拉普拉斯分析

拉普拉斯分析第一頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日4.1.1拉普拉斯變換定義4.1拉普拉斯變換f(t)=eatu(t)a>0

的傅里葉變換？將f(t)乘以衰減因子e-t，得：不存在!若，則有令第二頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日推廣到一般情況：（s=+j）定義：求傅里葉逆變換原函數(shù)拉普拉斯正變換拉普拉斯逆變換原函數(shù)第三頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日拉普拉斯變換符號表示及物理含義：物理意義：信號f(t)可分解成復(fù)指數(shù)信號est的線性組合。F(s)為單位帶寬內(nèi)各諧波的合成振幅，是密度函數(shù)。s是復(fù)數(shù)稱為復(fù)頻率，F(xiàn)(s)稱復(fù)頻譜。符號表示：（正變換）（逆變換）或第四頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日積分下限定義為零的左極限，目的在于分析和計(jì)算時(shí)可以直接利用起始給定的0-狀態(tài)。4.1.2拉普拉斯變換的收斂域（雙邊拉氏變換）（單邊拉氏變換）！第五頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日（1）（2）求下面各式拉普拉斯變換：例

解(1)不同的信號形式卻又相同的變換結(jié)果，這就是收斂域的緣故。說明第六頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日1.單邊拉普拉斯變換存在的條件（收斂域）對任意信號f(t)，若滿足上式，則f(t)應(yīng)滿足：(>0)拉氏變換存在的充要條件為：收斂條件第七頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日收斂區(qū)j0S平面右半平面左半平面O絕對收斂坐標(biāo)第八頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日2.雙邊變換收斂域雙邊信號可表示為：對左邊信號和右邊信號分別求其收斂域：右邊信號求解類同單邊信號；左邊信號滿足：收斂區(qū)j0

O第九頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日3.單、雙邊拉普拉斯變換收斂域比較特別指出，雙邊變換含有左邊及右邊信號時(shí)，其收斂域是右圖；如果僅是左邊信號，則收斂域?yàn)樽箝_的；如果僅是右邊信號，雙邊和單邊變換收斂域一樣，為右開區(qū)域。！單邊變換收斂域雙邊變換收斂域第十頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日計(jì)算下列信號拉普拉斯變換的收斂域收斂域?yàn)槿玈平面不存在不存在例第十一頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日（1）單邊指數(shù)型函數(shù)etu(t)4.2常見信號的拉普拉斯變換同理：第十二頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日（2）正弦信號第十三頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日(3)階躍函數(shù)u(t)由單邊指數(shù)信號變換結(jié)論，則有：第十四頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日(4)單位沖激信號及其高階導(dǎo)數(shù)第十五頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日(5)t的正冪函數(shù)tn根據(jù)以上推理,可得(n為正整數(shù))第十六頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日常用信號的單邊拉氏變換（1）第十七頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日常用信號的單邊拉氏變換（2）第十八頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日常用信號的單邊拉氏變換（3）第十九頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日常用信號的單邊拉氏變換（4）第二十頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日4.3拉普拉斯變換的基本性質(zhì)第二十一頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日拉氏變換的基本性質(zhì)表（1）線性時(shí)域微分時(shí)移頻移尺度變換頻域微分第二十二頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日拉氏變換的基本性質(zhì)表（2）時(shí)域積分初值定理終值定理時(shí)域卷積頻域卷積第二十三頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日拉氏變換性質(zhì)1.線性2.時(shí)移性第二十四頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日(1)右移性

即指平移項(xiàng)右移，否則，依據(jù)單邊變換定義，就會(huì)把橫軸左邊部分截去，就不滿足時(shí)移性了。因此，時(shí)移性質(zhì)準(zhǔn)確是指右移性。例如：求下面各式的單邊拉普拉斯變換

解：前兩項(xiàng)的單邊變換相同，只需把三角函數(shù)按三角公式展開，再利用基本變換求解，最后一項(xiàng)利用時(shí)移性質(zhì)可以求解。第二十五頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日對應(yīng)的單邊變換為：

最后一項(xiàng)對應(yīng)的單邊變換應(yīng)為：

第二十六頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日即指信號的左移情況，依照u(t)變化，把信號分解為簡單信號之疊加，再對簡單信號求解。(2)左移性例：

求下面式子的單邊拉普拉斯變換；解：兩式的單邊變換相同，展開三角函數(shù)，有由此式可以很容易地求得其對應(yīng)變換。有第二十七頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日(3)求單邊周期信號的拉普拉斯變換其中，為的從零處開始取值的第一個(gè)周期，使用第一個(gè)周期函數(shù)依次向右平移并相加，則組成單邊周期函數(shù)：利用時(shí)移性有：

單邊周期信號可表示為：設(shè)第二十八頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日解：觀察圖形的時(shí)移關(guān)系，有如下對應(yīng)變換：例：

試求圖中不同的時(shí)移對應(yīng)變換t0t0t0t0第二十九頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日例試求x(t)半波正弦函數(shù)的拉氏變換0T/2T

tx(t)E解：先求第一個(gè)周期對應(yīng)的函數(shù)如左圖，并分解第一個(gè)周期函數(shù)為xa(t)、

xb(t)

，如下式：0T/2tx1(t)E0T/2TtE0T/2T

tE第三十頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日對應(yīng)拉氏變換為：

因而，半波正弦函數(shù)的拉氏變換第三十一頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日3.復(fù)頻域平移移性例:求下式拉氏變換解:

由于

再根據(jù)頻移性質(zhì)有：根據(jù)時(shí)移性質(zhì)有：

第三十二頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日4.尺度變換（比例性）例

已知L[x(t)]=X(s)，試求解：先時(shí)移性后比例性由時(shí)移性再由比例性第三十三頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日再由時(shí)移性由比例性另解：先比例性后時(shí)移性第三十四頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日5.復(fù)頻域微分證明:第三十五頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日6.時(shí)域微分

該性質(zhì)主要用于研究具有初始條件的微分方程，可以方便地從復(fù)頻域求解系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)，而對于傅里葉變換卻沒有初態(tài)項(xiàng)出現(xiàn)，也就無法直接利用傅里葉變換直接求零輸入響應(yīng)，這是復(fù)頻域性質(zhì)的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)，在分析連續(xù)系統(tǒng)時(shí)極其有用。

設(shè)，則：第三十六頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日證明:由定義知同理可得第三十七頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日依此類推,可得若f(t)為有始函數(shù)，則第三十八頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日10t1-10t解：兩式的圖形如右圖，分別求其微分并做拉氏變換如下：例：已知第三十九頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日雖然兩式的單邊變換相同，但所求信號微分項(xiàng)對應(yīng)的拉氏變換卻不同;對于雙邊變換x2(t)收斂域包括兩部分：Re(s)<0（t<0部分），Re(s)>-a（t>0部分）必須有交點(diǎn)。！第四十頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日7.時(shí)域積分證明:

由定義第四十一頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日所以若積分下限由開始例如：已知?jiǎng)t第四十二頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日8'.復(fù)頻域積分（補(bǔ)充）證明:若第四十三頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日例：求拉氏變換解：所以第四十四頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日8.卷積性質(zhì)證明方法類似于傅里葉變換。利用卷積性質(zhì)求復(fù)雜信號通過線性時(shí)不變系統(tǒng)時(shí)的響應(yīng)，可以把復(fù)雜信號分解為簡單信號的卷積，然后變換到復(fù)頻域求拉普拉斯變換的積，再逆變換到時(shí)域。這樣，可使問題簡單化。第四十五頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日例：已知求解：由逆變換到時(shí)域有：第四十六頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日9.初值定理結(jié)合公式有：設(shè)f(t)沒有沖激函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)出現(xiàn)，則在0（或）點(diǎn)存在泰勒展開式有：證明:第四十七頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日如果s→∞則有：同理，可以求解高階微分對應(yīng)的初值定理，有交換該式求和與積分的順序，并利用泰勒展開式，得：第四十八頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日

初值定理?xiàng)l件必須存在,時(shí)域中意味著f(t)

本身不能包含沖激.但由于的存在,不影響的值,可把移去后再應(yīng)用初值定理,即只取真分式。本例中注意：應(yīng)用初值定理先求真分式

例：求初值解：第四十九頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日10.終值定理兩邊取s趨于零的極限證明:由時(shí)域微分性質(zhì)設(shè)且存在，則f

(t)的終值為：由于第五十頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日條件存在,相當(dāng)于在復(fù)頻域中的極點(diǎn)都在S平面的左半平面和原點(diǎn)僅有單極點(diǎn)。虛軸上只能在原點(diǎn)，如：因此于是即：第五十一頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日解:因?yàn)閄(s)的極點(diǎn)為s=0,-1和-2,滿足終值定理的條件，因此有：注意：求終值首先判斷極點(diǎn)位置其極點(diǎn)s=在s平面的右半平面，不能用終值定理。否則得到是錯(cuò)誤的.例如：給定,試求的終值第五十二頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日4.4拉普拉斯逆變換計(jì)算拉普拉斯逆變換方法：1.利用典型信號變換對求解（查表法）2.采用部分分式展開法3.利用復(fù)變函數(shù)中的留數(shù)定理第五十三頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日1.查表法:

利用典型信號的變換對（查表）及性質(zhì)例:該例子說明假分式化簡的第一步是化成真分式4.4.1單邊信號的拉普拉斯逆變換第五十四頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日例:求原函數(shù)解：例:該例子說明含指數(shù)的無理式化簡是利用時(shí)移性質(zhì)求解第五十五頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日例:求原函數(shù)解：根據(jù)上例結(jié)果，及積分性質(zhì)有：第五十六頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日例：

采用部分分式展開法，求下列的反變換2.部分分式展開法對分母復(fù)雜的信號化為典型信號，再使用典型函數(shù)變換求解第五十七頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日解：（1）中X(s)為有理真分式，極點(diǎn)為一階極點(diǎn)。因此，逆變換為：式中：第五十八頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日由于逆變換為：式中：第五十九頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日X(s)為有理假分式,將X(s)化為有理真分式：第六十頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日(1)F(s)為有理真分式(m<n)，極點(diǎn)為一階極點(diǎn)部分分式展開法歸納對于信號形為：有三種情況：第六十一頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日(2)F(s)為有理真分式(m<n)，極點(diǎn)為r重階極點(diǎn)第六十二頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日試證：r重根系數(shù)公式

可通過對應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等或公式法得到，上式兩邊同乘有：證明：若D(s)=0只有r重根，則D(s)可以記為：第六十三頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日依次類推：第六十四頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日不同重根的拉氏反變換可通過頻域微分性質(zhì)得到：如果D(s)=0有復(fù)重根，可以用類似于復(fù)單根的方法導(dǎo)出相應(yīng)的反變換關(guān)系式。如D(s)有二重復(fù)根，則可展開為：第六十五頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日(3)F(s)為有理假分式(mn)為真分式，根據(jù)極點(diǎn)情況按(1)或(2)求解。對于s的n冪次反變換如下：第六十六頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日例：

求下列F(s)的反變換第六十七頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日解：第六十八頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日令s2=q,因此第六十九頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日k2,k3用待定系數(shù)法求第七十頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日(1)留數(shù)定理

設(shè)G(s)在閉合區(qū)域D上，除了有限個(gè)極點(diǎn)外，處處解析，則3.留數(shù)法第七十一頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日(2)約當(dāng)引理如果滿足條件：故拉普拉斯變換可寫為：則：第七十二頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日特別注意：根據(jù)約當(dāng)條件有：F(s)必須是真分式根據(jù)Jordan引理，對于單邊變換有具體求解方法：（1）單極點(diǎn)時(shí)（2）多重極點(diǎn)時(shí)第七十三頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日例:留數(shù)法求原函數(shù)解：二重根為：故：第七十四頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日4.4.2雙邊拉普拉斯變換及其逆變換對于因果信號，單邊變換和雙邊變換相同雙邊拉普拉斯變換對如下：雙邊拉普拉斯變換條件：第七十五頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日雙邊信號可以分解為左邊信號與右邊信號之和：對于右邊信號，其拉普拉斯變換存在條件為：對于左邊信號，其拉普拉斯變換存在條件為：對于雙邊信號，其拉普拉斯變換存在條件為帶狀區(qū)域：第七十六頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日例:求下式雙邊變換的拉普拉斯變換及其收斂域解：對于右邊信號有其拉普拉斯變換及收斂域:對于左邊信號有其拉普拉斯變換及收斂域:對于雙邊信號其拉普拉斯變換及帶狀收斂域:第七十七頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日雙邊信號求解雙邊信號可寫為（1）右邊信號可以寫為：可依據(jù)單邊拉普拉斯變換變換求解。（2）左邊信號可以寫為：其求解方法為：先轉(zhuǎn)換為右邊信號，并求出對應(yīng)的拉普拉斯變換根據(jù)雙邊拉普拉斯變換性質(zhì)，令s換為-s，求出左邊信號正變換.第七十八頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日雙邊拉普拉斯反變換求解方法有兩種：部分分式法和留數(shù)法注意：

部分分式法和留數(shù)法都要先展開為真分式在求解。（1）部分分式法例:求下式不同收斂域的反變換:解：展開后有三個(gè)區(qū)域第七十九頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日對于區(qū)域，對應(yīng)-1和-2根對應(yīng)為左、右邊信號的拉氏變換：對于區(qū)域，對應(yīng)兩根都是右邊信號的拉氏變換：對于區(qū)域，對應(yīng)-1和-2根對應(yīng)為左邊信號的拉氏變換：第八十頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日1）留數(shù)定理設(shè)G(s)在閉合區(qū)域D上，除了有限個(gè)極點(diǎn)外，處處解析，則（2）留數(shù)法第八十一頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日2）約當(dāng)引理如果滿足條件則根據(jù)Jordan引理，對于右邊信號有第八十二頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日特別注意：根據(jù)約當(dāng)條件有：F(s)必須是真分式對于左邊信號有（2）多重極點(diǎn)時(shí)具體求解方法：（1）單極點(diǎn)時(shí)第八十三頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日例:留數(shù)法求下式的不同收斂域的反變換解:復(fù)頻域?qū)?yīng)三個(gè)收斂域?yàn)椋?/p>

對于區(qū)域，逆時(shí)針左圓弧包含-1和-2極點(diǎn)，代表為右邊信號（t>0)，順時(shí)針右圓弧沒有包含極點(diǎn)，依據(jù)留數(shù)定理有：故有：第八十四頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日

對于區(qū)域，逆時(shí)針左圓弧、順時(shí)針右圓弧分別包含-1和-2極點(diǎn)，代表為右邊信號（t>0）和左邊信號（t<0），依據(jù)留數(shù)定理有：二者相加則有：第八十五頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日

對于區(qū)域，逆時(shí)針左圓弧不包含極點(diǎn)，沒有右邊信號（t>0）；順時(shí)針右圓弧包含-1、-2兩個(gè)極點(diǎn)，代表了左邊信號（t<0），依據(jù)留數(shù)定理有：二者相加則有：第八十六頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日4.5拉普拉斯變換與傅里葉變換的關(guān)系因果乘衰減因子第八十七頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日由于復(fù)頻域包含虛軸也就包含了滿足傅里葉變換的條件，因此傅氏變換存在，可以直接使用代換.（1）收斂域包括虛軸，即：

因果信號的拉氏變換和傅氏變換關(guān)系!第八十八頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日傅氏變換不存在，但是拉氏變換存在。（2）收斂域不包含虛軸，即：

第八十九頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日有傅氏變換，但收斂于虛軸，不能簡單用，包含奇異函數(shù)項(xiàng)，應(yīng)該使用下式求解:（3）收斂域恰在虛軸上，即：

分別代表分式展開時(shí)對應(yīng)在虛軸上的極點(diǎn)分式系數(shù)和分式展開時(shí)對應(yīng)在虛軸上的極點(diǎn)。例：已知，求其傅立葉變換。解：由于收斂域在虛軸上，極點(diǎn)為0，對應(yīng)系數(shù)為1，由代換公式知：因此：第九十頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日例：利用復(fù)頻域和傅里葉變換關(guān)系，直接求下式對應(yīng)的傅里葉變換：

解：式中有兩個(gè)對偶極點(diǎn)，且都在虛軸上，可以利用收斂域在虛軸上公式求解，有：第九十一頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日例：直接由F(s)求F(j

)解：1)收斂域-4包含j

軸2）收斂域的收斂邊界位于j

軸第九十二頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日4.6系統(tǒng)函數(shù)與頻率響應(yīng)特性1.系統(tǒng)函數(shù)2.電路系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析3.系統(tǒng)零級點(diǎn)分布與其時(shí)域、頻域響應(yīng)關(guān)系4.系統(tǒng)穩(wěn)定性系統(tǒng)函數(shù)是描述連續(xù)系統(tǒng)的重要參數(shù)，通過它可以了解系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布、時(shí)域特性和系統(tǒng)穩(wěn)定性等。我們首先分析下面問題，再引出系統(tǒng)函數(shù)概念及系統(tǒng)函數(shù)頻響特性。第九十三頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日1.系統(tǒng)的復(fù)頻域與分析方法聯(lián)系時(shí)域微分方程時(shí)域響應(yīng)y(t)S域響應(yīng)Y(s)拉氏變換拉氏反變換解微分方程解代數(shù)方程S域代數(shù)方程4.6.1系統(tǒng)函數(shù)第九十四頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日二階系統(tǒng)響應(yīng)的S域求解已知f(t)，y(0-)，y’(0-)，求y(t)。(1)經(jīng)拉氏變換將域微分方程變換為域代數(shù)方程；(2)求解s域代數(shù)方程，求出Yx(s),Yf(s)；(3)拉氏反變換，求出響應(yīng)的時(shí)域表示式。求解步驟：第九十五頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日第九十六頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日解：對微分方程取拉氏變換可得例：系統(tǒng)為激勵(lì)f(t)=e-tu(t)，初始狀態(tài)y(0-

)=3，求響應(yīng)y(t)。第九十七頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日第九十八頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日2.系統(tǒng)函數(shù)H(s)(1)

定義：系統(tǒng)在零狀態(tài)條件下，輸出的拉氏變換式與輸入的拉式變換式之比，記為H(s)。(2)H(s)與h(t)的關(guān)系：

(t)

h(t)第九十九頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日(3)求零狀態(tài)響應(yīng)：h(t)H(s)f(t)F(s)(4)求H(s)的方法：

①由系統(tǒng)的沖激響應(yīng)求解：H(s)=L[h(t)]③由系統(tǒng)的微分方程寫出H(s)②由定義式第一百頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日4.6.2電路系統(tǒng)的拉普拉斯變換分析時(shí)域復(fù)頻域第一百零一頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日R、L、C串聯(lián)形式的s域模型第一百零二頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日例:圖示電路初始狀態(tài)為vc(0-)=-E,

求電容兩端電壓vc(t).解：建立電路的s域模型由s域模型寫回路方程第一百零三頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日回路電流:電容電壓:第一百零四頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日4.6.3系統(tǒng)零、極點(diǎn)分布與其時(shí)域、頻域響應(yīng)的關(guān)系

零極點(diǎn)與系統(tǒng)時(shí)域特性、頻響特性關(guān)系;零點(diǎn)、極點(diǎn)分布;零極點(diǎn)與沖激響應(yīng);零極點(diǎn)與頻率響應(yīng)特性的關(guān)系.第一百零五頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日1、零極點(diǎn)與系統(tǒng)的頻域特性、時(shí)域特性關(guān)系（1）零、極點(diǎn)分布圖極點(diǎn)零點(diǎn)xxxxxxjωσO第一百零六頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日（2）零極點(diǎn)與沖激響應(yīng)的關(guān)系.31)位于s軸的單極點(diǎn)sjwOu(t)et

u(t)1-1e-t

u(t)111xxxf(t)f(t)f(t)ttt第一百零七頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日2)共軛單極點(diǎn)xsjwo-11sin(t)e-t

u(t)sin(t)etu(t)sin(t)u(t)1-1xxxxxttt第一百零八頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日3)二重根情況sjwO-111-1xxxxxx第一百零九頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日圖中第一、二、三列圖分別對應(yīng)極點(diǎn)在左半平面、虛軸和右半平面的波形；第一、二、三行圖對應(yīng)的分別為共軛根、單根和實(shí)軸上的重根所對應(yīng)的波形。s小結(jié)第一百一十頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日極點(diǎn)對h(t)影響（1）極點(diǎn)在左半復(fù)平面時(shí)，單位沖激響應(yīng)衰減；（2）極點(diǎn)在右半復(fù)平面時(shí)，單位沖激響應(yīng)增強(qiáng)；（3）極點(diǎn)在復(fù)平面虛軸上且只有單極點(diǎn)時(shí)，單位沖激響應(yīng)呈等幅震蕩；若有重極點(diǎn)時(shí)在虛軸上，則單位沖激響應(yīng)振幅增強(qiáng)；（4）極點(diǎn)在復(fù)平面原點(diǎn)時(shí)，單位沖激響應(yīng)為階躍信號；（5）實(shí)際研究的大多是因果系統(tǒng)，收斂域是大于某個(gè)常數(shù)（極點(diǎn)在該收斂域的左邊），其時(shí)域?qū)?yīng)的沖激響應(yīng)函數(shù)沒有反因果的分量。第一百一十一頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日(3)零極點(diǎn)與系統(tǒng)頻響特性

頻響特性是指系統(tǒng)在正弦信號激勵(lì)之下穩(wěn)態(tài)響應(yīng)隨信號頻率的變化情況。系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，令H(s)中

s=jω，則系統(tǒng)頻響特性幅頻特性相頻特性第一百一十二頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日系統(tǒng)頻響特性對于零極增益表示的系統(tǒng)函數(shù)當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，令s=jω，則得第一百一十三頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日系統(tǒng)函數(shù)的向量表示第一百一十四頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日例：已知，求系統(tǒng)的頻響特性。解:第一百一十五頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日4.6.4系統(tǒng)穩(wěn)定性

因果系統(tǒng)在s域有界輸入有界輸出(BIBO)的充要條件是系統(tǒng)函數(shù)H(s)的全部極點(diǎn)位于的左半s平面。連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定的充分必要條件是：

穩(wěn)定性的判斷還可以用羅斯－胡維茨準(zhǔn)則（不用求出極點(diǎn)）或者萘氏（用于反饋系統(tǒng)）第一百一十六頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日例：判斷下述系統(tǒng)是否穩(wěn)定（1）極點(diǎn)為s=-1和s=-2，都在s左半平面

顯然輸出也有界，故系統(tǒng)穩(wěn)定。若激勵(lì)為有界輸入u(t)，則其輸出為：解:第一百一十七頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日（2）極點(diǎn)為±j0，是虛軸上的一對共軛極點(diǎn)。顯然，輸出不是有界信號，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。若激勵(lì)為有界輸入sin(0t)u(t)，則其輸出為：第一百一十八頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日穩(wěn)定性判斷方法：羅斯（Routh-Hurwitz）判據(jù)

（適用極點(diǎn)未知情況）系統(tǒng)分母：羅斯陣：其中：第一百一十九頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日Routh-Hurwitz判斷方法:R-H陣一共有n+1行，其中，前兩行為多項(xiàng)式的奇數(shù)、偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)構(gòu)成，從第三行開始，每一行上的列數(shù)比上一行少一列，運(yùn)算中出現(xiàn)空位部分補(bǔ)零代替，一直到最后兩行為一列，且最后一行的值為。羅斯判據(jù)表征系統(tǒng)為穩(wěn)定的充要條件是：R-H陣中第一列元素全部為正。第一百二十頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日例：利用R-H陣，求下面系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)的參數(shù)K范圍解：

R-H陣如圖所示：由于第一列需要大于0，則有：第一百二十一頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日4.7系統(tǒng)的模擬系統(tǒng)的基本聯(lián)接形式： 系統(tǒng)的級聯(lián)；系統(tǒng)的并聯(lián),；反饋環(huán)路系統(tǒng)的3種模擬框圖結(jié)構(gòu)： 直接型結(jié)構(gòu)；級聯(lián)型結(jié)構(gòu)；并聯(lián)型結(jié)構(gòu)

線性時(shí)不變因果系統(tǒng)，可以用微分方程描述，即對實(shí)際的物理系統(tǒng)進(jìn)行了模型化；為研究實(shí)際的物理系統(tǒng)，還需要通過實(shí)際的模擬實(shí)驗(yàn)來研究物理系統(tǒng)，此時(shí)無需實(shí)驗(yàn)室內(nèi)用模擬裝置組建與物理系統(tǒng)相同的微分方程，即實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)意義上的模擬。表示LTI因果系統(tǒng)的方法有方框圖模擬，以及信號流圖模擬。第一百二十二頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日1)系統(tǒng)的級聯(lián)1.系統(tǒng)的基本聯(lián)接形式4.7.1系統(tǒng)的方框圖第一百二十三頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日2)系統(tǒng)的并聯(lián)第一百二十四頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日3)反饋環(huán)路第一百二十五頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日2.系統(tǒng)的3種模擬框圖結(jié)構(gòu)H1(s)N階LTI連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為設(shè)m=n,并將H(s)看成兩個(gè)子系統(tǒng)的級聯(lián),即H2(s)第一百二十六頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日1）直接型結(jié)構(gòu)這兩個(gè)子系統(tǒng)的微分方程為用加法器、乘法器和積分器實(shí)現(xiàn)這兩個(gè)方程即得系統(tǒng)的直接型模擬方框圖。第一百二十七頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日（設(shè)m=n）第一百二十八頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日2）級聯(lián)型結(jié)構(gòu)畫出每個(gè)子系統(tǒng)直接型模擬流圖，然后將各子系統(tǒng)級聯(lián)。將系統(tǒng)函數(shù)分解為一階或二階相乘的形式:第一百二十九頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日3）并聯(lián)型結(jié)構(gòu)畫出每個(gè)子系統(tǒng)直接型模擬流圖,然后將各子系統(tǒng)并聯(lián)。將系統(tǒng)函數(shù)分解為一階或二階相加的形式第一百三十頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日例：畫出系統(tǒng)的模擬方框圖解:(a)直接型57F(s)Y(s)510S-1S-1S-1第一百三十一頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日(b)級聯(lián)式55F(s)Y(s)12S-1S-1S-1第一百三十二頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日(c)并聯(lián)式S-1S-1S-120.55/64/3F(s)Y(s)5第一百三十三頁，共一百四十四頁，2022年，8月28日4.7.2信號流圖

方框圖可以在復(fù)頻域描述LTI系統(tǒng)，同樣，信號流圖也可以描述LTI系統(tǒng)，有人把信號流圖稱為簡化的方框圖。這里信號流圖包括以下內(nèi)容：信號流圖術(shù)語及基本性質(zhì);信號流圖的