正余弦定理應用舉例

問題提出1.正弦定理和余弦定理的基本公式是什么？第1頁/共54頁第一頁，共55頁。2.正弦定理和余弦定理分別適合解哪些類型的三角形？正弦定理：一邊兩角或兩邊與對角；余弦定理：兩邊與夾角或三邊.3.在平面幾何中，兩點間的距離就是連接這兩點的線段長.對于不可以直接度量的兩點間的距離，通常用什么辦法進行計算？構造三角形第2頁/共54頁第二頁，共55頁。4.在測量問題中，對于可到達的點之間的距離，一般直接度量，對于不可到達的兩點間的距離，常在特定情境下通過解三角形進行計算，我們將對這類問題作些實例分析.第3頁/共54頁第三頁，共55頁。距離測量問題第4頁/共54頁第四頁，共55頁。探究（一）：一個不可到達點的距離測量思考1：如圖，設A、B兩點在河的兩岸，測量者在點A的同側(cè)，在點A所在河岸邊選定一點C，若測出A、C的距離是55m，∠BAC=51°，∠ACB=75°，如何求出A、B兩點的距離？CAB第5頁/共54頁第五頁，共55頁。思考2：若改變點C的位置，哪些相關數(shù)據(jù)可能會發(fā)生變化？對計算A、B兩點的距離是否有影響？CAB第6頁/共54頁第六頁，共55頁。思考3：一般地，若A為可到達點，B為不可到達點，應如何設計測量方案計算A、B兩點的距離？CAB選定一個可到達點C；→測量AC的距離及∠BAC，∠ACB的大小→利用正弦定理求AB的距離.第7頁/共54頁第七頁，共55頁。思考4：根據(jù)上述測量方案設置相關數(shù)據(jù)，計算A、B兩點的距離公式是什么？CAB設AC=d，∠ACB=α，∠BAC=β.第8頁/共54頁第八頁，共55頁。探究（二）：兩個不可到達點的距離測量思考1：如圖，在四邊形ABCD中，已知∠BAC＝∠DBC＝45°，∠DAC＝75°，∠ABD＝30°，且AB＝，你能求出CD邊的長嗎？ABCD30°45°45°75°第9頁/共54頁第九頁，共55頁。思考2：設A、B兩點都在河的對岸（不可到達），你能設計一個測量方案計算A、B兩點間的距離嗎？CDAB選定兩個可到達點C、D；→測量C、D間的距離及∠ACB、∠ACD、∠BDC、∠ADB的大?。弧谜叶ɡ砬驛C和BC；→利用余弦定理求AB.第10頁/共54頁第十頁，共55頁。思考3：在上述測量方案中，設CD=a，∠ACB=α，∠ACD=β，∠BDC=γ，∠ADB=δ，那么AC和BC的計算公式是什么？CDAB思考4：測量兩個不可到達點之間的距離還有別的測量方法嗎？第11頁/共54頁第十一頁，共55頁。理論遷移

例某觀測站C在城A的南偏西20°方向，由城A出發(fā)的一條公路沿南偏東40°方向筆直延伸.在C處測得公路上B處有一人與觀測站C相距31km，此人沿公路走了20km后到達D處，測得C、D間的距離是21km；問這個人還要走多遠才能到達A城？ACBD東北15第12頁/共54頁第十二頁，共55頁。小結作業(yè)1.在測量上，根據(jù)測量需要適當確定的線段叫做基線.基線的選取不唯一，一般基線越長，測量的精確度越高.2.距離測量問題包括一個不可到達點和兩個不可到達點兩種，設計測量方案的基本原則是：能夠根據(jù)測量所得的數(shù)據(jù)計算所求兩點間的距離，其中測量數(shù)據(jù)與基線的選取有關，計算時需要利用正、余弦定理.第13頁/共54頁第十三頁，共55頁。作業(yè)：P13練習：1，2.第14頁/共54頁第十四頁，共55頁。1.2應用舉例第二課時第15頁/共54頁第十五頁，共55頁。問題提出1.測量一個可到達點與一個不可到達點之間的距離，應如何測量和計算？CAB第16頁/共54頁第十六頁，共55頁。2.測量兩個不可到達點之間的距離，應如何測量和計算？CDAB第17頁/共54頁第十七頁，共55頁。3.豎直方向兩點間的距離，通常稱為高度.如何測量頂部或底部不可到達的物體的高度，也是一個值得探究的問題.第18頁/共54頁第十八頁，共55頁。高度測量問題第19頁/共54頁第十九頁，共55頁。探究（一）：利用仰角測量高度思考1：設AB是一個底部不可到達的豎直建筑物，A為建筑物的最高點，在水平面上取一點C，可以測得點A的仰角，若計算建筑物AB的高度，還需解決什么問題？CAB計算AC的長第20頁/共54頁第二十頁，共55頁。思考2：取水平基線CD，只要測量出哪些數(shù)據(jù)就可計算出AC的長？CABD點C、D觀察A的仰角和CD的長第21頁/共54頁第二十一頁，共55頁。思考3：設在點C、D出測得A的仰角分別為α、β，CD=a，測角儀器的高度為h，那么建筑物高度AB的計算公式是什么？CABD第22頁/共54頁第二十二頁，共55頁。思考4：如圖，在山頂上有一座鐵塔BC，塔頂和塔底都可到達，A為地面上一點，通過測量哪些數(shù)據(jù)，可以計算出山頂?shù)母叨?？ABC第23頁/共54頁第二十三頁，共55頁。思考5：設在點A處測得點B、C的仰角分別為α、β，鐵塔的高BC=a，測角儀的高度忽略不計，那么山頂高度CD的計算公式是什么？ABCD第24頁/共54頁第二十四頁，共55頁。探究（二）：利用俯角測量高度思考1：飛機的海拔飛行高度是可知的，若飛機的航線和山頂在同一個鉛垂平面內(nèi)，飛機在水平飛行中測量山頂?shù)母叨?，關鍵是求出哪個數(shù)據(jù)？A飛機與山頂?shù)暮０尾畹?5頁/共54頁第二十五頁，共55頁。ABCD思考2：如圖，設飛機在飛臨山頂前，在B、C兩處測得山頂A的俯角分別是α、β，B、C兩點的飛行距離為a，飛機的海拔飛行高度是H，那么山頂?shù)暮０胃叨萮的計算公式是什么？第26頁/共54頁第二十六頁，共55頁。探究（三）：借助方位角測量高度思考1：一輛汽車在一條水平的公路上向正西方向行駛，到A處時測得公路北側(cè)遠處一山頂D在西偏北15°方向上，行駛5km后到達B處，測得此山頂在西偏北25°方向上，仰角為8°，根據(jù)這些測量數(shù)據(jù)計算，此山的高度約是多少？ABCD東西1047m第27頁/共54頁第二十七頁，共55頁。思考2：若在A、B兩處測得山頂D的仰角分別為α、β，從A到B的行駛距離為a，能否求出此山的高度？ABCD東西思考3：在上述條件下，若在A處還測得山頂D的方位角是西偏北θ方向，能否求出此山的高度？第28頁/共54頁第二十八頁，共55頁。小結作業(yè)1.解決物體高度測量問題時，一般先從一個或兩個可到達點，測量出物體頂部或底部的仰角、俯角或方位角，再解三角形求相關數(shù)據(jù).具體測量哪個類型的角，應根據(jù)實際情況而定.通常在地面測仰角，在空中測俯角，在行進中測方位角.第29頁/共54頁第二十九頁，共55頁。2.計算物體的高度時，一般先根據(jù)測量數(shù)據(jù)，利用正弦定理或余弦定理計算出物體頂部或底部到一個可到達點的距離，再解直角三角形求高度.作業(yè)：P15練習：1，2，3.第30頁/共54頁第三十頁，共55頁。1.2應用舉例第三課時第31頁/共54頁第三十一頁，共55頁。問題提出1.測量水平面內(nèi)兩點間的距離，有哪兩種類型？分別測量哪些數(shù)據(jù)？一個可到達點與一個不可到達點之間的距離；兩個不可到達點之間的距離.基線長和張角.第32頁/共54頁第三十二頁，共55頁。2.測量物體的高度時，對角的測量有哪幾種類型？在實際問題中如何選擇？仰角、俯角或方位角.在地面測仰角，在空中測俯角，在行進中測方位角.第33頁/共54頁第三十三頁，共55頁。3.角度是三角形的基本元素，是反映實際問題中物體方向的幾何量，根據(jù)相關數(shù)據(jù)計算角的大小，也是測量問題中的一個重要內(nèi)容.第34頁/共54頁第三十四頁，共55頁。角度測量問題第35頁/共54頁第三十五頁，共55頁。探究（一）：測量行進方向思考1：一艘海輪從海港A出發(fā)，沿北偏東75°的方向航行67.5nmile后到達海島B，然后從B出發(fā)，沿北偏東32°的方向航行54.0nmile后到達海島C，那么A、C兩點間的直線距離是否確定？如何計算？CAB東北AC=113.15海里第36頁/共54頁第三十六頁，共55頁。思考2：在上述問題中，若海輪直接從海港A出發(fā)，直線航行到海島C，如何確定海輪的航行方向？CAB東北沿北偏東56°的方向航行第37頁/共54頁第三十七頁，共55頁。思考3：甲船在A處發(fā)現(xiàn)乙船在北偏東60°的B處，以20nmile/h的速度向正北方向航行，若使甲船在直線航行中，與乙船在某處相遇，那么甲船的航行方向由什么因素所確定？CAB東北甲船的航行速度第38頁/共54頁第三十八頁，共55頁。思考4：在上述問題中，若甲船的航速為 nmile/h，那么甲船應沿什么方向航行才能與乙船在C處相遇？CAB東北沿北偏東30°的方向航行第39頁/共54頁第三十九頁，共55頁。探究（二）：測量相對位置思考1：甲船在A處，乙船在點A的東偏南45°方向，且與甲船相距9nmile的B處.在點B南偏西15°方向有一個小島C，甲、乙兩船分別以28nmile/h和20nmile/h的速度同時向小島直線航行，并同時達到小島，那么B處與小島的距離是多少？CAB東北15海里第40頁/共54頁第四十頁，共55頁。思考2：在A處觀察小島，其位置如何？CAB東北南偏東7°，相距21海里第41頁/共54頁第四十一頁，共55頁。理論遷移

例在A處有一條小船，在點A的北偏東30°方向有一個小島B，這附近海域內(nèi)有北偏東60°方向，且速度為4nmile/h的潮流.已知小船的航速是10nmile/h，若使小船在最短的時間內(nèi)達到小島，小船應沿什么方向航行？CAB東北北偏東18.46°第42頁/共54頁第四十二頁，共55頁。小結作業(yè)1.利用正弦定理和余弦定理解三角形求角的大小，是角度測量問題的基本內(nèi)容，主要應用于航海中航行方向的測量與計算.2.角與距離是密切相關的，將背景材料中的相關數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為三角形的邊角值，再利用正、余弦定理求相關角的大小，是解題的基本思路.第43頁/共54頁第四十三頁，共55頁。3.如果角或距離不能直接利用正、余弦定理求解，就用方程思想處理.作業(yè)：P16練習：1.

P19習題1.2A組：1，2.第44頁/共54頁第四十四頁，共55頁。1.2應用舉例第四課時第45頁/共54頁第四十五頁，共55頁。問題提出1.三角形中有一系列基本定理和公式，其中包括內(nèi)角和定理，勾股定理，正弦定理，余弦定理，射影定理，面積公式等，這些知識是解決三角形問題的基本理論依據(jù).2.以三角形為背景的數(shù)學問題，除了解三角形和測量問題外，還有與三角函數(shù)相關聯(lián)的三角變換問題，我們將對這類問題作些分析與探究.第46頁/共54頁第四十六頁，共55頁。三角形中的三角變換第47頁/共54頁第四十七頁，共55頁。探究（一）：三角形面積的計算思考1：在△ABC中，若B=62.7°，C=65.8°，b=3.16cm，如何求三角形的面積？第48頁/共54頁第四十八頁，共55頁。思考2：在△ABC中，若a=41.4cm，b=27.3cm，c=38.7cm，如何求三角形的面積？思考3：能否用三角形的三邊長為a，b，c表示三角形的面積S？第49頁/共54頁第四十九頁，共55頁。探究（二）：三角形內(nèi)角的計算思考1：在△ABC中，若sinA︰sinB︰sinC=5︰7︰8，則角B的值為多少？60°思考2：在△ABC中，若，則角A的值為多少？120°第50頁/