直線投影基本知識

2.2.1

直線的投影以及直線對投影面的各種相對位置1

直線的投影HABab

直線可視為點的集合，所以直線的投影就是點的投影的集合。確定一直線只需要兩個點，故畫一直線的投影，只需知道直線上兩個點的投影，再連線即可。第1頁/共66頁第一頁，共67頁。

如圖所示，分別將兩點的同面投影用直線連接，就得到直線的投影。直線的投影仍為直線，特殊情況下為一點。abc(d)ZXOYHYWa'aa"b'bb"第2頁/共66頁第二頁，共67頁。直線的投影特性：ABCDEFabcd①垂直于投影面的直線在該投影面上的投影，積聚成一點（積聚性）。②平行于投影面的直線在該投影面上的投影，與直線本身平行且等長。③傾斜于投影面的直線在該投影面上的投影，短于直線的真長。第3頁/共66頁第三頁，共67頁。2

直線對投影面的各種相對位置直線一般位置直線：對三個投影面H、V、W都傾斜投影面平行線（只平行于一個投影面）水平線（∥H面，對V、W面都傾斜）正平線（∥V面，對H、W面都傾斜）側(cè)平線（∥W面，對H、V面都傾斜）投影面垂直線（垂直于一個投影面，平行于另外兩個投影面）鉛垂線（⊥H面，∥V面，∥W面）正垂線（⊥V

面，∥H面，∥W面）側(cè)垂線（⊥W

面，∥H面，∥V面）平行線——平行于一個投影面，傾斜于另兩個投影面。垂直線——垂直于一個投影面，平行于另兩個投影面。特殊位置直線第4頁/共66頁第四頁，共67頁。HVABWaba'b'a"b"O直線與投影面的夾角是指空間直線與它在該投影面上的正投影的夾角。直線對H、V、W面的傾角，分別用α、β、γ表示。αβγHBAA0B0abαα直線平行于投影面時，傾角為0°，垂直于投影面時，傾角為90°，傾斜于投影面時，傾角為0~90°。第5頁/共66頁第五頁，共67頁。（1）一般位置直線OXZYABbbabaaZXabaOYHYWabb投影特性：1、ab、

ab、ab均小于實長

2、ab、ab、ab均傾斜于投影軸

3、不直接反映直線對投影面的傾角第6頁/共66頁第六頁，共67頁。水平線—平行于水平投影面的直線投影特性：1．a(chǎn)b=AB2．a(chǎn)b∥OX;ab∥OZ

，且長度縮短3．反映a、角的真實大?。?）投影面平行線XZYOaababb

ABXa

b

ab

OzYHYWba第7頁/共66頁第七頁，共67頁。XZYOXabab

baOZYHYWAB

投影特性：1、abOX;abOZ2、ab=AB3、反映、角的真實大小aababb正平線—平行于正面投影面的直線（2）投影面平行線第8頁/共66頁第八頁，共67頁。XZYOXZOYHYWa

b

babaAB投影特性：1、abOZ;abOYH2、ab

=AB3、反映、角的真實大小aa

b

a

bb側(cè)平線—平行于側(cè)面投影面的直線（2）投影面平行線第9頁/共66頁第九頁，共67頁。（2）投影面平行線正

平

線水

平

線側(cè)

平

線空間直觀圖投影圖投影特性1.a'b'反映真長和傾角α、γ2.ab∥OX，a"b"∥OZ，且長度縮短1.ab反映真長和傾角β、γ2.a'b'∥OX，a"b"∥OYW，且長度縮短1.a"b"反映真長和傾角α、β2.ab∥OYH，a'b'∥OZ，且長度縮短第10頁/共66頁第十頁，共67頁。投影面平行線的投影特性：①在平行的投影面上的投影，反映直線的真長以及對另外兩個投影面的傾角。②在另外兩個投影面上的投影，平行于相應(yīng)的投影軸，長度縮短。第11頁/共66頁第十一頁，共67頁。例1：判斷下列直線的空間位置。a'b'abXOa'b'abXOAB為水平線CD為側(cè)平線第12頁/共66頁第十二頁，共67頁。AB為

線CD為

線EF為

線正平一般位置直水平c'(a')b'(d')a"e'f'abc(e)d(f)b"c"d"e"f"ABCDEF例2：參考立體圖，判斷物體上的直線是屬于哪一類直線。第13頁/共66頁第十三頁，共67頁。OXZYZb

Xa

ba(b)OYHYWa投影特性：1、ab

積聚成一點

2、abOX;ab

OYW

3、ab=ab=AB鉛垂線—垂直于水平投影面的直線ABb

a(b)a

ab（3）投影面垂直線第14頁/共66頁第十四頁，共67頁。正垂線—垂直于正面投影面的直線OXZY投影特性：1、ab積聚成一點

2、ab

OX;ab

OZ

3、ab=ab=ABABzXab

baOYHYWabbababa（3）投影面垂直線第15頁/共66頁第十五頁，共67頁。側(cè)垂線—垂直于側(cè)面投影面的直線OXZYAB投影特性：1、ab

積聚成一點

2、

ab

OYH;ab

OZ

3、ab=ab=ABbaababZXabbaOYHYWab（3）投影面垂直線第16頁/共66頁第十六頁，共67頁。（3）投影面垂直線正

垂

線鉛

垂

線側(cè)

垂

線空間直觀圖投影圖投影特性1.a'b'積聚成一點2.ab∥OYH，

a"b"∥

OYW，且反映真長1.ab積聚成一點2.a'b'∥OZ，a"b"∥OZ，且反映真長1.a"b"積聚成一點2.ab∥OX，a'b'∥OX，且反映真長第17頁/共66頁第十七頁，共67頁。投影面垂直線的投影特性：①在垂直的投影面上的投影積聚成一點。②在另外兩個投影面上的投影，平行于投影軸，且反映真長。第18頁/共66頁第十八頁，共67頁。例1：根據(jù)投影圖，判斷下列直線的空間位置。側(cè)平線側(cè)垂線鉛垂線水平線OabbaXccddOXZYHYWOcddcXZabOXYHYWba第19頁/共66頁第十九頁，共67頁。

解題思路：熟悉水平線的投影特性，明確正面投影平行于投影軸。b'a'abOX例2：已知AB為水平線，補畫a'b'。第20頁/共66頁第二十頁，共67頁。OXZYHYWa'aa"30°b例3:過點A向右上方作一正平線AB，使其實長為25，與H面的傾角=30°。25b'b"解題思路：熟悉正平線的投影特性，并從反映實長和的投影入手。作圖要點:１.做正平線的正面投影；２.過點a做正平線的水平投影和側(cè)面投影。第21頁/共66頁第二十一頁，共67頁。2.2.2

直線上的點的投影特性可以證明：直線上的點的水平投影，必在該直線的水平投影上；直線上的點的正面投影，必在該直線的正面投影上；直線上的點的側(cè)面投影，必在該直線的側(cè)面投影上。幾何形體在同一個投影面上的投影稱為同面投影。第22頁/共66頁第二十二頁，共67頁。VH直線上的點的第一個投影特性：直線上的點的投影，必在直線的同面投影上。即具有從屬性。ABCbab'a'c'D

若點的投影有一個不在直線的同面投影上，則該點必不在此直線上。d'dc第23頁/共66頁第二十三頁，共67頁。直線上的點的第二個投影特性：若直線不垂直于投影面，則直線段上的點分割線段的長度比，與該點的投影分割直線段同面投影的長度比相等。即具有定比性。利用這一特性，在不作側(cè)面投影的情況下，可以在側(cè)平線上找點或判斷已知點是否在側(cè)平線上。第24頁/共66頁第二十四頁，共67頁。如何檢驗點是否在直線上。檢驗方法：（1）在三面體系中：用直線上的點的第一個投影特性檢驗。a'c'd'b'acdba"c"d"b"OXZYHYW

C點在直線AB上，D點不在直線AB上。第25頁/共66頁第二十五頁，共67頁。（2）在兩面體系中：①將兩面體系擴展成三面體系，用直線上的點的第一個投影特性就可檢驗。ab●k因k不在ab上，故點K不在AB上。abkabk●●OXYHZYWZXYOVWHACBDa'c'd'b'a"c"b"d"acdb第26頁/共66頁第二十六頁，共67頁。②先用直線上的點的第一個投影特性檢驗點是否在直線上，如果無法檢驗，再用直線上的點的第二個投影特性進行檢驗。abkabk●●OX因ak/kb不等于a'k'/k'b'，故點K不在AB上。第27頁/共66頁第二十七頁，共67頁。OXaba'b'[例1]如圖所示，已知直線AB，在AB上取點C和D，點C距H面10mm，點D分割A(yù)B成AD:DB=3:1，作點C和D的兩面投影。OXaba'b'c'c1234dd'10第28頁/共66頁第二十八頁，共67頁。[例2]如圖所示，已知直線AB以及點C、D，檢驗點C、D是否在直線AB上。[解]分析:直線AB是側(cè)平線，對V、H兩面體系，側(cè)平線是特殊直線。a'c'd'b'acdbOXZXYOVWHACBDa'c'd'b'a"c"b"d"acdb第29頁/共66頁第二十九頁，共67頁。Xa"b"a'c'd'b'acdbOX（1）檢驗方法一（補第三投影）（2）檢驗方法二（直線上點的第二個投影特性）c0d0b0c"d"第30頁/共66頁第三十頁，共67頁。bXaabcO例：已知點C在線段AB上，求點C的正面投影。caccbXOABbbaacCcHV第31頁/共66頁第三十一頁，共67頁。ZOa'b'b"a"c'[例]如圖所示，已知直線AB，并知直線AB上的點C距離側(cè)面W10mm，作點C的兩面投影。ZOa'b'b"a"10c"b0c0[解]分析:直線AB是水平線，對V、W兩面體系，水平線是特殊直線。第32頁/共66頁第三十二頁，共67頁。2.2.3

求直線的真長及其對投影面的傾角1

求線段的真長及其對投影面的傾角特殊位置直線在投影圖中能直接反映直線的真長及其對投影面的傾角。可用直角三角形法作出傾斜線的實長及其與投影面的夾角。一般位置直線在投影圖中不能直接反映其真實長度及其對投影面的傾角。第33頁/共66頁第三十三頁，共67頁。XOa'b'abAVHXOa'b'BabZc'C直角三角形ABC中：斜邊AB=AB實長直角邊BC=bc=Z直角邊AC=abα角：ab與實長AB的夾角AB實長Zabα實長ZZααα第34頁/共66頁第三十四頁，共67頁。XOa'b'abAVHXOa'b'BabY實長YYββ求一般位置直線的實長及其與V面的夾角β第35頁/共66頁第三十五頁，共67頁。YWXOa'b'abYHZa"b"VHXOWYZa'b'aba"b"AB求一般位置直線的實長及其與W面的夾角γXγ實長XγX第36頁/共66頁第三十六頁，共67頁。YWXOa'b'abYHZa"b"實長XγZ實長Yαβ實長第37頁/共66頁第三十七頁，共67頁。[例]如圖所示，求直線AB的真長及其對投影面H、V的傾角α、β。OXa'b'baOXa'b'ba△y=ab△zAB真長αβ第38頁/共66頁第三十八頁，共67頁。例：已知點C在直線AB上，且AC=20,求C點的投影。20c'bXOa'ab'c第39頁/共66頁第三十九頁，共67頁。c'c"d'd"OZ△y△x△y2

已知直線的真長和傾角求解有關(guān)定位和度量問題[例]如圖所示，已知直線CD的兩面投影，求CD對投影面V、W的傾角β、γ，并在CD上取一點T，T與C的真實距離為10mm，作點T的兩面投影。c'c"d'd"OZCD真長β△xCD真長t't"10γHVXOABaba'b'Tαtt1b1第40頁/共66頁第四十頁，共67頁。OXe'ef[例]如圖所示，已知直線EF的水平投影ef和端點E的正面投影e'，并知EF的真長為20mm，補全EF的正面投影e'f'，同時，請回答這個題目有幾解。OXe'efR20f0f'f'答：有兩解思考題：若將已知條件實長換成α=30°，則如何解題？第41頁/共66頁第四十一頁，共67頁。2.2.4

兩直線的相對位置兩直線的相對位置有三種情況：平行、相交和交叉。平行兩直線和相交兩直線分別位于同一平面上，是共面直線；交叉兩直線彼此既不平行，又不相交，它們不在同一平面上，又稱為異面直線。第42頁/共66頁第四十二頁，共67頁。（1）兩直線平行平行兩直線的同面投影均分別互相平行。XOVHPQABCDabcda'a'b'c'd'直觀圖XOZYHYWabcda'b'c'd'b"a"c"d"投影圖第43頁/共66頁第四十三頁，共67頁。例1：判斷圖中兩條直線是否平行。對于一般位置直線，只要有兩個同面投影互相平行，空間兩直線就平行。結(jié)論：AB//CDabcda'b'c'd'XO第44頁/共66頁第四十四頁，共67頁。例2：判斷圖中兩條直線是否平行。

對于投影面平行線，只有兩個同面投影互相平行，空間直線不一定平行。若用兩個投影判斷，其中應(yīng)包括反映實長的投影。結(jié)論:AB與CD不平行求出側(cè)面投影如何判斷？b"d"c"a"YWYHZcbadd'a'c'XOb'第45頁/共66頁第四十五頁，共67頁。如何檢驗兩直線是否平行檢驗方法：（1）對于一般位置直線，只要有兩個同面投影互相平行，空間兩直線就平行。（2）對于投影面平行線，可采用以下兩種方法：1）若用兩個投影判斷，其中應(yīng)包括反映實長的投影。2）作出投影面平行線的三面投影。第46頁/共66頁第四十六頁，共67頁。相交兩直線的同面投影都分別互相相交；并且，同面投影的交點是同一點的投影，這個點就是兩直線的交點。（2）兩直線相交HCDABKabcdk直觀圖投影圖OXZYWYHabcda'b'c'd'a"b"c"d"k'k"k判斷兩直線相交或交叉的關(guān)鍵原則第47頁/共66頁第四十七頁，共67頁。d'k'kd例：過C點作水平線CD與AB相交。先作正面投影●●cabb'a'cXO第48頁/共66頁第四十八頁，共67頁。例：求作水平線L，使其距H面的距離為15，且與直線AB、CD都相交。15l'la'b'abc'd'dcXO第49頁/共66頁第四十九頁，共67頁。d'b'a'abcdc'同面投影雖相交，但“交點”不符合空間同一個點的投影規(guī)律。AB與CD兩直線相交嗎投影特性：結(jié)論：AB與CD兩直線不相交，屬于交叉直線（3）兩直線交叉第50頁/共66頁第五十頁，共67頁。直觀圖XOVHABCDⅠⅡab1cd2a'b'c'd'1'(2')交叉兩直線的同面投影都分別相交，但同面投影的交點不是同一點的投影；或同面投影有的相交，有的平行。投影圖ca'1'(2')dabb'c'd'12OX第51頁/共66頁第五十一頁，共67頁。abcdXOb'c'd'a'交叉兩直線判斷重影點投影的可見性時，需要看兩重影點在另一投影面上的投影，坐標值大的點投影可見，反之不可見，不可見點的投影加括號表示。用其可幫助判斷兩直線的空間位置。CD在上AB在下CD在后AB在前432(1)1'2'3'(4')abcdXOb'c'd'a'第52頁/共66頁第五十二頁，共67頁。XOZYwYHc'a'b'd'c"d"a"b"cbda3'(4')2'1'1(2)345"(6")5'6'第53頁/共66頁第五十三頁，共67頁。兩直線相對位置的檢驗和作圖題示例[例]如圖所示，檢驗直線AB、CD的相對位置。XOa'b'badcc'd'ZXOYWYHa'b'c'd'abcda"b"c"d"結(jié)論：AB與CD兩直線屬于交叉直線第54頁/共66頁第五十四頁，共67頁。例：判斷兩線段DE、FG是否平行。DE、FG共面，故平行。DE、FG不共面，故不平行。defgOXg'f'd'e'defgXg'f'd'e'YWOYHZd"e"f"g"defgXg'f'd'e'YWOYHZd"e"f"g"edfgXg'f'd'e'O第55頁/共66頁第五十五頁，共67頁。XOaba'b'c'c作CD∥AB[例題]如圖所示，已知直線AB及點C，過點C作CD∥AB。XOaba'b'c'c已知dd'過點作直線平行已知直線第56頁/共66頁第五十六頁，共67頁。OXe'f'efaba'b'c'd'cd[例題]如圖所示，已知直線AB、CD、EF，求直線PR，使PR與AB交于點P，與CD交于點Q，平行于EF，點R在PQ沿著P到Q方向的延長線上，PR的真長為30mm。作直線PR的兩面投影；同時也作出點Q的兩面投影。OXe'f'efaba'b'c'd'cdd0pqq0q'p'gg'△z△z30r0g0r'r第57頁/共66頁第五十七頁，共67頁。2.2.5

兩直線垂直1

兩直線垂直相交的投影特性當兩直線相交成直角時，兩直角邊有下列四種情況，它們的投影特性如下：①當直角的兩邊都與投影面不平行時，在該投影面上的投影不是直角。當兩直線相交或交叉時，都有一種特殊情況，即兩直線垂直，也就是兩直線之間的夾角為直角。這里著重講述一邊平行于投影面的直角的投影特性。第58頁/共66頁第五十八頁，共67頁。②當直角的兩邊都與投影面平行時，在該投影面上的投影