2023版高中數(shù)學(xué)第一章立體幾何初步1.2.3第1課時(shí)直線與平面垂直學(xué)案（含解析）新人教B版必修2

1.2.3第1課時(shí)直線與平面垂直1.了解直線與平面垂直的定義.(重點(diǎn))2.理解直線與平面垂直的判定定理，并會(huì)用其判斷直線與平面垂直.(重點(diǎn))3.掌握線面垂直的性質(zhì)定理，并能應(yīng)用.(重點(diǎn))4.靈活運(yùn)用直線與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理處理空間垂直問題.(難點(diǎn))[根底·初探]教材整理1直線與平面垂直的定義閱讀教材P47～P48“倒數(shù)第5自然段〞以上內(nèi)容，完成以下問題.文字語言圖形語言符號(hào)語言如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說直線l與平面α互相垂直，直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面，它們唯一的公共點(diǎn)P叫做垂足l⊥α直線l⊥平面α，直線m?α，那么l與m不可能()A.平行 B.相交C.異面 D.垂直【解析】由直線與平面垂直的定義可知，l⊥m，l與m可能相交或異面，但不可能平行.【答案】A教材整理2直線與平面垂直的判定定理閱讀教材P48“倒數(shù)第5自然段〞～P49“思考〞以上內(nèi)容，完成以下問題.文字語言圖形語言符號(hào)語言一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥a,l⊥b,a?α,b?α,a∩b＝P))?l⊥α一條直線和三角形的兩邊同時(shí)垂直，那么這條直線和三角形的第三邊的位置關(guān)系是()A.平行 B.垂直C.相交不垂直 D.不確定【解析】直線和三角形兩邊垂直，由線面垂直的判定定理知，直線垂直三角形所在平面，那么直線垂直第三邊.【答案】B教材整理3直線與平面垂直的性質(zhì)定理閱讀教材P48～P49的內(nèi)容，完成以下問題.文字語言垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行符號(hào)語言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b圖形語言判斷(正確的打“√〞，錯(cuò)誤的打“×〞)(1)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行.()(2)垂直于同一平面的兩條直線互相平行.()(3)一條直線在平面內(nèi)，另一條直線與這個(gè)平面垂直，那么這兩條直線互相垂直.()【解析】由線面垂直的定義和性質(zhì)可知(1)、(2)、(3)均正確.【答案】(1)√(2)√(3)√[小組合作型]線面垂直的定義及判定定理的理解以下說法中正確的個(gè)數(shù)是()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：45722052】①如果直線l與平面α內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么l⊥α；②如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線垂直，那么l⊥α；③如果直線l不垂直于α，那么α內(nèi)沒有與l垂直的直線；④如果直線l不垂直于α，那么α內(nèi)也可以有無數(shù)條直線與l垂直.A.0 B.1C.2 D.3【精彩點(diǎn)撥】利用線面垂直的定義及判定定理準(zhǔn)確判斷.【自主解答】由直線和平面垂直的判定定理知①正確；由直線與平面垂直的定義知，②正確；當(dāng)l與α不垂直時(shí)，l可能與α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，故③不對；④正確.【答案】D1.對于線面垂直的定義要注意“直線垂直于平面內(nèi)的所有直線〞說法與“直線垂直于平面內(nèi)無數(shù)條直線〞不是一回事，后者說法是不正確的，它可以使直線與平面斜交、平行或直線在平面內(nèi).2.判定定理中要注意必須是平面內(nèi)兩相交直線.[再練一題]1.以下說法中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是()①假設(shè)直線m∥平面α，直線l⊥m，那么l⊥α；②假設(shè)直線l和平面α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，那么直線l與平面α必相交；③過平面α外一點(diǎn)有且只有一條直線和平面α垂直；④過直線a外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和直線a垂直.A.0B.1C.2 D.3【解析】①錯(cuò)誤.假設(shè)直線m∥平面α，直線l⊥m，那么l與α平行、相交或l在α內(nèi)都有可能.②錯(cuò)誤.假設(shè)直線l和平面α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，那么直線l與平面α平行、相交或l在α內(nèi)都有可能，③④正確.【答案】C線面垂直判定定理的應(yīng)用如圖1-2-40，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中點(diǎn)，S是△ABC所在平面外一點(diǎn)，且SA＝SB＝SC.圖1-2-40(1)求證：SD⊥平面ABC；(2)假設(shè)AB＝BC，求證：BD⊥平面SAC.【精彩點(diǎn)撥】題設(shè)條件中的三棱錐的三條側(cè)棱相等，AB⊥BC，D是AC的中點(diǎn)，要證(1)需在平面ABC內(nèi)找兩條相交直線與SD垂直，故等腰三角形底邊的中線是可以利用的垂直關(guān)系，要證(2)，需設(shè)法在平面SAC內(nèi)找兩條相交直線與BD垂直，而(1)的結(jié)論可利用.【自主解答】(1)∵SA＝SC，D為AC的中點(diǎn)，∴SD⊥AC.連接BD.在Rt△ABC中，有AD＝DC＝DB，∴△SDB≌△SDA，∴∠SDB＝∠SDA＝90°，∴SD⊥BD.又AC∩BD＝D，∴SD⊥平面ABC.(2)∵AB＝BC，D是AC的中點(diǎn)，∴BD⊥AC.又由(1)知SD⊥BD，且AC∩SD＝D，∴BD⊥平面SAC.證線面垂直的方法1.線線垂直證明線面垂直(1)定義法(不常用)；(2)判定定理最常用(有時(shí)作輔助線).2.平行轉(zhuǎn)化法(利用推論)(1)a∥b，a⊥α?b⊥α；(2)α∥β，a⊥α?a⊥β.[再練一題]2.如圖1-2-41所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A1C1＝90°，D圖1-2-41求證：AD⊥平面A1DC1.【證明】∵AA1⊥底面ABC，平面A1B1C1∥平面ABC∴AA1⊥平面A1B1C1∴A1C1⊥AA1.又∠B1A∴A1C1⊥A1B1.而A1B1∩AA1＝A1∴A1C1⊥平面AA1B1B.又AD?平面AA1B1B∴A1C1⊥AD由計(jì)算得AD＝eq\r(2)，A1D＝eq\r(2)，AA1＝2.∴AD2＋A1D2＝AAeq\o\al(2,1)，∴A1D⊥AD.∵A1C1∩A1D＝A1∴AD⊥平面A1DC1.[探究共研型]線面垂直性質(zhì)定理的應(yīng)用將一塊三角形紙片ABC沿折痕AD折起，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上(BD，DC與桌面接觸).觀察折痕AD與桌面的位置關(guān)系.圖1-2-42探究1折痕AD與桌面一定垂直嗎？【提示】不一定.探究2當(dāng)折痕AD滿足什么條件時(shí)，AD與桌面垂直？【提示】當(dāng)AD⊥BD且AD⊥CD時(shí)，折痕AD與桌面垂直.如圖1-2-43所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一點(diǎn)，N是A1C的中點(diǎn)，MN⊥平面A1DC圖1-2-43求證：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中點(diǎn).【精彩點(diǎn)撥】(1)要證線線平行，那么先證線面垂直，即證AD1⊥平面A1DC.(2)可證ON＝AM，ON＝eq\f(1,2)AB.【自主解答】(1)∵ADD1A1∴AD1⊥A1D.又∵CD⊥平面ADD1A1∴CD⊥AD1.∵A1D∩CD＝D，∴AD1⊥平面A1DC.又∵M(jìn)N⊥平面A1DC，∴MN∥AD1.(2)連接ON，在△A1DC中，A1O＝OD，A1N＝NC.∴ONeq\o(\s\do5(═),\s\up5(∥))eq\f(1,2)DCeq\o(\s\do5(═),\s\up5(∥))eq\f(1,2)AB，∴ON∥AM.又∵M(jìn)N∥OA，∴四邊形AMNO為平行四邊形，∴ON＝AM.∵ON＝eq\f(1,2)AB，∴AM＝eq\f(1,2)AB，∴M是AB的中點(diǎn).1.直線與平面垂直的性質(zhì)定理是線線、線面垂直以及線面、面面平行的相互轉(zhuǎn)化的橋梁，因此必須熟練掌握這些定理，并能靈活地運(yùn)用它們.2.當(dāng)題中垂直條件很多，但又需證平行關(guān)系時(shí)，就要考慮垂直的性質(zhì)定理，從而完成垂直向平行的轉(zhuǎn)化.[再練一題]3.如圖1-2-44所示，在三棱臺(tái)ABC-DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC＝3.圖1-2-44求證：BF⊥平面ACFD.【證明】延長AD，BE，CF相交于一點(diǎn)K，如下圖.因?yàn)槠矫鍮CFE⊥平面ABC，且AC⊥BC，所以AC⊥平面BCK，因此，BF⊥AC.又因?yàn)镋F∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，所以△BCK為等邊三角形，且F為CK的中點(diǎn)，那么BF⊥CK.所以BF⊥平面ACFD.1.垂直于梯形兩腰的直線與梯形所在平面的位置關(guān)系是()A.垂直 B.相交但不垂直C.平行 D.不確定【解析】梯形的兩腰所在直線相交，由線面垂直的判定定理知，垂直于梯形兩腰的直線與梯形所在平面垂直，應(yīng)選A.【答案】A2.如圖1-2-45所示，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，沿AE，AF，EF把正方形折成一個(gè)四面體，使B，C，D三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為P，P點(diǎn)在△AEF內(nèi)的射影為O，那么以下說法正確的選項(xiàng)是()圖1-2-45A.O是△AEF的垂心B.O是△AEF的內(nèi)心C.O是△AEF的外心D.O是△AEF的重心【解析】由題意可知PA，PE，PF兩兩垂直，所以PA⊥平面PEF，從而PA⊥EF，而PO⊥平面AEF，那么PO⊥EF，因?yàn)镻O∩PA＝P，所以EF⊥平面PAO，所以EF⊥AO，同理可知AE⊥FO，AF⊥EO，所以O(shè)為△AEF的垂心.【答案】A3.如圖1-2-46所示，?ADEF的邊AF⊥平面ABCD，且AF＝2，CD＝3，那么CE＝________.圖1-2-46【解析】因?yàn)锳F⊥平面ABCD，所以ED⊥平面ABCD，所以△EDC為直角三角形，CE＝eq\r(ED2＋CD2)＝eq\r(13).【答案】eq\r(13)4.如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的以下各種情況，能保證該直線與平面垂直的是________.(把正確條件的序號(hào)都填上).①三角形的兩邊；②梯形的兩邊；③圓的兩條直徑；④正六邊形的兩條邊.【解析】由線面垂直的判定定理知，直線垂直于①③圖形所在的平面.因?yàn)棰冖軋D形中的兩邊不一定是相交直線，所以直線與它們所在的平面不一定垂直.【答案】①③5.如圖1-2-47所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，P