線性代數(shù)B期末試題

線性代數(shù)B期末試題一、判斷題(正確填T，錯誤填F。每小題2分，共10分)1．A是n階方陣，，則有。（）。2．A，B是同階方陣，且，則（）()3．如果與等價，則的行向量組與的行向量組等價。4．若均為階方陣，則當(dāng)時，一定不相似。()5．n維向量組線性相關(guān)，則也線性相關(guān)。（）二、單項選擇題（每小題3分，共15分）1．下列矩陣中，（）不是初等矩陣。（A）(B)(C)(D)2．設(shè)向量組（A）線性無關(guān)，則下列向量組中線性無關(guān)的是（）。（B）（D）（C）3．設(shè)A為n階方陣，且。則（）(A)(B)(C)(D)4．設(shè)為（A）若（B）若矩陣，則有（）。，則有無窮多解；，則有非零解，且基礎(chǔ)解系含有個線性無關(guān)解向量；（C）若有階子式不為零，則（D）若有階子式不為零，則有唯一解；僅有零解。5．若n階矩陣A，B有共同的特征值，且各有n個線性無關(guān)的特征向量，則（）（A）A與B相似（B），但|A-B|=0（C）A=B（D）A與B不一定相似，但|A|=|B|三、填空題（每小題4分，共20分）1．。2．為3階矩陣，且滿足3,則=______，。3．向量組，。，，是線性（填相關(guān)或無關(guān)）的，它的一個極大線性無關(guān)組是4．已知是四元方程組的三個解，其中的秩=3，，，則方程組的通解為。5．設(shè)，且秩(A)=2，則a=。四、計算下列各題（每小題9分，共45分）。1．已知A+B=AB，且2.設(shè)，求矩陣B。，而，求。3.已知方程組有無窮多解，求a以及方程組的通解。4.求一個正交變換將二次型化成標(biāo)準(zhǔn)型5．A，B為4階方陣，AB+2B=0，矩陣B的秩為2且|E+A|=|2E-A|=0。（1）求矩陣A的特征值；（2）A是否可相似對角化？為什么？；（3）求|A+3E|。線性代數(shù)試題一．單項選擇題（每小題4分,共16分）1.若(A)都是三階可逆矩陣，則下列結(jié)論不一定正確的是()..(B).(C).(D).2.若為三階方陣，將矩陣第一列與第三列交換得矩陣，再把矩陣的第二列加到第三列得矩陣，則滿足的可逆矩陣為().(A).(B)都是階方陣，且.(C).(D).3.若，，則必有().(A).(B).(C).(D)4.已知向量組的秩為3，向量組的秩為3，向量組的秩為4，則向量組的秩為（）.(A)3.(B)4.(C)5.(D)不能確定二、填空題（每小題4分，共計16分）5.設(shè)均為三階矩陣，，則=.6.設(shè)是4階矩陣，伴隨矩陣的特征值是，則矩陣的全部特征值是.7.若向量組8.若矩陣，，的秩為2，則.為正定的，則滿足的條件為.三、解答下列各題（每小題10分,共30分）9.（10分）設(shè)，矩陣滿足，求矩陣.10.（10分）已知維向量組無關(guān).線性無關(guān)，則為何值時，向量組亦線性11.（10分）已知矩陣有一個特征值，是屬于特征值的特征向量.求(1)常數(shù)的值；(2)判定是否可相似對角化，說明理由.四、解答下列各題（每小題15分,共30分）12.（15分）設(shè)非齊次線性方程組,問：取何值時，此方程組有唯一解、無解、有無窮多解？并在有無窮多解時求其通解．13.（15分）設(shè)二次型，其中二次型矩陣的特征值之和為1，特征值之積為為標(biāo)準(zhǔn)形.，(1)求的值；(2)求正交變換，化二次型線性代數(shù)試題一．單項選擇題(每小題3分,共15分)1．是非齊次線性方程組有無窮多解的().(A)充分條件.(B)必要條件.(C)既非充分條件又非必要條件.(D)不能確定.2.若向量組，，的秩為2，則().(A)1.(B)-2.(C)2.(D)-1.3.若都是階方陣，且，，則必有().(A).(B).(C).(D).4.下列矩陣中，不能相似于對角矩陣的是().(A).(B).(C).(D).5.已知是階可逆矩陣，則與必有相同特征值的矩陣是().(A).(B).(C).(D).二、填空題（每小題4分，共計20分）6.已知為3階可逆矩陣，是的伴隨矩陣，若，則=.7.設(shè)=8.已知，則的基礎(chǔ)解系中所含向量的個數(shù)是.與相似，則=.9.矩陣的逆矩陣為.10.若矩陣為正定的，則滿足的條件為.三、解答下列各題（每小題10分，共計30分）11.已知，其中，，求矩陣.12.設(shè)矩陣，的秩為3，求.13.設(shè)為三階矩陣，有三個不同特征值，依次是屬于特征值的特征向量，令。若，求的特征值并計算行列式.四、解答下列各題（每小題15分，共計30分）14.設(shè)非齊次線性方程組,問為何值時,系數(shù)矩陣的秩為2？并求此時方程組的通解．15.已知二次型通過正交變換化成標(biāo)準(zhǔn)形，(1)求參數(shù)的值；(2)求正交矩陣.線性代數(shù)解答一．單項選擇題(每小題3分,共15分)1．是非齊次線性方程組有無窮多解的(B).(A)充分條件.(B)必要條件.(D)不能確定.(C)既非充分條件又非必要條件.16.若向量組則為(B).，，的秩為2，(A)1.(B)-2.(C)2.(D)-1.17.若都是階方陣，且，，則必有(B).(A).(B).(C).(D).18.下列矩陣中，不能相似于對角矩陣的是(A).(A).(B).(C).(D).19.已知是階可逆矩陣，則與必有相同特征值的矩陣是(C).(A).(B).(C).(D).二、填空題（每小題4分，共計20分）20.已知為3階可逆矩陣，是的伴隨矩陣，若，則=-4.21.設(shè)=22.已知，則的基礎(chǔ)解系中所含向量的個數(shù)是2.與相似，則=4.23.矩陣的逆矩陣為.24.若矩陣為正定的，則滿足的條件為.三、解答下列各題（每小題10分，共計30分）25.已知，其中，，求矩陣.解：而，26.設(shè)矩陣，的秩為3，求.解：當(dāng)時，～，；當(dāng)時，～，從而27.設(shè)為三階矩陣，有三個不同特征值，依次是屬于特征值的特征向量，令。若，求的特征值并計算行列式.解：若由于，則，線性無關(guān)，所以有由于三個特征值各不相同，所以三個特征值為：0，-1，1.從而矩陣的三個特征值為：-3，-5，-1，因此=-15.四、解答下列各題（每小題15分，共計30分）28.設(shè)非齊次線性方程組,問為何值時,系數(shù)矩陣的秩為2？并求此時方程組的通解．解：對增廣矩陣進行初等行變換～，當(dāng)即時，系數(shù)矩陣的秩為2。此時，方程組有無窮多解，～得通解為29.已知二次型通過正交變換化成標(biāo)準(zhǔn)形，(1)求參數(shù)的值；(2)求正交矩陣.解:（1）（2）相似于對角矩陣，所以有解之得：，的特征值為當(dāng)時，解方程組得基礎(chǔ)解系，正交話并單位化得；當(dāng)時，解方程組得基礎(chǔ)解系，單位化得。令，則在正交變換下，二次型有標(biāo)準(zhǔn)形：.線性代數(shù)試題（07）一、選擇題（每小題3分，共計15分）1．設(shè)(A)．均為階方陣，(B)．；(C)．，則．；；(D)．2．設(shè)，，，，則必有．(A)．；(B)．；(C)．滿足：（1）；(D)．．3．設(shè)向量組；（2）。則向量組的秩為．(A)．3；(B)．4；(C)．5；(D)．前三個都不對．4．設(shè)是矩陣且，則下列說法錯誤的是．(A)．齊次線性方程組(B)．非齊次線性方程組(C)．非齊次線性方程組(D)．非齊次線性方程組有無窮多解；的增廣矩陣的行所成的向量組線性無關(guān)；一定有無窮多解；可能無解．5．設(shè)是階實對稱矩陣，則下列說法正確的是．(A)．一定有個線性無關(guān)的特征向量；(B)．的特征值一定為正；(C)．的任意兩個不同的特征向量一定是正交的；(D)．一定有個不同的特征值．二、填空題（每小題4分，共計20分）1．已知，則.2．若向量組線性相關(guān)，則，則__________．_．3．設(shè)是階方陣，若有非零矩陣使4．設(shè)是階矩陣且，是的一個特征值，則必有一個特征值是_________．5．若階矩陣的特征值為三、計算題（共計39分），矩陣與相似，則．1．（13分）設(shè)滿足，其中，．求．2．（13分）設(shè)非齊次線性方程組問：、取何值時，此方程組有唯一解、無解、有無窮多解？并在有無窮多解時求其通解．3．（13分）設(shè)二次型通過正交變換化成標(biāo)準(zhǔn)形，求的值并求出該正交變換．四、（共計26分）1．（6分）設(shè)為階矩陣，且滿足2．（6分）設(shè)是階可逆矩陣，．問：矩陣是否可逆？證明你的結(jié)論．，是的伴隨矩陣。求：．；．3．（6分）設(shè)三階方陣的特征值為，對應(yīng)的特征向量分別為，，。又設(shè)向量，求．4．（4分）設(shè)階矩陣的每行元素之和為，求矩陣的一個特征值和特征向量．5．（4分）設(shè)是階正定矩陣，是階反對稱矩陣，即是正定矩陣？證明你的結(jié)論．，問：是否線性代數(shù)解答（07）一、選擇題（每小題3分，共計15分）1．設(shè)(A)．均為階方陣，(B)．；(C)．，則(C)．；；(D)．2．設(shè)，，，，則必有(C)．(A)．；(B)．；(C)．滿足：（1）；(D)．．3．設(shè)向量組；（2）。則向量組的秩為(B)．(D)．前三個都不對．(A)．3；(B)．4；(C)．5；4．設(shè)是矩陣且，則下列說法錯誤的是(D)．(A)．齊次線性方程組(B)．非齊次線性方程組(C)．非齊次線性方程組(D)．非齊次線性方程組有無窮多解；的增廣矩陣的行所成的向量組線性無關(guān)；一定有無窮多解；可能無解．5．設(shè)是階實對稱矩陣，則下列說法正確的是(A)．(A)．一定有個線性無關(guān)的特征向量；(B)．的特征值一定為正；(C)．的任意兩個不同的特征向量一定是正交的；(D)．一定有個不同的特征值．二、填空題（每小題4分，共計20分）2．已知，則0.2．若向量組線性相關(guān)，則__2___．3．設(shè)是階方陣，若有非零矩陣使，則0_．4．設(shè)是階矩陣且，是的一個特征值，則必有一個特征值是_1____．5．若階矩陣的特征值為三、計算題（共計39分），矩陣與相似，則n!．1．（13分）設(shè)解由滿足得，其中，．求．2．（13分）設(shè)非齊次線性方程組問：、取何值時，此方程組有唯一解、無解、有無窮多解？并在有無窮多解時求其通解．解：將方程組的增廣矩陣用初等行變換化為階梯矩陣：所以，（1）當(dāng)時，，此時方程組有唯一解．，此時方程組無解．（2）當(dāng)，，時，，（3）當(dāng)時，，此時方程組有無窮多解．，時，增廣矩陣的行最簡形矩陣為通解為：3．（13分）設(shè)二次型通過正交變換化成標(biāo)準(zhǔn)形，求的值并求出該正交變換．解二次型的矩陣及標(biāo)準(zhǔn)形的矩陣分別為，．因為，所以有，即由此得．而且矩陣的三個特征值分別為．特征值特征值對應(yīng)的單位特征向量為對應(yīng)的單位特征向量為特征值對應(yīng)的單位特征向量為令：得該正交變換為四、（共計26分）1．（6分）設(shè)為階矩陣，且滿足，．問：矩陣是否可逆？證明你的結(jié)論．解所以，不可逆。2．（6分）設(shè)是階可逆矩陣，是的伴隨矩陣。求：．；．解（1）（2）3．（6分）設(shè)三階方陣的特征值為，對應(yīng)的特征向量分別為，，。又設(shè)向量，求．解法一：∵β=p2且Ap2=2p2，A2p2=22p2，…，Anp2=2np2∴Anβ=2nβ=。解法二：，，。，。，4．（4分）設(shè)階矩陣的每行元素之和為，求矩陣的一個特征值和特征向量．解，則，所以是的一個特征值，對應(yīng)的特征向量為。5．（4分）設(shè)是階正定矩陣，是階反對稱矩陣，即，問：是否是正定矩陣？證明你的結(jié)論．解。設(shè)，則是正定矩陣，所以時，。故時。是正定矩陣。線性代數(shù)試題b(07)一、判斷題（正確的填T，錯誤的填F。每題3分，共18分）1．與為階方陣，。（）2．向量組3．方陣線性無關(guān)，則也線性無關(guān)。（）一定不可逆。（）4．若,是同階可逆矩陣，則與有相同的特征值。（）5．方陣為正定矩陣的充分必要條件是。（）6．與為階方陣，若，則。()二、選擇題（每題4分，共12分）1．兩個階初等矩陣的乘積一定為（）。（A）初等矩陣；（B）單位矩陣；（C）可逆陣；（D）不可逆陣。2．與相似的對角矩陣共有（）。（A）0個；(B)1個；（C）3個；（D）6個。3．已知線性方程組的系數(shù)矩陣是矩陣，且的行向量組線性無關(guān)，則下列結(jié)論正確的是（）。（A）的列向量組線性無關(guān)；（B）線性方程組的增廣矩陣的任意四個列向量線性無關(guān)；（C）線性方程組的增廣矩陣的行向量組線性無關(guān)；（D）線性方程組的增廣矩陣的列向量組線性無關(guān)。三、填空題（每題4分，共12分）1．若向量組線性相關(guān)，則__________．2．滿足什么條件時，方程組有非零解。3．若方陣的每行的元素的和均為，則的一個特征值為四、計算下列各題（每題8分，共32分），一個特征向量為。1．已知，其中，求。2．已知向量組，。求該向量組的秩以及一個極大無關(guān)組。3．求其通解。取什么值時，線性方程組無解？有唯一解？有無窮多個解？并在有無窮多解時化為標(biāo)準(zhǔn)形。4．求正交變換，用此正交變換將二次型五、解答下列各題（每題8分，共16分）1．已知方陣滿足，判斷，是否可逆？如果可逆，求它們的逆矩陣。2．設(shè)矩陣，其中線性無關(guān)，,向量求線性方程組的通解。六、證明題（每題5分，共10分）1．已知均為階對稱陣，證明：，證明：矩陣的秩。2．三階方陣。線性代數(shù)（07）B解答一、FFTTFT二、CCC三、__2____；或；特征值為，特征向量為。四、計算下列各題（每題8分，共32分）1解：2．解：所以該向量組的秩為3，而線性無關(guān)，為其一個極大無關(guān)組。3．解：線性方程組的增廣矩陣為當(dāng)當(dāng)，即時，線性方程組有唯一解；時，或a=1,b≠1/2時，線性方程組無解；當(dāng)a=1,b=1/2時，，線性方程組有無窮多個解，此時線性方程組的通解為,k∈R。4．解：二次型的矩陣為其特征值為解解，得，得所對應(yīng)的特征向量為所對應(yīng)的特征向量為三個特征向量是相互正交的。正交變換矩陣為，標(biāo)準(zhǔn)型為五、1．解：由得，知，的特解可逆，且，。2．解：由得線性方程組。由而線性無關(guān)，，知，線性方程組。的基礎(chǔ)解系含有個解向量。的基礎(chǔ)解系為的通解為。六、1．證明：2．證明：由三階方陣得，故。若即，則的基礎(chǔ)解系只含有一個解向量，但，為的解。但，的秩為2，即的基礎(chǔ)解系至少含有兩個解向量，矛盾。故。線性代數(shù)B試題（A卷）2006.1.8一、下列各題是否正確？若正確在括號內(nèi)打“√”，否則打“×”（共計10分）1．若兩矩陣2．若向量組{的乘積，則一定有或。----------（）}線性相關(guān)，則{}也線性相關(guān)。---（）3．若是一個階方陣且線性方程組有解，則。--------（）4．若5．若都是階方陣，則。------------------------------------（）是方陣的一個特征值，則一定是不可逆的。------------（）二、單項選擇題（每小題3分，共計15分）1．若矩陣(A).2；的秩為1,則的取值為【】(B).；(C).6；(D)..2．若3階方陣的行列式，則【】(A).；(B).－4；(C).；(D).3．若、是等價的階方陣，則矩陣、一定滿足【】(A).特征值相等；(B).秩相等；(C).行列式相等；(D).逆矩陣相等.4．若且，則方程組的基礎(chǔ)解系中的向量個數(shù)是【】(A).；(B).；(C).；(D).5．若階矩陣與相似，，是矩陣的對應(yīng)于特征值的特征向量，那么矩陣的對【】應(yīng)于特征值的一個特征向量為(A).；(B).；(C).；(D).三、填空題（每小題5分，共計20分）1．向量組的一個最大無關(guān)組是__。2．設(shè)，若3階非零方陣滿足，則__。3．設(shè)矩陣與相似，，則的行列式。4．設(shè)，，則矩陣有一個特征值。四、計算下列各題1．（10分）設(shè)，，，求。2．（12分）設(shè)向量，，，，，問：取何值時，向量可由向量組線性表示？并在可以線性表示時求出此線性表示式。3．（15分）用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型，并求出所用的正交變換及的標(biāo)準(zhǔn)型。這個二次型是否是正定的？為什么？五、（每小題6分，共計18分）1．設(shè)都是4維列向量，且4階行列式，，求4階行列式。2．設(shè)，都是階矩陣，且，問：齊次線性方程組與是否有非零的公共解？證明你的結(jié)論。3．已知線性方程組有無窮多解，其中，。是三階矩陣，且，，分別是矩陣的對應(yīng)于特征值，，的三個特征向量，求常數(shù)與矩陣。線性代數(shù)B試題解答一、×；×；×；√；√---------------------------------------10二、B；B；B；C；D-----------------------------------------15三、(1)．(3)．；(4)．四、；(2)．；--------------------------------20(1)．---------------------------------------------------1，------------------------------------------3-------------------------------------------8------------------------------------------9-----------------------------------------10用求出或直接求出得相應(yīng)的分。(2)．是線性方程組的求解問題。增廣矩陣所以，時有唯一的線性表示；時，唯一的線性表示為且時有多個線性表示。------6解方程得：-------------------------8）且時，線性表示為（--