2023屆湖南省衡陽市高三年級(jí)上冊學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2023屆湖南省衡陽市第一中學(xué)高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先求出集合A,B，然后取交集即可.【詳解】由得，所以，又，所以，故選：D.2．若復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部是（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】根據(jù)已知可得，根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算可得，即可求得答案.【詳解】由可得：復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的虛部是，故選：C.3．從，，，，中任取個(gè)不同的數(shù)分別記作，，則的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先求出基本事件總數(shù)，再用列舉法列出取出的個(gè)數(shù)之差的絕對值等于的事件數(shù)，最后利用對立事件和古典概型的概率公式計(jì)算可得.【詳解】解：從，，，，中任取個(gè)不同的數(shù)，，共有個(gè)基本事件，取出的個(gè)數(shù)之差的絕對值等于有，，，共個(gè)基本事件，所以所求概率為.故選：D4．明朝的一個(gè)葡萄紋橢圓盤如圖（1）所示，清朝的一個(gè)青花山水樓閣紋飾橢圓盤如圖（2）所示，北宋的一個(gè)汝窯橢圓盤如圖（3）所示，這三個(gè)橢圓盤的外輪廊均為橢圓.已知圖（1）?（2）?（3）中橢圓的長軸長與短軸長的比值分別，設(shè)圖（1）?（2）?（3）中橢圓的離心率分別為，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)橢圓的長軸長與短軸長的定義，結(jié)合離心率公式和參數(shù)之間的等量關(guān)系，可得答案.【詳解】因?yàn)闄E圓的離心率，所以橢圓的長軸長與短軸長的比值越大，離心率越大.由，所以.故選：B.5．已知的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為，則該展開式中的系數(shù)為（

）A．0 B． C．120 D．【答案】A【分析】令，構(gòu)建方程可得，再根據(jù)的展開式，令和，代入運(yùn)算求解．【詳解】因?yàn)榈恼归_式中各項(xiàng)系數(shù)的和為，所以令，得，解得，∵的展開式為則展開式中含的項(xiàng)為，故的系數(shù)為0.故選：A．6．兩條異面直線所成的角為，在直線上分別取點(diǎn)和點(diǎn)，使，且.已知?jiǎng)t線段的長為（

）A．8 B． C． D．【答案】B【分析】利用空間向量，結(jié)合模長運(yùn)算處理，重點(diǎn)注意、的夾角與異面直線的夾角之間的關(guān)系．【詳解】由題意知：，所以，又異面直線所成的角為，則所以，則或（舍去）故選：B.7．已知，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】化簡由題意，可得，構(gòu)造，得到則，再令，求得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性，即可求解.【詳解】由題意，可得，所以令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞減，，所以恒成立，所以在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，即，所以，所以，?故選：A.8．已知是方程的兩根，有以下四個(gè)命題：甲：；乙：；丙：；?。?如果其中只有一個(gè)假命題，則該命題是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】B【分析】根據(jù)韋達(dá)定理可得，對乙?丁運(yùn)算分析可知乙?丁一真一假，分別假設(shè)乙?丁是假命題，結(jié)合其他命題檢驗(yàn)判斷．【詳解】因?yàn)槭欠匠痰膬筛?，則甲：；丙：.若乙?丁都是真命題，則，所以，，兩個(gè)假命題，與題意不符，所以乙?丁一真一假，假設(shè)丁是假命題，由丙和甲得，所以，即，所以，與乙不符，假設(shè)不成立；假設(shè)乙是假命題，由丙和甲得，又，所以，即與丙相符，假設(shè)成立；故假命題是乙，故選：．二、多選題9．下列命題正確的是（

）A．若甲?乙兩組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)分別為和，則乙組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性更強(qiáng)B．已知樣本數(shù)據(jù)的方差為4，則的標(biāo)準(zhǔn)差是4C．在檢驗(yàn)與是否有關(guān)的過程中，根據(jù)所得數(shù)據(jù)算得，已知，則有的把握認(rèn)為和有關(guān)D．對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量，有一組觀測數(shù)據(jù)，其線性回歸方程是，且，則實(shí)數(shù)的值是【答案】AB【分析】根據(jù)統(tǒng)計(jì)案例中的相關(guān)概念理解運(yùn)算．【詳解】兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1，故正確；中樣本數(shù)據(jù)的方差為4，則的方差為，標(biāo)準(zhǔn)差為4，B正確；C中由6.352，沒有的把握判斷認(rèn)為和有關(guān)，C不正確；D中，由得，D不正確；故選：AB.10．若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為6，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．是函數(shù)的一個(gè)周期C．當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是D．將函數(shù)的圖像向左移動(dòng)個(gè)單位得到函數(shù)的圖像，則函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)【答案】BD【分析】先根據(jù)三角恒等變換整理得，以為整體，結(jié)合正弦函數(shù)圖像與性質(zhì)運(yùn)算求解，并運(yùn)用圖像平移處理求解判斷．【詳解】，當(dāng)時(shí)，則，所以當(dāng)時(shí)，的最大值為6，即，所以，選項(xiàng)A不正確；∵的最小正周期，則是函數(shù)的一個(gè)周期，選項(xiàng)B正確；當(dāng)時(shí)，，所以不等式恒成立，則，解得，選項(xiàng)不正確；函數(shù)的圖像向左移動(dòng)個(gè)單位得到函數(shù)，函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，選項(xiàng)正確.故選：BD．11．樹人中學(xué)的“希望工程”中，甲?乙兩個(gè)募捐小組暑假期間走上街頭分別進(jìn)行了為期兩周的募捐活動(dòng).兩個(gè)小組第1天都募得1000元，之后甲小組繼續(xù)按第1天的方法進(jìn)行募捐，則從第2天起，甲小組每一天得到的捐款都比前一天少50元；乙小組采取了積極措施，從第1天募得的1000元中拿出了600元印刷宣傳材料，則從第2天起，第天募得的捐款數(shù)為元.若甲小組前天募得捐款數(shù)累計(jì)為元，乙小組前天募得捐款數(shù)累計(jì)為元（需扣除印刷宣傳材料的費(fèi)用），則（

）A．B．甲小組募得捐款為9550元C．從第7天起，總有D．且【答案】AC【分析】利用等差數(shù)列求和公式求出甲小組兩周的募捐的錢數(shù)，得到B錯(cuò)誤；利用等比數(shù)列求和公式及分組求和，得到乙小組兩周募捐的錢數(shù)，得到D錯(cuò)誤；計(jì)算出，比較得到大小；令，先計(jì)算出，再結(jié)合數(shù)列單調(diào)性得到答案.【詳解】由題可知且，設(shè)代表第天甲小組募得捐款，且，對于甲小組，，所以，所以，所以且，所以，故選項(xiàng)B不正確；設(shè)代表第天乙小組募得捐款，由題可知，，所以，，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；因?yàn)椋试撨x項(xiàng)A正確；選項(xiàng)C，令，所以，而當(dāng)時(shí)，，所以數(shù)列為遞增數(shù)列，因此，所以，故選項(xiàng)C正確.故選：AC12．在直角坐標(biāo)系中，拋物線與直線交于兩點(diǎn)，且.拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)是以為圓心，為半徑的圓上的一點(diǎn)（非原點(diǎn)），過點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為.則（

）A． B．直線的方程為C． D．面積的最大值是【答案】BCD【分析】利用向量的數(shù)量積等于0可求得，判斷A;確定拋物線方程，利用導(dǎo)數(shù)表示出拋物線切線方程，結(jié)合兩點(diǎn)確定一條直線可得AB方程,判斷B;求出以為圓心，為半徑的圓的方程，即可知，判斷C;求出弦長AB,求出點(diǎn)到直線的距離，即可表示出面積，從而求得其最大值，判斷D.【詳解】依題意可設(shè)，則,因?yàn)?，所以，?又，所以,故拋物線的方程為,所以選項(xiàng)不正確，；不妨設(shè)在第一象限，在第四象限，由可得，，所以直線的斜率為，則直線的方程為，化簡為；同理求得的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在直線，上，所以，由此可知,的坐標(biāo)都滿足,由于兩點(diǎn)確定一條直線，故可得直線AB的方程為，所以B選項(xiàng)正確；由A的分析可知拋物線的準(zhǔn)線方程為，故,所以以為圓心，為半徑的圓的方程為，由于為圓上動(dòng)點(diǎn)（非原點(diǎn)），故，故C正確；聯(lián)立方程組，整理得，,則，故，點(diǎn)到直線的距離，故的面積，由題可知，，則圓的方程為，故，因?yàn)?，所以，所以，故面積的最大值為為，D正確；故選：BCD【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線方程中參數(shù)的求解以及直線和拋物線相切時(shí)切線以及弦的方程的求解以及直線和拋物線位置關(guān)系中三角形面積最值的求法，涉及知識(shí)點(diǎn)多，綜合性強(qiáng)，計(jì)算量大，解答時(shí)要能靈活應(yīng)用相關(guān)知識(shí)求解，解答的關(guān)鍵是拋物線切線方程的求法以及三角形面積最值的求解.三、填空題13．函數(shù)的極大值點(diǎn)是___________.【答案】【分析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)求得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合極值點(diǎn)的概念，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，令，即，解得，當(dāng)時(shí)，，故在上為單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故在上為單調(diào)遞減函數(shù)，所以函數(shù)的極大值點(diǎn)是.故答案為：.14．已知拋物線的焦點(diǎn)在軸上，直線與拋物線交于點(diǎn)，且.寫出拋物線的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程___________.【答案】或或或（寫出一個(gè)即可）【分析】根據(jù)題意設(shè)拋物線的方程及點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的定義與方程運(yùn)算求解．【詳解】設(shè)所求焦點(diǎn)在軸上的拋物線的方程為，，由拋物線定義得.又∵或，故所求拋物線方程為或.故答案為：或或或．（寫出一個(gè)即可）15．定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則曲線上的點(diǎn)到直線的最小距離為___________.【答案】【分析】先根據(jù)奇函數(shù)定義求時(shí)的解析式，此時(shí)斜率為1的點(diǎn)到直線的距離最小，再與原點(diǎn)到直線的距離相比較，取最小值．【詳解】由對稱性可知，只需要比較與時(shí)的距離.設(shè)，因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以，則設(shè)點(diǎn)，則，解得：此時(shí)點(diǎn)到直線的距離，設(shè)，則原點(diǎn)到直線的距離，因?yàn)?，所以曲線上的點(diǎn)到直線的最小距離為.故答案為：．16．三棱錐中，，底面是邊長為2的正三角形，分別是的中點(diǎn)，且，若為三棱錐外接球上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到平面距離的最大值為___________.【答案】##【分析】先證得平面，再求得，從而得為正方體一部分，進(jìn)而知正方體的體對角線即為球直徑，從而得解；【詳解】為邊長為2的等邊三角形，為正三棱錐，，又分別為中點(diǎn)，，，又平面平面，為正方體一部分，故，即，∵為三棱錐外接球上的動(dòng)點(diǎn)，∴當(dāng)位于正方體的如圖所示的頂點(diǎn)處，點(diǎn)到平面距離最大，設(shè)為，∴可求得三棱錐的體積為：，∴，解得：故答案為：【點(diǎn)睛】求解立體幾何外接球問題，根據(jù)題目特征作出輔助線，找到球心，求出半徑，或補(bǔ)形為長方體或正方體，進(jìn)而求出表面積或體積.四、解答題17．已知銳角中，角所對的邊分別為.(1)求；(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理進(jìn)行邊化角，結(jié)合兩角和正弦公式化簡求解；（2）利用正弦定理進(jìn)行邊化角，結(jié)合三角恒等變換整理可得，再根據(jù)正切函數(shù)運(yùn)算求解．【詳解】（1）由及正弦定理得所以，又，因?yàn)?，所以，所?因?yàn)?，所?（2）由正弦定理得，所以.因?yàn)槭卿J角三角形，所以，解得.因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以.從而，所以，即的取值范圍是.18．如圖，在三棱柱中，平面平面，四邊形是菱形，是的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意利用面面垂直的性質(zhì)定理可證平面，再結(jié)合線面垂直的判定定理證明；（2）根據(jù)題意建系，先平面的法向量是，再根據(jù)運(yùn)算處理．【詳解】（1）連接，因?yàn)樗倪呅问橇庑?，則，因?yàn)?，故為等邊三角形，所?因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面平面，所以平面，平面，所?因?yàn)?，所?又，所以平面.（2）連接，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以.又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面平面，所以平?設(shè)，因?yàn)?，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，.設(shè)平面的法向量是，則，取，可得.設(shè)直線與平面所成角為所以，∴直線與平面所成角的正弦值是.19．2022年2月20日，北京冬奧會(huì)在鳥巢落下帷幕，中國隊(duì)創(chuàng)歷史最佳戰(zhàn)績.北京冬奧會(huì)的成功舉辦推動(dòng)了我國冰雪運(yùn)動(dòng)的普及，讓越來越多的青少年愛上了冰雪運(yùn)動(dòng).這場冰雪盛會(huì)是運(yùn)動(dòng)健兒奮力拼搏的舞臺(tái)，也是中外文明交流互鑒的舞臺(tái)，詮釋著新時(shí)代中國的從容姿態(tài)，傳遞出中華兒女與世界人民“一起向未來”的共同心聲.某學(xué)校統(tǒng)計(jì)了全校學(xué)生觀看北京冬奧會(huì)開幕式和閉幕式的時(shí)長情況（單位：分鐘），并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)繪制得到右下圖所示的頻率分布直方圖.(1)求頻率分布直方圖中的值，并估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)；(2)采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣方式，從觀看時(shí)長在的學(xué)生中抽取9人.若從這9人中隨機(jī)抽取3人在全校交流觀看體會(huì)，設(shè)抽取的3人中觀看時(shí)長在的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)分位數(shù)為(2)分布列答案見解析，【分析】（1）先由頻率和為1解得按百分位數(shù)的定義求出分位數(shù)；（2）利用分層隨機(jī)抽樣求出在兩個(gè)區(qū)間中應(yīng)分別抽取6人和3人.得到X的所有可能取值為.分別求出對應(yīng)的概率，寫出分布列，求出數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）由題意，，解得.由頻率分布直方圖知，觀看時(shí)長在200分鐘以下占比為.觀看時(shí)長在240分鐘以下占比為.所以90%分位數(shù)位于內(nèi)，分位數(shù)為.（2）由題意，觀看時(shí)長[200，240）?[240，280]對應(yīng)的頻率分別為和，所以采用分層隨機(jī)抽樣的方式在兩個(gè)區(qū)間中應(yīng)分別抽取6人和3人.于是抽取的3人中觀看時(shí)長在中的人數(shù)X的所有可能取值為.所以，的分布列為0123P所以，.20．已知數(shù)列滿足，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意整理可得，討論的奇偶性并結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式運(yùn)算求解；（2）利用錯(cuò)位相減進(jìn)行求和運(yùn)算，再利用放縮法并結(jié)合數(shù)列單調(diào)性證明．【詳解】（1）由得，兩式相除得，所以都是公比為2的等比數(shù)列，由及得，所以為奇數(shù)時(shí)，，為偶數(shù)時(shí)，，所以（2），則，兩式相減得，所以，因?yàn)?，所以單調(diào)遞增所以成立，所以.21．設(shè)是雙曲線的左?右兩個(gè)焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)在雙曲線的右支上，且的面積為3.(1)求雙曲線的漸近線方程；(2)若雙曲線的兩頂點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，試探究直線與直線的交點(diǎn)是否在某條定直線上？若在，請求出該定直線方程；若不在，請說明理由.【答案】(1)(2)存在，在定直線方程上【分析】（1）由已知條件可得為直角三角形,利用雙曲線的定義和勾股定理進(jìn)行計(jì)算可得a,b,c,然后由漸近線公式可得答案.（2）對直線的斜率不存在和存在兩種情況進(jìn)行討論，將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，寫出直線和直線的方程，并聯(lián)立利用韋達(dá)定理求解即可.【詳解】（1）由得，且所以即解得又,故雙曲線的漸近線方程為.（2）由（1）可知雙曲線的方程為.（i）當(dāng)