江蘇省蘇州市大學(xué)附屬中學(xué)2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

江蘇省蘇州市大學(xué)附屬中學(xué)2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)為任意正數(shù)，則的最小值為（

）(A)；

(B)；

(C)；

(D)

參考答案：B2.若直線y=x+b與曲線（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（0≤x≤4，1≤y≤3）有公共點，則實數(shù)b的取值范圍是（）A．[1﹣2，3] B．[1﹣，3] C．[﹣1，1+2] D．[1﹣2，1+2]參考答案：A【考點】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】由題意，圓心到直線的距離d==2，b=1±2，（0，3）代入直線y=x+b，可得b=3，即可得出結(jié)論．【解答】解：由題意，圓心到直線的距離d==2，b=1±2，（0，3）代入直線y=x+b，可得b=3，∵直線y=x+b與曲線（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（0≤x≤4，1≤y≤3）有公共點，∴實數(shù)b的取值范圍是[1﹣2，3]，故選A．【點評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查點到直線的距離公式，屬于中檔題．3.如果冪函數(shù)的圖象不過原點，則取n值為（）A．n=1或n=2 B．n=1或n=0 C．n=1 D．n=2參考答案：A【考點】冪函數(shù)的性質(zhì)．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】冪函數(shù)的圖象不過原點，可得n2﹣3n+3=1，n2﹣n﹣2＜0，解出即可．【解答】解：∵冪函數(shù)的圖象不過原點，∴n2﹣3n+3=1，n2﹣n﹣2＜0，解得n=1或2．故選：A．【點評】本題考查了冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一元二次不等式與方程的解法，屬于基礎(chǔ)題．4.已知，且，則的值是（）A． B． C． D．參考答案：B5.已知i是虛數(shù)單位，，，則等于（

）A.-1 B.1 C.3 D.4參考答案：A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法化簡，再根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件求出，即得答案.【詳解】，.故選：.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運算和復(fù)數(shù)相等的充要條件，屬于基礎(chǔ)題.6.設(shè)c<0,是區(qū)間上的減函數(shù)，下列命題中正確的是（

）A、在區(qū)間上有最小值

B、在上有最小值C、在上有最小值

D、在上有最小值參考答案：D7.如圖是一個正方體的展開圖，將其折疊起來，變成正方體后的圖形是()參考答案：B略8.△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，a=，b=，B=45°，則角C的大小為（）A．15° B．75° C．15°或75° D．60°或120°參考答案：C【考點】正弦定理．【分析】由已知及正弦定理可得sinA=，結(jié)合范圍A∈（45°，180°），可求A，利用三角形內(nèi)角和定理可求C的值．【解答】解：∵a=，b=，B=45°，∴由正弦定理可得：sinA===，∵A∈（45°，180°），∴A=60°，或120°，∴C=180°﹣A﹣B=15°或75°．故選：C．9.在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，如果a，b，c成等差數(shù)列，B=60°，△ABC的面積為3，那么b等于（）A．2 B．2 C． D．參考答案：B【考點】正弦定理．【分析】由a、b、c成等差數(shù)列，把a+c用b表示，由面積等于3求出ac=12，結(jié)合余弦定理列式求b的值．【解答】解：在△ABC中，∵a、b、c成等差數(shù)列，∴2b=a+c，又∠B=60°，△ABC的面積為3，∴acsinB=acsin60°=3，即×ac=3，ac=12．由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，得：b2=a2+c2﹣2accos60°，即b2=（a+c）2﹣3ac，∴b2=4b2﹣3×12，∴b=2．故選：B．【點評】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了三角形的面積公式，訓(xùn)練了余弦定理的應(yīng)用，屬中檔題．10.在我國大西北，某地區(qū)荒漠化土地面積每年平均比上一年增長10.4%，專家預(yù)測經(jīng)過x年可能增長到原來的y倍，則函數(shù)y=f（x）的圖象大致為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)．【分析】先表示出y的解析式，發(fā)現(xiàn)是指數(shù)模型，通過對指數(shù)函數(shù)圖象的掌握可直接選出答案．【解答】解：設(shè)原有荒漠化土地面積為b，經(jīng)過x年后荒漠化面積為z∴z=b（1+10.4%）x．故y==（1+10.4%）x是底數(shù)大于1的指數(shù)函數(shù)故選D．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知遞增的等差數(shù)列{an}滿足，，則______.參考答案：【分析】先設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題中條件，求出公差，得到通項公式，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，解得，則.所以.故答案為【點睛】本題主要考查等差數(shù)列，熟記等差數(shù)列的通項公式與求和公式即可，屬于?？碱}型.12.函數(shù)的最小正周期為，則________.參考答案：213.已知函數(shù)，，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為

.參考答案：[0,]∵，∴，∴當(dāng)，即時，函數(shù)單調(diào)遞增，故當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．答案:

14.設(shè)是等差數(shù)列的前n項和，若,則____________.參考答案：數(shù)列成等差數(shù)列，且.

15.已知x∈R，符號表示不超過x的最大整數(shù)，若函數(shù)f（x）=（x＞0），則給出以下四個結(jié)論：①函數(shù)f（x）的值域為；②函數(shù)f（x）的圖象是一條曲線；③函數(shù)f（x）是（0，+∞）上的減函數(shù)；④函數(shù)g（x）=f（x）﹣a有且僅有3個零點時．其中正確的序號為

．參考答案：④【考點】根的存在性及根的個數(shù)判斷；函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】通過舉特例，可得①、②、③錯誤；數(shù)形結(jié)合可得④正確，從而得出結(jié)論．【解答】解：由于符號表示不超過x的最大整數(shù)，函數(shù)f（x）=（x＞0），取x=﹣1.1，則=﹣2，∴f（x）=＞1，故①不正確．由于當(dāng)0＜x＜1，=0，此時f（x）=0；當(dāng)1≤x＜2，=1，此時f（x）=；當(dāng)2≤x＜3，=2，此時f（x）=，此時＜f（x）≤1，當(dāng)3≤x＜4，=3，此時f（x）=，此時＜g（x）≤1，當(dāng)4≤x＜5，=4，此時f（x）=，此時＜g（x）≤1，故f（x）的圖象不會是一條曲線，且f（x）不會是（0，+∞）上的減函數(shù)，故排除②、③．函數(shù)g（x）=f（x）﹣a有且僅有3個零點時，函數(shù)f（x）的圖象和直線y=a有且僅有3個交點，此時，，故④正確，故答案為：④．【點評】本題主要考查方程的根的存在性及個數(shù)判斷，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．16.若則_____，_____．參考答案：

－2,17.函數(shù)的值域為______________________________；參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設(shè)f（x）的定義域為[﹣3，3]，且f（x）是奇函數(shù)．當(dāng)x∈[0，3]時，f（x）=x（1﹣3x），（1）求當(dāng)x∈[﹣3，0）時，f（x）的解析式；（2）解不等式f（x）＜﹣8x．（3）記P={x|y=f（x﹣c）}，Q={x|y=f（x﹣c2）}，若P∩Q=?，求c的取值范圍．參考答案：【考點】函數(shù)解析式的求解及常用方法；交集及其運算；其他不等式的解法．【專題】綜合題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】（1）利用函數(shù)是奇函數(shù)，結(jié)合當(dāng)x∈[0，3]時，f（x）=x（1﹣3x），即可求當(dāng)x∈[﹣3，0）時，f（x）的解析式；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，分類討論，即可解不等式f（x）＜﹣8x．（3）當(dāng)f（x﹣c）=f（x﹣c2），有解的條件是x﹣c=x﹣c2，且x﹣c=x﹣c2∈[﹣1，1]，可得P∩Q=?，c的取值范圍．【解答】解：（1）設(shè)x∈[﹣3，0），則﹣x∈（0，3]，∵x∈[0，3]時，f（x）=x（1﹣3x），∴f（﹣x）=﹣x（1﹣3﹣x），∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（x）=﹣f（﹣x）=x（1﹣3﹣x）；（2）x∈[0，3]時，f（x）=x（1﹣3x）＜﹣8x，∴x＞2，∴2＜x≤3；當(dāng)x∈[﹣3，0）時，f（x）=x（1﹣3﹣x）＜﹣8x，∴x＞2，∴﹣2＜x＜0；綜上所述，不等式的解集為{x|﹣2＜x＜0或2＜x≤3}；（3）當(dāng)f（x﹣c）=f（x﹣c2），有解的條件是x﹣c=x﹣c2，且x﹣c=x﹣c2∈[﹣1，1]，即c（c﹣1）=0；∴c=0或c=1時f（x﹣c）=f（x﹣c2），有解；故c的取值范圍：c≠0且c≠1．【點評】本題考查函數(shù)的解析式，考查函數(shù)的奇偶性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．19.已知集合A={x|x﹣2＞3}，B={x|2x﹣3＞3x﹣a}，求A∪B．參考答案：【考點】并集及其運算．【專題】計算題．【分析】先化簡集合A和B，然后對a﹣3進(jìn)行分類討論，利用數(shù)軸求出A∪B．【解答】解：A={x|x﹣2＞3}={x|x＞5}，B={x|2x﹣3＞3x﹣a}={x|x＜a﹣3}．借助數(shù)軸如圖：①當(dāng)a﹣3≤5，即a≤8時，A∪B={x|x＜a﹣3或x＞5}．②當(dāng)a﹣3＞5，即a＞8時，A∪B={x|x＞5}∪{x|x＜a﹣3}={x|x∈R}=R．綜上可知當(dāng)a≤8時，A∪B={x|x＜a﹣3或x＞5}；當(dāng)a＞8時，A∪B=R．【點評】本題考查兩個集合的并集的定義和求法，一元二次不等式的解法，求出A和B，是解題的關(guān)鍵．20.已知函數(shù)是奇函數(shù)，且f（1）=2，（1）求f（x）的解析式；（2）判斷函數(shù)f（x）在[1，+∞）上的單調(diào)性；（3）求函數(shù)在區(qū)間[1，3]上的最大、小值．參考答案：【考點】函數(shù)的最值及其幾何意義；函數(shù)解析式的求解及常用方法；函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明．【分析】（1）利用函數(shù)是奇函數(shù)，f（1）=2，求出b，c，得到函數(shù)的解析式．（2）函數(shù)f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)．利用定義證明即可．（3）由（2、知函數(shù)f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，直接求解函數(shù)的最值即可．【解答】解：（1）由是奇函數(shù)，且f（1）=2易求得b=1，c=0，∴（2）函數(shù)f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)．

證明：取x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2則∵1≤x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，∴，即f（x1）＜f（x2）所以函數(shù)f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)．

（3）由（2、知函數(shù)f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，所以函數(shù)f（x）在[1，3]上也是增函數(shù)∴故所求函數(shù)的最大值為，最小值為2．

21.從某校參加數(shù)學(xué)競賽的試卷中抽取一個樣本，考查競賽的成績分布，將樣本分成6組，得到頻率分布直方圖如圖，從左到右各小組的小長方形的高的比為1：1：3：6：4：2，最右邊的一組的頻數(shù)是8.請結(jié)合直方圖的信息，解答下列問題：（1）樣本容量是多少？（2）成績落在哪個范圍的人數(shù)最多？并求出該小組的頻數(shù)和頻率.（3）估計這次數(shù)學(xué)競賽成績的平均數(shù).參考答案：解（1）從左到右各小組的頻率分別為，，，，，樣本容量為（2）成績落在70～80之間的人數(shù)最多；頻率為；頻數(shù)為（3）平均數(shù)的估計值是略22.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面積為，求△ABC的周長．參考答案：【考點】HX：解三角形．【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化簡，整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式化簡，根據(jù)sinC不為0求出cosC的值，即可確定出出C的度數(shù)；（2）利用余弦定理列出關(guān)系式，利用三角形面積公式列出關(guān)系式，求出a+b的值，即可求△ABC的周長．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0已知等式利