2023屆天津市南開中學(xué)濱海名校高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

24/2525/25/天津市南開中學(xué)濱海名校高三年級2022—2023第一學(xué)期質(zhì)量反饋數(shù)學(xué)學(xué)科試卷本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘．答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、姓名、準(zhǔn)考證號涂寫在答題卡和答題紙上．答卷時，考生務(wù)必將Ⅰ卷答案涂在答題卡上，Ⅱ卷答案寫在答題紙上，答在試卷上的無效．第Ⅰ卷選擇題（45分）注意事項：1．每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．2．本卷共9小題，每小題5分，共45分．一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知全集，集合，，則A. B.C. D.2.設(shè)，則“”是“”的A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D既不充分也不必要條件3.已知，則（）A B. C. D.4.函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.5.已知等比數(shù)列滿足，，則的值為（）A B. C.1 D.26.設(shè)，則大小關(guān)系為（）A. B.C. D.7.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A.直線是圖象的一條對稱軸B.圖象的對稱中心為，C.在區(qū)間上單調(diào)遞增D.將的圖象向左平移個單位長度后，可得到一個奇函數(shù)的圖象8.已知定義在上的函數(shù)滿足，，則關(guān)于的不等式的解集為（）A. B. C. D.9.已知定義在R上的函數(shù)，若函數(shù)恰有2個零點(diǎn)，則實數(shù)m的取值范圍為（）A. B.C. D.第Ⅱ卷（105分）注意事項：1．用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上．2．本卷共11小題，共105分．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．10._______11.若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)的值是__________.12.已知函數(shù)，若正數(shù)a、b滿足，則______，的最小值為______.13.設(shè)100件產(chǎn)品中有70件一等品，25件二等品，規(guī)定一、二等品為合格品．從中任取1件，已知取得的是合格品的條件下，則它是一等品的概率為_______．14.已知函數(shù)在上有且僅有2個零點(diǎn)，則實數(shù)的取值范圍為______.15.已知函數(shù)，若恰有2個零點(diǎn)，則實數(shù)a的值為______，若關(guān)于x的方程恰有4個不同實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍為______.三、解答題（共75分）16.已知a，b，c分別為三個內(nèi)角A，B，C的對邊，且.（1）求A；（2）若，求的值；（3）若面積為，，求的周長.17.如圖,正三棱柱中,是中點(diǎn)．（1）求證:平面;（2）若,,求點(diǎn)到平面距離;（3）當(dāng)為何值時,二面角的正弦值為？18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的離心率為，短軸長是2．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)橢圓的下頂點(diǎn)為，過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，，這兩條直線與橢圓的另一個交點(diǎn)分別為，．設(shè)的斜率為（），的面積為，當(dāng)，求的取值范圍．19.已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前n項和為，，；數(shù)列的前n項和為，.（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和；（3）求證；.20.已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時，若曲線與直線相切，求k的值；（2）當(dāng)時，證明：；（3）若對任意，不等式恒成立，求a的取值范圍.天津市南開中學(xué)濱海名校高三年級2022—2023第一學(xué)期質(zhì)量反饋數(shù)學(xué)學(xué)科試卷本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘．答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、姓名、準(zhǔn)考證號涂寫在答題卡和答題紙上．答卷時，考生務(wù)必將Ⅰ卷答案涂在答題卡上，Ⅱ卷答案寫在答題紙上，答在試卷上的無效．第Ⅰ卷選擇題（45分）注意事項：1．每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．2．本卷共9小題，每小題5分，共45分．一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知全集，集合，，則A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本題根據(jù)交集、補(bǔ)集的定義可得.容易題，注重了基礎(chǔ)知識、基本計算能力的考查.【詳解】，則故選：A【點(diǎn)睛】易于理解集補(bǔ)集的概念、交集概念有誤.2.設(shè)，則“”是“”的A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【詳解】分析：首先求解絕對值不等式，然后求解三次不等式即可確定兩者之間的關(guān)系.詳解：絕對值不等式，由.據(jù)此可知是的充分而不必要條件.本題選擇A選項.點(diǎn)睛：本題主要考查絕對值不等式的解法，充分不必要條件的判斷等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】結(jié)合，利用誘導(dǎo)公式和二倍角公式即可求解【詳解】因為，所以，所以，故選：D4.函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】判斷函數(shù)為奇函數(shù)，由圖像可排除C，D；然后利用特殊值，取，可排除B.【詳解】定義域為，定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，，是奇函數(shù)，排除C，D；當(dāng)時，，排除B；故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像的識別，函數(shù)奇偶性的判斷，屬于基礎(chǔ)題.5.已知等比數(shù)列滿足，，則的值為（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)，利用等比數(shù)列的性質(zhì)求得，再利用通項公式求解.【詳解】在等比數(shù)列中，，，所以，所以，所以，故選：C6.設(shè)，則大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性及中間值比大小.【詳解】因為，，在定義域上單調(diào)遞減，故，，，所以.故選：A7.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A.直線是圖象的一條對稱軸B.圖象的對稱中心為，C.在區(qū)間上單調(diào)遞增D.將的圖象向左平移個單位長度后，可得到一個奇函數(shù)的圖象【答案】C【解析】【分析】由已知圖象求得函數(shù)解析式，將代入解析式，由其結(jié)果判斷A;求出函數(shù)的對稱中心可判斷B;當(dāng)時，，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性判斷C;根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移變換可得平移后函數(shù)解析式，判斷D.【詳解】由函數(shù)圖象可知，,最小正周期為，所以，將點(diǎn)代入函數(shù)解析式中，得：，結(jié)合，所以，故，對于A，當(dāng)時，，故直線不是圖象的一條對稱軸，A錯誤;對于B，令，則，即圖象的對稱中心為，，故B錯誤；對于C，當(dāng)時，，由于正弦函數(shù)在上遞增，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，故C正確；對于D，將的圖象向左平移個單位長度后，得到的圖象，該函數(shù)不是奇函數(shù)，故D錯誤；故選：C8.已知定義在上函數(shù)滿足，，則關(guān)于的不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性解不等式即可.【詳解】令，則，所以在單調(diào)遞減，不等式可以轉(zhuǎn)化為，即，所以.故選：D.9.已知定義在R上的函數(shù)，若函數(shù)恰有2個零點(diǎn)，則實數(shù)m的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】把函數(shù)恰有2個零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為和有兩個交點(diǎn).利用圖像法解.【詳解】因為函數(shù)恰有2個零點(diǎn)，所以和有兩個交點(diǎn).作出函數(shù)的圖像如圖所示：因為時，和相交，所以只需和再有一個交點(diǎn)..當(dāng)時，若與相切，則有的判別式，此時.當(dāng)時，若與相切，則有的判別式，此時.當(dāng)時，若與相切，設(shè)切點(diǎn)為.則有，解得：.所以要使函數(shù)恰有2個零點(diǎn)，只需或或，解得：或或.故選：D【點(diǎn)睛】已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解．第Ⅱ卷（105分）注意事項：1．用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上．2．本卷共11小題，共105分．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．10._______【答案】【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求得答案.【詳解】,故答案為：.11.若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)的值是__________.【答案】【解析】【分析】先利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)，再由實部等于，虛部不等于即可求解.【詳解】因為純虛數(shù)，所以，解得，故答案為：.12.已知函數(shù)，若正數(shù)a、b滿足，則______，的最小值為______.【答案】①.②.【解析】【分析】分析出函數(shù)為上的增函數(shù)且為奇函數(shù)，由已知條件可得出，將所求不等式變形得出，然后再利用基本不等式可求得結(jié)果.【詳解】函數(shù)的定義域為，，故函數(shù)為奇函數(shù)，因為函數(shù)、、、均為上的增函數(shù)，故函數(shù)為上的增函數(shù)，由可得，，可得，則，所以，.當(dāng)且僅當(dāng)，時，等號成立，所以，的最小值為.故答案為:；.13.設(shè)100件產(chǎn)品中有70件一等品，25件二等品，規(guī)定一、二等品為合格品．從中任取1件，已知取得的是合格品的條件下，則它是一等品的概率為_______．【答案】【解析】【分析】方法1：由條件概率公式計算可得結(jié)果.方法2：由條件概率公式計算可得結(jié)果.【詳解】設(shè)事件A表示“取得合格品”，事件B表示“取得一等品”，由已知得：，∴，方法1：∴取得的是合格品，它是一等品的概率為：方法2：∴取得的是合格品，它是一等品的概率為：故答案為：.14.已知函數(shù)在上有且僅有2個零點(diǎn)，則實數(shù)的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】令，解得，然后根據(jù)在上有且只有2個零點(diǎn)列不等式，解不等式即可.【詳解】令，則，解得，因為在上有且只有2個零點(diǎn)，所以，解得.故答案為：.15.已知函數(shù)，若恰有2個零點(diǎn)，則實數(shù)a的值為______，若關(guān)于x的方程恰有4個不同實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍為______.【答案】①.；②.【解析】【分析】先利用導(dǎo)數(shù)研的的圖象，再作出的圖象,恰有2個零點(diǎn)，則與有2個交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合即可得實數(shù)a的值;若關(guān)于x的方程恰有4個不同實數(shù)根，令，通過分析可得有2個不等根,且，，再數(shù)形結(jié)合即可建立的不等式組，即可求解【詳解】當(dāng)時，則，，令，解得，所以當(dāng)時，,單調(diào)遞增，時，,單調(diào)遞減,再根據(jù)題意可作出的圖象如下:若有2個零點(diǎn),則與有2個交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可知;若關(guān)于x的方程恰有4個不同實數(shù)根，令，則有兩個不等實數(shù)根，故，與都有2個交點(diǎn)或者與僅1個交點(diǎn)，與有3個交點(diǎn)；當(dāng)，與都有2個交點(diǎn)，根據(jù)圖象可得，不滿足，舍去；當(dāng)與僅1個交點(diǎn)，與有3個交點(diǎn)，則，，當(dāng)時，，解得，故，解得或，舍去；故兩個實數(shù)根的范圍為，，所以解得，所以實數(shù)m的取值范圍為，故答案為：；【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題求解的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合思想作出函數(shù)的圖象，再通過圖象得到與僅1個交點(diǎn)，與有3個交點(diǎn)，并通過分析得到，三、解答題（共75分）16.已知a，b，c分別為三個內(nèi)角A，B，C的對邊，且.（1）求A；（2）若，求的值；（3）若的面積為，，求的周長.【答案】（1）；（2）；（3）8.【解析】【分析】（1）利用正弦定理進(jìn)行邊角互換，然后利用和差公式進(jìn)行化簡得到，即可得到；（2）利用二倍角公式得到，，然后利用和差公式得到，最后代入即可；（3）利用面積公式得到，利用余弦定理得到，兩式結(jié)合可得，然后求周長即可.【小問1詳解】根據(jù)正弦定理得，，∵，∴，則，∵，∴.【小問2詳解】∵,∴，，，，∴.【小問3詳解】∵面積為，且，∴，整理得①，根據(jù)余弦定理可得，②，聯(lián)立①②，可得，所以周長為8.17.如圖,正三棱柱中,是中點(diǎn)．（1）求證:平面;（2）若,,求點(diǎn)到平面的距離;（3）當(dāng)為何值時,二面角的正弦值為？【答案】（1）證明見解析（2）（3）1【解析】【分析】(1)連接交于點(diǎn),連接,根據(jù)中位線即可證明,再利用線面平行判定定理即可證明;(2)根據(jù)正三棱柱的幾何特征,求出各個長度及,再用等體積法即可求得;(3)建立合適空間直角坐標(biāo)系,設(shè)出長度,找到平面及平面的法向量,建立等式,求出長度之間的關(guān)系即可證明.【小問1詳解】證明:連接交于點(diǎn),連接如圖所示:因為三棱柱,所以四邊形為平行四邊形,所以為中點(diǎn),因為是中點(diǎn),所以,因為平面,平面,所以平面;【小問2詳解】由題知,因為正三棱柱,所以平面,且為正三角形,因為,,所以,,,所以為直角三角形,,記點(diǎn)到平面的距離為,則有,即,即,解得,故到平面的距離為;【小問3詳解】由題,取中點(diǎn)為,可知,所以平面,因為為正三角形,是中點(diǎn),所以,故以為原點(diǎn),方向為軸,方向為軸,方向為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,不妨記,所以,,記平面的法向量為,則有,即,取,可得;記平面的法向量為,則有,即,取,可得;因為二面角的正弦值為,所以,解得:,即當(dāng)時,二面角的正弦值為.18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的離心率為，短軸長是2．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)橢圓下頂點(diǎn)為，過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，，這兩條直線與橢圓的另一個交點(diǎn)分別為，．設(shè)的斜率為（），的面積為，當(dāng)，求的取值范圍．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)離心率和短軸長求出，可得橢圓的方程；（2）寫出直線和的方程，并與橢圓方程聯(lián)立求出的坐標(biāo)，求出和，求出直角三角形的面積，代入，解不等式可得結(jié)果.【小問1詳解】設(shè)橢圓的半焦距為，根據(jù)題意可得，解得，所以橢圓的方程為.【小問2詳解】由（1）知，橢圓的方程為，，所以直線，，設(shè)，，聯(lián)立，消去并整理得，所以，所以，所以，聯(lián)立，消去并整理得，所以，所以，所以,所以，由，得，整理得，得，又，所以，所以或.19.已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前n項和為，，；數(shù)列的前n項和為，.（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和；（3）求證；.【答案】（1），；（2）；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項公式和求和公式列方程，解得，即可得到，