《函數(shù)的奇偶性》示范課教學課件【高中數(shù)學人教A版】

函數(shù)的奇偶性

問題1

觀察圖中的兩個函數(shù)圖象，你能發(fā)現(xiàn)它們的共同特征嗎？問題導入圖象的共同特征是它們都有對稱性．問題2

閱讀課本，你能說說如何研究奇偶性嗎？先分析具體函數(shù)的圖象特征（對稱性），獲得函數(shù)奇偶性的直觀定性認識；新知探究然后利用動圖或表格研究發(fā)現(xiàn)數(shù)量變化特征；再用符號語言定量刻畫，抽象出奇偶性的定義．

問題3

觀察函數(shù)f（x）＝x2和g（x）＝2－|x|的圖象（如圖），思考以下問題：新知探究（1）你能發(fā)現(xiàn)這兩個函數(shù)圖象有什么共同特征嗎？（2）你能用符號語言描述該特征嗎？（1）關于y軸對稱；（2）？

追問1

宏觀上看，這兩個圖象關于y軸對稱；微觀上看，除了y軸上的點，其余的點都是成對出現(xiàn)．任取函數(shù)f（x）＝x2的圖象上一點A，你能在圖象上作出該點關于y軸的對稱點嗎？若點A在y軸上，則點A對稱點就是它本身；若點A不在y軸上，過A作y軸的垂線與函數(shù)圖象交于另一點A′，此時點A與點A′就是一組對稱點．新知探究

追問2

你能說說這組對稱點的坐標之間的關系嗎？橫坐標相反，縱坐標相同（如圖）．追問3

你能用函數(shù)語言描述該特征嗎？當函數(shù)的自變量取一對相反數(shù)時，相應的兩個函數(shù)值相等．新知探究

問題3

（2）你能用符號語言描述函數(shù)f（x）＝x2的圖象關于y軸對稱的特征嗎？?x∈R，f（－x）＝（－x）2＝x2＝f（－x）．新知探究

追問4

你能仿照上述過程，說明函數(shù)g（x）＝2－|x|也是偶函數(shù)嗎？首先，圖象關于y軸對稱，任取圖象上的一組關于y軸對稱的點，它們的橫坐標相反，縱坐標相同（如圖）；其次，從函數(shù)符號的角度，當函數(shù)的自變量取一對相反數(shù)時，即：?x∈R，g（－x）＝2－|－x|＝2－|x|＝g（x），相應的函數(shù)值相等，g（x）＝2－|x|是偶函數(shù)．新知探究

一般地，設函數(shù)f（x）的定義域為I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f（－x）＝f（x），那么函數(shù)就叫做偶函數(shù)．追問5

“?x∈I，都有－x∈I”說明定義域I具有什么性質？定義域關于原點對稱．新知探究定義：

問題4

觀察函數(shù)f（x）＝x和g（x）＝的圖象（如圖），思考以下問題：（1）你能發(fā)現(xiàn)這兩個函數(shù)圖象有什么共同特征嗎？（2）你能用符號語言描述該特征嗎？（1）關于y軸對稱；（2）？新知探究

追問1

宏觀上看，這兩個圖象關于原點中心對稱；微觀上看，除了原點（如果原點在圖象上），其余的點都是成對出現(xiàn)．任取函數(shù)f（x）＝x的圖象上一點A，你能在圖象上作出該點關于原點的對稱點嗎？若點A是原點O，則對稱點就是它本身；若點A不是原點，將A繞原點O旋轉180°得到A′，此時點A與點A′就是一組對稱點．新知探究

追問2

你能說說這組對稱點的坐標之間的關系嗎？橫坐標相反，縱坐標相反（如圖）．追問3

你能用函數(shù)語言描述該特征嗎？當函數(shù)的自變量取一對相反數(shù)時，相應的兩個函數(shù)值相反．新知探究

問題4

（2）你能用符號語言描述函數(shù)f（x）＝x的圖象關于原點中心對稱的特征嗎？?x∈R，f（－x）＝－x＝－f（x）．新知探究追問4

你能仿照上述過程，說明函數(shù)g（x）＝也是奇函數(shù)嗎？首先，圖象關于原點中心對稱，任取圖象上的一組關于原點軸對稱的點，它們的橫坐標相反，縱坐標也相反（如圖）；其次，從函數(shù)符號的角度，當函數(shù)的自變量取一對相反數(shù)時，即：?x∈（－∞，0）∪（0，＋∞），相應的函數(shù)值相反，g（－x）＝＝＝－g（x），函數(shù)g（x）＝是奇函數(shù)．新知探究

一般地，設函數(shù)f（x）的定義域為I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f（－x）＝－f（x），那么函數(shù)就叫做奇函數(shù)．新知探究定義：例1

判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）f（x）＝x4；

（2）f（x）＝x5；（3）f（x）＝x＋；

（4）f（x）＝．解：（1）函數(shù)f（x）＝x4的定義域為R．?x∈R，都有－x∈R，函數(shù)f（x）＝x4為偶函數(shù)．且f（－x）＝（－x）4＝x4＝f（x），新知探究解：（2）函數(shù)f（x）＝x5定義域為R．?x∈R，都有－x∈R，函數(shù)f（x）＝x5為奇函數(shù)．且f（－x）＝（－x）5＝－x5＝－f（x），例1

判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）f（x）＝x4；

（2）f（x）＝x5；（3）f（x）＝x＋；

（4）f（x）＝．新知探究?x∈I，都有－x∈I，解：（3）函數(shù)f（x）＝x＋的定義域I為（－∞，0）∪（0，＋∞）．且f（－x）＝－x＋＝－（x＋）＝－f（x），函數(shù)f（x）＝x＋為奇函數(shù)．例1

判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）f（x）＝x4；

（2）f（x）＝x5；（3）f（x）＝x＋；

（4）f（x）＝．新知探究?x∈I，都有－x∈I，解：（4）函數(shù)f（x）＝的定義域I為（－∞，0）∪（0，＋∞）．且f（－x）＝＝＝f（x），函數(shù)f（x）＝為偶函數(shù)．例1

判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）f（x）＝x4；

（2）f（x）＝x5；（3）f（x）＝x＋；

（4）f（x）＝．新知探究追問1

你能總結用定義法判斷奇偶性的步驟嗎？第一步，求函數(shù)的定義域I．第二步，判斷定義域是否關于原點對稱．若否，則函數(shù)不具有奇偶性，結束判斷；若是，則進行第三步．第三步，?x∈I，計算f（－x）．若f（－x）＝f（x），則為偶函數(shù)；若f（－x）＝－f（x），則為奇函數(shù)；若f（－x）與f（x）既不相等也不相反，則既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．新知探究（1）?x∈R，都有－x∈R，且f（－x）＝（－x）3＋（－x）＝－（x3＋x）＝－f（x），函數(shù)f（x）＝x3＋x為奇函數(shù)．新知探究追問2

思考（1）判斷函數(shù)f（x）＝x3＋x的奇偶性．（2）圖是函數(shù)f（x）＝x3＋x圖象的一部分，你能根據(jù)f（x）的奇偶性畫出它在y軸左邊的圖象嗎？（3）一般地，如果知道y＝f（x）為偶（奇）函數(shù)，那么我們可以怎樣簡化對它的研究？追問2

思考（1）判斷函數(shù)f（x）＝x3＋x的奇偶性．（2）圖是函數(shù)f（x）＝x3＋x圖象的一部分，你能根據(jù)f（x）的奇偶性畫出它在y軸左邊的圖象嗎？（3）一般地，如果知道y＝f（x）為偶（奇）函數(shù)，那么我們可以怎樣簡化對它的研究？（2）因為是奇函數(shù)，所以圖象關于原點中心對稱，我們可以先將圖象沿著y軸翻折，再沿著x軸翻折就可以得到y(tǒng)軸左邊的圖象（右圖）．新知探究（3）一般我們只需要研究y軸一側的性質，然后根據(jù)對稱性推斷得到它在整個定義域內的性質．新知探究追問2

思考（1）判斷函數(shù)f（x）＝x3＋x的奇偶性．（2）圖是函數(shù)f（x）＝x3＋x圖象的一部分，你能根據(jù)f（x）的奇偶性畫出它在y軸左邊的圖象嗎？（3）一般地，如果知道y＝f（x）為偶（奇）函數(shù)，那么我們可以怎樣簡化對它的研究？

問題5

回憶本節(jié)課的內容，請你回答以下幾個問題：歸納小結（1）什么是奇（偶）函數(shù)？用定義判定奇偶性的步驟是怎樣的？（2）請你比較奇函數(shù)的定義與偶函數(shù)的定義，說說這兩者的異同．（1）概念和步驟略；（2）相同點：①定義域關于原點對稱；②都是函數(shù)的整體性質．不同點：①偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱，而奇函數(shù)的圖象關于原點對稱；②當自變量取一對相反數(shù)時，偶函數(shù)的函數(shù)值相同，而奇函數(shù)的函數(shù)值相反．

1．已知f（x）是偶函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)，試將下圖補充完整．目標檢測2．判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）f（x）＝2x4＋3x2；略．12奇函數(shù)．偶函數(shù)．（2）f（x）＝x3－2x

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3．（1）從偶函數(shù)的定義出發(fā)，證明函數(shù)y＝f（x）是偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關于y軸對稱；答案：（1）充分性：設P（x，y）是函數(shù)f（x）圖象上任意一點，則y＝f（x）．因為函數(shù)f（x）的圖象關于y軸對稱，所以點P關于y軸的對稱點Q（－x，y）也在函數(shù)f（x）圖象上，即y＝f（－x），所以對任意的x，都有f（－x）＝f（x），所以函數(shù)是偶函數(shù)．目標檢測（2）從奇函數(shù)的定義出發(fā)，證明函數(shù)y＝f（x）是奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關于原點對稱

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3．（1）從偶函數(shù)的定義出發(fā)，證明函數(shù)y＝f（x）是偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關于y軸對稱；答案：（1）必要性：設P（x，y）是函數(shù)f（x）圖象上任意一點，