小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽牛頓問(wèn)題

牛頓問(wèn)題【知識(shí)要點(diǎn)】三百多年前，著名科學(xué)家牛頓著的《普通算術(shù)》一書(shū)中有這樣一道題：12頭牛4周吃一…1一，、…_一一，… 、 …………， 一，、牧草3§格爾，同樣牧草，21頭牛9周吃10格爾。問(wèn)24格爾牧草，多少頭牛吃18周吃完（格爾一一牧場(chǎng)面積單位）？從此人們不斷地探討這類(lèi)題的解題規(guī)律，并把類(lèi)似的題稱(chēng)為“牛頓問(wèn)題”，也就是人們常說(shuō)的“牛吃草”問(wèn)題解答這類(lèi)問(wèn)題的困難在于：“草的總量在變，隨著時(shí)間的增加，牧場(chǎng)上的草在均勻地生長(zhǎng)，時(shí)間愈長(zhǎng)，草的總量越多。草的總量是由兩部分組成的：①某個(gè)時(shí)間期限前牧場(chǎng)上原有的草；②這個(gè)時(shí)間期限后牧場(chǎng)上每天（周）新長(zhǎng)出的草，因此，設(shè)法找出這兩個(gè)量是解題的關(guān)鍵。解答牛頓問(wèn)題，主要涉及以下兩組基本數(shù)量關(guān)系:"牛吃掉的草=原有的草+新長(zhǎng)出來(lái)的草每頭牛每天吃的草X天數(shù)X牛的頭數(shù)=草的總量由于每頭牛每天吃草量是一定的，因此，第二個(gè)數(shù)量關(guān)系可以簡(jiǎn)化為：牛的頭數(shù)X牛吃草的天數(shù)=草的總量【典型例題】例1.牧場(chǎng)上長(zhǎng)滿(mǎn)青草，草每天均勻生長(zhǎng)。這片牧場(chǎng)可供10頭牛吃20天，可供15頭牛吃10天。那么供25頭?？沙詭滋?？分析：由題意可知，牧場(chǎng)上原有草量是一定的，每天新長(zhǎng)出的草量也是一定的。牛所吃草的總量總是等于牧場(chǎng)原有草量加上每天新長(zhǎng)出的草量的和10頭牛吃20天TOC\o"1-5"\h\z‘I 七八 …- ‘不'~20天蟒長(zhǎng)的草 '15頭牛吃打0天了一 人 j 、'康君曬草的確:從上面的圖可以看出：10頭牛20天吃的總草量比15頭牛10天吃的總草量多，多的部分相當(dāng)于（20—10）天新長(zhǎng)出的草量，因此可以先求出每天新長(zhǎng)出的草量，再求出牧場(chǎng)上原有的草量，最后解答所求的問(wèn)題天津市晟嘉培訓(xùn)中心解：設(shè)每頭牛每天吃草量為1個(gè)面積單位10頭牛20天的吃草量為：10X20=20015頭牛10天的吃草量為：15X10=150(3)牧場(chǎng)每天新長(zhǎng)出的草夠多少頭牛吃1天：(200—150);(20—10)=5(頭)牧場(chǎng)上原有的草：200—5X20=100或150—5X10=10025頭牛吃的天數(shù)：100;(25—5)=5(天)答：可供25頭牛吃5天例2.一只船發(fā)現(xiàn)漏水時(shí)，已經(jīng)進(jìn)了一些水，水勻速進(jìn)入船內(nèi)。如果10人淘水，3小時(shí)淘完;如果5人淘水8小時(shí)淘完。如果要求2小時(shí)淘完，要安排多少人淘水？分析：本題中總水量隨漏水時(shí)間的延長(zhǎng)而增加，因此總水量是一個(gè)變化的量，但是單位時(shí)間內(nèi)漏進(jìn)船的水的增長(zhǎng)量是不變的量，船內(nèi)原有的水量(即發(fā)現(xiàn)船漏水時(shí)船內(nèi)已有的水量)也是不變的量，按照例1的解法先求出這兩個(gè)不變的量，再所求的問(wèn)題解：設(shè)每個(gè)人每小時(shí)的淘水量為1個(gè)單位(1)每小時(shí)的漏水量為：(5X8—10X3)；(8—3)=2即每小時(shí)漏進(jìn)水量為2個(gè)單位，相當(dāng)于每小時(shí)2人的淘水量(2)船內(nèi)原有的水量為：10X3—2X3=24(3)安排多少人，2小時(shí)可以淘完？(24+2X2)；2=14(人)或24；2+2=14(人)答：如果要求2小時(shí)淘完，要安排14人淘水例3.某火車(chē)站的檢票口，在檢票開(kāi)始前已有一些人排隊(duì)，檢票開(kāi)始后每分鐘有10人前來(lái)排隊(duì)檢票，一個(gè)檢票口每分鐘能讓25人檢票進(jìn)站。如果只有一個(gè)檢票口，檢票開(kāi)始8分鐘后就沒(méi)有人排隊(duì);如果有兩個(gè)檢票口，那么檢票開(kāi)始后多少分鐘就沒(méi)有人排隊(duì)？分析：進(jìn)入火車(chē)站的人數(shù)包括兩個(gè)部分，一部分是檢票前已排隊(duì)的人數(shù)，另一部分是檢票后來(lái)的人數(shù)解：(1)檢票前已排隊(duì)的人數(shù)：25X8X1—10X8=120(人)(2)設(shè)如果有兩個(gè)檢票口，那么x分鐘可檢完。列方程得：25x2xx-10x=12040x=120x=3答：如果有兩個(gè)檢票口，那么3分鐘后就沒(méi)有人排隊(duì)天津市晟嘉培訓(xùn)中心例4.甲、乙、丙三個(gè)倉(cāng)庫(kù)，各存放著數(shù)量相同的面粉，甲倉(cāng)庫(kù)用一臺(tái)皮帶輸送機(jī)和12個(gè)工人，5小時(shí)可將甲倉(cāng)庫(kù)里的面粉搬完；乙倉(cāng)庫(kù)用一臺(tái)皮帶輸送機(jī)和28個(gè)工人，3小時(shí)可將倉(cāng)庫(kù)內(nèi)的面粉搬完；丙倉(cāng)庫(kù)現(xiàn)有2臺(tái)皮帶輸送機(jī)，如果要用2小時(shí)把丙倉(cāng)庫(kù)內(nèi)的面粉搬完，同時(shí)還需要多少個(gè)工人？(每個(gè)工人的工效相同，每臺(tái)皮帶輸送機(jī)的工效也相同，另外皮帶輸送機(jī)與工人一起往外搬運(yùn)面粉)分析：這是“牛吃草”問(wèn)題的一種變式。在“牛吃草”問(wèn)題中，新長(zhǎng)出的草與牛吃掉的草，兩者是相減的關(guān)系，而這里皮帶輸送機(jī)的搬運(yùn)量與工人的搬運(yùn)量是相加的關(guān)系。這里雖然沒(méi)有“原有的草”這一角色，但我們?nèi)钥梢圆捎谩芭３圆荨钡慕忸}思路來(lái)解這道題解：設(shè)1個(gè)工人1小時(shí)搬運(yùn)的面粉量為1(1)1臺(tái)皮帶輸送機(jī)1小時(shí)的輸送量為：(28X3—12X5)：(5—3)=12(2)每個(gè)倉(cāng)庫(kù)存放的面粉數(shù)量為：28X3+12X3=120或12X5+12X5=120(3)丙倉(cāng)庫(kù)還需要工人的人數(shù)為：(120—12X2X2);2=36(人)答：丙倉(cāng)庫(kù)還需要36名工人【能力訓(xùn)練】A級(jí).有一片牧場(chǎng)上的草均勻地生長(zhǎng)。24頭牛6天可以把草吃完；20頭牛10天可以把草吃完。牧場(chǎng)每天生長(zhǎng)的草可供幾頭牛吃1天？.牧場(chǎng)上有一片青草，可以供27頭牛吃6天，供23頭牛吃9天。如果每天牧草生長(zhǎng)速度相同，那么這片牧草可以供21頭牛吃幾天？.牧場(chǎng)上有一片青草，24只羊6天可以把草吃完；20只羊10天也可以把青草吃完。那么多少只羊12天可以把青草吃完？.有一眼泉井，用功率一樣的3臺(tái)抽水機(jī)去抽水，同時(shí)開(kāi)機(jī)，40分鐘可以將井水抽干；用同樣的6臺(tái)抽水機(jī)去抽，則只需要16分鐘就可抽干。那么用同樣的抽水機(jī)9臺(tái)，幾分鐘可以把井水抽干？.有一條船因觸礁破了一個(gè)洞，河水均勻地進(jìn)入船內(nèi)，發(fā)現(xiàn)船漏時(shí)，船已進(jìn)了一些水。如果12個(gè)人淘水則3小時(shí)可以把水淘完；如果5人淘水則10小時(shí)可以把水淘完。如果需要2小時(shí)內(nèi)淘完水，需要多少人？天津市晟嘉培訓(xùn)中心.24頭牛6天可以將一片牧草吃完；21頭牛8天也可以將這片牧草吃完；如果每天草的增長(zhǎng)量相等，要使這片牧草永遠(yuǎn)吃不完，至多放幾頭牛吃這片牧草？.由于天氣逐漸變冷，牧場(chǎng)上的草每天以均勻地速度減少。經(jīng)計(jì)算，牧場(chǎng)上的草可供20頭牛吃5天，或可供16頭牛吃6天。那么，可供11頭牛吃多少天？.某化肥廠除原有的一堆化肥外，每天都生產(chǎn)出相同數(shù)量的化肥，這個(gè)化肥廠的化肥用汽車(chē)來(lái)運(yùn)，用16輛汽車(chē)32天恰好運(yùn)完，用24輛汽車(chē)16天恰好運(yùn)完。如果要8天恰好運(yùn)完，那么需要多少輛汽車(chē)來(lái)運(yùn)？.商店有一批水果，每天不斷從其他地方購(gòu)進(jìn)這種水果，進(jìn)貨的數(shù)量相同。如果商店每天賣(mài)出200千克，12天賣(mài)完；如果每天賣(mài)出300千克，6天賣(mài)完。商店原有水果多少千克？.用拖拉機(jī)耕一片地，如果再調(diào)2臺(tái)拖拉機(jī)，10天可以耕完；如果再調(diào)5臺(tái)拖拉機(jī)，8天就可以耕完。已知每臺(tái)拖拉機(jī)每天耕地效率相同，那么原來(lái)耕地的拖拉機(jī)有多少臺(tái)？B級(jí).有一個(gè)水池，池底有一個(gè)打開(kāi)的出水口。如果用5臺(tái)抽水機(jī)20小時(shí)可將水抽完，如果用8臺(tái)抽水機(jī)15小時(shí)可將水抽完。如果僅靠出水口出水，把水漏完需幾小時(shí)？.一水庫(kù)存水量一定，河水均勻入庫(kù)。5臺(tái)抽水機(jī)連續(xù)20天可抽干；6臺(tái)同樣的抽水機(jī)連續(xù)15天可抽干。若要求6天抽干，需要多少臺(tái)同樣的抽水機(jī)？.經(jīng)測(cè)算，地球上的資源可供100億人生活100年，或可供80億人生活300年。假設(shè)地球新生成的資源增長(zhǎng)速度是一定的，為了使人類(lèi)有不斷發(fā)展的潛力，那么最多能養(yǎng)活多少億人？.甲、乙兩輛汽車(chē)同時(shí)從A地出發(fā)，追趕一輛自行車(chē)。它們的速度分別是每分鐘800米和700米，追上自行車(chē)的時(shí)間分別是6分鐘和8分鐘。自行車(chē)每分鐘行多少米？?jī)绍?chē)從A地出發(fā)時(shí)，自行車(chē)離A地有多遠(yuǎn)？.快、中、慢三輛汽車(chē)同時(shí)從A地出發(fā)，追趕一輛自行車(chē)，三輛汽車(chē)的速度分別是每小時(shí)24千米、每小時(shí)20千米和每小時(shí)19千米?？燔?chē)追上自行車(chē)用了6小時(shí)，中車(chē)追上自行車(chē)用了10小時(shí)，慢車(chē)追上自行車(chē)用多少小時(shí)？.文化宮舉辦《戒毒展覽》，開(kāi)門(mén)前已有一些人排隊(duì)，開(kāi)門(mén)后每分鐘有40人前來(lái)排除，一個(gè)門(mén)每分鐘能讓60人進(jìn)門(mén)，如果只開(kāi)一個(gè)門(mén)12分鐘就沒(méi)人排隊(duì)，如果打開(kāi)2個(gè)門(mén)，開(kāi)門(mén)后多少分鐘就沒(méi)人排隊(duì)等候？天津市晟嘉培訓(xùn)中心.一個(gè)蓄水池，每分鐘流入4立方米水，如果打開(kāi)5個(gè)水龍頭，2.5小時(shí)就把水池的水放完；如果打開(kāi)8個(gè)水龍頭，1.5小時(shí)就把水池水放完?，F(xiàn)在打開(kāi)13個(gè)水龍頭，要多長(zhǎng)時(shí)間才能把水池的水放完？.一個(gè)水池，底部有一個(gè)常開(kāi)的排水管，上部安裝有若干個(gè)同樣粗細(xì)的進(jìn)水管。打開(kāi)2個(gè)進(jìn)水管。需15小時(shí)把水池注滿(mǎn)；如果打開(kāi)4個(gè)進(jìn)水管，只需5小時(shí)就可將水池注滿(mǎn)，現(xiàn)在要在2小時(shí)內(nèi)將水池注滿(mǎn)，那么至少要打開(kāi)幾個(gè)進(jìn)水管？.一片牧草，每天生長(zhǎng)的速度相同?，F(xiàn)在這片牧場(chǎng)上的草可供16頭牛吃20天，或者可供80只羊吃12天。如果1頭牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么10頭牛和60只羊一起吃可以吃多少天？.甲、乙、丙三塊地，每塊地的面積一樣大，甲塊地用1臺(tái)拖拉機(jī)和6頭牛5天耕完，乙塊地用1臺(tái)拖拉機(jī)和16頭牛3天耕完，丙塊地有拖拉機(jī)2臺(tái)，如果要求2.5天把地耕完，同時(shí)還要多少頭牛？C級(jí).有一滿(mǎn)池水，池底有泉水總能均勻地向外涌流。若用24部A型抽水機(jī)6天可抽干池水，若用21部A型抽水機(jī)8天也可抽干池水。設(shè)每部抽水機(jī)單位時(shí)間的抽水量相同，要使這一池水永遠(yuǎn)抽不干，則至多只能用幾部A型抽水機(jī)抽水？.甲、乙、丙三人同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，沿同一路線追趕前面的張明。這三人分別用9分鐘、15分鐘、18分鐘追上張明。已知甲每小時(shí)行24千米，乙每小時(shí)行20千米，求丙每小時(shí)行多少千米？.有一片牧草，每天勻速生長(zhǎng)，它可供17只羊吃30天；或可供19只羊吃24天?，F(xiàn)有若千只羊，吃6天后賣(mài)了4只，余下的羊再吃2天將草吃完，那么原來(lái)有多少只羊？.22頭牛，吃33公畝牧場(chǎng)的草54天可吃盡；17頭牛吃同樣牧場(chǎng)28公畝的草，84天可吃盡。請(qǐng)問(wèn)幾頭牛吃同樣的牧場(chǎng)40公畝的草，24天可吃盡（每公畝牧草原草量相等，且草勻速生長(zhǎng)）？.兩個(gè)頑皮的孩子逆著自動(dòng)扶梯行駛的方向行走。男孩每秒可走3級(jí)梯級(jí)，女孩每秒可走2級(jí)梯級(jí)。結(jié)果從扶梯的一端到達(dá)另一端，男孩走了100秒，女孩走了300秒。該扶梯共有多少級(jí)梯級(jí)？.某車(chē)站在檢票前若干分鐘就開(kāi)始排隊(duì)，每分鐘來(lái)的旅客人數(shù)一樣多。從開(kāi)始檢票到等候檢票的隊(duì)伍消失，若同時(shí)開(kāi)5個(gè)檢票口則需30分鐘，若同時(shí)開(kāi)6個(gè)檢票口則需20分鐘。如果要使隊(duì)伍10分鐘消失，需同時(shí)開(kāi)幾個(gè)檢票口？第5頁(yè)共6頁(yè) 天津市晟嘉培訓(xùn)中心.收電話費(fèi)早上9時(shí)30分開(kāi)門(mén)，由于是繳費(fèi)截止日，早就有人在外等候，從第一個(gè)交費(fèi)的人來(lái)時(shí)起，每分鐘來(lái)的用戶(hù)人數(shù)一樣多，如果6個(gè)人收費(fèi)，10時(shí)30分鐘就不再有人排隊(duì)，如果10個(gè)人收費(fèi)，10時(shí)整就不再有人排隊(duì)。問(wèn)開(kāi)門(mén)前多長(zhǎng)時(shí)間就有人排隊(duì)？.畫(huà)展9點(diǎn)開(kāi)門(mén)，但早有人來(lái)排隊(duì)等候入場(chǎng)，從第一個(gè)觀眾來(lái)時(shí)起，每分鐘來(lái)的觀眾數(shù)一樣多，如果開(kāi)3個(gè)入場(chǎng)口，9時(shí)9分就不再有人排隊(duì)，如果開(kāi)5個(gè)入場(chǎng)口，9時(shí)5分就沒(méi)有人排隊(duì)，那么第一個(gè)觀眾到達(dá)的時(shí)間是幾時(shí)幾分？.有一個(gè)蓄水池裝有9根水管，其中一根為進(jìn)水管，其余8根為相同的出水管，進(jìn)水管以均勻的速度不停地向這個(gè)蓄水池注水。后來(lái)有人想打出水管，使池內(nèi)的水全部排光（這時(shí)池內(nèi)已注入了一些水）。如果