人教版數(shù)學(xué)必修五解三角形

人教版數(shù)學(xué)必修五

第一章解三角形

1.1正弦定理和余弦定理

【要點(diǎn)內(nèi)容】

一、正弦定理:

在任一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦比相等，即，_=」_=_==2R（R為

sinAsinBsinC

△ABC外接圓半徑）

正弦定理的應(yīng)用

正弦定理可以用來解兩種類型的三角問題:

1.兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角;

2.兩邊和其中一?邊對(duì)角，求另一邊的對(duì)角,進(jìn)而可求其它的邊和角。（見圖示）已知a,b

和A,用正弦定理求B時(shí)的各種情況：

⑴若A為銳角時(shí):

a<bsinA無解

a=bsinA一解（直角）

bsinA<a<b二解（一銳,一鈍）

a>b一解（銳角）

已知邊a,b和/A

a<CH=bsinAa=CH=bsinACH=bsinA<a<b

無解僅有一個(gè)解有兩個(gè)解

aSb無解

⑵若A為直角或鈍角時(shí)：4"

a>b一解（銳角）

2、余弦定理

余弦定理用語言可以這樣敘述，二角形一邊的平方等于另兩邊的平方和再減去這兩邊與

夾角余弦的乘積的2倍.即：

a2=/?2+c2-2bccosA

h2—c1+a2-2cacosB

c2=a2+b~-2ahcosC

若用三邊表示角，余弦定理可以寫為

co?A=~ac-

a'+J?b'

co?B=

2ac

co?C=―-

余弦定理可解以下兩種類型的三角形：

(1)已知三角形的三條邊長(zhǎng)，可求出三個(gè)內(nèi)角；

(2)已知三角形的兩邊及夾角，可求出第三邊.

注意：

在(0,Ji)范圍內(nèi)余弦值和角的一一對(duì)應(yīng)性.若cosA>0.則A為銳角；若cosA=0,

則A為直角；若cosA<0,則A為鈍角.

3、余弦定理與勾股定理的關(guān)系、余弦定理與銳角三角函數(shù)的關(guān)系

在aABC中,c2=a2+b-2abcosC.若NC=90°,則cosC=0,于是

c2=a2+b2-2ab,0=a'+b2.

說明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推廣.

另外，8認(rèn)二線;W中,當(dāng)/C=90?時(shí)，《?=丁+/，A

ZDC

2blb

COSA.----------------------------------——

2bcc

這與RlZXABC中，ZC=90°的銳角三角函數(shù)一致，即直角三角形中的銳角三角函數(shù)是

余弦定理的特例.

4、三角形的有關(guān)定理：

內(nèi)角和定理:A+B+C=180°,sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,

CA+BCA+B

cos-=sin-----,sin—=cos------

2222

面積公式：S=-absinC=—bcsinA=—casinB

222

S=prrp(p_a)(p-b)(p_c)(其中p=——-——r為內(nèi)切圓半徑）

射影定理：a-bcosC+ccosB；b-acosC+ccos4c=acosB+bcosA

【典型例題】

例1已知在A4BC中，,=10,4=45°,。=30°,求兄6和5

解：???c=10,A=45°,C=30°

8=180°—(A+C)=105°

由,=，得fl=￡sinA=10xsin45°=10^

sinAsinCsinCsin30°

hr

由=得

sinBsinC

csinB_10xsinl05°2。、丁=56+5行

=20sin75°

sinCsin300

例2在A48c中，b=0,8=60°4=1,求。和人,。

..bc.csinB1xsin6001

解：.------=-------sinC=-------------=------；=—=-

sin5sinChJ32

?:b>c,B=60°,.-.C<8,C為銳角，.?.C=30°,6=90°

a=ylb2+c2=2

例3AA3C中，C=遙,4=45°,4=2,求萬和3,。

”，ac.八csinA76xsin45

解：?/------=-------sinC=-------------=-----------------=—

sinAsinCa22

?.?csinA<a<c,:.C=60°或120°

csinB遙sin75°

.?.當(dāng)C=60°時(shí)，8=75°/Vs+1,

sinCsin60°

???當(dāng)CM-S*二4q

:.b=43+l,B=75°,C=60°或b=6-、,B=15°,C=120°

例5在△ABC中，已知a=Ji,b=J^,B=45°,求A,C及邊c.

解：由正弦定理得：$出人=竺*=叵平竺"=且，因?yàn)?=45°<90°且b<a,

b422

所以有兩解A=60°或A=120°

(1)當(dāng)A=60°時(shí),C=180°YA+B)=75°,?=如￡=二當(dāng)"_=

sinBsin45°2

Q)當(dāng)A=“。。時(shí)，C—95:。=鬻=印聯(lián)V6-V2

2

思維點(diǎn)撥：已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形問題，用正弦定理解，但需注意解的情況的

討論.

★★★高考要考什么

【考點(diǎn)透視】

本專題主要考查正弦定理和余弦定理.

【熱點(diǎn)透析】

三角形中的三角函數(shù)關(guān)系是歷年高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一，本節(jié)主要幫助考生深刻理解正、

余弦定理，掌握解斜三角形的方法和技巧,學(xué)生需要掌握的能力：

(1)運(yùn)用方程觀點(diǎn)結(jié)合恒等變形方法巧解三角形；

(2)熟練地進(jìn)行邊角和已知關(guān)系式的等價(jià)轉(zhuǎn)化；

(3)能熟練運(yùn)用三角形基礎(chǔ)知識(shí)，正(余)弦定理及面積公式與三角函數(shù)公式配合，通過等

價(jià)轉(zhuǎn)化或構(gòu)建方程解答三角形的綜合問題，注意隱含條件的挖掘，

★★★突破重唯皮

［范例1］在4ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,b=acosC,且4ABC的最大

邊長(zhǎng)為12,最小角的正弦值為

3

(1)判斷AABC的形狀；

(2)求aABC的面積。

解析(1),/b=acosC,?二由正弦定理，得sinB=sinAcosC,(#)

VB=^—(A4-C),??sinB=sin(A+C),從而(#)式變?yōu)閟in(A+C尸sinAcosC,

???

??cosAsinC=0,XA,CE(0,不)??cosA=0,A=y,??z^ABC是直角三角形。

(2)?一△ABC的最大邊長(zhǎng)為12,由(1)知斜邊。=12,又?「△ABC最小角的正弦值

為L(zhǎng)/.Rt/XABC的最短直角邊為12x1=4,另一條直角邊為8J5

33

,,SAABC=—x4xSy/2=16A/2

2

【點(diǎn)晴】此題主要考查三角函數(shù)變換及正弦定理的應(yīng)用.用正弦定理化邊為角，再以角

為突破口，判斷出AABC的形狀，最后由已知條件求出三條邊，從而求面積.

【文】在aABC中，若tanA：tanB=&2：/,試判斷aABC的形狀.

解析由同角三角函數(shù)關(guān)系及正弦定理可推得包細(xì)竺■包￡4.

cosAonfiairB

*：A、B為三角形的內(nèi)角，...sinA和,sinB^O.

cosBdnA

..an2A-sin2B.

cosXanB'

；.2A=2B或2A=TT-2B,，A=B或A+B=—.

2

所以4ABC為等腰三角形或直角三角形.

【點(diǎn)晴】三角形分類是按邊或角進(jìn)行的，所以判定三角形形狀時(shí)一般要把條件轉(zhuǎn)化為邊

之間關(guān)系或角之間關(guān)系式，從而得到諸如矛+丫=&a2+b〉c，(銳角三角形)，爐+加

(鈍角三角形)或sin(A—B)=0,sinA=sinB,sinC=1或cosC=0等一些等式，進(jìn)而判定

其形狀，但在選擇轉(zhuǎn)化為邊或是角的關(guān)系上，要進(jìn)行探索.

【文】在△48C中，a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊，4sin2B+C-cos2A=-.

22

(1)求角A的度數(shù)；

⑵若b+c=3,求6和c的值.

解析⑴由4sin2"C—cos2A=2及A+8+C=180°,得：

22

,7,

2[1-cos(B+C)]-2cos*,A+l=—,4(1+cosA)-4cos~A=5

即4cos之A—4cosA+l=0,.\cosA=—,

???00<A<180°,.\A=60°

序上「22

(2)由余弦定理得：cosA='

2bc

222

A1,b+c-a].〃、22八

*.*cosA=—..--------------=-..(b+c)—a=3bc,

22bc2

r八、、r”口,[b+c=3.f/?=1?f/?=2

〃=+c=3代入上式得:be=2由《得t=J：《或《

be=2[c=2[c=1

【點(diǎn)睛】正弦定理和余弦定理在解斜三角形中應(yīng)用比較廣泛.

【范例3】已知AABC的周長(zhǎng)為6,|后斗|《司彳可成等比數(shù)列，求

(1)AABC的面積S的最大值；

(2)而就的取值范圍.

解析設(shè)|前而|依次為a,b,c,則a+b+c=6,b2=ac.

,.a2+c2-b~

在△AABC中得cosBn=----------------

2ac

故有0<8wC.又〃=疝4"￡=I,從而0<bW2.

322

吟即皿

(1)S=—acsinB=—b~sinB<--22si=Gs=3

222

-z~r■cC+c**—b~(〃+c)2_2ac_b~

(2)BABC=accosB=----------------=--------------------------

22

=空字j+3A+27.

v0</><2,：.2<BABC<IS.

【點(diǎn)睛】三角與向量結(jié)合是高考命題的一個(gè)亮點(diǎn).問題當(dāng)中的字母比較多，這就需要我

們采用消元的思想，想辦法化多為少，消去一些中介的元素，保留適當(dāng)?shù)闹髯冊(cè)?主變?cè)?/p>

解答問題的基本元素，有效的控制和利用對(duì)調(diào)整解題思路是十分有益處的.