淺談冪指函數(shù)類(lèi)未定式極限的計(jì)算

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本文給出了三個(gè)計(jì)算冪指函數(shù)類(lèi)未定式極限的主要結(jié)論，它們?cè)诶碚摵蛻?yīng)用兩方面都有確定的意義

冪指函數(shù)；極限；計(jì)算

1.引言

全國(guó)碩士研究生入學(xué)考試的數(shù)學(xué)試題中常展現(xiàn)冪指函數(shù)類(lèi)未定式極限的計(jì)算問(wèn)題，這對(duì)眾多考生而言，是一個(gè)難點(diǎn)，這也是微積分教學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)，為了解決這一問(wèn)題，本文給出了三個(gè)計(jì)算冪指函數(shù)類(lèi)未定式極限的主要結(jié)論，并舉例加以說(shuō)明.

2.主要結(jié)果

文獻(xiàn)［1］給出了計(jì)算1∞型極限的兩種方法，在此根基上，我們有如下結(jié)論：

定理1若limf(x)=0,limg(x)=∞且limg(x)［±f(x)］=a，那么lim［1±f(x)］g(x)=ea.

定理2若limf(x)=1，limg(x)=∞且limg(x)lnf(x)=a，那么limf(x)g(x)=ea.

對(duì)00型與∞0型極限有如下結(jié)論：

定理3若limf(x)=0(或∞),limg(x)=0且limg(x)lnf(x)=a，那么limf(x)g(x)=ea.

3.應(yīng)用舉例

下面舉例說(shuō)明上述三個(gè)定理的應(yīng)用：

例1求極限limx→0(x+ex)1x.

解鮮明這是1∞型極限.

方法1由于極限limx→01x(x+ex-1)=limx→01+ex-1x=2，

故原式=limx→0［1+(x+ex-1)］1x=e2.

方法2由于極限

limx→01xln(x+ex)=limx→0ln［1+(x+ex-1)］x

=limx→0x+ex-1x=2，

故原式=e2.

方法3由于極限limx→01xxex=1，

故原式=limx→0e1+xex1x=ee1=e2.

例2求以下極限：

(1)limx→∞sin1x+cos1xx.

(2)limx→0ex+e2x+…+enxn1x，n∈N.

(3)limx→∞lnn-2na+1n(1-2a)n，其中，a為常數(shù)且a≠12.

解鮮明，這三個(gè)考題均屬于1∞型極限.

(1)方法1∵極限limx→∞xsin1x+cos1x-1=limx→∞sin1x+cos1x-11x=limx→∞sin1x1x+limx→∞-12x21x=1，

∴原式=limx→∞1+sin1x+cos1x-1x=e1=e.

方法2令t=1x，那么

原式=limt→0(sint+cost)1t=limt→0［1+(sint+cost-1)］1t.

又limt→01t(sint+cost-1)=1，

故原極限=e1=e.

(2)由于limx→0(ex-1)+(e2x-1)+…+(enx-1)nx

=1nlimx→0ex-1x+limx→0e2x-1x+…+limx→0enx-1x

=1n(1+2+…+n)=12(n+1)，

故原式=limx→01+(ex-1)+(e2x-1)+…+(enx-1)n1x=e12(n+1).

(3)由于limn→∞nn(1-2a)=11-2a,

故原式=limn→∞ln1+1n(1-2a)n=lne11-2a=11-2a.

例3求以下極限：

(1)limx→0+(arctanx)1+x-1-xx.

(2)limx→0+(cotx)1lnx.

解(1)由于limx→0+1+x-1-xxxln(arctanx)

=limx→0+2xx(1+x+1-x)lnx

=limx→0+lnx=-∞，

故原式=0.

(2)由于limx→0+1lnxlncotx=limx→0+1cotx(-csc2x)1x=-limx→0+xtanxsin2x=-limx→0+x2x2=-1，故原式=e-1.

［1］陳文燈，黃先開(kāi).數(shù)學(xué)題型集粹與練習(xí)題集（2022版）［M］.北京：世界圖書(shū)出版公司，2022.

［2］武忠祥，吳云江，魏戰(zhàn)線.歷屆數(shù)學(xué)考研試題研