2020屆高考數(shù)學一輪復(fù)習第三章函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

第三章函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

第一節(jié)函數(shù)及其表示

逗麴0銅。翎0/。憒。會同劭尊管國

好過教材關(guān)

1.函數(shù)與映射的概念

函數(shù)映射

兩集合A,B設(shè)A,8是兩個非空的數(shù)集設(shè)A,8是兩個非空的集合

如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系/,使

如果按某一個確定的對應(yīng)關(guān)系/,使對

對應(yīng)關(guān)系對于集合A中的任意一個數(shù)X,在集

于集合A中的任意一個元素X,在集合

合8中都有唯一確定的數(shù)加0和它對

B中都有唯一確定的元素J與之對應(yīng)

應(yīng)

稱./L上星為從集合4到集合B的稱對應(yīng)f：AfB為從集合A到集合B

名稱

一個函數(shù)的一個映射

記法y=fix),XGA對應(yīng)/:A-8是一個映射

2.函數(shù)的有關(guān)概念

(1)函數(shù)的定義域、值域：

在函數(shù)y=_Ax),xGA中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值

相對應(yīng)的J值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合(/U)|xGA｝叫做函數(shù)的值域」顯然，值域是集合B

的子集.

(2)函數(shù)的三要素：定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系.

(3)相等函數(shù)：如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致,則這兩個函數(shù)相等，這是判

斷兩函數(shù)相等的依據(jù).

(4)函數(shù)的表示法

表示函數(shù)的常用方法有：解析法、圖象法、列表法.

3.分段函數(shù)

若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間，有著不同的對應(yīng)關(guān)系,這樣的函

數(shù)通常叫做分段函數(shù).

［小題體驗］

1.(2018?臺州模板)下列四組函數(shù)中，表示相等函數(shù)的是()

A.f(x)=x,g(x)=-x/P

?、(F)2,、x

B-f(X)~X'g⑴一(W)2

c.?=1,g(x)=(x-l)°

D.f(x)=^j,g(x)=x—3

解析：選B選項A中，八%)=/與g(x)=M?的定義域相同，但對應(yīng)關(guān)系不同；選項B

中，二者的定義域都為{x|x>0},對應(yīng)關(guān)系也相同；選項C中，f(x)=l的定義域為R,g(x)

x?-9

=(x—1)"的定義域為{x|xWl};選項D中，下1的定義域為{x|xW-3},g(x)=x—3的

定義域為R.

2.若函數(shù)y=/(x)的定義域為閨-3這xW8,x#5},值域為3—10W2,yWO},則y

=/U)的圖象可能是()

解析：選B根據(jù)函數(shù)的概念，任意一個x只能有唯一的y值和它對應(yīng)，故排除C項;

由定義域為{x|-3WxW8,xW5}排除A、D兩項，故選B.

3.函數(shù)1上)=4?三+士的定義域為.

X/

2*—120,

解析：由題意得解得xe0且xW2.

2W0,

答案：［0,2)U(2,+8)

上,—I,

4.若函數(shù)Ax)=u2則用⑵)=________.

1,5-x,x>l,

解析:由題意知，1A2)=5-4=1,1/U)=e°=l,

所以加2))=1.

答案：1

5.已知函數(shù)八》)="3一比的圖象過點(一1,4),則1A2)=.

解析：?.,函數(shù)八%)=。T3—2x的圖象過點(-1,4),

：.4=~a+2,：.a=~2,即八》)=一21-2》,

二八2)=-2X23-2X2=-20.

答案：一20

??卜必過易錯關(guān)

1.求函數(shù)的解析式時要充分根據(jù)題目的類型選取相應(yīng)的方法，同時要注意函數(shù)的定義

2.分段函數(shù)無論分成幾段，都是一個函數(shù)，不要誤解為是“由幾個函數(shù)組成”.求分

段函數(shù)的函數(shù)值，如果自變量的范圍不確定，要分類討論.

［小題糾偏］

logix,x>0,

1.（2018?嘉興模擬）已知函數(shù)yu）=,方程/U)=2

的解為.

解析：4^2））=K，Og22）-1）=°-

當x>0時，k）g2X=2,得x=4;

當xWO時，X2+X=2,得*=一2或x=l（舍去）.

所以大x）=2的解為-2或4.

答案：0—2或4

2.已知短=f+5x,則大x）=.

解析：令?=*

5x+l/

??fix）=~p（x豐0）?

答案：包g〕（x#O）

考點一函數(shù)的定義域（基礎(chǔ)送分型考點——自主練透）

［題組練透］

1.y=、/妥一1。82（4—？）的定義域是（）

A.(-2,0)U(1,2)B.(-2,0]U(1,2)

C.(-2,0)U[1,2)D.[-2,0]U[1,2]

解析：選C要使函數(shù)有意義，則「wo

14-f>0,

解得xG(-2,0)U［1,2),

即函數(shù)的定義域是(一2,0)U［1,2).

2.已知函數(shù)￥=八/一1)的定義域為［一小，?。?則函數(shù)y=/U)的定義域為.

解析：因為^=_/蘆一1)的定義域為［一小，5］,所以xW［-小，小］,x2-ie［-l,2］,

所以y=/(x)的定義域為［-1,2］.

答案：［-1,2］

3.若函數(shù)/刈=教"+三+1的定義域為實數(shù)集R,則實數(shù)。的取值范圍為.

解析：若函數(shù)八*)=7產(chǎn)+仆+1的定義域為實數(shù)集R,

則*2+依+120恒成立，即4=/一4<0,解得一2WaW2,

即實數(shù)a的取值范圍為［-2,2］.

答案：［-2,2］

［謹記通法］

函數(shù)定義域的求解策略

(1)已知函數(shù)解析式：構(gòu)造使解析式有意義的不等式(組)求解.

(2)實際問題：由實際意義及使解析式有意義構(gòu)成的不等式(組)求解.

(3)抽象函數(shù)：

①若已知函數(shù)人X)的定義域為［a,b］,其復(fù)合函數(shù)用(x))的定義域由不等式aWg(x)W》

求出；

②若已知函數(shù)Ag(x))的定義域為［a,b］,則/(x)的定義域為g(x)在xG［a,b］時的值域.

考點二求函數(shù)的解析式(重點保分型考點——師生共研)

［典例引領(lǐng)］

(1)已知,6+!)=*2+$，求#*)的解析式；

(2)已知《+。=收丫，求八x)的解析式；

(3)已知大x)是二次函數(shù)，且｛0)=0,/1x+l)=/(x)+x+l,求1/U)；

(4)已知函數(shù)人x)滿足人一*)+切；*)=2',求人x)的解析式.

解：(1)(配湊法)由于(+3=*2+$=(工+?2—2,

所以大幻=——2,或xW—2,

故./W的解析式是,八幻=》2—2,%22或xW—2.

222

(2)(換元法)令1+1=(得x=w，代入得犬。=1耳二又x>0,所以>1,

2

故大幻的解析式是yu)=i與w，x>i.

⑶(待定系數(shù)法)設(shè)大幻=/+以+。3#0),

2

由式0)=0,知c=0,f(x)=ax+bx9

又由/(x+l)=/(x)+x+l,

得a(x+1)2+Z>(x+l)=ax2+bx-^-x+1,

即ax2+(2a+b)x+a+b=ax2+(b+l)x+1,

2a+b=b+l,i

所以彳,解得Q=8=J.

_a+b=l,2

所以於尸宗+今，XER.

(4)(解方程組法)由/(一%)+紈")=2：①

得大0+2八一%)=2一*,②

①X2—②，得，3f(x)=2x+1-2-x.

2-v+1_2~x

即/W=j?

2x+1—2~x

所以八x)的解析式是/U)=-j-----.

［由題悟法］

求函數(shù)解析式的4種方法

由巨面秦不7心心55="丁，苛落》75西

法一寫成關(guān)于g（%）的表達式，然后以“替代g（4）1

配湊法

便得/（%）的表達式：

"爭舷血7=/心〃”而百藪屏行無，各、；

法二）=&（"，從中求出力=°3,然后代入表達式:

換元法：求出/W,再將，換成2,得到/（力的解析式，；

〔要注意新元的取值范圍

優(yōu)筏由否看特兔系數(shù)而解析蕭話利用相琴式：

法三;的性質(zhì)，或?qū)⒁阎獥l件代入，建立方程（組）/

I待定系數(shù)法［

［通過解方程（組）求出相應(yīng)的待定系數(shù)

百面買于八；）'號元?戢7二祥J袤送式

法四

［解方程組法「可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個等式組成

方程組，通過解方程求出，（工）

［即時應(yīng)用］

1.已知函數(shù)人*-1）=若，則函數(shù)八X）的解析式為（）

x+1X

A.八”尸羊B.人幻=不

c.八*）=亍D.1*）=土

解析：選A令x—1=￡,則x=f+l,

即陽=羊.

2.若二次函數(shù)g(x)滿足g(l)=l,g(—1)=5,且圖象過原點，則g(x)=

解析：設(shè)g(x)=ox2+Z>x+c(aW0),

Vg(l)=l,g(—1)=5,且圖象過原點，

a+b+c=l9卜=3,

:a—b+c=5,解得2,Ag(x)=3x2—2x.

、c=0,L=0,

答案：3X2—2X

3.已知人工)滿足認x)+《)=3x,則f(x)=.

解析：?.?Mx)+《)=3x,①

把①中的x換成;，得RC)+HX)=(?②

2加)+役=3*,

聯(lián)立①②可得，

、2<2+/)=7

解此方程組可得八x)=2x-&xK0).

答案：2x—%xWO)

考點三分段函數(shù)(題點多變型考點——多角探明)

［鎖定考向］

高考對分段函數(shù)的考查多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，試題難度一般較小.

常見的命題角度有：

(1)分段函數(shù)的函數(shù)求值問題；

(2)分段函數(shù)與方程、不等式問題.

［題點全練］

角度一：分段函數(shù)的函數(shù)求值問題

1.(2018?浙江五校聯(lián)考)已知函數(shù)犬x)=*'則八-2)+八4)=(

3,x<0,

A電B1

c?9D?9

C.87

解析：選B由題意可得，八一2)+八4)=3-2+4—4=/

角度二：分段函數(shù)與方程、不等式問題

10g2(l—X)'X<19

2.(2018?浙江學前沖刺卷)已知"—則不等式式用<2的解集為

3—7,x31,

()

A.(-3,2)B.(-2,3)

C.(2,3)D.(-3,-2)

解析：選A當xVl時，Hx)V2可化為log2(l-x)V2,即0Vl-xV4,解得一3VxV

1;當時，f(x)<2可化為3*—7<2,即3X<9,得1WXV2.綜上，不等式_/U)V2的解

集為(一3,2).

[3x—1,x<l,"2、、

3.(2019?嘉興高三基礎(chǔ)測試)設(shè)函數(shù)大的=[’.丫>[貝1J4句)=，若

Af(a))=l,則實數(shù)a的值為.

解析：???周=1,.必(?加=2.對則))=愕二；墨O'當aV：時，/)

2

a

=3〃-1V1；當時，火〃)=3°—121;當時，f(a)=2^2>l9：.f(f(a))=

(2

3(3a-1)—1,aV§,

52

<23"T,太aVi,由/如))=1，得3(3。-1)-1=1,.?.a=gV],符合題意；23fl-1

、22",心1,

12s

=1,舍去；22"=1不成立，舍去.故所求實數(shù)a的值為

答案：2|

[通法在握]

1.分段函數(shù)的求值問題的解題思路

求分段函數(shù)的函數(shù)值先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求

值，當出現(xiàn)川⑷)的形式時，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.

2.分段函數(shù)與方程、不等式問題的求解思路

依據(jù)不同范圍的不同段分類討論求解，最后將討論結(jié)果并起來.

[演練沖關(guān)]

1—77+2*—2,x20,

1.已知人x)=Jx+l則八一2()19)=________.

■*+3),xV(),

解析：因為當xVO時，_Ax)=/U+3),所以八—2019)={-3><673)=/(0)=干+2°—2

=0.

答案：0

'2X,x>0,

2.(2018?浙江十校聯(lián)盟運考)已知函數(shù)｛x)=一若八a)+/U)=O,則實數(shù)a

x+1,xWO,

的值為.

解析：當a>0時，由｛a)+./U)=O得20+2=0,無解；當“W0時，由,/(a)+_/U)=O得

a+l+2=0,解得a=-3.

答案：一3

尹，x20,

3.(2018?杭州七校聯(lián)考)已知函數(shù)yu)=

2x—x2,xVO,

若12一/)>人團)，則實數(shù)a的取值范圍是.

1

彳x,x20,

解析：由題意知，y(x)=-2作出函數(shù)應(yīng)￥)

,-(x-l)2+l,x<0,

的大致圖象如圖所示，由圖象可知，函數(shù)人幻在R上單調(diào)遞增，由42

-a)>f(\a\),得2—/>⑷當a》。時，有2—/>%即(a+2)(a—1)V(),解得一2VaVl,

所以O(shè)WaVl;當aVO時，有2一/>一凡即3—2)(a+l)V0,解得一l〈aV2,所以一1

VaVO.綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是(一1,1).

答案：(一1,1)

士據(jù)局。皂畬微虢

一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快

(2019?杭州調(diào)研涵數(shù)y=log2(2x-4)+士的定義域是(

)

A.(2,3)B.(2,+8)

C.(3,+~)D.(2,3)U(3,+~)

(

2x-4>0,解得x>2且xW3,所以函數(shù)j=log(2x-4)+^^

解析:選D由題意，得一2

[x-3W0,

的定義域是(2,3)L)(3,+8).

2.已知信-l)=2x-5,且｛。)=6,則。等于()

7

A.B.\

4

44

C

---

33

1D.

解

標

選

解得

B八

+2)/

2X

xd-X>29

L2則MI))=()

IX2+2,X<2,

A.—B.2

C.4D.11

解析：選C??VU)=12+2=3,；.加1))=43)=3+±=4.

4.已知Ax)滿足t/0-l)=lgx,則7(-.

37

解析：令嚏=得x=l°，

???/(-i^)=?g10=1.

答案：1

5.(2018?第興模?擬)設(shè)函數(shù)Ax)=1：'X'：：則1/(/；))=________，方程加幻)=1

[Inx,x>0,W〃

的解集為.

解析：Vy(J)=ln1<0,

???XX9)=4舄)=eln|=1.

?.,xV()時，0Ve*Vl,x=0時，ex=l,

當。x)W0時,

由方程加x))=l,可得式x)=0,

即lnx=0,解得x=l.

當人x)>0時，由方程心*))=1,

可得1喊*)=1,./(x)=e,

即lnx=e,解得x=ee.

答案：\{1,ee}

二保高考，全練題型做到高考達標

1.已知函數(shù),/(x)=x|x|,若./Uo)=4,則Xo的值為()

A.-2B.2

C--2或2D.也

解析：選B當x^O時，/(x)=x2,/Uo)=4,

即煮=4,解得XQ=2.

當xVO時，大幻=一“2,人工0)=4,即一/=4,無解.

所以xo=2,故選B.

logsx,x>0,

2.(2019?臺州模擬)已知Ax)='工,_(0<a<l),且大-2)=5,八-1)=3,則

a+b,xWO

AA-3))=()

A.-2B.2

C.3D.一3

2

解析：選B由題意得，J1-2)=a~+h=59①

f(—l)=a~'+b=39②

聯(lián)立①②，結(jié)合OVaVl,得。=；,b=l9

logjr,x>0,

所以加=依1+1,*w。,

則｛—3)=(g)7+[=9,/8_3))=/(9)=k)g39=2.

_____%2__|_6

3.(2018?金華模擬)函數(shù)4x)=U4-|x|+lg.—J的定義域為()

A.(2,3)B.(2,4]

C.(2,3)U(3,4]D.(一1,3)U(3,6]

14—|x|N0,

解析：選C要使函數(shù)有意義，則,*2-5l+6

[x-3>0,

-4《xW4,

即，

[x>2且xW3,

；.3<xW4或2Vx<3,

即函數(shù)的定義域為(2,3)U(3,4].

4.(2018?僉華聯(lián)考)若函數(shù)1x)的定義域是[1,2019],則函數(shù)g(x)=5二？的定義域是

()

A.[0,2018]B,[0,1)U(1,2018]

C.(1,2019]D.[-1,1)U(1,2018]

解析:選B由題知，1式*+1?2019,解得0式1<2018,又X#1,所以函數(shù)8(X)=§^

的定義域是[O,1)U(1,2018].

(1—2a)x+3a,xVl,

5.(2019?義烏質(zhì)檢)已知函數(shù)|x)=

Inx,

的值域為R,則實數(shù)”的取值范圍是()

A.(—8,—1]

D(0,I)

解析：選C由題意知y=Ex(x21)的值域為［0,+~),故要使大外的值域為R,則必

有y=(l—2a)x+3a為增函數(shù)，且1—2。+3〃20,所以1—2q>0,且a，一1,解得一iWa

<1,故選c.

2

6.(2018?湖州月考)定義在R上的函數(shù)g(x)滿足：g(x)+2g(-x)=e*+,-9,則g(x)=

2-

解析：?.?g(x)+2g(—x)=e*+?—9,①

2

:.g(—X)+2g(x)=e：+”一9,

即g(—x)+2g(x)=2e*+%-9,②

由①②聯(lián)立解得g(x)=ex-3.

答案：，一3

x—2”，xV2,

7.(2018?嘉興高?三測試)已知a為實數(shù)，設(shè)函數(shù)八x)=,「八則八2"+2)

Jog2(x—2),“32,

的值為________

x—2",x<2,

解析：?.?函數(shù)yu)=而2a+2>2,

,log2(x—2),Q2,

aa

.'.J(2+2)=log2(2+2-2)=a.

答案：a

fx+1,x<0,

8.(2018?稽?田聯(lián)號)已知犬x)={4若衣-9)=/則。=

x+~-a,x>0,

若八x)的值域為R,則實數(shù)a的取值范圍是

由y=x+l,xWO,得yWl;

4

由y=x+(—a,x>0,得y24—a,

,.,#x)的值域為R,；.4—aWl,解得a》3.

答案：8[3,+8)

9.記岡為不超過x的最大整數(shù)，如[-1.2]=—2,[2.3]=2,已知函數(shù)八工)=

2[x]—1?

則心一1.2))=________，/U)43的解集為________?

x+1,x<L

解析：根據(jù)[X]的定義，得心一1.2))=人2.44)=2[2.44]—1=3.

當x'l時，由"x)=2[x]—1W3,

得岡W2,所以xG[l,3);

當xVl時，由Ax)=—+lW3,

得一也WxVl.故原不等式的解集為[一6，3).

答案：3[一也，3)

10.如圖，已知4(",—2),8(1,4)是一次函數(shù)7=丘+5的圖象和反比例函數(shù)>=點的圖

象的兩個交點，直線A8與y軸交于點C.

⑴求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;

⑵求△AOC的面積.

解：⑴因為5(1,4)在反比例函數(shù)上，所以m=4,

m4

又因為A(〃，-2)在反比例函數(shù)丁=1=(的圖象上，所以〃=—2,

—2k+b=—2,

又因為4(一2,—2),5(1,4)是一次函數(shù)y=&x+》上的點，聯(lián)立方程組｛,一'

k+b=4,

k=2,

解得

b=2.

4

所以j=2x+2.

⑵因為y=2x+2,令x=0,得y=2,所以C(0,2),所以△AOC的面積為：S=；X2X2

=2.

三上臺階，自主選做志在沖刺名校

2x+a,xVl,

1.已知實數(shù)〃#o,函數(shù)yu)=”若｛1一°)=八1+。)，則〃的值為()

一x—2〃，

33

--

A.-2B.4

c..］或一ad-5或F

解析：選B當a>0時，l-aVl,l+a>l.

3

由—q)=/(1+0)得2—2a+a=—l—a—2a9解得a=-5,不合題意；當°V0時，1

3

—?>1,1+?<1,由式1—a)=/(l+a)得一1+a—2a=2+2〃+〃，解得〃=一不所以〃的值為

3

一不故選B.

ln(-x),x<0,

2.設(shè)函數(shù)/(x)=若大刈>八一機)，則實數(shù)機的取值范圍是________.

—iInx,x>(),

fln(—x),x<0,

解析：函數(shù)當機>0時，人根)>/(一m)，即一In膽>加機，即In

-Inx,x>0,

機V0,解得OV/"V1；

當"?V0時，即ln(-/n)>—ln(-/n),

即加(一機)>0,解得/九V—1.

綜上可得，燒V—1或OVmVl.

答案：(-8,-1)U(O,1)

3.行駛中的汽車在剎車時由于慣性作用，要繼續(xù)往前滑行一段距離才能停下，這段距

離叫做剎車距離.在某種路面上，某種型號汽車的剎車距離y(米)y

與汽車的車速x(千米/時)滿足下列關(guān)系：56二二

J=200+mx+/I(，M，n是常數(shù))?如圖是根據(jù)多次實驗數(shù)據(jù)繪?|406080i

制的剎車距離義米)與汽車的車速*(千米/時)的關(guān)系圖.

(1)求出y關(guān)于x的函數(shù)表達式；

(2)如果要求剎車距離不超過25.2米，求行駛的最大速度.

r402

而40m+”=8.4,

解：(1)由題意及函數(shù)圖象，得＜602

^77+60/71+"=18.6,

UU

解得m=I。。,〃=0,

2

x2X

(2)令而+而W25.2,得一72WxW70.

，00470.

故行駛的最大速度是70千米/時.

X

第二節(jié)/函數(shù)的單調(diào)性與最值

=g。朋寓程留〒逗Io寇。溪。麻曲4畫的尊迷硼

?好過教材關(guān)

1.函數(shù)的單調(diào)性

(1)單調(diào)函數(shù)的定義

增函數(shù)減函數(shù)

一般地，設(shè)函數(shù)/U)的定義域為/：如果對于定義域/內(nèi)某個區(qū)間。上的任意兩

個自變量的值X”X2

定義

當修〈處時，都有人孫)〈;(尤2)，那么就當X]VX2時，都有大孫)＞八“2)，那么

說函數(shù)/(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)就說函數(shù)/U)在區(qū)間D上是減函數(shù)

r何G)、

y/(x2)

/(?2)

圖象描述

~(?|?1_X2~?()與x2X

自左向右看圖象是上升的自左向73看圖象是下降的

(2)單調(diào)區(qū)間的定義

如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=Ax)在這一區(qū)間具有

(嚴格的)單調(diào)性,區(qū)間。叫做函數(shù)v=*x)的單調(diào)區(qū)間.

2.函數(shù)的最值

前提設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域為I,如果存在實數(shù)M滿足

①對于任意的xe/,都有①對于任意xei,都有

條件於)三跖

②存在使得人xo)="②存在XoG/,使得人xO)=M

結(jié)論M為函數(shù)y=/(x)的最大值M為函數(shù)y=Hx)的最小值

［小題體驗］

1.給定函數(shù)①y=g,(2)j=log1(x+l),③y=|x-1|,④y=2"i.其中在區(qū)間(0,1)上單調(diào)

遞減的函數(shù)序號是()

A.①②B.(2X3)

C.③④D.@@

解析：選B①y=g在(0,1)上遞增；②,.,f=x+l在(0,1)上遞增，-0-0<|<1,.,.j=log1

(x+1)在(0,1)上遞減；③結(jié)合圖象(圖略)可知了=?一1|在(0,1)上遞減；④；“=x+l在(0,1)上

遞增，且2>1,.?.y=2"i在(0,1)上遞增.故在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減的函數(shù)序號是②③.

2.(2019?始興訓(xùn)研)函數(shù)八*)=附一1082(*+2)在區(qū)間［-1,1］上的最大值為.

解析：由于在R上單調(diào)遞減，y=logz(x+2)在［-1,1］上單調(diào)遞增，所以八x)在［一

1,1］上單調(diào)遞減，故人X)在［-1,1］上的最大值為八一1)=3.

答案：3

iogTX,X>1,

3貝UAA3))=，Ax)

{—x2—2x+3,xWl,

的單調(diào)遞減區(qū)間是.

解析：?.;A3)=log|3=-l,

二加3))=八-1)=-l+2+3=4.

當xWl時，,/(x)=—X2—2x+3=—(x+1)2+4,

對稱軸x=-l,人x)在上單調(diào)遞減，且人1)=0,

當x>l時，Ax)單調(diào)遞減，且yu)v/u)=o,

.?./(x)在［-1,+8)上單調(diào)遞減.

答案：4［-1,+~)

必過易錯關(guān)

1.易混淆兩個概念：”函數(shù)的單調(diào)區(qū)間”和“函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)”，前者指函數(shù)具

備單調(diào)性的“最大”的區(qū)間，后者是前者“最大”區(qū)間的子集.

2.若函數(shù)在兩個不同的區(qū)間上單調(diào)性相同，則這兩個區(qū)間要分開寫，不能寫成并集.例

如，函數(shù)7U)在區(qū)間(一1,0)上是減函數(shù)，在(0,1)上是減函數(shù)，但在(一1,0)U(0,1)上卻不一定

是減函數(shù)，如函數(shù)AX)=3

3.兩函數(shù)_/U),g(x)在m上都是增(減)函數(shù)，則｛x)+g(x)也為增(減)函數(shù)，但

/(x)-g(x),點等的單調(diào)性與其正負有關(guān)，切不可盲目類比.

［小題糾偏］

1.設(shè)定義在上的函數(shù)y=Wx)的圖象如圖所示，則函數(shù)y="x)的增區(qū)間為

答案：［-1,1］,［5,7］

2.函數(shù)/(x)=2言在［-6,—2］上的最大值是,最小值是.

22

解析：因為由幻=口在［-6,—2］上是減函數(shù)，所以當了=一6時，八%)取得最大值一

2

當x=-2時，/i(x)取得最小值一亍

答案：*4

小赧菖°自點奧尻囪髭明。之命鶴，正團朝。會閭命幽窟

考點一函數(shù)單調(diào)性的判斷(基礎(chǔ)送分型考點——自主練透)

［題組練透］

1.下列四個函數(shù)中，在(0,+8)上為增函數(shù)的是()

A.f(x)=3—xB./(x)=x2-3x

c.犬用=一備D.fix)=-\x\

解析：選C當x>0時，Ax)=3—x為減函數(shù)；

當x￡(0,多時，犬")="2—3x為減函數(shù)，

當+8)時，人》)=》2—3x為增函數(shù)；

當xw(o,+8)時，凡口=一*■為增函數(shù)；

當xG(O,+8)時，式x)=一|x|為減函數(shù).

2.試討論函數(shù)人》)=為3#0)在上的單調(diào)性.

解：法一：(定義法)

設(shè)一1VX|VX2<1,Hx)=a,XI：1)=a(l+,

j{xi)—f(X2)=a(1+七)M+/

_a(x2-xi)

_

(x,-l)(x2-1),

由于-1Vxi<X2V1,所以應(yīng)一Xi>。，Xj—1<0,與一KO,

故當a>()時，犬Xi)-/U2)>0,即於?！奠?),

函數(shù)_/U)在(-1,1)上遞減；

當aVO時，犬孫)一人必)<(),即人修)〈人必)，

函數(shù)/(x)在(-1,1)上遞增.

法二：(導(dǎo)數(shù)法)

,(ax)，(x-1)-ax(x~~1)，a(x-~1)—axa

/(x)=(x-1)2=(x-1)2=~(x-l)2,

當a>0時，f(x)<0,函數(shù)式x)在(一1,1)上遞減；

當aVO時,f(x)>0,函數(shù)4x)在(一1,1)上遞增.

3.判斷函數(shù)^=由在(-1,+8)上的單調(diào)性.

解：法一：任取X1,孫￡(—1,+°°),且X]VX2,

%i+2孫+2

則71-)2=

X]+lx2+l

(xi+i)(x2+iy

Vxi>-1,必>-1,Axi+l>0,必+1>0,

—

又X1<X2,/.X2X1>O,

???瑞言筋>0,即力f>0.

x+2

函數(shù)》=干在(-1,+8)上單調(diào)遞減.

X+21

法*一一：y~x+i~,l1+x+r

Ty=x+1在(-1,+8)上是增函數(shù),

?WK一在(11,+8)上是減函數(shù),

.力=1+"^在(-1,+8)上是減函數(shù).

x+2

即函數(shù)y=不在(-1,十8)上單調(diào)遞減.

［謹記通法］

判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性的2種重要方法及其步驟

(1)定義法，其基本步驟:

(2)導(dǎo)數(shù)法，其基本步驟：

求導(dǎo)函數(shù)10確定符號

考點二求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(重點保分型考點——師生共研)

[典例引領(lǐng)]

求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：

(l)j=—X2+2|X|+1；

(2)j=log1(x2—3x+2).

X2+2X+1,X20,

解：⑴由于,4_1人

[—X2—2x+l,x<(),

—(x—1)2+2,XNO,

即v=1,

[-(X+1)2+2,X<0.

畫出函數(shù)圖象如圖所示，單調(diào)遞增區(qū)間為(一8,—1］和［0,1］,單調(diào)遞減區(qū)間為［一L0］

和［1,+0°).

⑵令〃=f—3x+2,則原函數(shù)可以看作y=log|〃與3x+2的復(fù)合函數(shù).

令U=X2—3X+2>0,則x<l或x>2.

函數(shù)7=10白(*2—3x+2)的定義域為(-8,1)0(2,+°°).

3

又〃=/—3x+2的對稱軸x=5，且開口向上.

3x+2在(-8,1)上是單調(diào)減函數(shù)，在(2,+8)上是單調(diào)增函數(shù).

而y=log1〃在(0,+8)上是單調(diào)減函數(shù)，

???y=k)友(爐一3x+2)的單調(diào)遞減區(qū)間為(2,+8),單調(diào)遞增區(qū)間為(一8,1).

［由題悟法］

確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的3種方法

意&-f先求函數(shù)定義域，再利用單調(diào)性定義來求解］

蠡去一圖象上升區(qū)間為增區(qū)間；圖象下降區(qū)間為減區(qū)間;

工

蠡檢T利用導(dǎo)數(shù)取值的正負確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

［提醒］單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示；如有多個單調(diào)區(qū)間應(yīng)分

別寫，不能用并集符號“u”聯(lián)結(jié)，也不能用“或”聯(lián)結(jié).

［即時應(yīng)用］

i.函數(shù)式*)=0的單調(diào)遞增區(qū)間為()

A.(一8,1］B(0,I