高考數(shù)學(xué)解題技巧大全

目錄

前言...........................................2

第一章高中數(shù)學(xué)解題基本方法...................3

一、配方法...............................3

二、換元法...............................7

三、待定系數(shù)法...........................14

四、定義法...............................19

五、數(shù)學(xué)歸納法..........................23

六、參數(shù)法..............................28

七、反證法..............................32

八、消去法.............................

九、分析與綜合法.......................

十、特殊與一般法.......................

十一、類比與歸納法...................

十二、觀察與實(shí)驗(yàn)法...................

第二章高中數(shù)學(xué)常用的數(shù)學(xué)思想................35

一、數(shù)形結(jié)合思想........................35

二、分類討論思想........................41

三、函數(shù)與方程思想......................47

四、轉(zhuǎn)化（化歸）思想....................54

第三章高考熱點(diǎn)問(wèn)題和解題策略................59

一、應(yīng)用問(wèn)題............................59

二、探索性問(wèn)題..........................65

三、選擇題解答策略......................71

四、填空題解答策略......................77

附錄.........................................

一、高考數(shù)學(xué)試卷分析...................

二、兩套高考模擬試卷...................

三、參考答案

2

>i—?-

刖百

美國(guó)著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說(shuō)過(guò)，掌握數(shù)學(xué)就意味著要善于解題。而當(dāng)我們解題時(shí)遇到一

個(gè)新問(wèn)題，總想用熟悉的題型去“套”，這只是滿足于解出來(lái)，只有對(duì)數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法

理解透徹及融會(huì)貫通時(shí)，才能提出新看法、巧解法。高考試題十分重視對(duì)于數(shù)學(xué)思想方法的

考查，特別是突出考查能力的試題，其解答過(guò)程都蘊(yùn)含著重要的數(shù)學(xué)思想方法。我們要有意

識(shí)地應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法去分析問(wèn)題解決問(wèn)題，形成能力，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)，使自己具有數(shù)學(xué)頭

腦和眼光。

高考試題主要從以下幾個(gè)方面對(duì)數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行考查：

①常用數(shù)學(xué)方法：配方法、換元法、待定系數(shù)法、數(shù)學(xué)歸納法、參數(shù)法、消去法等；

②數(shù)學(xué)邏輯方法：分析法、綜合法、反證法、歸納法、演繹法等；

③數(shù)學(xué)思維方法：觀察與分析、概括與抽象、分析與綜合、特殊與一般、類比、歸納和

演繹等；

④常用數(shù)學(xué)思想：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化（化歸）思想

等。

數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)相比較，它有較高的地位和層次。數(shù)學(xué)知識(shí)是數(shù)學(xué)內(nèi)容，可

以用文字和符號(hào)來(lái)記錄和描述，隨著時(shí)間的推移，記憶力的減退，將來(lái)可能忘記。而數(shù)學(xué)思

想方法則是一種數(shù)學(xué)意識(shí)，只能夠領(lǐng)會(huì)和運(yùn)用，屬于思維的范疇，用以對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)、

處理和解決，掌握數(shù)學(xué)思想方法，不是受用一陣子，而是受用一輩子，即使數(shù)學(xué)知識(shí)忘記了，

數(shù)學(xué)思想方法也還是對(duì)你起作用。

數(shù)學(xué)思想方法中，數(shù)學(xué)基本方法是數(shù)學(xué)思想的體現(xiàn)，是數(shù)學(xué)的行為，具有模式化與可操作

性的特征，可以選用作為解題的具體手段。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，它與數(shù)學(xué)基本方法常常

在學(xué)習(xí)、掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)獲得。

可以說(shuō)，“知識(shí)”是基礎(chǔ)，“方法”是手段，“思想”是深化，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)的核心就是

提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)和運(yùn)用，數(shù)學(xué)素質(zhì)的綜合體現(xiàn)就是“能力”。

為了幫助學(xué)生掌握解題的金鑰匙，掌握解題的思想方法，本書(shū)先是介紹高考中常用的數(shù)學(xué)

基本方法：配方法、換元法、待定系數(shù)法、數(shù)學(xué)歸納法、參數(shù)法、消去法、反證法、分析與

綜合法、特殊與一般法、類比與歸納法、觀察與實(shí)驗(yàn)法，再介紹高考中常用的數(shù)學(xué)思想：函

數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化（化歸）思想。最后談?wù)劷忸}中的有關(guān)

策略和高考中的幾個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題，并在附錄部分提供了近幾年的高考試卷。

在每節(jié)的內(nèi)容中，先是對(duì)方法或者問(wèn)題進(jìn)行綜合性的敘述，再以三種題組的形式出現(xiàn)。再

現(xiàn)性題組是一組簡(jiǎn)單的選擇填空題進(jìn)行方法的再現(xiàn)，示范性題組進(jìn)行詳細(xì)的解答和分析，對(duì)

方法和問(wèn)題進(jìn)行示范。鞏固性題組旨在檢查學(xué)習(xí)的效果，起到鞏固的作用。每個(gè)題組中習(xí)題

的選取，又盡量綜合到代數(shù)、三角、幾何幾個(gè)部分重要章節(jié)的數(shù)學(xué)知識(shí)。

3

第一章高中數(shù)學(xué)解題基本方法

一、配方法

配方法是對(duì)數(shù)學(xué)式子進(jìn)行一種定向變形(配成“完全平方”)的技巧，通過(guò)配方找到已知

和未知的聯(lián)系，從而化繁為簡(jiǎn)。何時(shí)配方，需要我們適當(dāng)預(yù)測(cè)，并且合理運(yùn)用“裂項(xiàng)”與“添

項(xiàng)”、“配”與“湊”的技巧，從而完成配方。有時(shí)也將其稱為“湊配法”。

最常見(jiàn)的配方是進(jìn)行恒等變形，使數(shù)學(xué)式子出現(xiàn)完全平方。它主要適用于：已知或者未知

中含有二次方程、二次不等式、二次函數(shù)、二次代數(shù)式的討論與求解，或者缺xy項(xiàng)的二次曲

線的平移變換等問(wèn)題。

配方法使用的最基本的配方依據(jù)是二項(xiàng)完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2,將這個(gè)公

式靈活運(yùn)用，可得到各種基本配方形式，如：

a2+b2=(a+b)2—2ab=(a—b)2+2ab；

b[Q

a2+ab+b2=(a+b)—ab=(a—b)~4-3ab=(ad—)~+(b)~；

22

a2+b2+c2+ab+bc+ca=—[(a+b)2+(b+c)2+(c+a)2]

2

a2+b2+c2=(a+b+c)2—2(ab+bc+ca)=(a+b—c)2~2(ab—be—ca)=???

結(jié)合其它數(shù)學(xué)知識(shí)和性質(zhì)，相應(yīng)有另外的一些配方形式，如：

l+sin2a=l+2sinacosa=(sina+cosa)2；

x2H7=(xd)2―2=(x---)2+2；....等等。

XXX

I、再現(xiàn)性題組：

1.在正項(xiàng)等比數(shù)列｛a“｝中，aj*a5+2a3*a5+a3-a7=25,貝483+85=_____。

2,方程x2+y2—4kx—2y+5k=0表示圓的充要條件是。

A.1<k<lB.或k>lC,keRD.k=十或k=l

3.已知sin4a+cos4a=1,貝ljsina+cosa的值為_(kāi)___。

A.1B.-1C.1或一1D.0

4.函數(shù)y=log1(-2x?+5x+3)的單調(diào)遞增區(qū)間是o

2

A.(-8,總]B.[7,+°°)C.(—7,7]D.[4,3)

5.已知方程x2+(a-2)x+aT=0的兩根x[、x2,則點(diǎn)P(x]，x,)在圓x?+y2=4上，則

實(shí)數(shù)a=_____。

2

【簡(jiǎn)解】1小題：利用等比數(shù)列性質(zhì)am_pam+l)=ain,將已知等式左邊后配方(a3+

a5)2易求。答案是：5。

2小題：配方成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形式(X—a)2+(y—b)2=/,解產(chǎn)>0即可，選B。

3小題：已知等式經(jīng)配方成(sin2a+cos2a)2—2sin2acos2a=1,求出sinacosa,

然后求出所求式的平方值，再開(kāi)方求解。選C。

4小題：配方后得到對(duì)稱軸，結(jié)合定義域和對(duì)數(shù)函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解。選D。

5小題：答案3一“1。

II、示范性題組：

4

例1.已知長(zhǎng)方體的全面積為11,其12條棱的長(zhǎng)度之和為24,則這個(gè)長(zhǎng)方體的一條對(duì)角

線長(zhǎng)為_(kāi)____。

A.2.73B,V14C.5D.6

【分析】先轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)表達(dá)式：設(shè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)寬高分別為x,y,z,則

J2(xy+yz+xz)=11

,而欲求對(duì)角線長(zhǎng)k+y2+z?,將其配湊成兩已知式的組合形式可

[4(x+y+z)=24

得。

【解】設(shè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)寬高分別為x,y,z,由已知“長(zhǎng)方體的全面積為11,其12條棱的長(zhǎng)度

J20y+yz+xz)=11

之和為24”而得:

[4(x+y+z)=24

長(zhǎng)方體所求對(duì)角線長(zhǎng)為：yjx2+y2+z2—J(x+y+z)2-2(盯+yz+xz)=A/62-11

=5

所以選B。

【注】本題解答關(guān)鍵是在于將兩個(gè)已知和一個(gè)未知轉(zhuǎn)換為三個(gè)數(shù)學(xué)表示式，觀察和分析三

個(gè)數(shù)學(xué)式，容易發(fā)現(xiàn)使用配方法將三個(gè)數(shù)學(xué)式進(jìn)行聯(lián)系，即聯(lián)系了已知和未知，從而求解。

這也是我們使用配方法的一種解題模式。

例2.設(shè)方程x2+kx+2=0的兩實(shí)根為p、q,若(K)2+(幺)2W7成立，求實(shí)數(shù)k的取

qp

值范圍。

【解】方程X2+kx+2=0的兩實(shí)根為p、q,由韋達(dá)定理得：p+q=-k,pq=2,

(P、2q、2/+/(P?+q?)2-2p?q2[(〃+4-2〃行-2〃引

qp(pqY(pq>(PQ)2

(k2-4)2_8._,_

------------W7,解得kW—或k》。

4

又；P、q為方程x2+kx+2=0的兩實(shí)根，；.△=1<2—820即k22&或kW-2J5

綜合起來(lái)，k的取值范圍是：一JTUwkW-2后或者2近WkWjHL

【注】關(guān)于實(shí)系數(shù)一元二次方程問(wèn)題，總是先考慮根的判別式“△”：已知方程有兩根

時(shí)，可以恰當(dāng)運(yùn)用韋達(dá)定理。本題由韋達(dá)定理得到p+q、pq后，觀察已知不等式，從其結(jié)構(gòu)

特征聯(lián)想到先通分后配方，表示成p+q與pq的組合式。假如本題不對(duì)討論，結(jié)果將

出錯(cuò)，即使有些題目可能結(jié)果相同，去掉對(duì)的討論，但解答是不嚴(yán)密、不完整的，這

一點(diǎn)我們要尤為注意和重視。

例3.設(shè)非零復(fù)數(shù)a、b滿足a2+ab+b2=0,求(-1T)叨8+(一^).

a+ba+b

【分析】對(duì)已知式可以聯(lián)想：變形為(f)2+(f)+1=0,則f=3(3為1的立方

bbb

虛根)；或配方為(a+b)2=ab。則代入所求式即得。

【解】由a2+ab+b2=0變形得:(-)2+(-)+1=0，

bh

5

設(shè)3=q，則3?+3+1=0,可知3為1的立方虛根，所以：—=—,w3=693=lo

hCDa

又由a?+ab+b2=0變形得：(a+b)2=ab,

所以(61)1998+(b)1998=(4)999+(忙)999=(3)999+(2)999=3999+

a+hahahha

石形=2o

【注】本題通過(guò)配方，簡(jiǎn)化了所求的表達(dá)式；巧用1的立方虛根，活用3的性質(zhì)，計(jì)算

表達(dá)式中的高次塞。一系列的變換過(guò)程，有較大的靈活性，要求我們善于聯(lián)想和展開(kāi)。

11I/Q?

【另解】由a2+ab+b2=0變形得：(―)2+(―)+1=0,解出一=-------后，化

bba2

成三角形式，代入所求表達(dá)式的變形式(￡)999+(2)999后，完成后面的運(yùn)算。此方法用于

ba

只是未-一1+三V二3z聯(lián)想到3時(shí)進(jìn)行解題。

2

IIIQ?

假如本題沒(méi)有想到以上一系列變換過(guò)程時(shí)，還可由a2+ab+b2=0解出：a=：一7b,

2

直接代入所求表達(dá)式，進(jìn)行分式化筒后，化成復(fù)數(shù)的三角形式，利用棣莫佛定理完成最后的

計(jì)算。

in,鞏固性題組：

1.函數(shù)y=(x—a)2+(x—b)?(a、b為常數(shù))的最小值為。

A.8B.("4c.-+?D.最小值不存在

22

2.a、6是方程x2-2ax+a+6=0的兩實(shí)根,則(a-l)2+(”1)2的最小值是____。

A.一疊B.8C.18D.不存在

3.已知x、yWR+,且滿足x+3y—l=0,則函數(shù)t=2"+8'有。

A.最大值2五B.最大值受C.最小值2&B.最小值受

22

4.橢圓x2一2ax+3y之+a?—6=0的一個(gè)焦點(diǎn)在直線x+y+4=0上，則a=___,

A.2B.-6C.-2或一6D.2或6

5.化簡(jiǎn)：2Vl-sin8+J2+2cos8的結(jié)果是。

A.2sin4B.2sin4—4cos4C.—2sin4D.4cos4—2sin4

6.設(shè)F1和F2為雙曲線二一y2=l的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上且滿足NF|PF2=90°,

4

則4F,PF2的面積是o

7.若x>—l,則f(x)=x?+2x+_L的最小值為o

x+1

8.已知乙(3<a<2n,cos(a-P)=1Z,sin(a+B)=-3,求sin2a的值。(92

24135

年高考題)

9.設(shè)二次函數(shù)f(x)=Ax2+Bx+C,瑾Zm、n(m〈n),且滿足A2[(m+n)2+m2n2]+2A[B(m+n)

—Cmn]+B2+C2—00

6

①解不等式f(x)>0；

②是否存在一個(gè)實(shí)數(shù)t,使當(dāng)tc(m+t,n-t)時(shí)，f(x)<0?若不存在，說(shuō)出理由；若存

在，指出t的取值范圍。

4422

10.設(shè)s>l,t>l,mCR,x=logst+logzs,y=logst+log,s+m(logft+logfs),

①將y表示為X的函數(shù)y=f(x),并求出f(x)的定義域；

②若關(guān)于x的方程f(x)=0有且僅有一個(gè)實(shí)根，求m的取值范圍。

二、換元法

解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化，這

叫換元法。換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研

7

究對(duì)象，將問(wèn)題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問(wèn)題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)

單化，變得容易處理。

換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過(guò)引進(jìn)新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來(lái)，

隱含的條件顯露出來(lái)，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來(lái)。或者變?yōu)槭煜さ男问?，把?fù)雜的計(jì)算和

推證簡(jiǎn)化。

它可以化高次為低次、化分式為整式、化無(wú)理式為有理式、化超越式為代數(shù)式，在研究方

程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、三角等問(wèn)題中有廣泛的應(yīng)用。

換元的方法有：局部換元、三角換元、均值換元等。局部換元又稱整體換元，是在已知或

者未知中，某個(gè)代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個(gè)字母來(lái)代替它從而簡(jiǎn)化問(wèn)題，當(dāng)然有時(shí)候要通過(guò)

變形才能發(fā)現(xiàn)。例如解不等式：4，+2,—220,先變形為設(shè)2、=t(t>0)，而變?yōu)槭煜さ囊?/p>

元二次不等式求解和指數(shù)方程的問(wèn)題。

三角換元，應(yīng)用于去根號(hào)，或者變換為三角形式易求時(shí).，主要利用已知代數(shù)式中與三角知

識(shí)中有某點(diǎn)聯(lián)系進(jìn)行換元。如求函數(shù)y=6+JT=1的值域時(shí),易發(fā)現(xiàn)xe[0,1],設(shè)x=sin2

71

a,ae[0,-],問(wèn)題變成了熟悉的求三角函數(shù)值域。為什么會(huì)想到如此設(shè)，其中主要應(yīng)該

2

是發(fā)現(xiàn)值域的聯(lián)系，又有去根號(hào)的需要。如變量X、y適合條件x?+y2=r2(r>0)時(shí)，則可

作三角代換x=rcos0、y=rsin9化為三角問(wèn)題。

SS

均值換元，如遇到*+丫=5形式時(shí)，設(shè)x=^+t,y=^—t等等。

22

我們使用換元法時(shí)，要遵循有利于運(yùn)算、有利于標(biāo)準(zhǔn)化的原則，換元后要注重新變量范圍

的選取，一定要使新變量范圍對(duì)應(yīng)于原變量的取值范圍，不能縮小也不能擴(kuò)大。如上幾例中

的t>0和Q￡[0,—]o

2

I、再現(xiàn)性題組：

1.y=sinx?cosx+sinx+cosx的最大值是。

2.設(shè)f(x2+l)=log,(4—X，(a>l),則f(x)的值域是

3.已知數(shù)列｛a〃｝中，a,=—1,a〃+1?=a〃+]—，則數(shù)列通項(xiàng)a“=。

4.設(shè)實(shí)數(shù)x、y滿足x2+2xy—1=0,則x+y的取值范圍是。

l+3-x

5.方程不二丁=3的解是_____________o

1+3”

x+,

6.不等式log2(2、-1)-10g2(2-2)〈2的解集是o

產(chǎn)1

【簡(jiǎn)解】1小題：設(shè)sinx+cosx=te[―],則y=------Ft，對(duì)稱軸t=-1,

22

當(dāng)1=&,y>?x=g+&；

2小題：設(shè)x?+l=t(t2l),貝ijf(t)=logq[-(t-1)2+4],所以值域?yàn)?-8,log/]；

3小題：已知變形為」------=-1,設(shè)b“=」-,貝lJ儲(chǔ)=-1,b“=-1+(n—1)(-1)

a“+ian

=-n,所以a〃=-L；

n

8

4小題：設(shè)x+y=k,則x?—2kx+l=0,△=d!<?—420,所以k21或k《一1；

,1

5小題：設(shè)3'=y,則3y~9+2y—1=0,解得y=],所以x=-1；

6小題：設(shè)log2(2"-1)=y，則y(y+l)<2,解得一2<y〈l,所以x￡(log21,log23)。

II、示范性題組：

例L實(shí)數(shù)x、y滿足4x之一5xy+4y2=5(①式)，設(shè)S=x?+y2,求---F——

Smax'min

的值。（93年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）

【分析】由S=x?+y2聯(lián)想到cos2a+sin2a=1,于是進(jìn)行三角換元，設(shè)

x=Vscosa

代入①式求Sm”和Smin的值。

y=sina

x=Vscosa

【解】設(shè)〈代入①式得：4S—5S?sinacosa=5

y=Vssina

10

解得S=

8-5sin2a

,101010

-Ksin2a^13W8-5sin2QW13—<---------W—

138-5sina3

1.1313168

,,SMSmin1010105

QC_1Q

此種解法后面求S最大值和最小值，還可由Sin2a=---的有界性而求，即解不等

QC_1

式：一--Klo這種方法是求函數(shù)值域時(shí)經(jīng)常用到的“有界法”。

0

ssSS

【另解】由S=x?+y2,設(shè)x?=5+t,y②=]-t,tG[—―,

則xy=±J3-一尸代入①式得：4s±5不?一產(chǎn)=5,

移項(xiàng)平方整理得100t2+39S2-160S+100=0。

，39S2-160S+100^0解…得：一10WSW一10

133

【注】此題第一種解法屬于“三角換元法”，主要是利用已知條件S=X?+y2與三角公

式cos2a+sin2a=1的聯(lián)系而聯(lián)想和發(fā)現(xiàn)用三角換元，將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值域問(wèn)

題。第二種解法屬于“均值換元法”，主要是由等式S=x?+y2而按照均值換元的思路，設(shè)

9

x2=E+t、y2=￡-t,減少了元的個(gè)數(shù)，問(wèn)題且容易求解。另外，還用到了求值域的幾種

22

方法：有界法、不等式性質(zhì)法、分離參數(shù)法。

和“均值換元法”類似，我們還有一種換元法，即在題中有兩個(gè)變量x、y時(shí)、可以設(shè)x

=a+b,y=a-b,這稱為“和差換元法”，換元后有可能簡(jiǎn)化代數(shù)式。本題設(shè)x=a+b,y

=a-b,代入①式整理得3a2+13b2=5，蝴a2c[0,g],所以S=(a-b)2+(a+b)2=

10

/22、10202r再求止+止的值。

2(a2+b2)=—+一a2e[—,—

1311331332maxumin

11V2

例2.AABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C滿足：A+C=2B,-----+-----=-------求

cosAcosCcosB

cos----的值。(96年全國(guó)理)

2

A+C=120。

【分析】由已知"A+C=2B”和“三角形內(nèi)角和等于180°”的性質(zhì)，可得\。

“60。

A=60°+aA-C

由“A+C=120°”進(jìn)行均值換元，則設(shè)《，再代入可求cosa即COS--------------

C=60°-a2

A+C=120°

【解】由AABC中已知A+C=2B,可得

5=60°

A=60°+a

由A+C=120°，設(shè)《，代入已知等式得:

C=60°-a

111

-------十++

cosAcosCcos(60°+?)cos(60°-?)1V3.

C0S<2—sina

22

1cosacosa

o=-2A/2,

1V3.l.cos2a_3sin2a2

-cosa+」sinacosa--

22444

解得……交A-CV2

即：cos

222

V2

【另解】由A+C=2B,得A+C=120°,B=60°。所以-----+------

cosAcosCcosB

——2y/l.,設(shè)-----=-5/2+m,-------V2-m，

cosAcosC

所以cosA=--J---，cosC=---J---，兩式分別相加、相減得:

-V2+m-y]2-m

10

A+CA—CA—C2V2

cosA+cosC=2cos-----cos------=cos------=-z----

222m2-2

A+CA-Crrri-U2m

cosA—cosC=-2sin------sin------=-J3sin-----

22m2-2

A-C2/n2后2A—C?k—C

HP：sin-----代入sin-------Feos------=1整理

2V3(m2-2)m2-222

,A-C2V2V2

得：3m4~16m—12=0,解出m2=6,代入cos-----=-%----=----

2/H2-22

【注】本題兩種解法由“A+C=120?！?、—2夜”分別進(jìn)行均值

cosAcosC

換元，隨后結(jié)合三角形角的關(guān)系與三角公式進(jìn)行運(yùn)算，除場(chǎng)知想到均值換元外，還要求對(duì)

三角公式的運(yùn)用相當(dāng)熟練。假如未想到進(jìn)行均值換元，也可由三角運(yùn)算直接解出：由A+C=

11&L

2B,得A+C=120°,B=60°。所以-------1-------=---------=一2^2,即cosA+cosC

cosAcosCcosB

——2yplcosAcosC,和積互化得：

2cos"+0cos———-=-V2[cos(A+C)+cos(A-C)，即cos——-=———\p2.cos(A-C)

2222

=――-yp2,(2cos2--------]),整理得：45/2cos2-------F2cos--------3V2=0,

2222

例3.設(shè)a>0,求f(x)=2a(sinx+cosx)—sinx?cosx—2a*的最大值和最小值。

【解】設(shè)sinx+cosx=t,則te[-V2,V2],由(sinx+

產(chǎn)一1

cosx)2=1+2sinx?cosx得：sinx?cosx=

2

f(x)=g(t)=---(t-2a)2H—(a>0),tG[-V2,V2]

22

t=-V^時(shí)，取最小值：-2a?—2V^a—:

2

當(dāng)2a2時(shí)，t=V2?取最大值：—2a2+2V2a---；

2

當(dāng)0<2aWj^時(shí)，t=2a,取最大值：-

2

.1V2

-(0<a<-)

?*.f(x)的最小值為一2a2—2J^a—!,最大值為?

2

—2a2+lypla——(a>-

II

【注】此題屬于局部換元法，設(shè)sinx+cosx=t后，抓住sinx+cosx與sinx?cosx的

內(nèi)在聯(lián)系，將三角函數(shù)的值域問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問(wèn)題，使得容易求解。

換元過(guò)程中一定要注意新的參數(shù)的范圍(te[-V2,&])與sinx+cosx對(duì)應(yīng)，否則將會(huì)出

錯(cuò)。本題解法中還包含了含參問(wèn)題時(shí)分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，即由對(duì)稱軸與閉區(qū)間的位置

關(guān)系而確定參數(shù)分兩種情況進(jìn)行討論。

?般地，在遇到題目已知和未知中含有sinx與cosx的和、差、積等而求三角式的最大值

和最小值的題型時(shí)，即函數(shù)為f(sinx±cosx,sinxcsox),經(jīng)常用到這樣設(shè)元的換元法，轉(zhuǎn)

化為在閉區(qū)間上的二次函數(shù)或一次函數(shù)的研究。

24(+1)

例4.設(shè)對(duì)所于有實(shí)數(shù)x,不等式xlog2^+2Xlog2^-+log2>0

恒成立，求a的取值范圍。(87年全國(guó)理)

【分析】不等式中l(wèi)og,40+D、log2烏、logj"：?三項(xiàng)有何聯(lián)系?進(jìn)行對(duì)數(shù)

式的有關(guān)變形后不難發(fā)現(xiàn)，再實(shí)施換元法。

2a4(61+1)8(a+1)a+1

[解】設(shè)log,=t,則log,-------=log----=3+log——=3—

2a+12a222a22la

log~—3—t,log■_2—21og-=-2t,

2a+l24a22a

代入后原不等式簡(jiǎn)化為(3-t)x2+2tx-2t>0,它對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，所以：

3-t>0[/<32a

<,,解得〈?t〈0即log,----<0

△=4,2+8r(3-r)<0<0或t>6'a+1

2a..

0<----<1,解得0〈a<l。

a+l

【注】應(yīng)用局部換元法，起到了化繁為簡(jiǎn)、化難為易的作用。為什么會(huì)想到換元及如何設(shè)

元，關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)已知不等式中10g2曳""、log?烏、1%23：?-三項(xiàng)之間的聯(lián)系。

在解決不等式恒成立問(wèn)題時(shí)，使用了“判別式法”。另外，本題還要求對(duì)數(shù)運(yùn)算十分熟練。

一般地，解指數(shù)與對(duì)數(shù)的不等式、方程，有可能使用局部換元法，換元時(shí)也可能要對(duì)所給的

已知條件進(jìn)行適當(dāng)變形，發(fā)現(xiàn)它們的聯(lián)系而實(shí)施換元，這是我們思考解法時(shí)要注意的一點(diǎn)。

22

sin0_cos9cos9sin0_10(②式)，求上的值。

例5.已知0L+1廠=3(4+/)

x)'y

、口sin0cos0

【解】設(shè)------=-------=k,貝I」sin9=kx,cos0=ky,且sin29+cos之0=

%y

22

2222102yx

k2(x2+y2)=i,代入②式得:-k-y-1-k-x-=------=-1-0k即：彳+==

x2y23(x2+y2)3X-

10

3

12

設(shè)」*=t,則t+'=12,解得：t=3或1.，.±=±6或±￡

y2f33y3

xsin。cos20

【另解】由一=--=te,將等式②兩邊同時(shí)除以一「，再表示成含tg。的

ycosygx

式子：l+tg40=(1+次2。)乂———=—tg2o,設(shè)tg2()=t,則3t2—10t+3=0,

3A.)3

?,.t=3或:，解得±=±Q或土中o

3y3

sin0cos9

【注】第一種解法由------=------而進(jìn)行等量代換，進(jìn)行換元，減少了變量的個(gè)數(shù)。

xsin。

第二種解法將已知變形為一=-不難發(fā)現(xiàn)進(jìn)行結(jié)果為tgo,再進(jìn)行換元和變形。兩種

ycos8

解法要求代數(shù)變形比較熟練。在解高次方程時(shí)，都使用了換無(wú)法使方程次數(shù)降低。

例6.實(shí)數(shù)x、y滿足0+(,二1).=/若x+y—k>0恒成立，求k的范圍。

916

【分析】由已知條件任M+一：1廣=+可以發(fā)現(xiàn)它與a2+b2=l有相似之處，于

916

是實(shí)施三角換元。

【解】由丫+*='設(shè)F=cos2±1

=sin0

4

x-1+3cos。

即：\代入不等式x+y—k>0得:

y--1+4sin9

3cos0+4sin0—k>0,即k<3cos9+4sin。=5sin(6+w)

所以k<-5時(shí)不等式恒成立。

【注】本題進(jìn)行三角換元，將代數(shù)問(wèn)題(或者是解析幾何問(wèn)題)化為了含參三角不等式恒

成立的問(wèn)題，再運(yùn)用“分離參數(shù)法”轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域問(wèn)題，從而求出參數(shù)范圍。一般

地，在遇到與圓、橢圓、雙曲線的方程相似的代數(shù)時(shí)，或者在解決圓、橢圓、雙曲線等有

關(guān)問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常使用“三角換元法”。

本題另一種解題思路是使用數(shù)形結(jié)合法的思想方法：在平面直角坐標(biāo)系，不等式ax+by

+c>0(a>0)所表示的區(qū)域?yàn)橹本€ax+by+c=0所分平面成兩部分中含x軸正方向的一部分。

此題不等式恒成立問(wèn)題化為圖形問(wèn)題：橢圓上的點(diǎn)始終

位于平面上x(chóng)+y-k>0的區(qū)域。即當(dāng)直線x+y-k=0在

與橢圓下部相切的切線之下時(shí)。當(dāng)直線與橢圓相切時(shí).，

16(x-l)2+9(y+l)2=144

方程組-°，有相等的一組實(shí)

數(shù)解，消元后由△=()可求得k=-3,所以k<-3時(shí)原不

等式恒成立。

13

m、鞏固性題組：

1.已知f(x3)=lgx(x>0),則f(4)的值為_(kāi)__?

A.21g2B.Ilg2C.21g2D.21g4

333

2.函數(shù)y=(x+l)4+2的單調(diào)增區(qū)間是o

A.[-2,+°°)B.[-1,+°°)D.(-8,+8)c.(-oo,-1]

3.設(shè)等差數(shù)列｛a“｝的公差d=l,且S|00=145,則a,+a3+a5+……+agg的值為

A.85B.72.5C.60D.52.5

4.已知x?+4y2=4x,則x+y的范圍是。

5.