理性思維的高層次表現(xiàn)．對數(shù)學(xué)問題的“觀察、猜測、抽象、概括、證明〞，是發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的重要途徑，對數(shù)學(xué)知識(shí)的遷移、組合、融會(huì)的程度越高，顯示出的創(chuàng)新意識(shí)也就越強(qiáng)．對創(chuàng)新意識(shí)的考查主要表達(dá)在：能發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，綜合與靈活地應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法，選擇有效的方法和手段分析信息，進(jìn)行獨(dú)立的思考、探索和研究，提出解決問題的思路，創(chuàng)造性地解決問題．3．?dāng)?shù)學(xué)思想數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次上的抽象和概括，它蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、開展和應(yīng)用的過程中．?dāng)?shù)學(xué)思想主要包括：數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、特殊與一般思想、統(tǒng)計(jì)與概率思想等，其含義如下：〔1〕數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合思想就是充分運(yùn)用“數(shù)〞的嚴(yán)謹(jǐn)和“形〞的直觀，將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形語言結(jié)合起來，使抽象思維和形象思維結(jié)合，通過圖形的描述、代數(shù)的論證來研究和解決數(shù)學(xué)問題的一種數(shù)學(xué)思想方法．?dāng)?shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)的規(guī)律性與靈活性的有機(jī)結(jié)合，通過“以形助數(shù)，以數(shù)解形〞，變抽象思維為形象思維，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，有利于到達(dá)優(yōu)化解題的目的．〔2〕函數(shù)與方程思想函數(shù)與方程思想就是通過分析所給問題的數(shù)量關(guān)系，構(gòu)建相應(yīng)的函數(shù)或方程，再用函數(shù)或方程的觀點(diǎn)分析、解決問題的思想方法．函數(shù)思想是利用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)分析和研究具體問題中的數(shù)量關(guān)系，通過函數(shù)的形式把這種數(shù)量關(guān)系表示出來并加以研究，從而使問題獲解；方程思想是從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為方程問題，然后通過解方程〔組〕使問題獲解．函數(shù)思想主要是從運(yùn)動(dòng)、變化、對應(yīng)的觀點(diǎn)尋求量與量之間的聯(lián)系，而方程思想那么側(cè)重于尋求各量之間的等量關(guān)系．函數(shù)與方程思想，既是函數(shù)思想與方程思想的表達(dá)，也是兩種思想綜合運(yùn)用的表達(dá)，是研究變量與函數(shù)、相等與不等過程中的根本數(shù)學(xué)思想．掌握函數(shù)與方程思想有助于把握各量之間的聯(lián)系，進(jìn)而到達(dá)解決問題的目的．〔3〕分類與整合思想分類與整合思想是依據(jù)數(shù)學(xué)對象本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和差異點(diǎn)，將數(shù)學(xué)對象劃分為不同種類分別研究或分別求解的一種數(shù)學(xué)思想．它是當(dāng)問題所給的對象很難從整體上統(tǒng)一進(jìn)行研究時(shí)，能按照某個(gè)合理的標(biāo)準(zhǔn)對研究對象進(jìn)行分類，然后對每一類分別研究得出相應(yīng)結(jié)論，最后綜合各類結(jié)果得到整個(gè)問題的結(jié)論的一種思想方法．分類與整合思想就是“化整為零，各個(gè)擊破，再積零為整〞的數(shù)學(xué)思想，它是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性與合理性的表達(dá)，是研究問題的一種邏輯方法．〔4〕化歸與轉(zhuǎn)化思想化歸與轉(zhuǎn)化思想是在研究和解決數(shù)學(xué)問題的過程中，依據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系對問題進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化，直至將其轉(zhuǎn)化為某個(gè)〔或某些〕已經(jīng)解決或容易解決的問題的一種數(shù)學(xué)思想．其實(shí)質(zhì)是采用某種方式，借助某些數(shù)學(xué)知識(shí)，將問題進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化，使抽象問題具體化、復(fù)雜問題簡單化、未知問題化等，進(jìn)而解決問題．掌握命題的多種等價(jià)形式是靈活地進(jìn)行化歸與轉(zhuǎn)化的根底，化歸與轉(zhuǎn)化是解決問題的一種重要策略．〔5〕特殊與一般思想特殊與一般思想是通過對問題的特殊情形〔如特殊函數(shù)、特殊數(shù)列、特殊點(diǎn)、特殊位置、特殊值、特殊方程等〕的解決，尋求一般問題的解決思路和方法，或通過對一般問題的研究，再把解決一般問題的方法或結(jié)果應(yīng)用到特殊問題上，從而獲得特殊問題的解決的數(shù)學(xué)思想．特殊與一般是對立統(tǒng)一的，可以通過特殊探索一般，也可以在一般中研究特殊．一般化是把研究對象或問題從原有范圍擴(kuò)展到更大范圍進(jìn)行考察的思維方式；特殊化是把研究對象或問題從原有范圍縮小到較小或個(gè)別情形進(jìn)行考察的思維方式．特殊與一般思想是在解決問題時(shí)，通過探索適宜的一般化或特殊化的問題，尋找解決問題的突破口，得出結(jié)論的一種思想方法．〔6〕統(tǒng)計(jì)與概率思想統(tǒng)計(jì)與概率思想就是面對研究的問題需要獲取總體數(shù)據(jù)，但又無法或不便得到總體數(shù)據(jù)時(shí)，能自覺地、合理地抽取樣本，通過對樣本數(shù)字特征及其規(guī)律的研究，把握樣本的性質(zhì)特征，并以此來估測總體性質(zhì)特征的數(shù)學(xué)思想．其核心是通過合理收集、整理和分析樣本數(shù)據(jù)而提取其中有價(jià)值的信息，并據(jù)此作出合理的估計(jì)與決策，它是在“偶然〞中尋找“必然〞，然后再用“必然〞的規(guī)律去解決“偶然〞的問題．統(tǒng)計(jì)與概率思想包含統(tǒng)計(jì)思想與概率思想兩個(gè)局部，統(tǒng)計(jì)思想又包括統(tǒng)計(jì)推斷思想，抽樣思想等；概率思想包括隨機(jī)思想，或然與必然思想等．4．個(gè)性品質(zhì)個(gè)性品質(zhì)是指學(xué)生個(gè)體的情感、態(tài)度和價(jià)值觀．要求學(xué)生具有一定的數(shù)學(xué)視野，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值和人文價(jià)值，崇尚數(shù)學(xué)的理性精神，形成審慎思維的習(xí)慣，體會(huì)數(shù)學(xué)的美學(xué)意義．要求考生克服緊張情緒，以平和的心態(tài)參加考試，合理支配考試時(shí)間，以實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度解答試題，樹立戰(zhàn)勝困難的信心，表達(dá)鍥而不舍的精神．5．考查要求數(shù)學(xué)學(xué)科的系統(tǒng)性和嚴(yán)密性決定了數(shù)學(xué)知識(shí)之間深刻的內(nèi)在聯(lián)系，包括各局部知識(shí)的縱向聯(lián)系和橫向聯(lián)系，要善于從本質(zhì)上抓住這些聯(lián)系，進(jìn)而通過分類、梳理、綜合，構(gòu)建數(shù)學(xué)試卷的框架結(jié)構(gòu)．〔1〕對數(shù)學(xué)根底知識(shí)的考查，既要全面又要突出重點(diǎn)．對于支撐數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)體系的重點(diǎn)內(nèi)容，要占有較大的比例，構(gòu)成數(shù)學(xué)試卷的主體．注重?cái)?shù)學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系和知識(shí)的綜合性，不刻意追求知識(shí)的覆蓋面．從學(xué)科的整體高度和思維價(jià)值的高度綜合考慮問題，在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯點(diǎn)處設(shè)計(jì)試題，使對數(shù)學(xué)根底知識(shí)的考查到達(dá)必要的深度．〔2〕對數(shù)學(xué)思想方法的考查要與數(shù)學(xué)知識(shí)的考查結(jié)合進(jìn)行，通過數(shù)學(xué)知識(shí)的考查，反映學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的理解和掌握程度．考查時(shí)，要從學(xué)科整體意義上考慮，注重通性通法，淡化特殊技巧，有效地檢測學(xué)生對中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法的掌握程度．〔3〕對數(shù)學(xué)能力的考查，強(qiáng)調(diào)“以能力立意〞，就是以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，從問題入手，把握數(shù)學(xué)學(xué)科的整體意義，用統(tǒng)一的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)組織材料，側(cè)重表達(dá)對知識(shí)的理解和應(yīng)用，尤其是綜合和靈活的應(yīng)用，以此來檢測考生將知識(shí)遷移到不同情境中去的能力，從而檢測出考生個(gè)體理性思維的廣度和深度以及進(jìn)一步學(xué)習(xí)的潛能．對能力的考查要全面，強(qiáng)調(diào)綜合性、應(yīng)用性，并要切合考生實(shí)際．對推理論證能力和抽象概括能力的考查應(yīng)貫穿于全卷，是考查的重點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)其科學(xué)性、嚴(yán)謹(jǐn)性、抽象性．對空間想象能力的考查應(yīng)著重關(guān)注識(shí)圖、畫圖和對圖形的想象．對運(yùn)算求解能力的考查應(yīng)著重關(guān)注對算法和推理的考查，考查以代數(shù)運(yùn)算為主．對數(shù)據(jù)處理能力的考查應(yīng)著重關(guān)注運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的根本方法和思想解決實(shí)際問題的能力．對應(yīng)用意識(shí)的考查主要采用解決應(yīng)用問題的形式．命題時(shí)要堅(jiān)持“貼近生活，背景公平，控制難度〞的原那么，試題設(shè)計(jì)要切合中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)際和考生的年齡特點(diǎn)，并結(jié)合實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，使數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的難度符合考生的水平．對創(chuàng)新意識(shí)的考查是對高層次理性思維的考查．在考試中創(chuàng)設(shè)新穎的問題情境，構(gòu)造有一定深度和廣度的數(shù)學(xué)問題時(shí)，要注重問題的多樣化，表達(dá)思維的發(fā)散性；要精心設(shè)計(jì)考查數(shù)學(xué)主體內(nèi)容、表達(dá)數(shù)學(xué)本質(zhì)的試題；要有反映數(shù)、形運(yùn)動(dòng)變化的試題以及研究型、探索型、開放型等類型的試題．?dāng)?shù)學(xué)科的命題，應(yīng)在考查根底知識(shí)的根底上，注重對數(shù)學(xué)思想方法的考查，注重對數(shù)學(xué)能力的考查，展現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值和人文價(jià)值，同時(shí)兼顧試題的根底性、綜合性和應(yīng)用性，重視試題間的層次性，合理調(diào)控綜合程度，堅(jiān)持多角度、多層次的考查，努力表達(dá)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的要求．四、考試內(nèi)容?普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)〔實(shí)驗(yàn)〕?所規(guī)定的五個(gè)必修模塊的學(xué)習(xí)內(nèi)容．具體分述如下：〔一〕集合1．集合的含義與表示了解集合的含義，了解元素與集合的關(guān)系；能用自然語言、圖形語言、集合語言〔列舉法或描述法〕描述具體問題．2．集合間的根本關(guān)系理解集合之間包含與相等的含義；了解全集、子集、空集的含義．3．集合的根本運(yùn)算理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義，會(huì)求兩個(gè)簡單集合的并集與交集；理解補(bǔ)集的含義，會(huì)求給定子集的補(bǔ)集；能使用韋恩〔Venn〕圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算．〔二〕函數(shù)概念與根本初等函數(shù)Ⅰ〔指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)〕1．函數(shù)了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會(huì)求一些簡單函數(shù)的定義域和值域，了解映射的概念；會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù)；了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用〔函數(shù)分段不超過三段〕；理解函數(shù)的單調(diào)性、最大〔小〕值及其幾何意義；了解函數(shù)奇偶性的含義；會(huì)運(yùn)用函數(shù)的圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì)．2．指數(shù)函數(shù)理解有理指數(shù)冪的含義，了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運(yùn)算；理解指數(shù)函數(shù)的概念及其單調(diào)性，掌握指數(shù)函數(shù)圖象通過的特殊點(diǎn)，會(huì)畫底數(shù)為的指數(shù)函數(shù)的圖象；知道指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型．3．對數(shù)函數(shù)理解對數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì)，會(huì)用換底公式將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù)，了解對數(shù)在簡化運(yùn)算中的作用；理解對數(shù)函數(shù)的概念及其單調(diào)性，掌握對數(shù)函數(shù)圖象通過的特殊點(diǎn)，會(huì)畫底數(shù)為的對數(shù)函數(shù)的圖象；知道對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型，知道指數(shù)函數(shù)〔，且〕與對數(shù)函數(shù)〔，且〕互為反函數(shù)．4．冪函數(shù)了解冪函數(shù)的概念；了解冪函數(shù)的圖象的變化情況．5．函數(shù)與方程了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系，會(huì)判斷一元二次方程實(shí)根的存在性及實(shí)根的個(gè)數(shù)；會(huì)用二分法求某些方程的近似解．6．函數(shù)模型及其應(yīng)用了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長特征，知道直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義；了解函數(shù)模型〔如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會(huì)生活中普遍使用的函數(shù)模型〕的廣泛應(yīng)用．〔三〕立體幾何初步1．空間幾何體了解柱、錐、臺(tái)、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，會(huì)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)；能畫出簡單空間圖形〔長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合〕的三視圖，能識(shí)別上述的三視圖所表示的立體模型，會(huì)用斜二側(cè)法畫出它們的直觀圖；會(huì)用平行投影方法畫出簡單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式；了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的外表積和體積的計(jì)算公式．2．點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義，會(huì)用以下公理和定理進(jìn)行推理：◆公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)．◆公理2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．◆公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線．◆公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行．◆定理：空間中如果兩個(gè)角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，通過直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面平行、垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定．理解以下判定定理，并用以證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題：◆平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行．◆一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行．◆一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直．◆一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，那么兩個(gè)平面垂直．掌握以下性質(zhì)定理并用以證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題：◆一條直線與一個(gè)平面平行，那么過該直線的任一個(gè)平面與此平面的交線與該直線平行．◆兩個(gè)平面平行，那么任意一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交所得的交線相互平行．◆垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行．◆兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直．〔四〕平面解析幾何初步1．直線與方程掌握確定直線位置的幾何要素；理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式；能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直；掌握直線方程的三種形式〔點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式〕，了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系；能用解方程組的方法求兩相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo)；掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩平行直線間的距離．2．圓與方程掌握確定圓的幾何要素，掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程；能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓的位置關(guān)系；能根據(jù)給定兩個(gè)圓的方程判斷圓與圓的位置關(guān)系；能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題；了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想．3．空間直角坐標(biāo)系了解空間直角坐標(biāo)系，會(huì)用空間直角坐標(biāo)刻畫點(diǎn)的位置；會(huì)推導(dǎo)空間兩點(diǎn)間的距離公式．〔五〕算法初步1．算法的含義、程序框圖了解算法的含義，了解算法的思想；理解程序框圖的三種根本邏輯結(jié)構(gòu)：順序、條件分支、循環(huán)．2．根本算法語句理解幾種根本算法語句——輸入語句、輸出語句、賦值語句、條件語句、循環(huán)語句的含義．3．算法案例了解秦九韶算法、輾轉(zhuǎn)相除法、更相減損術(shù)等算法案例．〔六〕統(tǒng)計(jì)1．隨機(jī)抽樣理解隨機(jī)抽樣；會(huì)用簡單隨機(jī)抽樣方法從總體中抽取樣本；了解分層抽樣和系統(tǒng)抽樣方法．2．用樣本估計(jì)總體了解分布的意義和作用，能根據(jù)頻率分布表畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，了解他們各自的特點(diǎn)；理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，會(huì)計(jì)算數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差；能從樣本數(shù)據(jù)中提取根本的數(shù)字特征〔如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差〕，并作出合理的解釋；會(huì)用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，會(huì)用樣本的根本數(shù)字特征估計(jì)總體的根本數(shù)字特征，理解樣本估計(jì)總體的思想；會(huì)用隨機(jī)抽樣的根本方法和樣本估計(jì)總體的思想，解決一些簡單的實(shí)際問題．3．變量的相關(guān)性會(huì)作兩個(gè)有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，并利用散點(diǎn)圖認(rèn)識(shí)變量間的相關(guān)關(guān)系；了解最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程．〔七〕概率1．事件與概率了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義及頻率與概率的區(qū)別；了解兩個(gè)互斥事件的概率加法公式．2．古典概型理解古典概型及其概率計(jì)算公式；會(huì)計(jì)算一些隨機(jī)事件的根本領(lǐng)件數(shù)及其發(fā)生的概率．3．隨機(jī)數(shù)與幾何概型了解隨機(jī)數(shù)的意義，了解幾何概型的意義，能運(yùn)用模擬方法估計(jì)概率．〔八〕根本初等函數(shù)Ⅱ〔三角函數(shù)〕1．任意角、弧度了解任意角的概念和弧度制的概念；能進(jìn)行弧度與角度的互化．2．三角函數(shù)理解任意角三角函數(shù)〔正弦、余弦、正切〕的定義；能用單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式及的正弦、余弦的誘導(dǎo)公式；能畫出，，的圖象，了解三角函數(shù)的周期性；理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0，2π]上的性質(zhì)〔如單調(diào)性、最大值和最小值、圖象與x軸交點(diǎn)等〕，理解正切函數(shù)在上的單調(diào)性；理解同角三角函數(shù)的根本關(guān)系式：，；了解函數(shù)的物理意義，能畫出函數(shù)的圖象，了解函數(shù)中參數(shù)A，，對函數(shù)圖象變化的影響；了解三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型，會(huì)用三角函數(shù)解決一些簡單實(shí)際問題．〔九〕平面向量1．平面向量的實(shí)際背景及根本概念了解向量的實(shí)際背景；理解平面向量概念和兩個(gè)向量相等的含義；理解向量的幾何表示．2．向量的線性運(yùn)算掌握向量加、減法的運(yùn)算，理解其幾何意義；掌握向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個(gè)向量共線的含義；了解向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意義．3．平面向量的根本定理及坐標(biāo)表示了解平面向量的根本定理及其意義；掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示；會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算；理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件．4．平面向量的數(shù)量積理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義；了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系；掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；會(huì)運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系．5．向量的應(yīng)用會(huì)用向量方法解決一些簡單的平面幾何問題；會(huì)用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問題．〔十〕三角恒等變換1．兩角和與差的三角函數(shù)公式會(huì)用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式；會(huì)用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式，會(huì)用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式，導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系．2．簡單的三角恒等變換能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡單的恒等變換〔包括導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，但對這三組公式不要求記憶〕．〔十一〕解三角形1．正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題．2．正弦定理和余弦定理的應(yīng)用能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題．〔十二〕數(shù)列1．?dāng)?shù)列的概念和簡單表示法了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法〔列表、圖象、通項(xiàng)公式〕；知道數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù)．2．等差數(shù)列、等比數(shù)列理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念；掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式；能在具體的問題情境中，識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用等差數(shù)列、等比數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題；了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．〔十三〕不等式1．不等關(guān)系與一元二次不等式了解不等式〔組〕的實(shí)際背景，會(huì)從實(shí)際問題的情境中抽象出不等式模型；了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系；會(huì)解一元二次不等式．2．二元一次不等式組與簡單線性規(guī)劃問題會(huì)從實(shí)際情境中抽象出二元一次不等式組；了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組；會(huì)從實(shí)際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決．3．根本不等式：〔〕了解根本不等式的證明過程；會(huì)用根本不等式解決簡單的最大〔小〕值問題．五、考試形式考試采用閉卷筆試的形式，全卷100分，考試時(shí)間90分鐘．考試不使用計(jì)算器．六、試卷結(jié)構(gòu)試卷包括第一卷和第二卷兩局部．第一卷為15道選擇題，第二卷為非選擇題，由5道填空題和5道解答題組成．其中選擇題是四選一型的單項(xiàng)選擇題；填空題只要求直接寫出結(jié)果，不必寫出計(jì)算過程或推證過程；解答題包括計(jì)算題、證明題和應(yīng)用題等，解容許寫出文字說明、演算步驟或推理論證過程．三種題型所占分?jǐn)?shù)的百分比約為：選擇題占45%，填空題占15%，解答題占40%．試題按其難度分為容易題、中檔題和稍難題．其中難度值為以上的試題為容易題，難度值為之間的試題為中檔題，難度值為之間的試題為稍難題．試卷的總體難度控制在左右．七、題型例如【例1】假設(shè)全集集合，那么〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕【答案】D．【說明】此題以列舉法表示的數(shù)集為載體，著重考查集合間的關(guān)系及運(yùn)算等根底知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力和推理論證能力．解決此類問題，考生首先要弄清楚符號語言的含義，知道它表示集合的并集的補(bǔ)集，其求解順序是先求并集，再求補(bǔ)集；其次是根據(jù)補(bǔ)集的運(yùn)算法那么及集合中元素的互異性，由條件，求得；最后再根據(jù)補(bǔ)集的求解法那么及全集，求得．此題常見的錯(cuò)誤：一是混淆交集與并集，從而誤選C；二是弄錯(cuò)并集或補(bǔ)集運(yùn)算，選擇A．此題要求考生了解集合語言的含義及集合元素的根本特征，理解集合間的根本運(yùn)算，屬于理解層次，是容易題．【例2】如圖，是全集，是的三個(gè)子集，那么陰影局部所表示的集合是

〔A〕

〔B〕

〔C〕

〔D〕【答案】C．【說明】此題以Venn圖為載體，考查集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算等根本知識(shí)，考查推理論證能力，考查數(shù)形結(jié)合思想．解決此類問題，既可以用直接分析法，也可以用間接排除法解答．主要思路有：思路一：陰影局部為交集的一局部，且位于的外部，即在中，所以它表示的集合為．思路二：取陰影局部中的任意一個(gè)點(diǎn)，那么，且，即，所以；反之，當(dāng)時(shí)，必在陰影局部中，應(yīng)選C．此題常見錯(cuò)誤：一是混淆交集與并集的符號，選擇答案D；二是沒有看清楚題圖中陰影局部而誤選答案A．此題要求考生通過Venn圖直觀認(rèn)識(shí)集合間的關(guān)系及根本運(yùn)算，側(cè)重考查根本技能，屬于理解層次，為容易題．【例3】函數(shù)的局部圖象大致為〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕【答案】D．【說明】此題以函數(shù)圖象為載體，通過函數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)的圖象，考查函數(shù)的性質(zhì)，考查推理論證能力，考查數(shù)形結(jié)合思想．對于函數(shù)圖象問題，一般考慮從定義域、特殊點(diǎn)的函數(shù)值、函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等方面入手進(jìn)行分析，對于此題，首先可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，而函數(shù)的圖象可以由的圖象向上平移一個(gè)單位長度得到，其圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，且當(dāng)時(shí)，，結(jié)合選項(xiàng)可知，應(yīng)選擇D．此題常見錯(cuò)誤：一是不能發(fā)現(xiàn)函數(shù)是奇函數(shù)，因此也沒能發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，在用特殊值法時(shí)，計(jì)算失誤，而誤選A或C；二是通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)時(shí)，，但因不能正確判斷時(shí)函數(shù)的變化趨勢，而誤選B．此題要求考生理解函數(shù)的定義域、值域、函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性等根本知識(shí)，會(huì)用數(shù)形結(jié)合思想分析解決問題，屬于理解層次，是中檔題．【例4】小明騎車上學(xué)，開始時(shí)勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時(shí)間，后為了趕時(shí)間加快速度行駛．與以上事件吻合得最好的圖象是〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】C．【說明】此題以函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題為背景，考查函數(shù)圖象的變化情況等知識(shí)，通過識(shí)圖考查抽象概括能力、應(yīng)用意識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合思想．由于此題中圖象描述的是距學(xué)校的距離與行駛時(shí)間的關(guān)系，中途停留，距離不變，這是解題的突破口，然后根據(jù)速度的變化確定正確選項(xiàng)．由出發(fā)時(shí)距學(xué)校最遠(yuǎn)，首先排除A；中途堵塞停留，距離沒變，再排除D；堵塞停留后騎得比原來快，所以排除B，應(yīng)選C．此題常見的錯(cuò)誤是：一是誤將縱坐標(biāo)當(dāng)成離開家的距離而選擇答案A；二是不知道直線斜率與速度的關(guān)系，無法從圖中識(shí)別出速度的變化，而誤選B；三是審題不夠認(rèn)真，沒有發(fā)現(xiàn)小明在途中有停留而誤選D．此題涉及的是函數(shù)的具體應(yīng)用問題，要求考生從熟悉的背景中抽象出數(shù)學(xué)問題并加以解決，屬于理解層次，是容易題．【例5】，表示兩條不同直線，表示平面，以下說法正確的選項(xiàng)是〔A〕假設(shè)，，那么 〔B〕假設(shè)，，那么〔C〕假設(shè)，，那么 〔D〕假設(shè)，，那么【答案】B．【說明】此題以直線與平面為載體，考查直線與直線的平行與垂直、直線與平面的平行與垂直等根底知識(shí)，考查空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．解決問題時(shí)，利用直線與平面平行、直線與平面垂直的判定定理及性質(zhì)定理進(jìn)行逐個(gè)判斷即可得到正確答案．此題經(jīng)常出現(xiàn)的錯(cuò)誤主要表現(xiàn)在空間想象能力弱，抽象概括能力不強(qiáng)，對線面平行、線面垂直的判定定理及性質(zhì)定理理解不到位．此題要求考生掌握直線與平面平行、直線與平面垂直的判定定理及性質(zhì)定理，屬于理解層次，是容易題．【例6】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)是〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕【答案】C．【說明】此題以對稱點(diǎn)的坐標(biāo)的求解為載體，主要考查空間直角坐標(biāo)系等根底知識(shí)，考查考生空間想象能力和運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想．解決問題時(shí)，只要熟悉空間直角坐標(biāo)系，由圖可得點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)是．此題的主要錯(cuò)誤是：不會(huì)在空間直角坐標(biāo)系中，利用坐標(biāo)刻畫點(diǎn)的位置．此題要求考生會(huì)用空間直角坐標(biāo)系刻畫點(diǎn)的位置，屬了解層次，是容易題．【例7】如圖，某幾何體的三視圖是三個(gè)圓及每個(gè)圓中兩條互相垂直的半徑．假設(shè)該幾何體的體積是，那么它的外表積是A． B． C． D．【答案】A．【說明】此題以三視圖為載體，主要考查三視圖、球的體積和外表積等根底知識(shí)，考查考生空間想象能力和運(yùn)算求解能力．解決問題時(shí)，由所給三視圖可知，所給幾何體是一個(gè)球截去個(gè)球而得到的．設(shè)球的半徑為，由題設(shè)可得，即，從而所給幾何體的外表積．此題的主要錯(cuò)誤表現(xiàn)在兩方面：一是無法想象出該幾何體的結(jié)構(gòu)特征，不能正確把握該幾何體，導(dǎo)致不能進(jìn)行深入的分析和計(jì)算；二是在分析和計(jì)算該幾何體的體積和外表積時(shí)，由于公式不熟練或計(jì)算能力缺乏導(dǎo)致錯(cuò)誤．此題要求考生掌握幾何體的三視圖及球體的外表積、體積，屬于理解層次，是中檔題．【例8】閱讀如下圖的程序框圖，假設(shè)運(yùn)行該程序后輸出的值為4，那么輸入的值為〔A〕2 〔B〕0〔C〕 〔D〕【答案】B．【說明】此題以程序框圖為載體，著重考查條件結(jié)構(gòu)、賦值語句等根底知識(shí)，考查推理論證能力．要解決此題，考生需要讀懂框圖，理解其功能是：對于分段函數(shù)給定值，輸出值；進(jìn)而利用逆向思維，令，解得．考生易出現(xiàn)的錯(cuò)誤，一是計(jì)算出錯(cuò)，二是判斷條件結(jié)構(gòu)流向錯(cuò)誤．此題要求了解算法的含義和思想，理解程序框圖的順序結(jié)構(gòu)和條件結(jié)構(gòu)．屬于理解層次，是容易題．【例9】從甲、乙、丙三人中任選2人，分別擔(dān)任周一和周二的值日生，那么甲被選中的概率為〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕1【答案】C．【說明】此題以實(shí)際問題為載體，考查古典概型等根底知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查統(tǒng)計(jì)與概率思想．考生要解決此題，需要選擇恰當(dāng)?shù)谋硎痉椒?，正確列出所有根本領(lǐng)件，找出滿足“甲被選中〞的根本領(lǐng)件，并根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式，得到所求概率為．常出現(xiàn)的錯(cuò)誤是不能正確表示根本領(lǐng)件或不能正確列出所有根本領(lǐng)件．此題要求考生理解根本的概率模型及其概率計(jì)算公式，能正確表示根本領(lǐng)件，屬于理解層次，是容易題．【例10】假設(shè)角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為軸的非負(fù)半軸，終邊經(jīng)過點(diǎn)，那么的值為〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕【答案】A．【說明】此題以三角函數(shù)求值為載體，考查任意角的三角函數(shù)定義等根底知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想．解決問題時(shí)，考生應(yīng)理解任意角的三角函數(shù)定義，根據(jù)條件計(jì)算出的值，此題易出現(xiàn)的錯(cuò)誤一是求的值時(shí)公式錯(cuò)誤，二是計(jì)算錯(cuò)誤，從而得出錯(cuò)誤選項(xiàng)．此題要求考生理解任意角的三角函數(shù)的定義，屬于理解層次，是容易題．【例11】函數(shù)，的單調(diào)遞增區(qū)間是〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕【答案】C．【說明】此題以三角函數(shù)為載體，考查兩角和與差的三角函數(shù)公式、三角函數(shù)的單調(diào)性等根底知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．解決問題時(shí)，考生應(yīng)首先用輔助角公式將函數(shù)解析式化為，然后結(jié)合定義域求出，最后由求得單調(diào)遞增區(qū)間．此題易出現(xiàn)的錯(cuò)誤一是用錯(cuò)輔助角公式，二是計(jì)算錯(cuò)誤，從而得出錯(cuò)誤選項(xiàng)．此題要求考生掌握求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法，屬理解層次，是中檔題．【例12】假設(shè)那么〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕【答案】A．【說明】此題以求三角函數(shù)值為載體，考查誘導(dǎo)公式、二倍角公式等根底知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．解決問題時(shí)，考生應(yīng)知道用三角函數(shù)值的角表示待求的三角函數(shù)值的角，即利用誘導(dǎo)公式把條件轉(zhuǎn)化為，把待求式子轉(zhuǎn)化為，從而到達(dá)解決問題的目的．此題易出現(xiàn)的錯(cuò)誤一是誘導(dǎo)公式運(yùn)用錯(cuò)誤，二是二倍角公式記憶錯(cuò)誤，三是計(jì)算錯(cuò)誤，從而得出錯(cuò)誤選項(xiàng)．此題要求考生掌握解決知值求值問題的方法，屬于理解層次，是中檔題．【例13】點(diǎn),,,，那么向量在方向上的投影為〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕【答案】B．【說明】此題以求向量的投影為載體，考查向量的坐標(biāo)計(jì)算公式、向量的夾角公式與投影計(jì)算公式以及共線向量判定等根底知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想．解決問題時(shí)，考生應(yīng)首先求出,，然后代入投影的計(jì)算公式，得到，或者通過坐標(biāo)判斷出同向，得到向量在方向上的投影即為．此題易出現(xiàn)的錯(cuò)誤，一是向量的坐標(biāo)計(jì)算錯(cuò)誤，二是投影計(jì)算公式記憶錯(cuò)誤，從而得出錯(cuò)誤選項(xiàng)．此題要求考生掌握共線向量的判定方法與投影計(jì)算方法，屬于理解層次，是容易題．【例14】古代數(shù)學(xué)著作?九章算術(shù)?有如下問題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問日織幾何？〞意思是：“一女子善于織布，每天織的布都是前一天的2倍，她5天共織布5尺，問這女子每天分別織布多少？〞根據(jù)上題的條件，假設(shè)要使織布的總尺數(shù)不少于30，該女子所需的天數(shù)至少為〔A〕7 〔B〕8 〔C〕9 〔D〕10【答案】B．【說明】此題以中國古代趣題為載體，考查等比數(shù)列的概念、前n項(xiàng)和公式、不等式等根底知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、應(yīng)用意識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、方程與函數(shù)思想．考生在解決問題時(shí)應(yīng)注意到這個(gè)問題的本質(zhì)是等比數(shù)列的求和問題；“總尺數(shù)不少于30，所需至少的天數(shù)〞應(yīng)轉(zhuǎn)化為求使得這個(gè)等比數(shù)列前項(xiàng)和成立的最小的值；因此，可以設(shè)第一天織布尺，那么，得，所以前天所織布的尺數(shù)為．由，得，那么的最小值為8．此題的主要錯(cuò)誤，一是未能讀懂題意，無法從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)問題；二是無法順利完成運(yùn)算．此題要求學(xué)生要具備一定的閱讀能力，理解等比數(shù)列的概念、前項(xiàng)和公式、不等式等根底知識(shí)的應(yīng)用，屬于理解層次，是中檔題．【例15】不等式的解集是〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕【答案】A．【說明】此題以不等式為載體，考查一元二次不等式、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等根底知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想．解決問題時(shí)，考生應(yīng)明確一元二次不等式與一元二次函數(shù)、一元二次方程的關(guān)系，進(jìn)而求得一元二次方程的兩根，再結(jié)合一元二次函數(shù)的圖象，得到不等式的解集為．此題易出現(xiàn)的錯(cuò)誤，一是沒有掌握一元二次不等式的解法，二是求根出錯(cuò)，從而得出錯(cuò)誤選項(xiàng)．此題要求考生掌握一元二次不等式的解法，屬于理解層次，是容易題．【例16】奇函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，且，那么的取值范圍是．【答案】．【說明】此題以抽象函數(shù)、不等式為載體，考查復(fù)合函數(shù)的定義域、函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性、一元一次不等式等根底知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．解決問題時(shí)，首先利用函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的定義，把函數(shù)值之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量之間的關(guān)系，再根據(jù)定義域?qū)Φ南拗?，得到的取值范圍．即先將所給的不等式進(jìn)行變形，得到，再根據(jù)奇函數(shù)的定義得到；由函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，得到自變量之間的關(guān)系，最后結(jié)合所給函數(shù)的定義域限制得到由此得到不等式組解得，從而得到的取值范圍是．此題常見的錯(cuò)誤：一是無法正確運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)，將所給的不等式轉(zhuǎn)化為，導(dǎo)致無從下手；二是沒有考慮定義域的限制，從而擴(kuò)大了自變量的取值范圍．此題涉及函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性等相關(guān)性質(zhì)、復(fù)合函數(shù)的定義域、一元一次不等式的解法等眾多知識(shí)，涉及化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于理解層次，是中檔題．【例17】過原點(diǎn)且傾斜角為的直線被圓所截得的弦長為．【答案】．【說明】此題以直線與圓為載體，考查直線的方程、直線與圓的位置關(guān)系等根底知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想．解決問題時(shí)，由直線過原點(diǎn)且傾斜角為可得直線方程為，再利用垂徑定理即可得出弦長為；也可以注意到原點(diǎn)在圓上，作出圖形，數(shù)形結(jié)合直接得出結(jié)論．此題經(jīng)常出現(xiàn)的錯(cuò)誤主要是：不能根據(jù)直線特征寫出直線方程或作出圖形，不會(huì)應(yīng)用垂徑定理求直線被圓所截得的弦長．此題涉及直線的方程，直線截圓所得的弦長等知識(shí)，涉及數(shù)形結(jié)合思想，屬于理解層次，是中檔題．【例18】為估計(jì)的近似值，可以用隨機(jī)模擬方法近似計(jì)算．先產(chǎn)生兩組〔每組個(gè)〕區(qū)間上的均勻隨機(jī)數(shù)和，由此得到個(gè)點(diǎn)〔〕．再數(shù)出其中滿足〔〕的點(diǎn)數(shù)，那么由隨機(jī)模擬方法可得的近似值為．【答案】．【說明】此題以估計(jì)的近似值為載體，考查隨機(jī)模擬、幾何概型等根底知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查統(tǒng)計(jì)與概率思想．考生要解決此題，需要理解隨機(jī)模擬試驗(yàn)的根本原理及操作方法，能讀懂題意，明確該模擬試驗(yàn)的功能是往一邊長為2的正方形內(nèi)隨機(jī)投個(gè)點(diǎn)，其中落入該正方形內(nèi)切圓的點(diǎn)數(shù)有，最后根據(jù)概率是頻率的估計(jì)值這一本質(zhì)，列出等式：，得到答案．常出現(xiàn)的錯(cuò)誤有：一是不能讀懂題意，無法正確構(gòu)建正確圖形，將問題轉(zhuǎn)化為幾何概型，并利用概率計(jì)算公式求解；二是弄錯(cuò)正方形與圓的相關(guān)數(shù)量關(guān)系，出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤．此題要求考生理解隨機(jī)模擬試驗(yàn)的根本原理及操作方法，理解頻率與概率之間的區(qū)別與聯(lián)系，掌握幾何概型概率計(jì)算公式，屬于理解層次，是中檔題．【例19】，且，那么的值為________．【答案】．【說明】此題以三角求值為載體，考查同角三角函數(shù)的根本關(guān)系式等根底知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．解決問題時(shí)，考生應(yīng)知道解決問題的關(guān)鍵是求得的值，因此必須用到以及隱含條件．一方面可直接聯(lián)立方程組結(jié)合定義域進(jìn)行求解，另一方面亦可通過整體思想，把兩邊平方可得，求出，再由定義域得到，聯(lián)立方程組求得，最后代入目標(biāo)式進(jìn)行求解．易出現(xiàn)的錯(cuò)誤一是沒有注意定義域，二是計(jì)算錯(cuò)誤，從而得出錯(cuò)誤答案．此題要求考生掌握對，，三者知一求二問題的求解方法，屬于理解層次，是中檔題．【例20】__________．【答案】．【說明】此題以三角化簡求值為載體，考查兩角和的正切公式等根底知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．解決問題時(shí)，考生應(yīng)觀察出，從而把化為，從而解決問題．當(dāng)然，我們也可根據(jù)教材中習(xí)題的結(jié)論：當(dāng)時(shí)，，把化為來快速解決問題．此題易出現(xiàn)的錯(cuò)誤，一是不懂建立非特殊角與特殊角的聯(lián)系，二是結(jié)果弄錯(cuò)符號，從而得出錯(cuò)誤答案．此題要求考生掌握三角化簡求值問題處理的常見方法，屬于理解層次，是中檔題．【例21】向量．假設(shè)，那么，．【答案】．【說明】此題以向量的線性表示為載體，考查平面向量的根本定理，平面向量的線性運(yùn)算等根底知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想．解決問題時(shí)，考生應(yīng)根據(jù)平面向量的根本定理，利用向量的坐標(biāo)線性運(yùn)算得到方程組求得此題易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是沒有掌握根本定理，不能理解兩向量相等的條件．此題要求考生借助待定系數(shù)法，將平面內(nèi)的向量用平面的一組基底表示，屬于理解層次，是容易題．【例22】鈍角的面積是，,，那么=【答案】．【說明】此題以解三角形為載體，考查三角形面積公式、余弦定理等根底知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力能力，考查分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．解決問題時(shí)，考生應(yīng)注意到三角形的兩條邊長，要求長，只需再求一個(gè)角．顯然由面積的值可以求兩邊的夾角，即由可求得，，所以或．當(dāng)時(shí)，由余弦定理可得，，此時(shí)，易得，這與“鈍角三角形〞條件矛盾，舍去．當(dāng)時(shí)，由余弦定理得，符合題意．此題常見的錯(cuò)誤是，一是不能根據(jù)要求，對條件、結(jié)論中邊角關(guān)系進(jìn)行合理互化，導(dǎo)致解題沒有思路；二是不能對所求得的角進(jìn)行分類討論，驗(yàn)證其合理性，產(chǎn)生增解．此題要求考生理解三角形面積公式、余弦定理，能夠利用它們解三角形,并要求驗(yàn)證所求結(jié)果與題設(shè)條件的符合情況，屬于理解層次，是中檔題．【例23】如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時(shí)測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上，行駛600m后到達(dá)B處，測得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°，那么此山的高度＝________m．【答案】．【說明】此題以測量山的高度為載體，考查正弦定理、空間方位角及解三角形相關(guān)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行抽象概括的應(yīng)用意識(shí)和抽象概括能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．解決問題時(shí)，考生應(yīng)將文字信息與圖形對應(yīng)起來，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的解三角形問題，要求的長度，需要依托一個(gè)三角形，顯然，在中，，故只需再求得一條邊即可．在中，，，，從而．由正弦定理可求得長，即由可得，．從而，在中，可求得，〔〕此題的主要錯(cuò)誤，一是對空間方位角陌生，無法將文字信息與圖形準(zhǔn)確對應(yīng)，導(dǎo)致題意理解不清；二是未能找到不同三角形之間公共要素，建立聯(lián)系的橋梁，導(dǎo)致解題沒有思路．此題要求學(xué)生具備一定的閱讀理解能力、抽象概括能力，會(huì)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型；并會(huì)在多個(gè)三角形之間尋找溝通的渠道；屬于理解層次，是稍難題．【例24】數(shù)列滿足，，那么．【答案】．【說明】此題以遞推數(shù)列為載體，考查由數(shù)列的遞推關(guān)系求數(shù)列的項(xiàng)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．解決問題時(shí)，考生應(yīng)注意到，無法直接由遞推關(guān)系得出通項(xiàng)公式；那么猜測應(yīng)該有一定的規(guī)律性可以定出首項(xiàng)的值，猜測有周期性．將代入遞推公式，求得；再將代入，求得；再將代入，求得；由此可以推出數(shù)列是一個(gè)周期為3的數(shù)列從而可得．此題主要的錯(cuò)誤是，缺乏解題經(jīng)驗(yàn)，不敢嘗試計(jì)算數(shù)列的假設(shè)干項(xiàng)，從中尋找規(guī)律，從而無從下手．此題需要對數(shù)列的遞推表示法有所了解，屬于了解層次，是容易題．【例25】設(shè)滿足約束條件那么的最小值為________．【答案】．【說明】此題以最優(yōu)解問題為載體，考查線性規(guī)劃相關(guān)問題，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．解決問題時(shí)，考生應(yīng)將代數(shù)問題幾何化，畫出條件不等式組所對應(yīng)的可行域，如下圖，并尋求目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，發(fā)現(xiàn)其與斜率為的直線在y軸上的截距有關(guān)．通過平移發(fā)現(xiàn)，當(dāng)直線過點(diǎn)A時(shí)，z有最小值，由方程組解得，從而求得．此題的常見錯(cuò)誤是，考生無法將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題解決．此題要求學(xué)生理解二元一次不等式〔組〕及線性目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，能將代數(shù)問題幾何化．屬于理解層次，是容易題．【例26】某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用為800元．假設(shè)每批生產(chǎn)x件，那么平均倉儲(chǔ)時(shí)間為eq\f(x,8)天，且每件產(chǎn)品每天的倉儲(chǔ)費(fèi)用為1元．為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品件．【答案】80．【說明】此題以生產(chǎn)安排為載體，主要考查函數(shù)、不等式的根底知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行抽象概括的應(yīng)用意識(shí)和抽象概括能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．解決問題時(shí)，考生應(yīng)通過閱讀理解把握題意，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，懂得倉儲(chǔ)費(fèi)用為，得到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉儲(chǔ)費(fèi)用之和為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，上式取等號，從而求得實(shí)際問題的解．此題的主要錯(cuò)誤是，考生無法將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．此題要求學(xué)生具備一定的閱讀理解能力和抽象概括能力，會(huì)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型，即把生產(chǎn)或生活中遇到的實(shí)際問題，抽象為一個(gè)數(shù)學(xué)問題來解決．屬于理解層次，是稍難題．【例27】設(shè)函數(shù)〔〕．〔Ⅰ〕假設(shè)求的值；〔Ⅱ〕當(dāng)取何值時(shí)，函數(shù)為奇函數(shù)?〔Ⅲ〕證明：函數(shù)在區(qū)間的圖象上不存在兩點(diǎn),，使直線平行于軸．【解】〔Ⅰ〕由〔〕，得．〔Ⅱ〕函數(shù)的定義域?yàn)椋椒ㄒ唬海?dāng)，即時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)為奇函數(shù)．方法二：假設(shè)函數(shù)為奇函數(shù)，那么，即，解得．檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)有=．所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)為奇函數(shù)．〔Ⅲ〕方法一：任取依題意得，因?yàn)?，故，即．所以直線的斜率，因此直線不平行于軸．方法二：假設(shè)函數(shù)在區(qū)間的圖象上存在不同兩點(diǎn)，使直線平行于軸．那么，即存在實(shí)數(shù)，使關(guān)于的方程在內(nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，也即方程在內(nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根．由根與系數(shù)的關(guān)系得，這與矛盾．故函數(shù)的圖象在區(qū)間不存在兩點(diǎn)，使直線平行于軸．【說明】此題以含有參數(shù)的函數(shù)為載體，主要考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等函數(shù)的根底知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想等．對于第〔Ⅰ〕問，直接代入求解即可；對于第〔Ⅱ〕問，判斷函數(shù)的奇偶性，可以先求函數(shù)的定義域，并判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，然后用奇函數(shù)的定義，即求出的值；也可以用特殊點(diǎn)代入求出的值，然后將結(jié)果代入函數(shù)解析式利用奇函數(shù)的定義加以檢驗(yàn)．對于第〔Ⅲ〕問，首先應(yīng)根據(jù)題意，利用圖形幫助尋找解題途徑：把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性問題，再根據(jù)“假設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，那么在區(qū)間上該函數(shù)的圖象上不存在兩點(diǎn)，使得直線與x軸平行〞來得到結(jié)論．此題常見的錯(cuò)誤是：在解決第〔Ⅱ〕問時(shí)沒有先求函數(shù)的定義域而直接判斷函數(shù)的奇偶性，或利用奇函數(shù)性質(zhì)，用特殊點(diǎn)求出值后沒有進(jìn)行檢驗(yàn)；對于第〔Ⅲ〕問，很多學(xué)生可能因?yàn)闊o法正確理解題意而找不到解決問題的方法．此題涉及函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性等有關(guān)性質(zhì)，涉及函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，要求有一定的推理論證能力、運(yùn)算求解能力，屬于掌握層次，是稍難題．【例28】某租賃公司擁有汽車100輛，當(dāng)每輛車的月租金為3000元時(shí)，可全部租出，每輛車的月租金每增加50元時(shí)，未租出的車將會(huì)增加一輛．租出的車每輛車需要維護(hù)費(fèi)150元，未租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi)50元，問當(dāng)每輛車的月租金定為多少元時(shí)，租賃公司的月收益最大?最大月收益是多少?【解】設(shè)每輛車的月租金為元，那么未租出的車有輛，租出的車有輛．又設(shè)租賃公司的月收益為元，依題意可得：所以，當(dāng)時(shí)，取最大值．即當(dāng)每輛車的月租金為元時(shí)，租賃公司的月收益最大，最大月收益為元．【說明】此題以某汽車租賃公司的汽車租賃收益為載體設(shè)計(jì)應(yīng)用性問題，考查數(shù)學(xué)建模、代數(shù)式恒等變形、二次函數(shù)的最值等根底知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)與方程思想．解決問題時(shí)，首先必須通過對題文的閱讀理解，正確把握問題的含義，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立合理的數(shù)學(xué)模型，再通過對數(shù)學(xué)問題的解答解決相應(yīng)的實(shí)際問題．即根據(jù)題意建立租賃公司的月收益(元)關(guān)于每輛車的月租金(元)的二次函數(shù)模型．從而把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為求該二次函數(shù)在的最大值的數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而對得到的函數(shù)解析式進(jìn)行化簡，得到，最后根據(jù)二次函數(shù)取得最值的條件，求得函數(shù)的最值．解決此題的主要障礙是數(shù)學(xué)建模及運(yùn)算問題，常見的錯(cuò)誤是無法正確建模，或者計(jì)算出錯(cuò)．此題綜合考查二次函數(shù)、數(shù)學(xué)建模等知識(shí)，涉及代數(shù)式的恒等變形，計(jì)算量也較大，屬于掌握層次，是稍難題．【例29】如圖，正方體的棱長為，分別是的中點(diǎn)．〔Ⅰ〕求證：∥平面；〔Ⅱ〕求直線與平面所成的角的正切值．【解】〔Ⅰ〕證明：因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，且為的中點(diǎn)，所以為的中位線，所以∥．又因?yàn)槠矫?，平面，所以∥平面．〔Ⅱ〕取的中點(diǎn)，連接．因?yàn)闉榈闹形痪€，所以∥．又因?yàn)槠矫?，所以平面，所以為直線與平面所成的角．在直角中，．因?yàn)闉榈闹形痪€，所以．又因?yàn)?，所以在直角△中，，故直線與平面所成的角的正切值為．【說明】此題以正方體為載體，考查空間直線與平面的位置關(guān)系以及空間直線與平面所成角等根底知識(shí)，考查推理論證能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對于第〔Ⅰ〕問，由三角形中位線定理得到線線平行，直接利用直線與平面平行的判定定理即可證明；對于第〔Ⅱ〕問，只需利用直線與平面所成的角的定義作出直線與平面所成的角，再計(jì)算其正切值即可．此題經(jīng)常出現(xiàn)的錯(cuò)誤主要是：第〔Ⅱ〕問無法作出直線與平面所成的角．此題涉及直線與平面平行的判定定理，直線與平面所成的角等知識(shí)，涉及化歸與轉(zhuǎn)化思想，要求有一定的推理論證能力、運(yùn)算求解能力，屬于理解層次，是中檔題．【例30】如圖，四棱錐的底面是菱形，，，為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上．〔Ⅰ〕證明：平面平面；〔Ⅱ〕假設(shè)，∥平面，求四棱錐的體積．【解】〔Ⅰ〕連接，因?yàn)榈酌媸橇庑?，，所以是正三角形，所以．因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，，所以，且，所以平面，又平面，所以平面平面．〔Ⅱ〕連接，交于點(diǎn)，連接，因?yàn)椤纹矫?，平面，平面平面，所以∥，因?yàn)?，所以，所以，故，因?yàn)?，，所以，，又，所以，所以，即，又，且，所以平面．由知，故點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)?，所以四棱錐的體積為．【說明】此題以四棱錐為載體，考查空間直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系以及空間幾何體的體積等根底知識(shí)，考查推理論證能力、空間想象能力和運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對于第〔Ⅰ〕問，可以根據(jù)平面與平面垂直的性質(zhì)定理找到證題方向，即證明平面，再利用菱形及等腰三角形的性質(zhì)得到和，進(jìn)而得到平面，從而平面平面；對于第〔Ⅱ〕問，先利用∥平面，得到

∥，再根據(jù)線段的長度得到垂直關(guān)系，可以證明平面，進(jìn)而求出點(diǎn)到平面的距離為，得到四棱錐的體積為．此題經(jīng)常出現(xiàn)的錯(cuò)誤主要是：第〔Ⅰ〕問無法將證明平面平面轉(zhuǎn)化為證明平面；第〔Ⅱ〕問無法利用線面平行的性質(zhì)定理得到∥，導(dǎo)致求不出點(diǎn)到平面的距離，從而無法求出四棱錐的體積．此題涉及直線與平面垂直、平面與平面垂直的判定定理，直線與平面平行的性質(zhì)定理及空間幾何體的體積等知識(shí)，涉及化歸與轉(zhuǎn)化思想，要求有一定的空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力，屬于理解層次，是稍難題．【例31】在平面直角坐標(biāo)系中，圓，過點(diǎn)的動(dòng)直線與圓交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為．〔Ⅰ〕求的軌跡方程；〔Ⅱ〕當(dāng)時(shí)，求的方程及的面積．【解】〔Ⅰ〕圓的方程可化為，所以圓心為，半徑為4．設(shè)，那么，，由平面幾何知識(shí)可知，故，即．由于點(diǎn)在圓的內(nèi)部，所以的軌跡方程是〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可知的軌跡是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓．由于，故在線段的垂直平分線上，又在圓上，從而．因?yàn)榈男甭蕿?，所以的斜率為，直線的方程為：．所以點(diǎn)到的距離為，又，所以，所以的面積為．【說明】此題以直線與圓為載體，考查圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系等根底知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想．對于第〔Ⅰ〕問，只要根據(jù)，并轉(zhuǎn)化為，代入點(diǎn)的坐標(biāo)并化簡后便可得的軌跡方程；對于第〔Ⅱ〕問，先根據(jù)得到在線段的垂直平分線上，結(jié)合在圓上，可求得直線的方程為：，進(jìn)而求出的面積為．此題經(jīng)常出現(xiàn)的錯(cuò)誤主要是：第〔Ⅰ〕問，無法找到點(diǎn)滿足的幾何條件，不能將幾何條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系或計(jì)算能力缺乏導(dǎo)致化簡錯(cuò)誤；第〔Ⅱ〕問，不能將轉(zhuǎn)化為在線段的垂直平分線上，不能根據(jù)在圓上得到，求不出直線的方程，從而無法求出的面積．此題涉及弦中點(diǎn)的軌跡、圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，涉及數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想，要求有一定的運(yùn)算求解能力，屬于理解層次，是稍難題．【例32】某市居民用水?dāng)M實(shí)行階梯水價(jià)，每人月用水量中不超過立方米的局部按4收費(fèi)，超出立方米的局部按10收費(fèi)．從該市隨機(jī)調(diào)查了位居民，獲得了他們某月的用水量數(shù)據(jù)，整理得到如下頻率分布直方圖：〔Ⅰ〕如果為整數(shù)，那么根據(jù)此次調(diào)查，為使以上居民在該月的用水價(jià)格為4，至少定為多少？〔Ⅱ〕假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的右端點(diǎn)值代替．當(dāng)時(shí)，估計(jì)該市居民該月的人均水費(fèi)．【解】〔Ⅰ〕由用水量的頻率分布直方圖知，該市居民該月用水量在區(qū)間內(nèi)的頻率依次為．所以該月用水量不超過3立方米的居民占，用水量不超過2立方米的居民占．依題意，至少定為3．〔Ⅱ〕由用水量的頻率分布直方圖及題意，得居民該月用水量費(fèi)用的數(shù)據(jù)分組與頻率分布表：組號12345678分組頻率根據(jù)題意，該市居民該月的人均水費(fèi)估計(jì)為：〔元〕．【說明】此題以階梯水費(fèi)收費(fèi)為載體設(shè)計(jì)實(shí)際應(yīng)用性問題，考查統(tǒng)計(jì)與概率的相關(guān)知識(shí)，考查數(shù)據(jù)處理能力、識(shí)圖能力、運(yùn)算求解能力，考查應(yīng)用意識(shí)．解決問題時(shí)，考生要懂得頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積代表頻率，從而根據(jù)頻率分布直方圖求得用水量不超過2立方米時(shí)，頻率是，用水量不超過3立方米時(shí)，頻率是，從而確定合理的分界線．最后依據(jù)用樣本估計(jì)總體的思想，通過計(jì)算樣本的人均水費(fèi)用以估計(jì)全市的人均水費(fèi)．此題的解決對識(shí)圖能力要求較高，所以考生常出現(xiàn)的錯(cuò)誤是無法讀懂題意，或計(jì)算出錯(cuò)．此題綜合考查統(tǒng)計(jì)與概率的相關(guān)知識(shí)，涉及頻率分布直方圖、以頻率分布直方圖估計(jì)均值、用