正余弦定理應(yīng)用舉例

問題提出1.正弦定理和余弦定理的基本公式是什么？第1頁/共54頁第一頁，共55頁。2.正弦定理和余弦定理分別適合解哪些類型的三角形？正弦定理：一邊兩角或兩邊與對(duì)角；余弦定理：兩邊與夾角或三邊.3.在平面幾何中，兩點(diǎn)間的距離就是連接這兩點(diǎn)的線段長.對(duì)于不可以直接度量的兩點(diǎn)間的距離，通常用什么辦法進(jìn)行計(jì)算？構(gòu)造三角形第2頁/共54頁第二頁，共55頁。4.在測(cè)量問題中，對(duì)于可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離，一般直接度量，對(duì)于不可到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離，常在特定情境下通過解三角形進(jìn)行計(jì)算，我們將對(duì)這類問題作些實(shí)例分析.第3頁/共54頁第三頁，共55頁。距離測(cè)量問題第4頁/共54頁第四頁，共55頁。探究（一）：一個(gè)不可到達(dá)點(diǎn)的距離測(cè)量思考1：如圖，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，測(cè)量者在點(diǎn)A的同側(cè)，在點(diǎn)A所在河岸邊選定一點(diǎn)C，若測(cè)出A、C的距離是55m，∠BAC=51°，∠ACB=75°，如何求出A、B兩點(diǎn)的距離？CAB第5頁/共54頁第五頁，共55頁。思考2：若改變點(diǎn)C的位置，哪些相關(guān)數(shù)據(jù)可能會(huì)發(fā)生變化？對(duì)計(jì)算A、B兩點(diǎn)的距離是否有影響？CAB第6頁/共54頁第六頁，共55頁。思考3：一般地，若A為可到達(dá)點(diǎn)，B為不可到達(dá)點(diǎn)，應(yīng)如何設(shè)計(jì)測(cè)量方案計(jì)算A、B兩點(diǎn)的距離？CAB選定一個(gè)可到達(dá)點(diǎn)C；→測(cè)量AC的距離及∠BAC，∠ACB的大小→利用正弦定理求AB的距離.第7頁/共54頁第七頁，共55頁。思考4：根據(jù)上述測(cè)量方案設(shè)置相關(guān)數(shù)據(jù)，計(jì)算A、B兩點(diǎn)的距離公式是什么？CAB設(shè)AC=d，∠ACB=α，∠BAC=β.第8頁/共54頁第八頁，共55頁。探究（二）：兩個(gè)不可到達(dá)點(diǎn)的距離測(cè)量思考1：如圖，在四邊形ABCD中，已知∠BAC＝∠DBC＝45°，∠DAC＝75°，∠ABD＝30°，且AB＝，你能求出CD邊的長嗎？ABCD30°45°45°75°第9頁/共54頁第九頁，共55頁。思考2：設(shè)A、B兩點(diǎn)都在河的對(duì)岸（不可到達(dá)），你能設(shè)計(jì)一個(gè)測(cè)量方案計(jì)算A、B兩點(diǎn)間的距離嗎？CDAB選定兩個(gè)可到達(dá)點(diǎn)C、D；→測(cè)量C、D間的距離及∠ACB、∠ACD、∠BDC、∠ADB的大??；→利用正弦定理求AC和BC；→利用余弦定理求AB.第10頁/共54頁第十頁，共55頁。思考3：在上述測(cè)量方案中，設(shè)CD=a，∠ACB=α，∠ACD=β，∠BDC=γ，∠ADB=δ，那么AC和BC的計(jì)算公式是什么？CDAB思考4：測(cè)量?jī)蓚€(gè)不可到達(dá)點(diǎn)之間的距離還有別的測(cè)量方法嗎？第11頁/共54頁第十一頁，共55頁。理論遷移

例某觀測(cè)站C在城A的南偏西20°方向，由城A出發(fā)的一條公路沿南偏東40°方向筆直延伸.在C處測(cè)得公路上B處有一人與觀測(cè)站C相距31km，此人沿公路走了20km后到達(dá)D處，測(cè)得C、D間的距離是21km；問這個(gè)人還要走多遠(yuǎn)才能到達(dá)A城？ACBD東北15第12頁/共54頁第十二頁，共55頁。小結(jié)作業(yè)1.在測(cè)量上，根據(jù)測(cè)量需要適當(dāng)確定的線段叫做基線.基線的選取不唯一，一般基線越長，測(cè)量的精確度越高.2.距離測(cè)量問題包括一個(gè)不可到達(dá)點(diǎn)和兩個(gè)不可到達(dá)點(diǎn)兩種，設(shè)計(jì)測(cè)量方案的基本原則是：能夠根據(jù)測(cè)量所得的數(shù)據(jù)計(jì)算所求兩點(diǎn)間的距離，其中測(cè)量數(shù)據(jù)與基線的選取有關(guān)，計(jì)算時(shí)需要利用正、余弦定理.第13頁/共54頁第十三頁，共55頁。作業(yè)：P13練習(xí)：1，2.第14頁/共54頁第十四頁，共55頁。1.2應(yīng)用舉例第二課時(shí)第15頁/共54頁第十五頁，共55頁。問題提出1.測(cè)量一個(gè)可到達(dá)點(diǎn)與一個(gè)不可到達(dá)點(diǎn)之間的距離，應(yīng)如何測(cè)量和計(jì)算？CAB第16頁/共54頁第十六頁，共55頁。2.測(cè)量?jī)蓚€(gè)不可到達(dá)點(diǎn)之間的距離，應(yīng)如何測(cè)量和計(jì)算？CDAB第17頁/共54頁第十七頁，共55頁。3.豎直方向兩點(diǎn)間的距離，通常稱為高度.如何測(cè)量頂部或底部不可到達(dá)的物體的高度，也是一個(gè)值得探究的問題.第18頁/共54頁第十八頁，共55頁。高度測(cè)量問題第19頁/共54頁第十九頁，共55頁。探究（一）：利用仰角測(cè)量高度思考1：設(shè)AB是一個(gè)底部不可到達(dá)的豎直建筑物，A為建筑物的最高點(diǎn)，在水平面上取一點(diǎn)C，可以測(cè)得點(diǎn)A的仰角，若計(jì)算建筑物AB的高度，還需解決什么問題？CAB計(jì)算AC的長第20頁/共54頁第二十頁，共55頁。思考2：取水平基線CD，只要測(cè)量出哪些數(shù)據(jù)就可計(jì)算出AC的長？CABD點(diǎn)C、D觀察A的仰角和CD的長第21頁/共54頁第二十一頁，共55頁。思考3：設(shè)在點(diǎn)C、D出測(cè)得A的仰角分別為α、β，CD=a，測(cè)角儀器的高度為h，那么建筑物高度AB的計(jì)算公式是什么？CABD第22頁/共54頁第二十二頁，共55頁。思考4：如圖，在山頂上有一座鐵塔BC，塔頂和塔底都可到達(dá)，A為地面上一點(diǎn)，通過測(cè)量哪些數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出山頂?shù)母叨?？ABC第23頁/共54頁第二十三頁，共55頁。思考5：設(shè)在點(diǎn)A處測(cè)得點(diǎn)B、C的仰角分別為α、β，鐵塔的高BC=a，測(cè)角儀的高度忽略不計(jì)，那么山頂高度CD的計(jì)算公式是什么？ABCD第24頁/共54頁第二十四頁，共55頁。探究（二）：利用俯角測(cè)量高度思考1：飛機(jī)的海拔飛行高度是可知的，若飛機(jī)的航線和山頂在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)，飛機(jī)在水平飛行中測(cè)量山頂?shù)母叨?，關(guān)鍵是求出哪個(gè)數(shù)據(jù)？A飛機(jī)與山頂?shù)暮０尾畹?5頁/共54頁第二十五頁，共55頁。ABCD思考2：如圖，設(shè)飛機(jī)在飛臨山頂前，在B、C兩處測(cè)得山頂A的俯角分別是α、β，B、C兩點(diǎn)的飛行距離為a，飛機(jī)的海拔飛行高度是H，那么山頂?shù)暮０胃叨萮的計(jì)算公式是什么？第26頁/共54頁第二十六頁，共55頁。探究（三）：借助方位角測(cè)量高度思考1：一輛汽車在一條水平的公路上向正西方向行駛，到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)遠(yuǎn)處一山頂D在西偏北15°方向上，行駛5km后到達(dá)B處，測(cè)得此山頂在西偏北25°方向上，仰角為8°，根據(jù)這些測(cè)量數(shù)據(jù)計(jì)算，此山的高度約是多少？ABCD東西1047m第27頁/共54頁第二十七頁，共55頁。思考2：若在A、B兩處測(cè)得山頂D的仰角分別為α、β，從A到B的行駛距離為a，能否求出此山的高度？ABCD東西思考3：在上述條件下，若在A處還測(cè)得山頂D的方位角是西偏北θ方向，能否求出此山的高度？第28頁/共54頁第二十八頁，共55頁。小結(jié)作業(yè)1.解決物體高度測(cè)量問題時(shí)，一般先從一個(gè)或兩個(gè)可到達(dá)點(diǎn)，測(cè)量出物體頂部或底部的仰角、俯角或方位角，再解三角形求相關(guān)數(shù)據(jù).具體測(cè)量哪個(gè)類型的角，應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況而定.通常在地面測(cè)仰角，在空中測(cè)俯角，在行進(jìn)中測(cè)方位角.第29頁/共54頁第二十九頁，共55頁。2.計(jì)算物體的高度時(shí)，一般先根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)，利用正弦定理或余弦定理計(jì)算出物體頂部或底部到一個(gè)可到達(dá)點(diǎn)的距離，再解直角三角形求高度.作業(yè)：P15練習(xí)：1，2，3.第30頁/共54頁第三十頁，共55頁。1.2應(yīng)用舉例第三課時(shí)第31頁/共54頁第三十一頁，共55頁。問題提出1.測(cè)量水平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離，有哪兩種類型？分別測(cè)量哪些數(shù)據(jù)？一個(gè)可到達(dá)點(diǎn)與一個(gè)不可到達(dá)點(diǎn)之間的距離；兩個(gè)不可到達(dá)點(diǎn)之間的距離.基線長和張角.第32頁/共54頁第三十二頁，共55頁。2.測(cè)量物體的高度時(shí)，對(duì)角的測(cè)量有哪幾種類型？在實(shí)際問題中如何選擇？仰角、俯角或方位角.在地面測(cè)仰角，在空中測(cè)俯角，在行進(jìn)中測(cè)方位角.第33頁/共54頁第三十三頁，共55頁。3.角度是三角形的基本元素，是反映實(shí)際問題中物體方向的幾何量，根據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)計(jì)算角的大小，也是測(cè)量問題中的一個(gè)重要內(nèi)容.第34頁/共54頁第三十四頁，共55頁。角度測(cè)量問題第35頁/共54頁第三十五頁，共55頁。探究（一）：測(cè)量行進(jìn)方向思考1：一艘海輪從海港A出發(fā)，沿北偏東75°的方向航行67.5nmile后到達(dá)海島B，然后從B出發(fā)，沿北偏東32°的方向航行54.0nmile后到達(dá)海島C，那么A、C兩點(diǎn)間的直線距離是否確定？如何計(jì)算？CAB東北AC=113.15海里第36頁/共54頁第三十六頁，共55頁。思考2：在上述問題中，若海輪直接從海港A出發(fā)，直線航行到海島C，如何確定海輪的航行方向？CAB東北沿北偏東56°的方向航行第37頁/共54頁第三十七頁，共55頁。思考3：甲船在A處發(fā)現(xiàn)乙船在北偏東60°的B處，以20nmile/h的速度向正北方向航行，若使甲船在直線航行中，與乙船在某處相遇，那么甲船的航行方向由什么因素所確定？CAB東北甲船的航行速度第38頁/共54頁第三十八頁，共55頁。思考4：在上述問題中，若甲船的航速為 nmile/h，那么甲船應(yīng)沿什么方向航行才能與乙船在C處相遇？CAB東北沿北偏東30°的方向航行第39頁/共54頁第三十九頁，共55頁。探究（二）：測(cè)量相對(duì)位置思考1：甲船在A處，乙船在點(diǎn)A的東偏南45°方向，且與甲船相距9nmile的B處.在點(diǎn)B南偏西15°方向有一個(gè)小島C，甲、乙兩船分別以28nmile/h和20nmile/h的速度同時(shí)向小島直線航行，并同時(shí)達(dá)到小島，那么B處與小島的距離是多少？CAB東北15海里第40頁/共54頁第四十頁，共55頁。思考2：在A處觀察小島，其位置如何？CAB東北南偏東7°，相距21海里第41頁/共54頁第四十一頁，共55頁。理論遷移

例在A處有一條小船，在點(diǎn)A的北偏東30°方向有一個(gè)小島B，這附近海域內(nèi)有北偏東60°方向，且速度為4nmile/h的潮流.已知小船的航速是10nmile/h，若使小船在最短的時(shí)間內(nèi)達(dá)到小島，小船應(yīng)沿什么方向航行？CAB東北北偏東18.46°第42頁/共54頁第四十二頁，共55頁。小結(jié)作業(yè)1.利用正弦定理和余弦定理解三角形求角的大小，是角度測(cè)量問題的基本內(nèi)容，主要應(yīng)用于航海中航行方向的測(cè)量與計(jì)算.2.角與距離是密切相關(guān)的，將背景材料中的相關(guān)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為三角形的邊角值，再利用正、余弦定理求相關(guān)角的大小，是解題的基本思路.第43頁/共54頁第四十三頁，共55頁。3.如果角或距離不能直接利用正、余弦定理求解，就用方程思想處理.作業(yè)：P16練習(xí)：1.

P19習(xí)題1.2A組：1，2.第44頁/共54頁第四十四頁，共55頁。1.2應(yīng)用舉例第四課時(shí)第45頁/共54頁第四十五頁，共55頁。問題提出1.三角形中有一系列基本定理和公式，其中包括內(nèi)角和定理，勾股定理，正弦定理，余弦定理，射影定理，面積公式等，這些知識(shí)是解決三角形問題的基本理論依據(jù).2.以三角形為背景的數(shù)學(xué)問題，除了解三角形和測(cè)量問題外，還有與三角函數(shù)相關(guān)聯(lián)的三角變換問題，我們將對(duì)這類問題作些分析與探究.第46頁/共54頁第四十六頁，共55頁。三角形中的三角變換第47頁/共54頁第四十七頁，共55頁。探究（一）：三角形面積的計(jì)算思考1：在△ABC中，若B=62.7°，C=65.8°，b=3.16cm，如何求三角形的面積？第48頁/共54頁第四十八頁，共55頁。思考2：在△ABC中，若a=41.4cm，b=27.3cm，c=38.7cm，如何求三角形的面積？思考3：能否用三角形的三邊長為a，b，c表示三角形的面積S？第49頁/共54頁第四十九頁，共55頁。探究（二）：三角形內(nèi)角的計(jì)算思考1：在△ABC中，若sinA︰sinB︰sinC=5︰7︰8，則角B的值為多少？60°思考2：在△ABC中，若，則角A的值為多少？120°第50頁/