2023年初中數學競賽精品標準教程及練習勾股定理

初中數學競賽精品標準教程及練習(31)勾股定理一、內容提綱勾股定理及逆定理:△ＡBＣ中∠C=Ｒt∠a２＋b2＝c2勾股定理及逆定理的應用作已知線段a的，,……倍計算圖形的長度，面積，并用計算方法解幾何題證明線段的平方關系等。勾股數的定義:假如三個正整數a,b,c滿足等式ａ２+b2＝ｃ2，那么這三個正整數a,b，c叫做一組勾股數.勾股數的推算公式羅士琳法則(羅士琳是我國清代的數學家1789――185３）任取兩個正整數m和n(m>n),那么m2-n2，2mn,m２+n2是一組勾股數。假如k是大于1的奇數,那么k,,是一組勾股數。假如k是大于2的偶數，那么k，,是一組勾股數。假如a,ｂ,c是勾股數,那么nａ,ｎb,nc（ｎ是正整數)也是勾股數。熟悉勾股數可提高計算速度,順利地鑒定直角三角形。簡樸的勾股數有：３，４，５；５,1２，１3；７，24，25；8，15，1７；９,４0,41。二、例題例1.已知線段ａaａ２ａ3aa求作線段aa分析一：a＝＝２ａ∴a是以2a和a為兩條直角邊的直角三角形的斜邊。分析二：ａ＝∴a是以３ａ為斜邊,以2ａ為直角邊的直角三角形的另一條直角邊。作圖（略)例２．四邊形ABＣＤ中∠ＤＡB＝60，∠B=∠D＝Ｒｔ∠,ＢC=１,CD=2求對角線ＡC的長解:延長BC和ＡＤ相交于E,則∠Ｅ＝30∴CE＝2CＤ=4,在Ｒt△ABＥ中設ＡB為ｘ,則AE=2x根據勾股定理x２+52=(２x)2，x2＝在Rｔ△ABC中,AC＝=＝例3.已知△ABC中,AＢ＝AC，∠B＝2∠A求證：AB2－BC２＝AB×BＣ證明：作∠B的平分線交AC于Ｄ，則∠Ａ＝∠ＡBD,∠ＢDC=２∠A=∠Ｃ∴ＡD=BD=BＣ作ＢM⊥ＡC于M,則CM＝DＭAB2－BC２=（ＢM2＋AＭ2）-（BM２+CM2）＝AM2－CM２＝(ＡM＋CＭ)（ＡＭ-CM)＝AC×AＤ＝ＡB×BC例4．如圖已知△ABC中，ＡD⊥BＣ,ＡB+ＣD＝AC＋BD求證:AB＝AC證明：設ＡＢ,ＡC，BD，CＤ分別為b，c,m,n則c+n=b+ｍ，c-b＝ｍ-n∵ＡＤ⊥BＣ,根據勾股定理，得AD2=c2-m２=b2－n2∴c2-b2=ｍ2-n２,(c＋b）(c-b)＝(ｍ+ｎ)(m-n)(ｃ+b)(ｃ-b)＝(m+n)((c-ｂ）(c+b)（c-b)－（m+n)(c-ｂ）=０(c-b){(c＋b)-(m+ｎ）｝=０∵ｃ+ｂ>m+n,∴c-b=0即ｃ=b∴ＡB＝ＡC例5.已知梯形ＡBCD中，ＡB∥CD，AD>BＣ求證:AＣ＞BD證明：作DE∥AC，ＤF∥BＣ，交BA或延長線于點Ｅ、FACＤE和BCDＦ都是平行四邊形∴DＥ=AC,ＤF＝BC，AE＝CD=BF作ＤH⊥ＡB于H，根據勾股定理AH=，F(xiàn)H=∵AＤ>BＣ,ＡD>DF∴AH>FＨ,EH＞BHDE＝，BD＝∴DE＞BD即AC>BＤ例６.已知:正方形ABCＤ的邊長為1,正方形EFＧH內接于ＡＢCD,AE=a,AF＝b,且SEFＧH＝求:的值解:根據勾股定理a2＋b2=EF2＝SＥFGH=;①∵４Ｓ△AＥＦ＝SAＢＣＤ－SEFＧH∴２ab＝②－②得（a-b)2＝∴＝三、練習３１以下列數字為一邊，寫出一組勾股數：7,＿_，＿＿②8,＿_,_＿③9,＿_，__④10，__,_＿⑤１1,＿_,__⑥１2，＿＿,__根據勾股數的規(guī)律直接寫出下列各式的值：２５2－2４2=＿＿,②52+122=__，③=＿＿_，④＝_＿_△ABC中，AB=２5,ＢC＝20，CA＝1５,CM和CH分別是中線和高。那么S△ABC=＿＿，ＣＨ＝＿_，MＨ=＿__4.梯形兩底長分別是3和7，兩對角線長分別是6和8，則S梯形＝＿__5.已知:△ABC中,AＤ是高，BE⊥AB，BE＝CD,CF⊥AC,ＣF=BD求證:AE=ＡF６.已知：M是△ABC內的一點,ＭD⊥BC，ME⊥AＣ，MＦ⊥AB，且BＤ=BF，CD=CE求證:AE＝AＦ７.在△ＡＢC中，∠Ｃ是鈍角，a2－ｂ2＝bc求證∠A=2∠B8.求證每一組勾股數中至少有一個數是偶數。（用反證法）９.已知直角三角形三邊長均為整數,且周長和面積的數值相等,求各邊長10等腰直角三角形ＡBC斜邊上一點P,求證:AP2＋ＢP2＝2CP211.已知△ABC中，∠A=Ｒt∠,M是BC的中點，E，F(xiàn)分別在ＡB,ACMＥ⊥MF求證：EF2＝ＢE２＋ＣＦ2１2.Ｒt△ＡＢC中，∠ABC=90，∠C＝6０，BＣ＝2，D是ＡC的中點,從D作ＤE⊥AC與CB的延長線交于點E，以ＡB、ＢE為鄰邊作矩形ABEF,連結DF，則DF的長是_＿＿＿。13.△ABC中，AＢ=AC＝2，BＣ邊上有1００個不同的點p1,p２，p３,…p10０,記mi=APi２＋BPi×ＰｉC(I=1,2……,10０)，則m1＋m2+…＋m10０=_＿＿_練習3１參考答案:3.１50,12,354.24(作ＣE∥BD交AB延長線E)5．運用勾股定理證明AE，AＦ的平方都等于m2+ｎ２+AD26.運用勾股定理:ＡE2＝……，ＡＦ2＝……7.作CD⊥AＢ于Ｄ,∵ｂc=ａ2－ｂ2=BD２-AD2=(BＤ+ＡD）(ＢＤ-AD）∴ｂ=BD-AD……８.(用反證法)設ａ,ｂ,c都是奇數，那么a2,ｂ2