2023版高中數(shù)學第三章概率3.3.1幾何概型學案新人教B版必修3

3.3.1幾何概型1.理解幾何概型的定義及特點.(重點)2.了解古典概型與幾何概型的區(qū)別.(重點)3.掌握幾何概型的計算方法和求解步驟，準確地把實際問題轉(zhuǎn)化為幾何概型問題.(難點)4.幾何概型中幾何度量確實定及計算.(難點)[根底·初探]教材整理幾何概型閱讀教材P109，完成以下問題.1.定義圖3-3-1如果把事件A理解為區(qū)域Ω的某一子區(qū)域A(如圖3-3-1所示)，A的概率只與子區(qū)域A的幾何度量(長度、面積或體積)成正比，而與A的位置和形狀無關，滿足以上條件的試驗稱為幾何概型.2.幾何概型的概率公式在幾何概型中，事件A的概率定義為：P(A)＝eq\f(μA,μΩ)，其中μΩ表示區(qū)域Ω的幾何度量，μA表示子區(qū)域A的幾何度量.1.判斷(正確的打“√〞，錯誤的打“×〞)(1)幾何概型的概率與構(gòu)成事件的區(qū)域形狀無關.()(2)在射擊中，運發(fā)動擊中靶心的概率在(0,1)內(nèi).()(3)幾何概型的根本領件有無數(shù)多個.()【答案】(1)√(2)×(3)√2.在區(qū)間[－1,2]上隨機取一個數(shù)x，那么|x|≤1的概率為________.【解析】∵區(qū)間[－1,2]的長度為3，由|x|≤1得x∈[－1,1]，而區(qū)間[－1,1]的長度為2，x取每個值為隨機的，∴在[－1,2]上取一個數(shù)x，|x|≤1的概率P＝eq\f(2,3).【答案】eq\f(2,3)[小組合作型]與長度有關的幾何概型某汽車站每隔15min有一輛汽車到達，乘客到達車站的時刻是任意的，求一位乘客到達車站后等車時間超過10min的概率.【精彩點撥】乘客在上一輛車發(fā)車后的5min之內(nèi)到達車站，等車時間會超過10min.【嘗試解答】設上一輛車于時刻T1到達，而下一輛車于時刻T2到達，那么線段T1T2的長度為15，設T是線段T1T2上的點，且T1T＝5，T2T＝10，如下圖.記“等車時間超過10min〞為事件A，那么當乘客到達車站的時刻t落在線段T1T上(不含端點)時，事件A發(fā)生.∴P(A)＝eq\f(T1T的長度,T1T2的長度)＝eq\f(5,15)＝eq\f(1,3)，即該乘客等車時間超過10min的概率是eq\f(1,3).在求解與長度有關的幾何概型時，首先找到試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域D，這時區(qū)域D可能是一條線段或幾條線段或曲線段，然后找到事件A發(fā)生對應的區(qū)域d，在找d的過程中，確定邊界點是問題的關鍵，但邊界點是否取到卻不影響事件A的概率.[再練一題]1.一個路口的紅燈亮的時間為30秒，黃燈亮的時間為5秒，綠燈亮的時間為40秒，當你到達路口時，看見以下三種情況的概率各是多少？(1)紅燈亮；(2)黃燈亮；(3)不是紅燈亮.【解】在75秒內(nèi)，每一時刻到達路口亮燈的時間是等可能的，屬于幾何概型.(1)P＝eq\f(紅燈亮的時間,全部時間)＝eq\f(30,75)＝eq\f(2,5).(2)P＝eq\f(黃燈亮的時間,全部時間)＝eq\f(5,75)＝eq\f(1,15).(3)P＝eq\f(不是紅燈亮的時間,全部時間)＝eq\f(黃燈亮或綠燈亮的時間,全部時間)＝eq\f(45,75)＝eq\f(3,5)，或P＝1－P(紅燈亮)＝1－eq\f(2,5)＝eq\f(3,5).與面積有關的幾何概型設有一個等邊三角形網(wǎng)格，其中每個最小等邊三角形的邊長都是4eq\r(3)cm，現(xiàn)用直徑等于2cm的硬幣投擲到此網(wǎng)格上，求硬幣落下后與格線沒有公共點的概率.【精彩點撥】當且僅當硬幣中心與格線的距離都大于半徑1，硬幣落下后與格線沒有公共點，在等邊三角形內(nèi)作與正三角形三邊距離為1的直線，構(gòu)成小等邊三角形，當硬幣中心在小等邊三角形內(nèi)時，硬幣與三邊都沒有公共點，所以硬幣與格線沒有公共點就轉(zhuǎn)化為硬幣中心落在小等邊三角形內(nèi)的問題.【嘗試解答】設A＝{硬幣落下后與格線沒有公共點}，如下圖，在等邊三角形內(nèi)作小等邊三角形，使其三邊與原等邊三角形三邊距離都為1，那么等邊三角形的邊長為4eq\r(3)－2eq\r(3)＝2eq\r(3)，由幾何概率公式得：P(A)＝eq\f(\f(\r(3),4)2\r(3)2,\f(\r(3),4)4\r(3)2)＝eq\f(1,4).幾何概型的特點是根本領件有無限多個，但應用數(shù)形結(jié)合的方法即可巧妙解決，即要構(gòu)造出隨機事件對應的幾何圖形，利用圖形的幾何量度來求隨機事件的概率.[再練一題]2.如圖3-3-2，一個等腰直角三角形的直角邊長為2，分別以三個頂點為圓心，1為半徑在三角形內(nèi)作圓弧，三段圓弧與斜邊圍成區(qū)域M(圖中白色局部).假設在此三角形內(nèi)隨機取一點P，那么點P落在區(qū)域M內(nèi)的概率為________.圖3-3-2【解析】由題意知題圖中的陰影局部的面積相當于半徑為1的半圓面積，即陰影局部面積為eq\f(π,2)，又易知直角三角形的面積為2，所以區(qū)域M的面積為2－eq\f(π,2).故所求概率為eq\f(2－\f(π,2),2)＝1－eq\f(π,4).【答案】1－eq\f(π,4)與體積有關的幾何概型一只小蜜蜂在一個棱長為3的正方體內(nèi)自由飛行，假設蜜蜂在飛行過程中始終保持與正方體6個面的距離均大于1，稱其為“平安飛行〞，求蜜蜂“平安飛行〞的概率.【精彩點撥】利用體積之比求概率.【嘗試解答】依題意，在棱長為3的正方體內(nèi)任意取一點，這個點到各面的距離均大于1.那么滿足題意的點區(qū)域為：位于該正方體中心的一個棱長為1的小正方體.由幾何概型的概率公式，可得滿足題意的概率為：P＝eq\f(13,33)＝eq\f(1,27).與體積有關的幾何概型問題的解決：1如果試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域可用體積來度量，那么其概率的計算公式為：PA＝eq\f(構(gòu)成事件A的體積,試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的體積).2解決此類問題一定要注意幾何概型的條件，并且要特別注意所求的概率是與體積有關還是與長度有關，不要將二者混淆.[再練一題]3.本例條件不變，求這個蜜蜂飛到正方體某一頂點A的距離小于eq\f(1,3)的概率.【解】到A點的距離小于eq\f(1,3)的點，在以A為球心，半徑為eq\f(1,3)的球內(nèi)部，而點又必須在正方體內(nèi)，那么滿足題意的A點的區(qū)域體積為eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(3)×eq\f(1,8).所以P＝eq\f(\f(4,3)π×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))\s\up12(3)×\f(1,8),33)＝eq\f(π,2×37).[探究共研型]幾何概型與古典概型的異同探究1古典概型和幾何概型有何異同點？【提示】相同點：古典概型與幾何概型中每一個根本領件發(fā)生的可能性都是相等的.不同點：古典概型要求隨機試驗的根本領件的總數(shù)必須是有限多個；幾何概型要求隨機試驗的根本領件的個數(shù)是無限的，而且?guī)缀胃判徒鉀Q的問題一般都與幾何知識有關.探究2P(A)＝0?A是不可能事件，P(A)＝1?A是必然事件是否成立？【提示】(1)無論是古典概型還是幾何概型，假設A是不可能事件，那么P(A)＝0肯定成立；假設A是必然事件，那么P(A)＝1肯定成立.(2)在古典概型中，假設事件A的概率P(A)＝0，那么A為不可能事件；假設事件A的概率P(A)＝1，那么A為必然事件.(3)在幾何概型中，假設事件A的概率P(A)＝0，那么A不一定是不可能事件，如：事件A對應數(shù)軸上的一個點，那么其長度為0，該點出現(xiàn)的概率為0，但A并不是不可能事件；同樣地，假設事件A的概率P(A)＝1，那么A也不一定是必然事件.(1)在區(qū)間[－2,2]上任取兩個整數(shù)x，y組成有序數(shù)對(x，y)，求滿足x2＋y2≤4的概率；(2)在區(qū)間[－2,2]上任取兩個實數(shù)x，y組成有序數(shù)對(x，y)，求滿足x2＋y2≤4的概率.【導學號：00732091】【精彩點撥】(1)在區(qū)間[－2,2]上任取兩個整數(shù)x，y，組成有序數(shù)對(x，y)是有限的，應用古典概型求解；(2)在區(qū)間[－2,2]上任取兩個實數(shù)x，y，組成有序數(shù)對(x，y)是無限的，應用幾何概型求解.【嘗試解答】(1)在區(qū)間[－2,2]上任取兩個整數(shù)x，y組成有序數(shù)對(x，y)，共計25個，其中滿足x2＋y2≤4的在圓上或圓內(nèi)共計13個(如下圖)，∴P＝eq\f(13,25).(2)在區(qū)間[－2,2]上任取兩個實數(shù)x，y組成有序數(shù)對(x，y)，充滿的區(qū)域是邊長為4的正方形區(qū)域，其中滿足x2＋y2≤4的是圖中陰影區(qū)域(如下圖)，S陰＝π×22＝4π，∴P＝eq\f(4π,16)＝eq\f(π,4).古典概型與幾何概型的不同之處是古典概型的根本領件總數(shù)是有限的，而幾何概型的根本領件總數(shù)是無限的，解題時要仔細審題，注意區(qū)分.[再練一題]4.以下概率模型中，幾何概型的個數(shù)為()①從區(qū)間[－10,10]上任取一個數(shù)，求取到1的概率；②從區(qū)間[－10,10]上任取一個數(shù)，求取到絕對值不大于1的數(shù)的概率；③從區(qū)間[－10,10]上任取一個整數(shù)，求取到大于1而小于2的數(shù)的概率；④向一個邊長為4cm的正方形內(nèi)投一點，求點離中心不超過1cm的概率.A.1B.2C.3D.4【解析】①中的概率模型不是幾何概型，雖然區(qū)間[－10，10]上有無數(shù)個數(shù)，但取到“1〞只是一個數(shù)字，不能構(gòu)成區(qū)間長度；②中的概率模型是幾何概型，因為區(qū)間[－10,10]和區(qū)間[－1,1]上都有無數(shù)個數(shù)，且在這兩個區(qū)間上的每個數(shù)被取到的可能性相等；③中的概率模型不是幾何概型，因為區(qū)間[－10,10]上的整數(shù)只有21個，是有限的；④中的概率模型是幾何概型，因為在邊長為4cm的正方形和半徑為1cm的圓內(nèi)均有無數(shù)個點，且這兩個區(qū)域內(nèi)的任何一個點被投到的可能性相同.【答案】B1.轉(zhuǎn)動圖中各轉(zhuǎn)盤，指針指向紅色區(qū)域的概率最大的是()【解析】D中紅色區(qū)域面積是圓面積的一半，其面積比A，B，C中要大，故指針指到的概率最大.【答案】D2.如圖3-3-3，在矩形區(qū)域ABCD的A，C兩點處各有一個通信基站，假設其信號的覆蓋范圍分別是扇形區(qū)域ADE和扇形區(qū)域CBF(該矩形區(qū)域內(nèi)無其他信號來源，基站工作正常).假設在該矩形區(qū)域內(nèi)隨機地選一地點，那么該地點無信號的概率是()圖3-3-3A.1－eq\f(π,4) B.eq\f(π,2)－1C.2－eq\f(π,2)D.eq\f(π,4)【解析】由題意得無信號的區(qū)域面積為2×1－2×eq\f(1,4)π×12＝2－eq\f(π,2)，由幾何概型的概率公式，得無信號的概率為P＝eq\f(2－\f(π,2),2)＝1－eq\f(π,4).【答案】A3.在半徑為1的圓中隨機地投一個點，那么點落在圓內(nèi)接正方形中的概率是()A.eq\f(1,π)B.eq\f(2,π)C.eq\f(\r(2),π)D.eq\f(3,π)【解析】點落在圓內(nèi)的任意位置是等可能的，而落在圓內(nèi)接正方形中只與面積有關，與位置無關，符合幾何概型特征，圓內(nèi)接正方形的對角線長等于2，那么正方形的邊長為eq\r(2).∵圓面積為π，正方形面積為2，∴P＝eq\f(2,π).【答案】B4.函數(shù)f(x)＝－x2＋2x，x∈[－1,3]，那么任取一點x0∈[－1,3]，使得f(x0)≥0的概率為________.【解析】依題意得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x\o\al(2,0)＋2x0≥0，,－1≤x0≤3，))解得0≤x0≤2，所以任取一點x0∈[－1,3]，使得f(x0)≥0的概率P＝eq\f(2,3－－1)＝eq\f(1,2).【答案】eq\f(1,2)5.在長為12