2021年高考數(shù)學(xué)一模試卷含答案解析28

2021年高考數(shù)學(xué)一模試卷(28)

一、單項(xiàng)選擇題(本大題共12小題，共60.()分)

1.已知復(fù)數(shù)2=言^,則Z=()

A.4+3iB.4—3iC.-iD.i

2.已知集合4={x|0<x<2},B={x|x<1或x>3},則AnB=()

A.(0,1)B.(0,2)U(3,+8)C.0D.(0,+8)

3.函數(shù)丫=3$也(2》+9的圖象的一條對稱軸是()

A.x=0B.x=vC.x=D.x=7

3o3

4.己知直線(a-2)x+ay-1=0與直線2x+3y+5=0平行，則〃的值為()

44.

A.—6B.6C.-D.-

5.從編號0,1,2,79的80件產(chǎn)品中，采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取容量是10的樣本，若編號為

58的產(chǎn)品在樣本中，則該樣本中產(chǎn)品的最大編號為()

A.72B.74C.76D.78

6.設(shè)。=，。咤3,b=(1)0,3,c=Inn,則()

A.c<a<bB.a<c<bC.a<b<cD.b<a<c

7.已知角a-g的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與無軸正半軸重合，終邊過點(diǎn)P(-5,12),則cos(a+工)=()

o

A._"B—2c瑟D*

26262626

8.在△ABC中，已知三邊a,b,c滿足M-J-/)2—c2=y/2abr則C=()

A.15°B.30°C.45°D.60°

9.某多面體的三視圖如圖所示網(wǎng)格小正方形的邊長為1,則該多面體最長棱的長為()

111i1111E1

Il\IZl111、

J1——1卜\Ar-14Zd<——-41——T1-4—1一T1

j一一--i■：一一'一_i_j____1

l1I1I1?I111l

A.V5B.272C.3D.2V3

10.如圖，正方形ABC。的邊長為2,E為BC的中點(diǎn)，DF=2FC.且4EB

與B/相交于點(diǎn)G,則而?喬的值為()

4

-

A.7

B

C-|

D「|

11.已知正三棱柱ABC—AiBiCi中，AB=AA1=2,則異面直線力當(dāng)與C4所成角的余弦值為()

A.0B.—\C.D.：

442

12.設(shè)P是雙曲線捻一《=19>0方>0)上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，％、尸2分別是雙曲線的左、右

焦點(diǎn)，APFiF2的內(nèi)切圓與邊尸述2相切于點(diǎn)M,則銅.麗=()

A.a2B.b2C.a2+b2D.\b2

二、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.曲線y=/(%)=(尤+1)1在點(diǎn)(0,1)處的切線方程為.

4Q

14.已知正數(shù)x,y滿足x+y=l,則肅+后的最小值是.

15.若a,0e(o'),cos(a-§)=冬sin(7-=則cos(a+￡)=.

16.己知奇函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，當(dāng)無e［0,1］時(shí)，/(x)=log2(x+1),則函數(shù)

y=6/(x)-x在［-3,9］上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是.

三、解答題(本大題共7小題，共82.0分)

17.在公差不為0的等差數(shù)列｛a“｝中，。22=&3+。6,且為由與由1的等比中項(xiàng).

(I)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(n)設(shè)%=(一1尸(a"…求數(shù)列｛九｝的前n項(xiàng)和七?

18.在四棱錐P—ABC。中，底面ABC。為菱形，EL^DAB=60°,平面P4B_L平面ABC。，點(diǎn)E為

8c中點(diǎn)，F(xiàn)為”上一點(diǎn)，且滿足PF^M,AP=PB*AB…

(1)求證：PC〃平面DEF；

(2)求點(diǎn)E到平面ADP的距離.

19.已知拋物線C：x2=2y,過點(diǎn)(-2,4)且斜率為左的直線/與拋物線C交于M,N兩點(diǎn).

(1)若k=2,求|MN|的值；

(2)記直線kx-y=0與直線％：x+y-4=0的交點(diǎn)為A,求的值.

20.某公司近年來科研費(fèi)用支出x萬元與公司所獲得利潤y萬元之間有如下的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù):

X2345

Y18273235

(I)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程夕=bx+a；

(□)試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程，預(yù)測該公司科研費(fèi)用支出為10萬元時(shí)公司所獲得的利潤.

參考公式：若變量x和y用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程為：y=bx+a,其中:

S=需/受-妥,a=y-bx,參考數(shù)值：2x18+3x27+4x32+5x35=420.

21.設(shè)函數(shù)/'(%)=爐=一砌.

(I)討論函數(shù)/Xx)的單調(diào)性；

(11)當(dāng)0<(1<3時(shí),記/(x)在區(qū)間［0,2］的最小值為相，求f(2)-m的取值范圍.

22.在直角坐標(biāo)系x。)，中，曲線C的參數(shù)方程為為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，》軸

的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

(I)求曲線C的極坐標(biāo)方程；

(II)設(shè)A,B為曲線C上兩點(diǎn)(均不與。重合)，且滿足乙40B=$求|0川+|0B|的最大值.

23.已知/(x)=|x+a|+卜-

(1)當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f(%)>6的解集M；

(2)若aeM,求證：/(%)>y.

【答案與解析】

1.答案：C

Anjj-An2—i(2—i)(l—2i)—51.

解析：解：Z=痂=(i+23廣甘=-1，

故選：c.

直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡得答案.

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.

2.答案：A

解析：解：：4={x|0<x<2},B={x|x<1或久>3}；

：.AC\B=(0,1).

故選:A.

進(jìn)行交集的運(yùn)算即可.

考查描述法、區(qū)間表示集合的定義，以及交集的運(yùn)算.

3.答案：B

解析：

本題主要考查函數(shù)y=Asin(a)x+g)的圖象的對稱性，屬于基礎(chǔ)題.

令2x+m=k〃+m，k€Z,結(jié)合選項(xiàng)解出答案.

解：令2x+￡=k7T+m則x=+gfcez,

oN26

當(dāng)k=1時(shí)，n=二；，

<5

則/(x)圖象的一條對稱軸為上亍.

故選8.

4.答案：B

解析：解：???直線（。-2）%+。丫-1=0與直線加+3丫+5=0平行,

a—2a—1

:.----=一工---

235

解得a=6.

故選：B.

根據(jù)兩直線平行的等價(jià)條件即可求出a的值.

本題主要考查了直線平行的等價(jià)條件與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目.

5.答案：B

解析：

本題考查樣本中產(chǎn)品的最大編號的求法，考查系統(tǒng)抽樣，屬于基礎(chǔ)題.

求出抽樣間隔/=算=8,由編號為58的產(chǎn)品在樣本中，能求出該樣本中產(chǎn)品的最大編號.

解：從編號0,1,2，…，79的80件產(chǎn)品中，采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取容量是10的樣本，

抽樣間隔f=黑=8,

???編號為58的產(chǎn)品在樣本中，

58+8=7......2,

2是最小的樣本，

該樣本中產(chǎn)品的最大編號為8X9+2=74.

故選：B.

6.答案：C

解析：解：Q=，。%3<0,0<h=<1,c=Inn>1,

--a<b<c.

故選：C.

利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出.

本題考查了對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.

7.答案：B

解析:

本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，兩角和的余弦公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

利用任意角的三角函數(shù)的定義求得角a-看的正弦和余弦，利用兩角和的余弦公式求得cos(a+段)=

cos(a~~+牛)的值.

解：???角a-今的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與無軸正半軸重合，終邊過點(diǎn)P(-5,12),

/7T、—55./7T、1212

：■cos(a—)===-----,sin(a—)=-=======—,

16,J({一5)2o+12213，’674-5)2+12213，

[rii|/.7?r、/7T,3TT、/7Tx37r./71、.37r5/12y/2

則cos(a+—)=cos(a—-+=cos(a--)cos——sin(a--)sin—=——x(—y)——Xy=

7V2

----------,

26

故選：B.

8.答案：C

解析：解：在△4BC中，??,Z)2+Q2一=/時(shí)，

???由余弦定理可得：COSC=二+八c2=%=烏

2ab2ab2

??CG(0°,180°),

C=45°.

故選：C.

由已知結(jié)合余弦定理可求cosC的值，結(jié)合C的范圍及特殊角的三角函數(shù)值即可得解.

本題主要考查了余弦定理，特殊角的三角函數(shù)值在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

9.答案：C

解析：

本題考查了幾何體的三視圖，屬于簡單題.

根據(jù)三視圖確定多面體的形狀，進(jìn)而根據(jù)圖象數(shù)據(jù)得到最長棱的長度.

解：根據(jù)三視圖，可得到該幾何體如圖所示：

可知棱48最長，可求得其長度為V22+1+22=3-

故選C.

10.答案：A

解析：解：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，如圖：

正方形A8CQ的邊長為2,E為BC的中點(diǎn)，E(2,l),

DF=2~FC，F(xiàn)(j0),

且AE與BF相交于點(diǎn)G,AE的方程為：y-2=-：x即

x+2y—4=0,

8尸的方程為：y-2=3(x-2),即3x-y-4=0,

｛第9"：；,可得G光),

而=耳,一§，

喬=(-|,_2),

則怒.酢=一勺+王=上

777

故選：A.

建立坐標(biāo)系，求出相關(guān)的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則求解即可.

本題考查向量的數(shù)量積的應(yīng)用，解析法的應(yīng)用，是基本知識的考查.

11.答案：C

解析：

本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)，屬于中

檔題.

以4為原點(diǎn)，在平面ABC內(nèi)過月作AC的垂線為無軸，以AC為y軸，以441為z軸，建立空間直角

坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線AB】和&C所成的角的余弦值大小.

解：以A為原點(diǎn)，在平面A8C內(nèi)過4作AC的垂線為x軸，

以4C為y軸，以A4為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)正三棱柱4BC-4&G的各條棱長為2,

則4(0,0,0),B[(⑸,2),4(0,0,2),C(0,2,0),

ABy=(V3,l?2),A1C=(0,2,—2),

設(shè)異面直線力當(dāng)和aC所成的角為。，

則c°s8=l篇港1=高=%

12.答案：B

解析：解：不妨設(shè)P是雙曲線箕一\=1缶>0/>0)右支上一點(diǎn)，則仍尸1|一仍尸2|=261,

P&F2的內(nèi)切圓與邊F1B相切于點(diǎn)M，

|FM-|F2Ml=2a,

???|FM+\F2M\=2c,

A\FXM\=Q+c,|F2Ml=c—a,

222

:.領(lǐng)?麗=\F1M\\F2M\=c-a=b,

故選：B.

利用雙曲線的定義，結(jié)合APaFz的內(nèi)切圓與邊居尸2相切于點(diǎn)M,可得2M|=2a,利用

\FrM\+\F2M\=2c,求出陽陽=c+a,|F2Ml=c-a,即可求出鈉?麗.

本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查向量知識的運(yùn)用，考查雙曲線的定義，正確運(yùn)用圓的性質(zhì)是關(guān)

鍵.

13.答案：y=2x+1

解析：

本題考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線問題，屬基礎(chǔ)題.

求出f(o),30),利用點(diǎn)斜式可得切線方程.

解:因?yàn)?'(x)=(X+l)ez-

得/“(%)=。+2)靖,〃0)=1,

所以廣(0)=2,

所以切線方程為y—l=2x,即y=2x+l.

14.答案：y

解析:

本題考查了基本不等式及其應(yīng)用，關(guān)健掌握“1”的代換，屬基礎(chǔ)題.

由條件可得缶+云=家當(dāng)+熱)(X+1+y+1)，化簡后利用基本不等式可得最大值.

解：??,正數(shù)x,y滿足％+y=l,

49149

-----7-------7=77(-----T--------7)(%+]+y+1)

x+1y+13、+1y+1八,J

1?9(%+1)

3y+i-

14(y+1)9(%+1)

>-134-2

%4-1y+l

25

3

當(dāng)且僅當(dāng)誓2=半詈，即X=：,丫=3時(shí)取等號,

???W+W的最小值為學(xué)

故答案為：

15.答案：-［?

解析：

先根據(jù)a,￡的范圍確定a-§(一￡的范圍，再由所給的三角函數(shù)值確定a+0的大小，進(jìn)而得出答案.

解：由a/e(oq)得，a-§e(-*)(-/76m,

又cos(a心)=爭sing-^)=-i,

所以a~2=±2?—S=-7/

Z04D

解得a=B=p---cos(a+0)=-/

故填—：?

16.答案：5

解析：

本題考查了函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的周期性和函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，函數(shù)y=6/(x)-xi￡［-3,9］

上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為y=/(x)與y=*的函數(shù)圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，由圖象可知結(jié)論.

解：由奇函數(shù)/。)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，可知/Q)為周期函數(shù)，周期為4,

作出函數(shù)/(工)=k>g2(工+1)，xe［0,1］的圖象，

再根據(jù)周期為4,作出X￡［—3,9］上的圖象，

函數(shù)y=6f(x)-X在［―3,9］上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為、=f(x)與y=*的函數(shù)圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，

由圖象可知在xe［—3,9］一共5個(gè)交點(diǎn)，

所以函數(shù)y=6/(x)-X在［-3,9］上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是5,

故答案為5.

17.答案：解：(I)在公差d不為0的等差數(shù)列｛即｝中，。22=g+&6,

且由為的與即1的等比中項(xiàng)，

可得(%+d)2=2al+7d,且即(%+2d)2=@1(%+10d),

解得4=2,d=3,

則口九=2+3(n-1)=3n—1,nEN*；

TTnn

()hn=(-l)S-n-----5r)~(~a-n-+--L-5-)r-=(~l)(-3-n---j)3(-3n+-)3~

=i-r-i)n------——=i-r-i)n?(^―+

9''(2n-l)(2n+l)9'J、2n-l2n+l7

111111111

n+)]

Tn=+b2+63+-+/>?=g[-(T+3)+(3+5)-(5+7)+-+(-l)-(2^T2^1

=汩1+(-1廣?魯班

解析：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，注意運(yùn)用方程思想，考查數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消

求和，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題.

(I)運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列中項(xiàng)的性質(zhì)，解方程可得首項(xiàng)和公差，即可得到所求通項(xiàng)

公式；

n

(n)化簡4=(—D3；3E=3,(T)”,4匕+就)，再由數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，

即可得到所求和.

18.答案：證明：(1)如圖，連結(jié)AC,交。E于點(diǎn)C,連結(jié)GF,"f.'

???底面A8CD為菱形，且E為8C中點(diǎn)，

GCCE1

"GA~DA~2’

???F為AP上一點(diǎn)，且滿足PF=1FA,

GF//PC,

又GFu平面DEF,PC，平面DEF,

PC〃平面DEF.

解：(2)取A8的中點(diǎn)為O,連結(jié)。。，PO,

,：AP-PB,:.POLAB,

???平面PABJ■平面ABCD,平面P4Bn平面4BCD=AB,POu平面PAB,

PO_L平面ABD,

???AP=PB=曰AB=&,且底面A.BCD為菱形，/.DAB=60°,

??.AD=AB=2,且D。1AB,S^ADE=1x2xV3=V3,

???三棱錐E-ADP的體積為：

K=|xSAADExP0=[xV5xl=f,

△4DP中，AD=PD=2,AP=V2，

"SAADP=|XV2XJ/：=y1

設(shè)點(diǎn)E到平面ADP的距離為h,

???三棱錐E-ADP的體積：

V=-xShADPx/i=-h=叵,

3△RDF63

.同62VH

h=—x—p=---,

3x/77

???點(diǎn)E到平面ADP的距離為旭.

7

解析：(1)連結(jié)AC,交。E于點(diǎn)C,連結(jié)GF,推導(dǎo)出GF〃PC,由此能證明PC〃平面。EF.

(2)取A8的中點(diǎn)為0,連結(jié)。。，PO,則P0J.AB,從而P。_L平面AB￡>,三棱錐E-A0P的體積

|xS^ADExP0=1x73x1=^,設(shè)點(diǎn)E到平面AOP的距離為小則三棱錐E-40P的體積:

K=ixShADPxh=—h=—，由此能求出點(diǎn)E到平面AOP的距離.

363

本題考查線面平行的證明，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)

系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.

19.答案：解：⑴依題意，直線/：y=2x+8,聯(lián)立拋物線C：x2=2y,

可得/—4x-16=0,

設(shè)W(x2,y2)>則％1+乃=4,xrx2=-16,

2

故|MN|=Vl+Zc!%!-x2|

22

=yjl+k-yj(xx+X2)—4%!%2

=V1T4XV16+4X16=20:

(2)聯(lián)立;：=o,解得x=y=2,故A(2,2),

設(shè)直線/的方程為：y-4=fc(x+2),聯(lián)立拋物線C%2=2y,

可得/—2kx—4/c—8=0,

設(shè)MOq,%),N(%2，y2)，可得％i+%2=2k,%62=—4k—8,

%-2_取不+2)+2

則匕4M=

巧一2X1-2

及-2_〃(-2+2)+2

^AN

物一2%2-2

[fc(x1+2)+2][fc(x2+2)+2]

(Xi-2)(%2-2)

2

k[xrx2+2(尤1+%2)+4]+2kQi+x2+4)+4

XiX2-2(%1+%2)+4

_ky-4k-8+4k+4)+2k(2k+4)+4

-1.

-4/C-8-4/C+4

解析：本題考查直線和拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理和弦長公式、直線的斜率公式，考查方程

思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

(1)求得直線/的方程，聯(lián)立拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，計(jì)算可得所求值：

(2)求得交點(diǎn)4(2,2),設(shè)直線/的方程為：y—4=k(x+2),聯(lián)立拋物線C：/=2y,運(yùn)用韋達(dá)定理

和斜率公式，化筒整理即可得到所求值.

■c次，/T、—2+34-4+5—18+27+32+35

20.答案：解：(I)X=―--o-r3.5,y--------=28,

￡3々%=2x18+3x27+4x32+5x35=420,

%2=22+32+42+52=54,

R_E憶]修丫「九而_420-4x3.5x28,

叵)254-4x3.52''

a=y-bx=28—5.6x3.5=8.4

所求線性回歸方程為：y=5.6%+8.4.

(H)當(dāng)x=10時(shí),y=5.6X10+8.4=64.4(萬元),

故預(yù)測該公司科研費(fèi)用支出為10萬元時(shí)公司所獲得的利潤為64.4萬元.

解析：(I)根據(jù)表中所給的數(shù)據(jù)，求出利用最小二乘法所用的四個(gè)量，利用最小二乘法求出線性回

歸方程的系數(shù)，寫出線性回歸方程.

(H)把所給的x的值，代入上一問求出的線性回歸方程中，求出對應(yīng)的y的值，這是一個(gè)估計(jì)值，預(yù)

報(bào)值.

本題考查線性回歸方程的求法和應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是細(xì)心地求出線性回歸方程要用的系數(shù).

21.答案：解：(1)由己知有f(x)=/(x—a)=/一火2,

所以:(%)=3x2—2ax.

令/(%)=0,得％=0或%=y-

若a=O時(shí)，有尸(x)NO,于是函數(shù)/(%)在寵上單調(diào)遞增；

若a>0,則當(dāng)xe(—8,0)1)(號,+8)時(shí),有〈>)>o；

當(dāng)xe(0,爭時(shí)，有尸(x)<o,

于是函數(shù)f(x)在(-8,0),(爭+8)上單調(diào)遞增，函數(shù)/(X)在(0,等上單調(diào)遞減.

若a<0,則當(dāng)(-85)u(0,+8)時(shí)，有廣。)>0；

當(dāng)xe(拳0)時(shí)，有尸(x)<o,

于是函數(shù)f(x)在(一8,算(0,+8)上單調(diào)遞增，函數(shù)/(X)在(拳0)上單調(diào)遞減.

(H)當(dāng)0<a<3時(shí)，

由(I)知