新概念力學(xué)教案

《緒論

1.什么是物理學(xué)

物理學(xué)是研究自然界基本規(guī)律的科學(xué)。

英文Physics來源希臘文，原意為自然;

中文的“物”一一物質(zhì)的結(jié)構(gòu)、性質(zhì)

“理”一一物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)、變化規(guī)律。

基本規(guī)律：物質(zhì)和運(yùn)動(dòng)，或者說，物質(zhì)

世界的組成及其相互作用

物理學(xué)是一門實(shí)驗(yàn)科學(xué)。它的每一個(gè)假說、

原理和定律都是以實(shí)驗(yàn)事實(shí)為依據(jù)的。

4

緒論

■■

仙利略(GGalilei)

天體運(yùn)動(dòng)的觀察分析

17世紀(jì)開普勒(J.Kapler)

牛頓

(L.Newton)_經(jīng)典力學(xué)體系建立

18世紀(jì)力學(xué)和熱學(xué)的發(fā)展與生產(chǎn)結(jié)合

60年代第一次工業(yè)革命

法拉第(M.Faraday)"電磁學(xué)的研究成果導(dǎo)致電力、電

19世紀(jì)

赫茲(H.R.Hertz)機(jī)電器、通訊的實(shí)現(xiàn)

中后葉

麥克斯維(J.C.Maxwell)第二次工業(yè)革命

普朗克(M.Planck)量子力學(xué)建立相對(duì)論形成使人類

了解原子結(jié)構(gòu)、凝聚物質(zhì)內(nèi)部微

愛因斯坦(A.日nstein)

20世紀(jì)觀運(yùn)動(dòng)規(guī)律，獲得核能，促使半

海森堡(W.K.Heisenberg)導(dǎo)體、計(jì)算機(jī)、新能源的發(fā)展

狄拉壺(P.A，M.Dirac)為又一次工業(yè)拿命提供基礎(chǔ)

緒論

2.基本物理量

?物理量分為基本物理量和SI基本單位

導(dǎo)出物理量，引入或定義--

度

長(zhǎng)

個(gè)物理量，必須做到兩點(diǎn)：米m

克

量

千

質(zhì)

1）規(guī)定一種測(cè)量這個(gè)物kg

，

間

秒

時(shí)

理量的方法或標(biāo)準(zhǔn)；A

流

安

電

暗

K

力

開

熱

學(xué)

）規(guī)定一種量度單位。度

2溫

體

質(zhì)

摩

的

物

量i

?目前國(guó)際上選定7個(gè)物理你

光

坎

強(qiáng)

發(fā)

度

量作為基本量，在此基礎(chǔ)上<4-cd

建立國(guó)際單位制。

?通過基本基本概念，基本物理量而得到的物理量稱為導(dǎo)出

物理量。如：1牛頓=1千克?米/秒2

?那些物理量是基本物理量，有一定的任意性和歷史偶然性

?基本物理量是測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)是發(fā)展變化的

1867年國(guó)際計(jì)量局保存的?個(gè)的錦合金原器兩刻度

的間距

1960年11屆國(guó)際計(jì)量大會(huì)：氟（86Kr）原子發(fā)出紅

橙光（5d5—2pio）波長(zhǎng)的1650763.73倍

1983年17屆國(guó)際計(jì)量大會(huì)：光在真空中1/299792

458秒行進(jìn)的路程

緒論

典型的長(zhǎng)度

哈勃半徑1026加

地球半徑6.4x106m

人的典型高度1.8x1()°掰

書頁的厚度1X1()-4m

氫原子半徑5x10m

質(zhì)子有效半徑1.2x10—-

弱電統(tǒng)一的特征尺度10-l8w

普朗克長(zhǎng)度1()T掰

典型的質(zhì)量

已知宇宙1053kg

銀河系2.2x1041Ag

地球6.0x1024kg

人6.0x10"g

灰塵6.7x10-10kg

煙草花葉病毒2.3x10tkg

質(zhì)子1.7x10fkg

電子9.1x10-Ikg

9

緒論

典型的時(shí)間

17

宇宙年齡3x105

地球的年齡1.3x10175

人的平均壽命2x1095

一天8.6x1045

典型的分子旋轉(zhuǎn)周期1x10--

快速運(yùn)動(dòng)粒子穿越原子核3X10-245

的時(shí)間

普朗克時(shí)間1。-43s

10

________________________緒論

?3.矢量

普通物理中的物理量大致分為兩類：標(biāo)量和矢量

標(biāo)量：只有大小（一個(gè)數(shù)和一個(gè)單位）的量，

例如：質(zhì)量、長(zhǎng)度、時(shí)間、密度、能量、溫

度等。

矢量：既有且又有方面的量，并有一定的運(yùn)算規(guī)則,

例如：位移、速度、加速度、角速度、力矩、電

場(chǎng)強(qiáng)度等。

11

?矢量的表示方法

1）兒何表示：有指向的線段

2）解析表示：A=（4,4,4）大小/=|'|

3）張量表示：按照一階張量的變換規(guī)律變換

?兩個(gè)矢量相等必須是大小相等，方向一致

?長(zhǎng)度為一個(gè)單位的矢量稱為單位矢量。

一A

eA=一

?矢量結(jié)合法則

1）矢量加法：遵從平行四邊形定則

（圖1）

交換律：A+B=B+A

結(jié)合律：才+（萬+｝）=（才+））+5

13

緒論

2）矢量的數(shù)乘

'大小C=\A\A

—?—*c—?—?

44=。、小A>0C平行于A

方向〈一_一

2<0。平行于一A

結(jié)合律:2（//，）=（4〃）1

分配律:A（A+B）=AA+AB

14

______________________緒論

3）矢量的分解

在一個(gè)平面內(nèi)，若存在兩個(gè)不共線的矢量3和乙則

平面內(nèi)的任一矢量可以分解為：

—>-?->

A=Alel+A2e2

常用稱為正交分解

三維空間中應(yīng)有3個(gè)不共面的矢量

15

4）標(biāo)量積（點(diǎn)積、內(nèi)積）

兩個(gè)矢量的點(diǎn)積為一標(biāo)量。

7-Z=ABCOS9。為「與瓦勺夾角

若石為單位矢，H為7在火方向的投影

交換律：A?B=B?A

分配律：~A^aB+/3C)=aA*B+/7A*C

16

緒論

5）矢量積（叉積、外積）

AxB=C是一個(gè)軸矢量

17

?矢積的性質(zhì)：

AxB=-BxA

Ax(aB+B6=a4xB+0Axe

AxA=O

Ax(BxC)=B(A?C)-C(A?B)

?矢量的混合積結(jié)果為平行六面體的體積

(Jx5)*C=(Cx^)*5=(5^C)?J

=-(BxA)?C

緒論

結(jié)束語

發(fā)展獨(dú)立思考和獨(dú)立創(chuàng)新的一般能力，應(yīng)當(dāng)始

終放在首位，而不應(yīng)當(dāng)把知識(shí)放在首位。如果

一個(gè)人掌握了他的學(xué)科的基礎(chǔ)理論，并且學(xué)會(huì)

了獨(dú)立思考與工作，他必定會(huì)找到自己的道路

O而且比起那些主要以獲取細(xì)節(jié)知識(shí)為其訓(xùn)練

內(nèi)容的人來，他一定會(huì)更好適應(yīng)進(jìn)步和變化

一愛因斯坦

19

第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)

?運(yùn)動(dòng)學(xué)：物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述。

?物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)：

物體的位矢（位置矢量）、速度和加速度

?重點(diǎn)：微積分在力學(xué)中的應(yīng)用

§1-1質(zhì)點(diǎn)參考系運(yùn)動(dòng)方程

?對(duì)復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行抽象f提出物理模型f物體運(yùn)

動(dòng)的基本規(guī)律。

1.質(zhì)點(diǎn)

?物體運(yùn)動(dòng)過程中，物體的大小和形狀可以忽略不

計(jì)，物體f質(zhì)點(diǎn)（具有質(zhì)量而沒有大小、形狀的

理想物體）。

■只要在研究問題中，物體的體積和形狀是無關(guān)緊要的，

我們就可以看作質(zhì)點(diǎn)。

■對(duì)于同一物體，由于研究的不同，有時(shí)可看作質(zhì)點(diǎn)，有

時(shí)不行，但這時(shí)可用疊加原理。

2

2.參考系和坐標(biāo)系

力學(xué)研究的運(yùn)動(dòng)，是指物體的位置變更，這種變更總是相對(duì)

其他物體而言的。這是機(jī)械運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性。為了描述一個(gè)物

體的運(yùn)動(dòng)情況，必須選擇另一個(gè)運(yùn)動(dòng)物體或幾個(gè)相互間保持

靜止的物體群作為參考物。被選作參考的物體叫做參考系。

?描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，參考系原則上可以任選。

?同一物體的運(yùn)動(dòng)，由于參考系的選取不同，對(duì)他的運(yùn)動(dòng)描

述也不同。例如：運(yùn)動(dòng)車廂中的落體運(yùn)動(dòng)。

?在情況允許下，應(yīng)選擇使問題的處理盡量簡(jiǎn)化的參考系。

?為定量確定物體相對(duì)于參考系的位置，要在參考系上選用

一個(gè)固定的坐標(biāo)系。原點(diǎn)定在參考系的一個(gè)固定點(diǎn)上。常用

的有：直角坐標(biāo)系，極坐標(biāo)系，球坐標(biāo)系等。

§1-2位移速度加速度

1.位矢

,位置矢量(位矢、矢徑)：

用來確定某時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)位置

(用矢端表示)的矢量。

尸(￡)點(diǎn)位置矢量：

r=r(x,j,z)

=xx+JJ+ZZ

=xi+yj+zk

4

2.運(yùn)動(dòng)函數(shù)

機(jī)械運(yùn)動(dòng)是物體(質(zhì)點(diǎn))位置隨時(shí)間的改變。即：位矢是

時(shí)間t的函數(shù)。

1——運(yùn)動(dòng)函數(shù)(運(yùn)動(dòng)方程)。

口一-

r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k

rx=x(t)

或vy=j(0

、z=z(t)

消去時(shí)間t,得到軌跡方程：

f(x,y,z)=O

ii°平均速率"=竺——標(biāo)量

_.Ardr

ii°瞬時(shí)速度v=lim——-__-__大始曷里

AT0Atd?

AS_dS

iv°瞬時(shí)速率v=lim——-----―---標(biāo)量

AZdt

平均速度與所取的時(shí)間間隔有

關(guān)，時(shí)間間隔越短，平均速度

就越接近于瞬時(shí)速度。瞬時(shí)速

度的方向是切線方向。速率只

反映大小，沒有方向。

6.描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)參量的特性

微分微分

狀態(tài)參量包括:尸⑺E⑺前)

積分

/(x,y,z)=O

(1)矢量性。注意矢量和標(biāo)量的區(qū)別。

(2)瞬時(shí)性。注意瞬時(shí)量和過程量的區(qū)別

(3)相對(duì)性。對(duì)不同參照系有不同的描述。

例H：一質(zhì)點(diǎn)在孫平面運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)函數(shù)為x=Rcos<at,

y=Rsin（ot,其中R,0為常量。求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡及任一時(shí)

刻的位矢、速度、加速度？

解：i°對(duì)x,y兩函數(shù)平方相加得：…

x2+y2=R2

ii0任一時(shí)刻的位矢：

r（Z）=xi+yj

=Rcoscoti+Rsincotj

iii°速度變

dt

=-RcosmcDti+Rcocoscotj

其分量為：vY=-R（t）smcDt,vr=R（ocosa）t

速率：v=加+y；=R①

1-*

iv°加速度：a=—=-Reo2coscoti-Reo2sin

dt

--cer{Rcoscoti+&sin（z>rj）

二-0）2y-

表明加速度方向與位矢相反，指向圓心。

大小為a=a）2R

可以看出，利用求導(dǎo)，很方便將位矢、速度、加

速度等量聯(lián)系起來。

例2：求勻加速直線運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程。已知質(zhì)點(diǎn)加速度為原

解：在一維情況下，矢量可以簡(jiǎn)化為標(biāo)量。

_㈤dv

a=———>a=—

dtdt

貝ll有：dv=adt=>jt/v=^adt=>v=c+at

設(shè)初始速度為%,貝！J,v=v0+at

再由定義：=—dx.、，

?fv=—=>dx-(v0+at)dt

dtdt

12

=>x=卬+—a/+c

由初始條件c=Xo,定為原點(diǎn)，貝IJ：

12

x^vn+-at

13

例3：如圖，拉船速度為一定，高度為H。求小船向岸邊移

動(dòng)的速度和加速度。

解：設(shè)小船到。點(diǎn)的距離

是L,則:

X2=ZA〃2

對(duì)時(shí)間求導(dǎo)：2x--=2Z——

atdt

其中蟲=丫就是小船速度，而且

二一%

dtdt

~2V0

v=----VQ=_Jx，+H

XX

dvd2xV獷

加速度：a14

dtdrX3

§1-3圓周運(yùn)動(dòng)及其描述

1.平面極坐標(biāo)系___Q0

處理圓周運(yùn)動(dòng)一類的平面運(yùn)動(dòng)A、

時(shí)，直角坐標(biāo)系不方便。這時(shí)^^■nkp(p,6)

廣泛采用的是平面極坐標(biāo)系。■

如圖，p(p,e)點(diǎn)的位矢：\0，A

尸⑺=pO

2.單位矢量

p,e分別是極徑和極角的單位矢量，其長(zhǎng)度為1,方向

沿各自的增大方向。由于方向隨時(shí)變化，因而是時(shí)

間的函數(shù)。

對(duì)于極徑單位矢量：

A/->0,\p1p(/)

其大小為：母|=|加此

dp\p

—=lim—

dt"旬dt

、、k?>do-

=limp-=—

…?1A/dt

同樣，對(duì)于極角單位矢量:

dO..\6

—=lim—

dtdt

,八dO-

=lim|(?|---\~p)-——?P

AffOlAZdt

3.圓周運(yùn)動(dòng)

引入極坐標(biāo)系后，圓周運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為:

因此，質(zhì)點(diǎn)的速度為：

)、drd{pp)dp八dp

v(Z)=—==—-p+p--

dtdtdtdt

dp-d3.0=

=—p+p——

dtdt

徑向速度橫向速度

通常圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)徑向速度為0,這時(shí):

_/、dd汽

v（t）=p—O

dt17

這時(shí)常引入角速度矢量（b

de

定義：|大小:0)=——V=pG)

dt①-I

方向:小、0、＜9滿足右手定則

質(zhì)點(diǎn)的加速度為：

,dvd

dtdt

d2p/。、2Ld2O-dpO=ap+a6

=芳一「（7）Q+P^+2p0

atdtdt2dtdt

徑向加速度橫向加速度

討論:d-p-

i°直線運(yùn)動(dòng)：aP

dt2

ii°圓周運(yùn)動(dòng)：a=-pA2p+p^-

atd廣

=-pa）~p+pad

其中a=dco/dt成為角加速度

iii°勻速圓周運(yùn)動(dòng)：a=-porp

3.平面曲線運(yùn)動(dòng)

一個(gè)任意的平面曲線運(yùn)

動(dòng)，可以視為由一系列小

段圓周運(yùn)動(dòng)所組成。

§1-5運(yùn)動(dòng)描述的相對(duì)性

伽利略坐標(biāo)變換

（自學(xué)）

第二章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)

質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)討論的是如何描述一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的

運(yùn)動(dòng)。而質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)則試圖回答質(zhì)點(diǎn)為何

運(yùn)動(dòng)，或者說，再什么條件下作運(yùn)動(dòng)學(xué)描

述的運(yùn)動(dòng)。動(dòng)力學(xué)的基本定律是牛頓的三

大定律。

§2.1牛頓運(yùn)動(dòng)定律

1687年牛頓(I.Newton)發(fā)表的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原

理》這部劃時(shí)代的著作，提出了三大運(yùn)動(dòng)定律，奠定了經(jīng)

典力學(xué)的理論基礎(chǔ)。

▲第一定律(慣性定律)(Firstlaw,Inertialaw):

任何物體都保持靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)，除非作

用在它上面的力迫使它改變這種狀態(tài)。

▲第二定律(Secondlaw)：

運(yùn)動(dòng)的變化與所加的動(dòng)力成正比；并且發(fā)生在這個(gè)動(dòng)

力所沿的直線的方向上。

▲第三定律(Thirdlaw)：

對(duì)于每一個(gè)作用，總有一個(gè)相等的反作用與之相反；

或者說，兩個(gè)物體之間對(duì)各自對(duì)方的相互作用總是相

等的，而且指向相反的方向。

討論:

i0運(yùn)動(dòng)只有相對(duì)于一定的參考系來說才有意義，所以牛

頓第一定律也定義了一種參考系。在這個(gè)參考系中，一個(gè)

受力作用的物體將保持靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)不變。這樣的

參考系叫慣性參考系，簡(jiǎn)稱慣性系（inertialframe）。

ii°并非任何參考系都是慣性系，牛頓第一定律成立的參

考系才是慣性系。它由實(shí)驗(yàn)決定。例如：地球是一個(gè)近似

的慣性系。

iii°第一定律定性地提出了力和運(yùn)動(dòng)的關(guān)系，第二定律則

是進(jìn)一步的定量描述。

牛頓對(duì)“運(yùn)動(dòng)”的定義是物體（質(zhì)點(diǎn)）的質(zhì)量與速度之

積?，F(xiàn)代稱之為動(dòng)量。

p=mv

而牛頓表述的“變化”是指“對(duì)時(shí)間的變化率二數(shù)學(xué)上:

-dpd（加）dm__

r=——=--------=-----v+ma

dtdtdt

—僅是質(zhì)量恒定時(shí)的特例

iv°若質(zhì)點(diǎn)受多個(gè)力作用，則戶為合外力。

v°第三定律的數(shù)學(xué)描述為：瓦=-扁

§2.2常見力和基本力

（自學(xué)）

5

§2.3非慣性系和慣性力

牛頓定律僅適用于慣性系。例如：

一個(gè)加速運(yùn)動(dòng)的參考系不是慣性系，稱為非慣性系。在

非慣性系中，牛頓定律不成立。但是，

人有些問題需要在非慣性系中研究，例如：

地面參考系，自轉(zhuǎn)加速度a-3.4x10"m/s?

地心參考系，公轉(zhuǎn)加速度a?6xl0_3m/s2

太陽參考系，繞銀河系加速度??1.8xlO-lom/s2

▲有些問題在非慣性系中研究較為方便。

▲處理非慣性系問題時(shí)，我們?nèi)匀涣?xí)慣用牛頓第二定律，

這時(shí)需引入慣性力給予修正。

慣性力的大小為質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量m和此非慣性系相對(duì)于慣性

系的加速度與的乘積，方向與而相反，即：

例1：求地球上緯度為（p處質(zhì)量為m的物體的重量。

解：設(shè)地球半徑為R,地球的自轉(zhuǎn)

加速度＞＞公轉(zhuǎn)加速度，引入慣性力

為：

2

Fi=mcoRcos（p方向如圖

A="引+E

nP?=局+F：_2與低cos0

=F：+m2a）4R2cos2tp—2F引mco,Rcos2（p

因?yàn)棰俸苄?，略去高次?xiàng)整理得：

P=F引一marRcos2（p

8

例2：潮汐與慣性力

潮汐為引力梯度引起的。

飛船!-2慣性離心力

C

\/方指向

地心

引力E

引力分布不均勻引力不能完全被

（有引力梯度）慣性離心力抵消

地球地球

9

落潮

月球?qū)Φ孛嫔虾Ｋ囊绷?/p>

引潮力常觸發(fā)地震

地震常發(fā)生于陰歷初一、十

五附近（大潮期），如：

76.陰7.2唐山

93.陰8.15,印度

95.陰12.17,神戶

大潮與小潮

§2.4牛頓第二定律的積分形式

——?jiǎng)恿慷ɡ?/p>

前面討論的牛頓定律的微分形式：戶=電警=萼

dtdt

nFdt=dp

i°式中品表示力在時(shí)間dt內(nèi)的積累量＜叫dt時(shí)間內(nèi)

質(zhì)點(diǎn)所受合外力的沖量（impulse）,用療表示。

I=

0

ii由上式得：/=Tdp=mv-mv()

在運(yùn)動(dòng)過程中，作用于質(zhì)點(diǎn)的合力在一段時(shí)間內(nèi)的

沖量等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量的增量。這就是動(dòng)量定理。”

iii°動(dòng)量定理與牛頓第二定律一樣，都反映了質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)

的變化與力的作用關(guān)系。但牛頓第二定律是瞬時(shí)規(guī)律；動(dòng)量

定理則是力對(duì)質(zhì)點(diǎn)作用的積累效果。

iv°動(dòng)量定理在處理碰撞和沖擊問

題時(shí)很方便，這時(shí)的作用力往往是

快速變化的，如圖。稱為沖力。

數(shù)學(xué)上精確給出沖力與時(shí)間的關(guān)系

往往是困難的，這時(shí)可以通過實(shí)驗(yàn)

定出平均沖力：

岸S包

G-Nt

12

例H：質(zhì)量為2.5g的乒乓球以10m/s的速率飛來，被板推擋后，

又以20m/s的速率飛出。設(shè)兩速度在垂直于板面的同一平面內(nèi)，

且它們與板面法線的夾角分別為45。和30。，求：（1）乒乓球得

到的沖量；（2）若撞擊時(shí)間為0.01s,求板施于球的平均沖力的

大小和方向。

解：取擋板和球?yàn)檠芯繉?duì)象，由于作用

時(shí)間很短二忽略重力影響。設(shè)擋板對(duì)球

的沖力為了

則有：/=\Fdt=mvi-mv\

取坐標(biāo)系，將上式投影，有：

Ix-^Fxdt-mv2cos300cos45°）=

Iv=\Fvdt=mv2sin300-mv1sin45°=F、N

A/=0.01sV)=lOm/sv2=20m/sm=2.5g

---------/—2—2

FV=6.1NFv=0.7NF=yjFx+Fy=6.14N

Ix=0.061NsIv=0.007Ns

/=/；+/；=6.14x10-2Ns

tana=1=0.1148a

a為/與x方向的夾角。

此題也可用矢量法解，作矢量圖用

余弦定理和正弦定理，可得：

14

例2：一質(zhì)量均勻分布的柔軟細(xì)繩鉛直地懸掛著，繩的下端剛好

觸到水平桌面上，如果把繩的上端放開，繩將落在桌面上。試證

明：在繩下落的過程中，任意時(shí)刻作用于桌面的壓力，等于已落

到桌面上的繩重量的三倍。

證明：設(shè)耐刻已有冰的柔繩落至桌面，隨后的d時(shí)間內(nèi)將有

質(zhì)量為pdx=Mdx/L的柔繩以dx/d/的速率碰到桌面而停止，它的

動(dòng)量變化為

dp=0-pdx-專

一維運(yùn)動(dòng)可用標(biāo)

根據(jù)動(dòng)量定理，桌面對(duì)柔繩的沖力為

柔繩對(duì)桌面的沖力尸=-小即：

F=pv~=v2而/=2gxF=2Mgx/L

而已落到桌面上的柔繩的重量為恁r/L

所以F^=F+mg=2Mgx/L+Mgx/L=3mg

§2.5牛頓第二定律的積分形式

——?jiǎng)幽芏ɡ?/p>

1.功

質(zhì)點(diǎn)在力聲的作用下，發(fā)生一無限小的位移航，戶對(duì)質(zhì)點(diǎn)所

做的功定義為力和質(zhì)點(diǎn)的位移的標(biāo)積：

dA=F-dr

如果質(zhì)點(diǎn)沿路徑L從1到2,則

力對(duì)質(zhì)點(diǎn)做功為：

42=j"=j2F-dr

L

沖量是力對(duì)時(shí)間的積累效應(yīng);

而功是力對(duì)空間的積累效應(yīng)。

注意：1、功是過程量，與路徑有關(guān)。2、功是標(biāo)量，但有正

負(fù)。3、合力的功為各分力的功的代數(shù)和。

2.功率

力在單位時(shí)間內(nèi)所作的功，稱為功率。用P表示。

cdAF-dr--

P=——=-------=F-v

dtdt

在國(guó)際單位制中，力的單位是牛頓（N）；

功的單位是N?m,叫焦耳（J）；

功的其它單位：leV=1.6X

功率的單位是J?s“，叫瓦（W）。

18

例11：滑雪運(yùn)動(dòng)員的質(zhì)量為m,沿雪道從A到B下滑高度為

h,忽略摩擦力。求這一過程合力作的功。

例2：水平放置的彈簧，一端固定，另一端系一物體。彈簧

的勁度系數(shù)為k,求物體從a到b所作的功。

解：任一位置物體受的彈力為

20

3.動(dòng)能定理

功既然是力的空間積累，將產(chǎn)生什么效果呢?

如圖質(zhì)點(diǎn)沿路徑L從1到2作功為：

42=f戶.赤=jFr\dr\-|ma\dr\

i°力對(duì)物體作功能改變質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。

ii°在數(shù)量上和功對(duì)應(yīng)的是的量＞

的改變，稱之為動(dòng)能。用心表示。

Axl=Ek2~Ekl——?jiǎng)幽芏ɡ恚ê贤饬?duì)質(zhì)點(diǎn)

作功等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量）

例：質(zhì)量為帆的小球系在線的一

端，另一端固定。線長(zhǎng)，，小球由o

水平靜止時(shí)下落，求。時(shí)的速度。

解：合力作功為

A='（亍+mg）-dr

=廣機(jī)點(diǎn)■才=㈤|cos6

\dr\=ldO

Z=fmglcosGd0=mglsin6

由動(dòng)能定理，且%=0,得：

mglsinO=—mvl

v0-12g/sin8

《SirI

Born:4Jan1643inWoolsthorpe,Lincolnshire,

England

Died:31March1727inLondon,England

第三章守恒定律

本章將研究對(duì)象由質(zhì)點(diǎn)轉(zhuǎn)向質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)，重點(diǎn)研究系

統(tǒng)的過程問題.

一般地說，對(duì)于物體系統(tǒng)內(nèi)發(fā)生的各種過程，如果

某物理量始終保持不變，該物理量就叫做守恒量.

本章將著重討論能量守恒、動(dòng)量守恒和角動(dòng)量守

恒.由宏觀現(xiàn)象總結(jié)出的這幾個(gè)守恒定律在微觀世

界已經(jīng)過嚴(yán)格檢驗(yàn)，證明它們同樣有效.守恒定律

是自然規(guī)律最深刻、最簡(jiǎn)潔的陳述，它比物理學(xué)中

其它定律（例如牛頓運(yùn)動(dòng)定律）更重要、更基本.

1.一對(duì)力的功

根據(jù)牛頓第三定律，力

總是成對(duì)出現(xiàn)的，有作

用力就有反作用力。稱

為一對(duì)力。

同一系統(tǒng)中出現(xiàn)的一對(duì)

力稱為內(nèi)力，下面討論

系統(tǒng)中質(zhì)點(diǎn)和y

間的內(nèi)力作功。

=35+,力=/2-(dr2-drl)=/2d(r2-r1)

⑵一

&=\fi弓］

(i)

說明：|i°兩質(zhì)點(diǎn)間的“一對(duì)力”所做功之和等于其中一個(gè)質(zhì)

點(diǎn)受的力沿著該質(zhì)點(diǎn)相對(duì)另一質(zhì)點(diǎn)所移動(dòng)的路徑所做

的功。

ii°A與參考系選取無關(guān)。

iii°在無相對(duì)位移或相對(duì)位移與一對(duì)力垂直的情況

下，一對(duì)力的功必為零。

|例如：

N不垂直于?—?4v。0

N'不垂直于力2--4\”wO

Nlvn,即^±dfi2

2.保守力

成對(duì)力中，有一種特殊情況：如果一對(duì)力的功與相對(duì)移動(dòng)的

路徑無關(guān)，而只決定于相互作用物體的始末相對(duì)位置，這樣

的力稱為保守力。

例：網(wǎng)m兩質(zhì)點(diǎn)的引力作功。如圖。

42=/，布

?)GMm人

=----7—r-dr

4i)尸2

由

=f—GM^mdJr

GMmGMm

=------------------------

ri4

特殊地，(1)與(2)重合，則A]2=04

因此，保守力有另一特征：一質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于另一質(zhì)點(diǎn)沿閉

合路徑移動(dòng)一周時(shí)，它們之間的保守力作功為零。

作功與路徑有關(guān)的力稱為非保守力。

例如：摩擦力(耗散力)：一對(duì)滑動(dòng)摩擦力作功恒為負(fù);

爆炸力：作功為正。

3.勢(shì)能

利用保守力的功與路徑無關(guān)的特點(diǎn)，可引入，勢(shì)能”的概

念，以簡(jiǎn)化作功的計(jì)算。

i°勢(shì)能：由物體之間的相互作用和相對(duì)位置決定的能量。以

Ep表示，也叫位能。

ii°系統(tǒng)由位形(1度到位形(2)的過程中，保守力做的功相應(yīng)

于其勢(shì)能的改變的負(fù)值。

Epi-Ep2==4保i2

iii°勢(shì)能是相對(duì)的，應(yīng)先選擇好勢(shì)能零點(diǎn)。若規(guī)定系統(tǒng)在位形

(0)的勢(shì)能為零，貝IJ：

%=保?行

6

iv°勢(shì)能屬于相互作用的系統(tǒng)；勢(shì)能不依賴于參考系的選

擇，不要將勢(shì)能零點(diǎn)的選擇與參考系的選擇相混淆。

v°引力勢(shì)能（取無窮遠(yuǎn)為零勢(shì)點(diǎn)）

叫.而

E*)

r

GMm

r

vi°重力勢(shì)能（取地面為零勢(shì)點(diǎn)）

￡*)=[

mg-dr

=mgh

vi°彈性勢(shì)能（取彈簧自然長(zhǎng)度為零勢(shì)點(diǎn)）

在彈簧零點(diǎn)附近，任一位置

的彈力為：

F=-kx

A"=[\-kx）dx

=一（：履;一；履;）=一△￡?

可見，彈性力是保守力.

2

Ep(x)=2kx

4.勢(shì)能和保守力的關(guān)系

勢(shì)能的定義：

-*/保/d/=1d￡p

dE?

所以有:

巔廣-天癡美cos9

若勢(shì)能為EP(x,y,z),則有:

嗎

雇=一2’篇

“=—

，%=-(-:+

保金-J+

dz

=-gradEp_Ep的梯度

算符V/裊號(hào)+成一日保7%

9

§3.2功能原理

把動(dòng)能定理由單個(gè)質(zhì)點(diǎn)推廣到質(zhì)點(diǎn)系。

如圖的兩質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)，其中KF2是外力，

fiz,fzi為內(nèi)力。

根據(jù)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理

[6?斫+]/2?斫=第1\

6

[.￡,叱+[以叱=/2

西+[居.老+[九?四

即[R.+fl\,而2=+A￡t2

心？_________________________________________

系統(tǒng)外力作功A系統(tǒng)內(nèi)力作功Aj系統(tǒng)動(dòng)能增量A5

所有內(nèi)力和所有外力對(duì)系統(tǒng)所作的

功的總和等于系統(tǒng)動(dòng)能的增量。10

而內(nèi)力分為保守力Ak和非保守力4力其中保守力做的功相

應(yīng)于系統(tǒng)勢(shì)能增量的負(fù)值。即：

4=4c+Aid=p+Atd

-4+4=/+\EP

引入系統(tǒng)的機(jī)械能：E=Ek+Ep

在系統(tǒng)從一個(gè)狀態(tài)變化到另一個(gè)狀態(tài)的過程中，其機(jī)械

能的增量等于外力所做的功和系統(tǒng)非保守力所做的功的

代數(shù)和。這就是系統(tǒng)的功能原理。

§3.3機(jī)械能守恒定律

1.在動(dòng)能原理中，特殊地，

若：A+Aid=O，即外力和非保守力內(nèi)力不作功；

則：AE=O,系統(tǒng)的機(jī)械能不變。

因此，當(dāng)系統(tǒng)的非保守的內(nèi)力和一切外力都不作

功或作功的代數(shù)和為零時(shí)，系統(tǒng)中各物體的動(dòng)能和各

種勢(shì)能可相互轉(zhuǎn)換，但系統(tǒng)機(jī)械能的總和始終保持不

變，稱為系統(tǒng)的機(jī)械能守恒定律。

i°機(jī)械能守恒定律不具普適性，有嚴(yán)格的前提條件。

ii°自然界嚴(yán)格的機(jī)械能守恒的例子是沒有的，因?yàn)榭偸?/p>

存在非保守力作功，如：摩擦力等。

iii°只適用于機(jī)械運(yùn)動(dòng)范圍。

2.物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)形態(tài)除機(jī)械運(yùn)動(dòng)外，還有許多運(yùn)動(dòng)形式。如：

熱運(yùn)動(dòng)、電磁運(yùn)動(dòng)、原子原子核和粒子運(yùn)動(dòng)、化學(xué)運(yùn)動(dòng)、生命

運(yùn)動(dòng)等。每種運(yùn)動(dòng)形式都有能量形式對(duì)應(yīng)：熱能、電磁能、核

能、化學(xué)能、生物能等。

實(shí)驗(yàn)證實(shí)：不同形態(tài)能量之間，可以彼此轉(zhuǎn)換，但總量

恒定。能量不會(huì)消失，也不會(huì)產(chǎn)生，能量只能從一種形

態(tài)轉(zhuǎn)換為另一種形態(tài)。這就是能量守恒定律。

i0它是普適的。

ii0功是能量傳遞的量度，對(duì)一個(gè)系統(tǒng)作功不是憑空來

的，它一定是以其它系統(tǒng)的能量變化為代價(jià)。

iii°永動(dòng)機(jī)不存在。

§3.4質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理動(dòng)量守恒定律

1.質(zhì)心

考慮由一剛性輕桿相連的兩質(zhì)----------------------

點(diǎn)組成的系統(tǒng)，當(dāng)我們將它斜

向拋出時(shí)，它在空間的運(yùn)動(dòng)很

復(fù)雜，每個(gè)質(zhì)點(diǎn)都不是拋物線

軌跡，但兩質(zhì)點(diǎn)連線上某點(diǎn)C

卻作拋物線的運(yùn)動(dòng)，C點(diǎn)的運(yùn)

動(dòng)規(guī)律就象質(zhì)量全部集中在C—?

點(diǎn)，全部外力也象作用在C點(diǎn)M

一樣。這個(gè)特殊點(diǎn)C就是質(zhì)點(diǎn)

系統(tǒng)的質(zhì)心。

14

如果質(zhì)量分布是連續(xù)的，則求和化為積分:

_frdm

r

cm=~-------

15

i°質(zhì)心對(duì)不同的坐標(biāo)系選擇，具有不同值。

ii°質(zhì)心相對(duì)于自身質(zhì)點(diǎn)系的位置不變，完全取決于質(zhì)點(diǎn)系的

質(zhì)量分布。

iii°具有對(duì)稱性，且質(zhì)量分布均勻的物體，質(zhì)心在對(duì)稱中心。

iv°對(duì)于不太大的實(shí)物，質(zhì)心與重心重合。

例1：求半圓形鐵絲的質(zhì)心。已知半徑為R。

解：如圖卻坐標(biāo)系，由對(duì)稱性，質(zhì)心

一定在y軸上。設(shè)線密度為p,則

dm=pdl

0I

由定義：yc----------

m

由圖：y=Rsin0,dl=RdO,m=nRp,貝！J：

yc=—fRsin6-p-RdO=—

mJ>16

例2：如圖示，求挖掉小圓盤后系統(tǒng)的質(zhì)心坐標(biāo)。

解：由對(duì)稱性分析，質(zhì)心C應(yīng)

在x軸上。

令。為質(zhì)量的面密度，則質(zhì)心

坐標(biāo)為：

-danr1+0

Xc=2T-

O冗R-CT?"

(2?/r)2-l

17

2.質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理

質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)速度為：

dr,

6_dr_vZ'*"

UQ-c--

dtmm

總動(dòng)量：

由EdAd/一、dvc

dtdtdt

得一質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理

質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)如同一個(gè)質(zhì)點(diǎn)。該質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量等于整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的

質(zhì)量，而此質(zhì)點(diǎn)所受的力是質(zhì)點(diǎn)系的所有外力之和。I

3.動(dòng)量守恒定律

在質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理中，若質(zhì)點(diǎn)系所受的外力的矢量

和為零，即：3一

%=0

/=!

則有：3=。="=￡哂=常量

質(zhì)點(diǎn)系所受合外力為零時(shí)，質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)量不隨時(shí)間

改變。這就是質(zhì)點(diǎn)系的

i°它是一個(gè)普適規(guī)律，只要合外力為零，就滿足。

ii°注意總動(dòng)量的矢量性。

iii°具有分量形式。也就是說，動(dòng)量守恒可在某一方向上成

立，條件是這個(gè)方向的合外力為零。

iv°對(duì)于應(yīng)用動(dòng)量定理時(shí)，只要求作用力的合力為零，而

不必知道系統(tǒng)內(nèi)部相互作用的細(xì)節(jié)。19

例：半徑為R的1/4圓弧，質(zhì)量為M,置于光滑平面上。其

上質(zhì)量為m的物體自頂由靜止滑下，求m到底時(shí)，M在水平

方向的移動(dòng)量。

解：系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守

恒，則任一時(shí)間有：

0=mvx+(-V)M

mJvxdt=MJVdt

ms=MS

又因?yàn)椋簊=K-S,則上式：

m

???S=R

m+M

20

§3.5碰撞

1.碰撞現(xiàn)象

碰撞的物理定義有多種，例如：

A一種遭遇

＞一種以脈沖力相互作用的過程

＞兩質(zhì)點(diǎn)交換它們的動(dòng)量和能量過程

i0我們傾向于第三種說法，但一般限于指相互作用力程

較短或可以明確地說明其持續(xù)期的過程。

ii°碰撞問題中，細(xì)節(jié)往往難于測(cè)量，特別是微觀領(lǐng)域的情

況。這些細(xì)節(jié)可處理為“黑盒子”。

iii°碰撞過程因物體之間互相撞擊力相當(dāng)大，作用時(shí)間又短，

以至于作用于物體的外力，如：重力、摩擦力、空氣阻力

等相對(duì)較小。因此，動(dòng)量守恒定律成立。

IV°碰撞過程能量守恒，但總動(dòng)能不一定守恒。21

2.完全彈性碰撞

這是碰撞中的特例，是動(dòng)能不變的碰撞。

WJVJ+w2v2=+m2u2

12121212

Q叫匕+-m2v2=-mxu}

若是對(duì)心碰撞，則動(dòng)量守恒可化為標(biāo)量形式。

3.完全非彈性碰撞

一般的碰撞問題，機(jī)械能并不守恒，總有一部分損失，轉(zhuǎn)

化為其他形式的能量，這種碰撞叫非彈性碰撞。

若碰撞后，兩物體結(jié)合為一體，以共同的速度運(yùn)動(dòng)。這

稱為完全非彈性碰撞。這時(shí)，只有動(dòng)量守恒定律成立。

肛G+加2%=（風(fēng)+加2）/

22

例：彈弓效應(yīng)。土星質(zhì)量為5.67X1025kg,相對(duì)太陽軌道速

率為9.6km/s,一空間探測(cè)器以10.4km/s速率迎向土星飛

行，質(zhì)量為150kg。求離開土星的速率。

解：這是一種m2?m］的完全

彈性碰撞，撞后將反彈。

+?72V2=+m2u2

1212121,2

萬優(yōu)肉+-m2v25加陽?

?-vt+2v2,u2?v2

代入已知數(shù)據(jù):

VV

ux?-1+22=10.4+2X9.6=29.6km/s

這是空間器加速的一種方式。

23

§3.6質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量和角動(dòng)量守恒定律

1.質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量

角動(dòng)量是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的另一個(gè)重要物理量。質(zhì)點(diǎn)，〃對(duì)固定

點(diǎn)。的角動(dòng)量定義為：

L=rxp=rx(mv)

由叉