數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí) 三角形綜合解答題 專題訓(xùn)練

九年級數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)《三角形綜合解答題》專題訓(xùn)練（附答案）1．如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝15．點P從B點出發(fā)沿射線BC以每秒1個單位的速度向右運動，設(shè)點P的運動時間為t，連接AP．（1）當(dāng)t＝9秒時，求AP的長度；（2）當(dāng)△ABP為等腰三角形時，求t的值；（3）請直接寫出在點P的運動過程中，當(dāng)t的值是多少時，PA平分∠BAC？2．如圖，△ABC中，AC＝BC，AC⊥BC，D是AC邊上一動點，作BE⊥BD，且BE＝BD，連AE交BC于F．（1）求證：AF＝EF；（2）探究AD與CF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論：．（3）若AD＝2CD，直接寫出的值為．3．在△ABC中，∠BAC＝90°，點D是BC上一點，將△ABD沿AD翻折后得到△AED，AE交BC于點F．（1）如圖1，當(dāng)AE⊥BC時，證明：DE∥AC；（2）已知∠B＝40°，設(shè)∠BAD＝x°．①如圖2，當(dāng)DE⊥BC時，求x的值；②如圖3，當(dāng)△DEF是等腰三角形時，求出x的值．4．如圖1，在△ABC中，BO⊥AC于點O，AO＝BO＝3，OC＝1，過點A作AE⊥BC于點E，交BO于點F．（1）求線段OF的長度；（2）連接OE，求證：∠OEF＝45°；（3）如圖2，若點P為AB的中點，點M為線段BO延長線上一動點，連接PM，過點P作PN⊥PM交線段OA延長線于N點，則S△BPM﹣S△APN的值是否發(fā)生改變，若改變，請求出S△BPM﹣S△APN的變化范圍；若不改變，請求出S△BPM﹣S△APN的值．5．如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，D在線段BC上，E是線段AD上的一點．現(xiàn)以CE為直角邊，C為直角頂點，在CE的下方作等腰直角△ECF，連接BF．（1）如圖1，求證：△AEC≌△BFC．（2）當(dāng)A、E、F三點共線時，如圖2，若AF＝8，求BF的長．（3）如圖3，若∠BAD＝15°，連接DF，當(dāng)E運動到使得∠ACE＝30°時，求△CDF的面積．6．如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，CD是△ABC的高，BE是△ABC的角平分線，CD與BE交于點P．當(dāng)∠A的大小變化時，△EPC的形狀也隨之改變．（1）當(dāng)∠A＝36°時，求∠BPD的度數(shù)；（2）設(shè)∠A＝α，∠EPC＝β，求變量β與α的關(guān)系式；（3）當(dāng)△EPC是等腰三角形時，求∠ACB的度數(shù)．7．如圖1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，D，E分別為AB，BC邊上一點，連接DE，且BD＝DE，將△ABC繞點B在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)．（1）觀察猜想若α＝60°，將△ABC繞點B旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，則的值為．（2）類比探究若α＝90°，將△ABC繞點B旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置，求的值．（3）拓展應(yīng)用若α＝90°，D為AB的中點，AB＝6，當(dāng)AD⊥BE中，請求出CE的值．8．（1）如圖1，MN⊥PQ于N，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，等腰直角△ABC的頂點C、B分別在射線NM，射線NQ上滑動（頂點C，B與點N不重合）在滑動過程中，點A到直線MN的距離AHCN（填“＞”、“＜”或“＝”）．（2）如圖2，在（1）的條件下，等腰直角△ECF中，∠ECF＝90°，且△ECF的頂點C、F也分別在射線NM、射線NP上滑動（頂點C、F與點N不重合），連接AE交NM于點O，試探究AO與EO的數(shù)量關(guān)系：，并證明你的結(jié)論．（3）如圖2，若BC＝2cm，CF＝3cm，在△ECF和△ABC保持原來滑動狀態(tài)的過程中，則△ACE的面積的最大值為．9．如圖，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC邊上的兩個動點，其中點P從點A開始沿A→B方向運動，且速度為每秒1cm，點Q從點B開始沿B→C→A方向運動，且速度為每秒2cm，它們同時出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時間為t秒．（1）出發(fā)2秒后，求△PCQ的面積；（2）當(dāng)點Q在邊CA上運動時，求能使△BCQ成為直角三角形的運動時間．（3）當(dāng)P、Q兩點其中有一點落在△ABC某內(nèi)角的角平分線上時，請直接寫出滿足條件的t的值．10．如圖1，已知△ABC和△DCE為等腰直角三角形，按如圖的位置擺放，直角頂點C重合．（1）直接寫出AD與BE的關(guān)系；（2）將△DCE按如圖2的位置擺放，使點A、D、E在同一直線上，求證：AE2+AD2＝2AC2；（3）將△DCE按如圖3的位置擺放，使∠CBD＝45°，AC＝6，BD＝3，求BE的長．11．如圖，在△ABC中，AC＝BC＝，∠ACB＝120°，將一塊足夠大的直角三角尺PEF（∠E＝90°，∠EPF＝30°）按如圖放置，頂點P在線段AB上滑動（不與點A，B重合），三角尺的直角邊PE始終經(jīng)過點C，斜邊PF交AC于點D．（1）當(dāng)PD∥BC時，判斷△BCP的形狀，并說明理由；（2）當(dāng)△PCD是等腰三角形時，求出所有滿足要求的BP的長；（3）記點C關(guān)于PD的對稱點為C′，當(dāng)C′D⊥AC時，AP的長是．12．【閱讀理解】如圖1，在△ABC中，若AB＝10，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長AD到點E，使DE＝AD，再連接BE（或?qū)ⅰ鰽CD繞著點D逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到△EBD），把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形的三邊關(guān)系直接寫出中線AD的取值范圍是；【問題解決】如圖2，在△ABC中，D是BC邊上的中點，DE⊥DF于點D，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF，求證：BE+CF＞EF；【問題拓展】如圖3，在△ABC中，∠BAC＝90°，D為BC邊的中點，求證：AD＝．13．已知：在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝30°，點D為BC上一動點，以AD為邊，在AD的右側(cè)作等邊△ADE，過E作EF⊥AC于F．（1）如圖①，求證：F為AC的中點；（2）若AB＝2，①如圖②，當(dāng)D為BC的中點時，過E作EG⊥BC于G，求EG的長；②點D從B點運動到C點，則點E所經(jīng)過路徑長為（直接寫出結(jié)果）．14．如圖，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E點為射線CB上一動點，連接AE，作AF⊥AE且AF＝AE．（1）①如圖1，過F點作FD⊥AC交AC于D點，求證：△ADF≌△ECA；②如圖2，在①的條件下，連接BF交AC于G點，若E點為BC中點，求證：＝3；（2）當(dāng)直線BF與直線AC交于G點，若＝，請求出的值．15．【閱讀理解】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1，△ABC中，若AB＝6，AC＝4，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小麗在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到M，使DM＝AD，連接BM，可證△ACD≌△MBD，從而把AB，AC，2AD集中在△ABC中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線AD的取值范圍．【方法總結(jié)】解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”“中線”字樣，有時需要考慮倍長中線（或與中點有關(guān)的線段）構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論轉(zhuǎn)化到同一個三角形中．我們把這種添加輔助線稱為“倍長中線法”．【問題解決】（1）直接寫出圖1中AD的取值范圍：．（2）猜想圖2中AC與BM的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明．（3）如圖3，AD是△ABC的中線，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，判斷線段EF和AD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明．16．在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（0，a），B（b，0），且a，b滿足a2+b2﹣4a+4b+8＝0．（1）求A、B兩點的坐標(biāo)；（2）如圖，點D為x軸正半軸上一動點，點F為線段OD上一動點，∠AFH＝45°，∠ADO＝2∠OFH，判斷AH、FD、AD三者的數(shù)量關(guān)系，并予以證明；（3）以AO為腰，A為頂角頂點作等腰△ADO，若∠DBA＝30°，求OD的長．17．已知：在等邊△ABC中，點E是AB邊所在直線上的一個動點（E與A、B兩點均不重合），點D在CB的延長線上，且ED＝EC．（1）如圖①，當(dāng)E是AB邊的中點時，則線段AE與BD的大小關(guān)系是：AEBD（填“＞”“＜”或“＝”）；（2）如圖②，當(dāng)E是AB邊上任意一點時，（1）中的結(jié)論是否一定成立？請說明理由；（3）若點E是線段AB的延長線上任一點，ED＝EC，AE＝2，AC＝1，求CD的長．（直接寫出結(jié)果）18．已知，點A（t，1）是平面直角坐標(biāo)系中第一象限的點，點B，C分別是y軸負(fù)半軸和x軸正半軸上的點，連接AB，AC，BC．（1）如圖1，若OB＝1，OC＝，且A，B，C在同一條直線上，求t的值；（2）如圖2，當(dāng)t＝1，∠ACO+∠ACB＝180°時，求BC+OC﹣OB的值；（3）如圖3，點H（m，n）是AB上一點，∠A＝∠OHA＝90°，若OB＝OC，求m+n的值．19．在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，點O為AB的中點．（1）若∠EOF＝90°，兩邊分別交AC，BC于E，F(xiàn)兩點．①如圖1，當(dāng)點E，F(xiàn)分別在邊AC和BC上時，求證：OE＝OF；②如圖2，當(dāng)點E，F(xiàn)分別在AC和CB的延長線上時，連接EF，若OE＝6，則S△EOF＝．（2）如圖3，若∠EOF＝45°，兩邊分別交邊AC于E，交BC的延長線于F，連接EF，若CF＝3，EF＝5，試求AE的長．20．綜合與實踐問題情境：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8．直角三角板EDF中∠EDF＝90°，將三角板的直角頂點D放在Rt△ABC斜邊BC的中點處，并將三角板繞點D旋轉(zhuǎn)，三角板的兩邊DE，DF分別與邊AB，AC交于點M，N．猜想證明：（1）如圖①，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點M為邊AB的中點時，試判斷四邊形AMDN的形狀，并說明理由；問題解決：（2）如圖②，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)∠B＝∠MDB時，求線段CN的長；（3）如圖③，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)AM＝AN時，直接寫出線段AN的長．

參考答案1．解：（1）當(dāng)t＝9時，BP＝9，∵BC＝15，∴CP＝6，在Rt△APC中，AP＝＝＝10；（2）由題意可知BP＝t，當(dāng)0＜t≤15時，P點在BC上時，CP＝15﹣t，∴AP＝，當(dāng)BP＝AP時，＝t，解得t＝；當(dāng)t＞15時，P點在BC的延長線上，CP＝t﹣15，∴AP＝，當(dāng)AP＝AB時，＝17，解得t＝0（舍）或t＝30；當(dāng)AB＝BP時，t＝17；綜上所述：t是的值為或30或17；（3）過點P作PE⊥AB交于點E，∵AP平分∠CAB，∴∠EAP＝∠CAP，∵PC⊥AC，PE⊥AB，∴PE＝PC，∴△APC≌△APE（AAS），∴AE＝AC＝8，∵AB＝17，∴BE＝9，在Rt△BPE中，BP2＝BE2+PE2，∴t2＝81+（15﹣t）2，解得t＝．2．（1）證明∵AC⊥BC，BE⊥BD，∴∠C＝∠DBE＝90°，∴∠CBD+∠BDC＝∠CBD+∠EBC＝90°，∴∠BDC＝∠EBC，過點E作EG⊥BC于點G，如圖：則∠BGE＝∠FGE＝90°＝∠C，在△BGE與△DCB中，，∴△BGE≌△DCB（AAS），∴EG＝BC，∴AC＝BC，∴AC＝EG，在△ACF與△EGF中，，∴△ACF≌△EGF（AAS），∴AF＝EF；（2）解：AD＝2CF，證明如下：∵△BGE≌△DCB，△ACF≌△EGF，∴CD＝GB，CF＝GF，∵AC＝BC，∴AC﹣CD＝BC﹣GB，即AD＝CG，∵CG＝CF+GF＝2CF，∴AD＝2CF．故答案為：AD＝2CF；（3）解：由（1）（2）知：AD＝2CF，CD＝GB，CF＝GF，∵AD＝2CD，∴CD＝CF＝GF＝GB，∴＝．故答案為：．3．（1）證明：∵∠BAC＝90°，AE⊥BC，∴∠CAF+∠BAF＝90°，∠B+∠BAF＝90°，∴∠CAF＝∠B，由翻折可知，∠B＝∠E，∴∠CAF＝∠E，∴AC∥DE；（2）解：①∵將△ABD沿AD翻折后得到△AED，∴∠B＝∠E＝40°，∠BAD＝∠EAD＝x，∵DE⊥BC，∴∠EFD＝50°，∵∠EFD＝∠B+∠BAF，∴∠BAF＝50°﹣40°＝10°，∴2x＝10，∴x＝5；②若DE＝EF，則∠DFE＝70°，∴∠B+∠BAF＝∠BFE＝70°，∴2x＝30，∴x＝15，若DF＝DE，則∠DFE＝40°，∴∠B+∠BAF＝∠BFE＝40°，∴2x＝0，∴x＝0，不合題意舍去，若DF＝EF，則∠DFE＝100°，∴∠B+∠BAF＝∠BFE＝100°，∴2x＝60，∴x＝30，綜上所述：x的值為15或30．4．（1）解：∵BO⊥AC，AE⊥BC，∴∠AOF＝∠BOC＝∠AEC＝90°，∴∠OAF+∠C＝∠OBC+∠C＝90°，∴∠OAF＝∠OBC，在△OAF和△OBC中，，∴△OAF≌△OBC（ASA），∴OF＝OC，∵OC＝1，∴OF＝1；（2）證明：過O分別作OM⊥CB于M點，作ON⊥AE于N點，如圖所示：在四邊形OMEN中，∠MON＝360°﹣3×90°＝90°，∴∠COM＝∠FON＝90°﹣∠MOF，在△COM與△FON中，，∴△COM≌△FON（AAS），∴OM＝ON，∵OM⊥CB，ON⊥AE，∴EO平分∠CEA，∴∠OEF＝∠AEC＝45°；（3）解：S△BPM﹣S△APN的值不發(fā)生改變，等于，理由如下：連接OP，如圖所示：∵∠AOB＝90°，OA＝OB，P為AB的中點，∴OP⊥AB，∠BOP＝∠AOP＝45°，OP＝PA＝BP，∴∠OAP＝45°，∠MOP＝90°+45°＝135°，∴∠PAN＝135°＝∠MOP，∵M(jìn)P⊥NP，即∠MPN＝90°，∴∠MPO＝∠NPA＝90°﹣∠MPA，在△OPM和△APN中，，∴△OPM≌△APN（ASA），∴S△OPM＝S△APN，∴S△BPM﹣S△APN＝S△BPM﹣S△OPM＝S△BOP＝S△AOB＝×AO?BO＝××3×3＝．5．（1）證明：如圖1，∵△ACB，△ECF都是等腰直角三角形，∴CA＝CB，CE＝CF，∠ACB＝∠ECF＝90°，∴∠ACE＝∠BCF，在△AEC和△BFC中，，∴△AEC≌△BFC（SAS）；（2）解：如圖2，∵CA＝CB＝6，∠ACB＝90°，∴AB＝6，∵△ACE≌△BCF，∴∠CAD＝∠DBF，∵∠ADC＝∠BDF，∴∠ACD＝∠DFB＝90°，∴BF＝＝＝2．（3）如圖3，作FH⊥BC于H．∵∠ACE＝∠CAE＝30°，∴AE＝EC，∵△ACE≌△BCF，∴BF＝AE，CF＝CE，∴CF＝BF，∠FCB＝∠CBF＝30°，∵FC＝FB，F(xiàn)H⊥BC，∴CH＝BH＝3，F(xiàn)H＝，CF＝BF＝2，∵∠CED＝∠CAE+∠ACE＝60°，∠ECD＝90°﹣30°＝60°，∴△ECD是等邊三角形，∴EC＝CF＝CD＝2，∴S△CDF＝×CD×FH＝×2×＝3．6．解：（1）∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝（180﹣36）°÷2＝72°，∵CD⊥AB，∴∠BDC＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC＝36°，∴∠BPD＝90°﹣36°＝54°；（2）∵∠A＝α，∠EPC＝β，，∴∠ABC＝（180°﹣α）÷2＝90°﹣，由（1）可得：∠ABP＝∠ABC＝45°﹣，∠BDC＝90°，∴β＝∠EPC＝∠BPD＝90°﹣（45°﹣）＝45°+，即β與α的關(guān)系式為β＝45°+；（3）設(shè)∠A＝α，∠EPC＝β，①若EP＝EC，則∠ECP＝∠EPC＝β，而∠ABC＝∠ACB＝90°﹣，∠ABC+∠BCD＝90°，則有：90°﹣+（90°﹣﹣β）＝90°，由（2）知β＝45°+，∴90°﹣+90°﹣﹣（45°+）＝90°，解得：α＝36°，∴∠ACB＝90°﹣＝72°；②若PC＝PE，則∠PCE＝∠PEC＝（180°﹣β）÷2＝90°﹣，由①得：∠ABC+∠BCD＝90°，∴90°﹣+90°﹣﹣（90°﹣）＝90°，∵β＝45°+，∴90°﹣+90°﹣﹣（90°﹣）＝90°，解得：α＝，∴∠ACB＝90°﹣＝；③若CP＝CE，則∠EPC＝∠PEC＝β，∠PCE＝180°﹣2β，由①得：∠ABC+∠BCD＝90°，∴90°﹣+90°﹣﹣（180°﹣2β）＝90°，∵β＝45°+，∴90°﹣+90°﹣﹣[180°﹣2（45°+）]＝90°，解得：x＝0，不符合題意，綜上：當(dāng)△EPC是等腰三角形時，∠ACB的度數(shù)為72°或．7．解：（1）如圖2，∵AB＝BC，DB＝DE，∴∠BDE＝∠BAC＝α＝60°，∴△ABC，△BDE都是等邊三角形，∴BD＝BE，BA＝BC，∴∠ABC＝∠DBE＝60°，∴∠ABD＝∠CBE，在△ABD與△CBF中，，∴△ABD≌△CBD（SAS），∴AD＝CF，∴＝1，故答案為：1；（2）∵α＝90°，AB＝AC，DE∥AC，∴△ABC和△BDE均為等腰直角三角形，∴BD＝BE，AB＝BC，∴＝，∵∠DBE＝∠ABC＝45°，∴∠DBA＝∠EBC，∴△DBA∽△EBC，∴＝＝；（3）∵D是AB的中點，∴BD＝AB＝3，分兩種情況：①如圖4，當(dāng)△ABC旋轉(zhuǎn)到直線BE的下方時，∵AD⊥BE，∴OD＝OB＝BD＝，在Rt△AOB中，OA＝＝＝，∴AD＝OA+OD＝+，由（2）知，＝，∴CE＝3+3；②圖5，當(dāng)△ABC旋轉(zhuǎn)到直線BE的上方時，∴AD＝OA﹣OD＝﹣，由（2）知，＝，∴CE＝3﹣3；綜上所述，CE的值為3+3或3﹣3．8．解：（1）如圖1中，∵M(jìn)N⊥PQ，AH⊥MN，∴∠AHC＝∠CNB＝∠ACB＝90°，∴∠ACH+∠BCN＝90°，∠BCN+∠CBN＝90°，∴∠ACH＝∠CBN，在△AHC和△CNB中，，∴△AHC≌∑CNB（AAS），∴AH＝CN，故答案為：＝；（2）結(jié)論：OA＝OE．理由：如圖2中，過點E作EJ⊥MN于點J，過點A作AK⊥MN于點K．由（1）可知，△AKC≌△CNB，△EJC≌△CNF，∴AK＝CN，EJ＝CN，∴EJ＝AK，在△EJO和△AKO中，，∴△EJO≌△AKO（AAS），∴OE＝OA；（3）如圖2中，∵△AKC≌△CNB，△EJC≌△CNF，△EJO≌△AKO（AAS），∴S△AKC＝S△CNB，S△EJC＝S△CNF，S△EJO＝S△AKO，∴S△ACE＝S△ACK+S△EJC＝S△BCF，如圖3中，過點B作BH⊥CF于點H．∵BC＝2，CF＝3，∴S△ACE＝S△BCF＝?CF?BH，∵BH≤BC，∴S△ACE≤×3×2＝6，∴△ACE的面積的最大值為6．故答案為：6．9．解：（1）當(dāng)t＝2時，AP＝2cm，BQ＝4cm，∴BP＝6cm，CQ＝2cm，∴S△PCQ＝＝6（cm2），（2）當(dāng)∠BQC＝90°時，∵∠ABC＝90°，由勾股定理得，AC＝10cm，∴BQ＝＝（cm），在Rt△BCQ中，由勾股定理得，CQ＝＝（cm），∴t＝（BC+AQ）÷2＝4.8，當(dāng)∠CBQ＝90°時，點Q與A重合，∴t＝（BC+AC）÷2＝8，綜上所述：t＝4.8或8；（3）當(dāng)點P落在∠ACB平分線上時，作PH⊥AC于H，則BP＝PH＝（8﹣t）cm，∴＝，解得t＝5，當(dāng)點Q落在∠CAB的平分線上時，作QE⊥AC于E，則QB＝QE＝2tcm，∴，解得t＝，當(dāng)點Q落在∠ABC的平分線上時，作QF⊥BC于F，QG⊥AB于G，則QF＝QG，∴四邊形BFQG是正方形，∴，∴QF＝，∴CF＝6﹣＝，∴CQ＝＝，∴t＝（6+）÷2＝，綜上：t＝5，，時，P、Q兩點其中有一點落在△ABC某內(nèi)角的角平分線上．10．（1）解：結(jié)論：AD＝BE．理由：如圖1中，∵△ACB和△DCE為等腰直角三角形，∴AC＝BC，DC＝CE，∠ACB＝∠DCE，∴∠ACD＝∠ECB，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE．（2）證明：如圖2中，設(shè)AE交BC于O．由（1）可知△ACD≌△BCE，∴∠CAO＝∠EBO，AD＝BE，∵∠AOC＝∠BOE，∴∠BEO＝∠ACO＝90°，∴AE2+BE2＝AB2，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴AB＝AC，∴2AC2＝AE2+AD2；（3）解：如圖③中，連接AD，∵CA＝CB＝6，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝45°，AB＝6，∵∠CBD＝45°，∴∠ABD＝90°，∵BD＝3，AB＝6，∴AD＝＝＝9，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∴在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE，∴AD＝BE．∴BE＝9．11．解：（1）結(jié)論：△ACP是直角三角形，理由：當(dāng)PD∥BC時，∠BCP＝∠EPF＝30°，又∵∠ACB＝120°，∴∠ACP＝120°﹣30°＝90°，∴△ACP是直角三角形；（2）如圖，過點C作CH⊥AB于點H．∵CA＝CB＝，CH⊥AB，∴AH＝HB，∵∠A＝30°，∴CH＝AC＝，∴AH＝＝＝，∴AB＝2AH＝3，設(shè)∠PCB＝α．則∠PCD＝120°﹣α，①當(dāng)PC＝PD時，△PCD是等腰三角形，∴∠PCD＝∠PDC＝75°∴∠α＝120°﹣75°＝45°，此時AP＝AC＝，∴PB＝3﹣．②當(dāng)PD＝CD時，△PCD是等腰三角形，∴∠PCD＝∠CPD＝30°，即120°﹣α＝30°，∴α＝90°，此時BP＝2CP＝2PA，∴PB＝AB＝2；③當(dāng)PC＝CD時，△PCD是等腰三角形，∴∠CDP＝∠CPD＝30°，∴∠PCD＝180°﹣2×30°＝120°，即120°﹣α＝120°，∴α＝0°，此時點P與點B重合（不符合題意）．綜合所述，PB的值為或2；1（3）如圖，過點C作CH⊥AB于點H．∵DC′⊥AC，∴∠CDF＝∠FDC′＝45°，∵∠CDF＝∠CPD+∠PCD，∠CPD＝30°，∴∠PCD＝15°，∴∠CPH＝∠A+∠ACP＝45°，∵∠CHP＝90°，∴∠PCH＝∠∠CPH＝45°，∴CH＝PH＝，∵BAH＝，∴AP＝﹣．故答案為：﹣．12．【閱讀理解】解：如圖1所示：延長AD至E，使DE＝AD，連接BE，∵AD是BC邊上的中線，∴BD＝CD，在△BDE和△CDA中，，∴△BDE≌△CDA（SAS），∴BE＝AC＝6，在△ABE中，由三角形的三邊關(guān)系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴10﹣6＜AE＜10+6，即4＜AE＜16，∴2＜AD＜8；故答案為：2＜AD＜8；【問題解決】證明：如圖2所示：延長FD至點M，使DM＝DF，連接BM、EM，同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），∴BM＝CF，∵DE⊥DF，DM＝DF，∴EM＝EF，在△BME中，由三角形的三邊關(guān)系得：BE+BM＞EM，∴BE+CF＞EF．【問題拓展】證明：如圖3中，延長AD到E，使得DE＝AD，連接CE，BE．∵AD＝DE，DC＝DB，∴四邊形ABEC是矩形，∵∠BAC＝90°，∴四邊形ABEC是矩形，∵AE＝BC，∴AD＝BC．13．（1）證明：∵△ADE是等邊三角形，∴AE＝AD，∠DAE＝60°，∵∠B＝90°，∠C＝30°，∴∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAD＝∠FAE，在△BAD和△FAE中，，∴△BAD≌△FAE（AAS）∴AB＝AF，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝30°，∴AC＝2AB，∴AC＝2AF，∴F為AC的中點；（3）解：①如圖3，作EF⊥AC于F，連接EC，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝30°，∴AC＝2AB＝4，∴BC＝＝＝2，∵D為BC的中點，∴BD＝BC＝，∴AD＝＝＝，∵AF＝FC，EF⊥AC，∴EC＝AE＝AD＝，∵EC＝EA＝ED，EG⊥DC，∴CG＝CD＝，∴EG＝＝＝；②如圖4，當(dāng)點D與點B重合時，點E在E'處，點E'是AC中點；當(dāng)點D與點C重合時，點E在E''處，其中△ACE''是等邊三角形，由（1）得：AE＝CE，∴點E始終落在線段AC的垂直平分線上，∴E'E''垂直平分AC，∴點E的運動路徑是從AC的中點E'，沿著AC垂直平分線運動到E''處，在△E'AE''和△BAC中，，∴△E'AE''≌△BAC（AAS），∴E'E''＝BC＝2，故答案為：2．14．（1）①證明：如圖1，∵∠FAD+∠CAE＝90°，∠FAD+∠F＝90°，∴∠CAE＝∠AFD，在△ADF和△ECA中，，∴△ADF≌△ECA（AAS）；②證明：如圖2，∵△ADF≌△ECA，∴FD＝AC＝BC，AD＝EC，∵AC＝BC，EC＝EB，∴AD＝DC，在△FDG和△BCG中，，∴△FDG≌△BCG（AAS），∴GD＝CG，∴＝3．（2）解：過F作FD⊥AG的延長線交于點D，如圖3，∵，BC＝AC，CE＝CB+BE，∴，由（1）（2）知：△ADF≌△ECA，△GDF≌△GCB，∴CG＝GD，AD＝CE，∴，∴，∴，同理，當(dāng)點E在線段BC上時，．綜上所述，＝或．15．解：（1）如圖2，延長AD到M，使得DM＝AD，連接BM，∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，在△MDB和△ADC中，，∴△MDB≌△ADC（SAS），∴BM＝AC＝4，在△ABM中，AB﹣BM＜AM＜AB+BM，∴6﹣4＜AM＜4+6，2＜AM＜10，∴1＜AD＜5，故答案為：1＜AD＜5；（2）AC∥BM，AC＝BM，理由如下：由（1）知，△MDB≌△ADC，∴∠M＝∠CAD，AC＝BM，∴AC∥BM；（3）EF＝2AD，理由：如圖3，延長AD到M，使得DM＝AD，連接BM，由（1）知，△BDM≌△CDA（SAS），∴BM＝AC，∵AC＝AF，∴BM＝AF，由（2）知：AC∥BM，∴∠BAC+∠ABM＝180°，∵∠BAE＝∠FAC＝90°，∴∠BAC+∠EAF＝180°，∴∠ABM＝∠EAF，在△ABM和△EAF中，，∴△ABM≌△EAF（SAS），∴AM＝EF，∵AD＝DM，∴AM＝2AD，∵AM＝EF，∴EF＝2AD，即：EF＝2AD．16．解：（1）∵a2+b2﹣4a+4b+8＝0，∴（a﹣2）2+（b+2）2＝0，∵（a﹣2）2≥0，（b+2）2≥0，∴a﹣2＝0，b+2＝0，∴a＝2，b＝﹣2，∴A（0，2），B（﹣2，0）；（2）結(jié)論：AH+FD＝AD，理由如下：如圖，過點D作DC平分∠ADO交AO于C，在AD上取K使AH＝AK，連接FK．設(shè)∠HFO＝α，則∠ADO＝2∠OFH＝2α，∴∠OAF＝180°﹣∠AOD﹣∠AFH＝45﹣α，∵CD平分∠ADO，∴∠CDO＝∠ADC＝α，∴∠FAD＝45﹣α＝∠OAF，又∵AH＝AK，AF＝AF，∴△AHF≌△AKF（SAS），∴∠AFK＝45°，∴∠KFD＝90﹣α，∠FKD＝90﹣α，∴FD＝DK，∴AH+FD＝AD；（3）如圖2中：當(dāng)D1在△ABO內(nèi)部，且BD1＝OD1，∠ABD1＝30°時，過點D1作D1M⊥OA于M，D1N⊥OB于N．則四邊形D1MON是矩形，設(shè)OM＝D1N＝m．在BN上取一點J，連接JD1使得D1J＝BJ．∵∠ABO＝45°，∠ABD＝30°，∴∠JBD1＝∠JD1B＝15°，∴∠D1JN＝∠JBD1+∠JD1B＝30°，∴BJ＝JD1＝2m，JN＝m，∵D1B＝D1O，D1N⊥OB，∴BN＝ON＝2m+m＝1，∴m＝2﹣，∴AM＝2﹣（2﹣）＝，∴AD1＝＝＝2，∴AD1＝2MD1，∴∠D1AM＝30°，∴AD1＝AO＝2，此時OD1＝＝＝﹣，②當(dāng)D3在BD1的延長線上時，連接OD3，可得∠OAD3＝60°，∵AO＝AD3，∴△AOD3都是等邊三角形，∴OD3＝OA＝2．③當(dāng)D2在AB上方時，同法可得OD2＝2，OD4＝+，綜上所述，OD的值為﹣或2或+．17．解：（1）AE＝BD，理由如下：∵△ABC為等邊三角形，點E為AB的中點，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，CE平分∠ACB，AE＝BE，∴∠ECB＝∠ACB＝30°，∵DE＝CE，∴∠D＝∠ECB＝30°，∵∠ABC＝∠D+∠DEB，∴∠DEB＝∠ABC﹣∠D＝30°，∴∠D＝∠DEB，∴BD＝BE，∴AE＝BD，故答案為：＝；（2）當(dāng)點E為AB上任意一點時，（1）中的結(jié)論成立，理由如下：如圖②，過E作EF∥BC交AC于F，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝AC＝BC，∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°，即∠AEF＝∠AFE＝∠A＝60°，∴△AEF是等邊三角形，∴AE＝EF＝AF，∵∠ABC＝∠ACB＝∠AFE＝60°，∴∠DBE＝∠EFC＝120°，∠D+∠BED＝∠FCE+∠ECD＝60°，∵DE＝EC，∴∠D＝∠ECD，∴∠BED＝∠ECF，在△DEB和△ECF中，，∴△DEB≌△ECF（AAS），∴BD＝EF，∴AE＝BD；（3）如圖③，過E作EF∥BC交CA的延長線于F，則△AEF為等邊三角形，∠ECD＝∠CEF，∴AF＝AE＝EF＝2，∠F＝60°，∵EC＝ED，∴∠D＝∠ECD，∴∠CEF＝∠D，∵△ABC是等邊三角形，∴BC＝AC＝1，∠ABC＝60°，∴∠DBE＝∠ABC＝60°，∴∠F＝∠DBE，在△CEF和△EDB中，，∴△CEF≌△EDB（AAS），∴BD＝EF＝2，∴CD＝BD+AC＝2+1＝3．18．解：（1）過點A作AD⊥x軸于D，如圖1所示：∵點A（t，1），∴AD＝1，OD＝t，∵OB＝1，∴AD＝OB，∵A，B，C在同一條直線上，∴∠OCB＝∠DCA，又∵∠ADC＝∠BOC＝90°，∴△ADC≌△BOC（AAS），∴DC＝OC＝，∴t＝OD＝OC+CD＝+＝3；（2）作AD⊥y軸于D，AM⊥x軸于M，AN⊥BC于N，如圖2所示：則∠ADB＝∠ANB＝90°，∵t＝1，∴點A（1，1），∴AD＝AM＝OM＝1，∵∠ACO+∠ACB＝180°，∠ACN+∠ACB＝180°，∴∠ACO＝∠ACN，∵AM⊥x軸于M，AN⊥BC于N，∴AN＝AM＝AD＝1，在Rt△ABD和Rt△ABN中，，∴Rt△ABD≌Rt△ABN（HL），∴BN＝BD＝OB+1，同理：Rt△ACM≌Rt△ACN（HL），∴CM＝CN，∵BC＝BN﹣CN，OC＝OM+CM＝1+CM，∴BC+OC﹣OB＝BN﹣CN+1+CM﹣OB＝OB+1﹣CN+1+CM﹣OB＝