2023年初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講義及習(xí)題解答從三角形的內(nèi)切圓談起

第二十一講從三角形內(nèi)切圓談起和多邊形各邊都相切圓叫做多邊形內(nèi)切圓，這個(gè)多邊形叫做圓外切多邊形．三角形內(nèi)切圓圓心叫做這個(gè)三角形內(nèi)心，圓外切三角形、圓外切四邊形有下列重要性質(zhì)：1.三角形內(nèi)心是三角形三內(nèi)角平分線交點(diǎn),它到三角形三邊距離相等;２.圓外切四邊形兩組對邊之和相等，其逆亦真,是鑒定四邊形與否有外切圓重要辦法．當(dāng)圓外切三角形、四邊形是特殊三角形時(shí),就得到隱含豐富結(jié)論下列圖形:注:設(shè)Ｒt△ABC各邊長分別為ａ、b、c(斜邊)，運(yùn)用切線長定理、面積等知識可得到其內(nèi)切圓半徑不同表達(dá)式：(1)；(２)．請讀者給出證【例題求解】【例１】如圖,在Rｔ△ABＣ中，∠Ｃ=９０°°，BC=5，⊙O與Rt△ABＣ三邊AB、ＢC、ＡC分相切于點(diǎn)Ｄ、E、F,若⊙O半徑r＝２，則Ｒt△ＡBＣ周長為．思緒點(diǎn)撥ＡF＝AＤ，BE=BD,連OＥ、OF,則OECF為正方形，只需求出AF(或AＤ）即可．【例2】如圖,以定線段AB為直徑作半圓O,P為半圓上任意一點(diǎn)（異于A、B)，過點(diǎn)P作半圓Ｏ切線分別交過A、B兩點(diǎn)切線于D、C，AC、BＤ相交于N點(diǎn)，連結(jié)ON,NP，下列結(jié)論:①四邊形ＡＮPＤ是梯形；②ON＝NP:③DＰ·PC為定值；④FA為∠NPD平分線，其中一定成立是()A．①②③B．②③④C．①③④D.①④思緒點(diǎn)撥本例綜合了切線性質(zhì)、切線長定理、相似三角形,鑒定性質(zhì)等重要幾何知識，注意基本輔助線添出、基本圖形辨認(rèn)、等線段代換,推導(dǎo)出NP∥AD∥ＢＣ是解本例核心.【例3】如圖，已知∠ACP＝∠ＣＤE=90°，點(diǎn)B在ＣE上，ＣA=CＢ=CD，過A、C、D三點(diǎn)圓交AB于F，求證:Ｆ為△ＣＤE內(nèi)心.（初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）思緒點(diǎn)撥連CF、DF，即需證F為△CDE角平分線交點(diǎn)，充足運(yùn)用與圓關(guān)于角,將問題轉(zhuǎn)化為角相等問題證明.【例4】如圖，在直角梯形AＢCＤ中，AD∥BＣ,ＡB⊥BC，AB=BＣ=1，以ＡB為直徑作半圓O切ＣD于Ｅ,連結(jié)ＯE，并延長交ＡD延長線于F.(１）問∠BＯZ能否為120°,并簡要闡明理由；(2)證明△AOF∽△EDF，且；（3)求DF長.思緒點(diǎn)撥分解出基本圖形，作出基本輔助線．(1）若∠ＢOZ＝120°，看能否推出矛盾；(2）把計(jì)算與推理融合;(3）把相應(yīng)線段用DF代數(shù)式表達(dá)，運(yùn)用勾股定理建立關(guān)于DF一元二次方程.注：如圖,在直角梯形ABＣＤ中,若AD＋BＣ=CD，則可得到應(yīng)用廣泛兩個(gè)性質(zhì):（1)以邊AB為直徑圓與邊CＤ相切；(2)以邊CD為直徑圓與邊AB相切．類似地,三角形三條中線交點(diǎn)叫三角形重心，三角形三邊高所在直線交點(diǎn)叫三角形垂心．外心、內(nèi)心、垂心、重心統(tǒng)稱三角形四心,它們處在三角而中特殊位置上,有著豐富性質(zhì),在解題中有廣泛應(yīng)用．【例５】如圖，已知Rt△AＢC中，CD是斜邊AB上高，O、Ｏ1、O２分別是△ＡBC；△ACD、△BＣD角平分線交點(diǎn)，求證：(1）O1O⊥CO２;（2)OＣ＝Ｏ1O2.（武漢市選拔賽試題)思緒點(diǎn)撥在直角三角形中,斜邊上高將它提成兩個(gè)直角三角形和原三角形相似，得相應(yīng)角相等，因此通過證交角為90°辦法得兩線垂直，又運(yùn)用全等三角形證明兩線段相等．學(xué)力訓(xùn)練１.如圖,已知圓外切等腰梯形ＡBCＤ中位線EF=15cm，那么等腰梯形ABCD周長等于=cm.2．如圖，在直角，坐標(biāo)系中A、B坐標(biāo)分別為(3，0）、（0，4),則Rt△ＡBO內(nèi)心坐標(biāo)是．3．如圖,梯形ABCＤ中，AD∥BＣ,DC⊥BC,AB＝8,ＢC＝５,若以ＡＢ為直徑⊙O與DC相切于E，則DC＝.4.如圖,⊙Ｏ為△ABC內(nèi)切圓,∠Ｃ=90°，AO延長線交BＣ于點(diǎn)Ｄ，AC=4，CD=1,則⊙O半徑等于()A.B．C．D.5．如圖,在梯形AＢCD中，AＤ∥BＣ，∠ＢＣD＝90°,以ＣD為直徑半圓O切AB于點(diǎn)E，這個(gè)梯形面積為2１cm2,周長為２0cｍ,那么半圓O半徑為(）A．３ｃmB.７cmC．３cｍ或７cmD．２cm６.如圖,△ABＣ中，內(nèi)切圓O和邊B、ＣA、ＡＢ分別相切于點(diǎn)D、EＦ，則如下四個(gè)結(jié)論中，錯(cuò)誤結(jié)論是(）A.點(diǎn)O是△DＥF外心B.∠AFE=(∠Ｂ+∠C)C.∠BOC=90°+∠AD.∠ＤFE=９0°一∠B7．如圖，BC是⊙O直徑,AＢ、AＤ是⊙Ｏ切線，切點(diǎn)分別為B、P,過C點(diǎn)切線與AD交于點(diǎn)D,連結(jié)AO、DO．(１）求證:△ABO∽△ＯCＤ;(２)若AB、CD是關(guān)于x方程兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且Ｓ△ABO+S△ＯCD＝20，求m值．8.如圖,已知ＡB是⊙Ｏ直徑，BC是⊙O切線，OＣ與⊙O相交于點(diǎn)D,連結(jié)AD并延長,ＢＣ相交于點(diǎn)E．(1)若BC=，CＤ=１,求⊙O半徑；(2)取BE中點(diǎn)F，連結(jié)DF,求證：DＦ是⊙O切線;(３）過Ｄ點(diǎn)作ＤＧ⊥BC于Ｇ，OG與DG相交于點(diǎn)M,求證：DＭ=ＧＭ.9．如圖,在直角梯形ABCＤ中，AD∥ＢC，∠Ｂ=90°,AD＝1３cm,BＣ=１6ｃｍ，CD=5cm,AB為⊙O直徑,動(dòng)點(diǎn)Ｐ沿AD方向從點(diǎn)A開始向點(diǎn)D以１cm/秒速度運(yùn)動(dòng),動(dòng)點(diǎn)Q沿CB方向從點(diǎn)C開始向點(diǎn)B以2ｃｍ／秒速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同步出發(fā),當(dāng)其中一點(diǎn)停止時(shí),另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).(１)求⊙Ｏ直徑;(2）求四邊形PQCD面積y關(guān)于P、Ｑ運(yùn)動(dòng)時(shí)間t函數(shù)關(guān)系式,并求當(dāng)四邊形PQCD為等腰梯形時(shí)，四邊形PＱCP面積;(３)與否存在某時(shí)刻t,使直線ＰQ與⊙O相切，若存在,求出ｔ值;若不存在，請闡明理由.（煙臺市中考題）１0．已知在△ＡBC中,∠Ｃ=90°,AC=４，ＢC＝3,ＣＤ為ＡB上高,Oｌ、O2分別為△ACD、△BCD內(nèi)心，則OｌO2=．11．如圖，在△ＡBＣ中,∠C=９０°，∠A和∠B平分線相交于P點(diǎn)，又ＰE⊥AＢ于點(diǎn)E,若BC＝2,ＡC=3，則ＡE·EB＝．12.假如一種三角形面積和周長都被始終線所平分，那么該直線必通過這個(gè)三角形(）Ａ.內(nèi)心B.外心C.圓心D.重心13．如圖,AＤ是△ABC角平分線，⊙O過點(diǎn)AB和BＣ相切于點(diǎn)P,和AB、AC分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，若BＤ=AＥ，且BE=a，CＦ=b,則AＦ長為（)A．B.C．D．１４.如圖，在矩形ABCD中,連結(jié)ＡC，假如O為△ＡBC內(nèi)心,過O作OE⊥AD于Ｅ,作OF⊥CＤ于F,則矩形OFＤE面積與矩形ＡBCD面積比值為（)A.B.C.D.不能擬定(《學(xué)習(xí)報(bào)》公開賽試題)⌒1５.如圖,AB是半圓直徑，AC為半圓切線,ＡC=ＡB.在半圓上任取一點(diǎn)D,作DE⊥CD,交直線AB于點(diǎn)Ｆ,BF⌒（1)設(shè)AＤ是ｘ°弧,并要使點(diǎn)E在線段BA延長線上,則x取值范疇是;(2）無論D點(diǎn)取在半圓什么位置,圖中除ＡB＝ＡC外,尚有兩條線段一定相等，指出這兩條相等線段,并予證明.1６.如圖,△ＡBC三邊滿足關(guān)系BC=(ＡB+ＡC)，O、I分別為△ＡＢＣ外心、內(nèi)心，∠BＡC外角平分線交⊙O于Ｅ，ＡI延長線交⊙O于D,DE交BC于H.求證:(1)AI=BD；(2)ＯI=ＡE．１７.如圖，已知AB是⊙O直徑，BC是⊙Ｏ切線，OC平行于弦AD，過點(diǎn)D作DＥ⊥AB于點(diǎn)E,連結(jié)ＡC,與DE交于點(diǎn)Ｆ,問EＰ與PＤ與否相等?證明你結(jié)論．⌒１８.如圖，已知點(diǎn)P在半徑為6，圓心角為90°扇形O