2018年數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)思想領(lǐng)航四轉(zhuǎn)化與化歸思想專(zhuān)題突破講義文

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精PAGE7-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精四、轉(zhuǎn)化與化歸思想轉(zhuǎn)化與化歸思想，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)采用某種手段將問(wèn)題通過(guò)變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而得到解決的一種方法．一般總是將復(fù)雜的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，將難解的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問(wèn)題，將未解決的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為已解決的問(wèn)題.方法一一般與特殊的轉(zhuǎn)化問(wèn)題模型解法一般和特殊之間的轉(zhuǎn)化法是在解題的過(guò)程中將某些一般問(wèn)題進(jìn)行特殊化處理或是將某些特殊問(wèn)題進(jìn)行一般化處理的方法．此方法多用于選擇題和填空題的解答．破解此類(lèi)題的關(guān)鍵點(diǎn):①確立轉(zhuǎn)化對(duì)象，一般將要解決的問(wèn)題作為轉(zhuǎn)化對(duì)象．②尋找轉(zhuǎn)化元素，由一般問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊問(wèn)題時(shí),尋找“特殊元素”；由特殊問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一般問(wèn)題時(shí),尋找“一般元素”．③轉(zhuǎn)化為新問(wèn)題，根據(jù)轉(zhuǎn)化對(duì)象與“特殊元素”或“一般元素”的關(guān)系，將其轉(zhuǎn)化為新的需要解決的問(wèn)題．④得出結(jié)論，求解新問(wèn)題，根據(jù)所得結(jié)論求解原問(wèn)題，得出結(jié)論．典例1已知函數(shù)f(x)＝(a－3）x－ax3在［－1,1］上的最小值為－3,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（)A．(－∞，－1］ B．［12，＋∞）C．［－1，12] D。eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f（3,2）,12））解析當(dāng)a＝0時(shí)，函數(shù)f(x)＝－3x，x∈［－1,1］，顯然滿(mǎn)足條件，故排除選項(xiàng)A，B；當(dāng)a＝－eq\f(3，2）時(shí)，函數(shù)f（x）＝eq\f(3,2)x3－eq\f(9,2）x,f′（x)＝eq\f(9，2）x2－eq\f(9,2)＝eq\f（9，2)（x2－1),當(dāng)－1≤x≤1時(shí)，f′(x)≤0,所以f(x)在[－1,1]上單調(diào)遞減,所以f(x)min＝f(1）＝eq\f(3,2)－eq\f(9，2）＝－3，滿(mǎn)足條件，故排除C.綜上，故選D.答案D思維升華常用的“特殊元素”有特殊數(shù)值、特殊數(shù)列、特殊函數(shù)、特殊圖形、特殊角、特殊位置等．對(duì)于選擇題,在題設(shè)條件都成立的情況下，用特殊值探求正確選項(xiàng)，即通過(guò)對(duì)特殊情況的研究來(lái)判斷一般規(guī)律；對(duì)于填空題,當(dāng)結(jié)論唯一或題設(shè)條件中提供的信息暗示答案是一個(gè)定值時(shí)，可以用特殊值代替變化的不定量．跟蹤演練1若x，y滿(mǎn)足約束條件eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x－y＋2≥0，,y＋2≥0，，x＋y＋2≤0,））則eq\f（y＋1,x－1)的取值范圍為()A。eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1（－\f（1,3），\f(1，5））)B.eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1(－\f(1，3），1））C。eq\b\lc\（\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞,－\f（1，3)））∪eq\b\lc\［\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1,5），＋∞）)D.eq\b\lc\(\rc\］（\a\vs4\al\co1(－∞,－\f（1，3)））∪[1，＋∞）答案B解析可行域?yàn)槿鐖D所示的陰影部分，設(shè)z＝eq\f(y＋1，x－1）,因?yàn)辄c(diǎn)(－2,－1）在可行域內(nèi)，所以z＝eq\f(－1＋1，－2－1)＝0，排除C，D；又點(diǎn)A（0，－2）在可行域內(nèi)，所以z＝eq\f（－2＋1，0－1）＝1,排除A.方法二數(shù)與形的轉(zhuǎn)化問(wèn)題模型解法數(shù)與形的轉(zhuǎn)化包含由數(shù)到形和由形到數(shù)兩個(gè)方面．由數(shù)到形就是把問(wèn)題的數(shù)量信息轉(zhuǎn)換為圖形信息，由形到數(shù)就是把圖形信息進(jìn)行代數(shù)化處理，用數(shù)量關(guān)系刻畫(huà)事物的本質(zhì)特征，從而得解．破解此類(lèi)題的關(guān)鍵點(diǎn)：①數(shù)形轉(zhuǎn)化,確定需要等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)量關(guān)系(解析式）與圖形關(guān)系．②轉(zhuǎn)化求解,通過(guò)降維等方式合理轉(zhuǎn)化,使問(wèn)題簡(jiǎn)單化并進(jìn)行分析與求解．③回歸結(jié)論，回歸原命題，得出正確結(jié)論．典例2某工件的三視圖如圖所示,現(xiàn)將該工件通過(guò)切削，加工成一個(gè)體積盡可能大的正方體新工件，并使新工件的一個(gè)面落在原工件的一個(gè)面內(nèi)，則原工件的材料利用率為(材料利用率＝新工件的體積/原工件的體積）（）A.eq\f（8,9π） B.eq\f(8，27π)C.eq\f（24\r(2）－13，π) D.eq\f（8\r（2)－13,π)解析由三視圖知該幾何體是一個(gè)底面半徑為r＝1,母線(xiàn)長(zhǎng)為l＝3的圓錐，則圓錐的高為h＝eq\r(l2－r2）＝eq\r(32－12)＝2eq\r(2）.由題意知加工成的體積最大的正方體ABCD—A1B1C1D1的一個(gè)底面A1B1C1D1在圓錐的底面上，過(guò)平面AA1C則有eq\f(\f（\r(2），2）x,r）＝eq\f(h－x，h），即eq\f(x,\r（2))＝eq\f(2\r(2）－x,2\r（2）），解得x＝eq\f（2\r(2),3)，則原工件的材料利用率為eq\f(V正方體,V圓錐）＝eq\f(x3，\f(1，3）πr2h)＝eq\f（8，9π),故選A.答案A思維升華數(shù)與形轉(zhuǎn)化問(wèn)題，特別是空間轉(zhuǎn)化問(wèn)題，往往在解決空間幾何體問(wèn)題的過(guò)程中將某些空間幾何體問(wèn)題進(jìn)行特殊化處理，轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題來(lái)處理，降低維度，簡(jiǎn)化求解過(guò)程，降低難度．跟蹤演練2已知直線(xiàn)l：y＝kx＋1（k≠0)與橢圓3x2＋y2＝a相交于A，B兩個(gè)不同的點(diǎn)，記直線(xiàn)l與y軸的交點(diǎn)為C.（1)若k＝1，且|AB｜＝eq\f（\r（10）,2），求實(shí)數(shù)a的值；（2)若eq\o（AC，\s\up6(→))＝2eq\o(CB,\s\up6（→）），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△AOB面積的最大值及此時(shí)橢圓的方程．解設(shè)A(x1,y1），B(x2,y2)．（1)由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（y＝x＋1,，3x2＋y2＝a，）)得4x2＋2x＋1－a＝0，則x1＋x2＝－eq\f(1，2)，x1x2＝eq\f（1－a，4)，從而｜AB｜＝eq\r（2)｜x1－x2｜＝eq\r(2）·eq\r（x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(2)·eq\r（a－\f（3,4））＝eq\f(\r(10)，2），解得a＝2。（2)由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（y＝kx＋1,,3x2＋y2＝a,)）得(3＋k2）x2＋2kx＋1－a＝0,則x1＋x2＝－eq\f(2k，3＋k2),x1x2＝eq\f(1－a，3＋k2）.易知C（0，1)，由eq\o(AC,\s\up6(→）)＝2eq\o（CB,\s\up6(→）)，得(－x1，1－y1)＝2（x2，y2－1）,解得x1＝－2x2,所以x1＋x2＝－x2＝－eq\f（2k,3＋k2），則x2＝eq\f（2k,3＋k2）.△AOB的面積S△AOB＝eq\f（1,2）|OC|·｜x1－x2|＝eq\f（3，2）|x2|＝eq\f(3|k|，3＋k2）＝eq\f（3，\f（3，|k｜)＋|k｜）≤eq\f(3，2\r(3)）＝eq\f（\r（3),2），當(dāng)且僅當(dāng)k2＝3時(shí)取等號(hào)，此時(shí)x2＝eq\f（2k,3＋k2），x1x2＝－2xeq\o\al（2,2）＝－2×eq\f（4k2，3＋k22)＝－eq\f(2，3），又x1x2＝eq\f（1－a，3＋k2）＝eq\f（1－a,6），則eq\f(1－a，6)＝－eq\f(2,3),解得a＝5.所以△AOB面積的最大值為eq\f（\r(3),2），此時(shí)橢圓的方程為3x2＋y2＝5.

方法三形體位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化問(wèn)題模型解法形體位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化法是針對(duì)幾何問(wèn)題采用的一種特殊轉(zhuǎn)化方法．主要適用于涉及平行、垂直的證明，如常見(jiàn)線(xiàn)面平行、垂直的推理與證明實(shí)際就是充分利用線(xiàn)面位置關(guān)系中的判定定理、性質(zhì)定理實(shí)現(xiàn)位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化．破解此類(lèi)題的關(guān)鍵點(diǎn):①分析特征，一般要分析形體特征，根據(jù)形體特征確立需要轉(zhuǎn)化的對(duì)象．②位置轉(zhuǎn)化，將不規(guī)則幾何體通過(guò)切割、挖補(bǔ)、延展等方式轉(zhuǎn)化為便于觀察、計(jì)算的常見(jiàn)幾何體．由于新的幾何體是轉(zhuǎn)化而來(lái),一般需要對(duì)新的幾何體的位置關(guān)系、數(shù)據(jù)情況進(jìn)行必要分析,準(zhǔn)確理解新的幾何體的特征．③得出結(jié)論，在新的幾何結(jié)構(gòu)中解決目標(biāo)問(wèn)題．典例3如圖，已知三棱錐P-ABC,PA＝BC＝2eq\r（34)，PB＝AC＝10,PC＝AB＝2eq\r（41)，則三棱錐P—ABC的體積為_(kāi)_________．解析因?yàn)槿忮F三組對(duì)邊兩兩相等，則可將三棱錐放在一個(gè)特定的長(zhǎng)方體中(如圖所示）．把三棱錐P—ABC補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體AEBG—FPDC，易知三棱錐P-ABC的各棱分別是長(zhǎng)方體的面對(duì)角線(xiàn)．不妨令PE＝x，EB＝y(tǒng)，EA＝z,由已知有eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x2＋y2＝100，，x2＋z2＝136，，y2＋z2＝164，)）解得x＝6，y＝8,z＝10，從而知三棱錐P—ABC的體積為V三棱錐P—ABC＝V長(zhǎng)方體AEBG-FPDC－V三棱錐P—AEB－V三棱錐C—ABG－V三棱錐B—PDC－V三棱錐A—FPC＝V長(zhǎng)方體AEBG－FPDC－4V三棱錐P-AEB＝6×8×10－4×eq\f（1,6）×6×8×10＝160。答案160思維升華形體位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化常將空間問(wèn)題平面化、不規(guī)則幾何體特殊化，使問(wèn)題易于解決．同時(shí)也要注意方法的選取,否則會(huì)跳入自己設(shè)的“陷阱”中．跟蹤演練3如圖，在棱長(zhǎng)為5的正方體ABCD—A1B1C1D1中，EF是棱AB上的一條線(xiàn)段，且EF＝2，點(diǎn)Q是A1D1的中點(diǎn),點(diǎn)P是棱C1D1上的動(dòng)點(diǎn)，則四面體PQEF的體積（）A．是變量且有