2021年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷(理科)(大綱版)

2x22x2全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（理科）大綱版）一選題（大共小，每題分1分設(shè)＝A．1+3i

，共軛數(shù)（）B﹣﹣3iC．1+3iD1﹣i2分設(shè)合M＝{x﹣﹣＜0}，N＝{|0≤≤5}，則N＝）A4]B[0，）

C．[﹣，0）

D1，3分設(shè)＝°＝cos55°＝tan35°則）A．a(chǎn)＞b＞c

B＞ca＞＞D．＞a＞4分若量、滿足＝）⊥）⊥，則＝）A．21D．5分有名醫(yī)5名醫(yī)生，從選出名醫(yī)1名醫(yī)生成個醫(yī)小組則同的法有（）A．種

B70種

C．種

D種6分已橢圓：+＝（＞b＞0）左右焦為F、，離心為

，過F的線l于A、B兩點，eq\o\ac(△,AF)eq\o\ac(△,)B的長為

，C方程（）A．

+

＝1+＝1C．

+

＝1

+

＝17分曲yA．2

在（1，1）切的斜率等（）Be2．18分正四棱錐頂點都在一球面上若該棱錐高為，面長為2，該球表積（）A．

．16

C．

D9分已雙線C的心為2，焦點F，A在C，F(xiàn)A＝，則∠AF＝（）

4224422411A．

D10分）比數(shù){}，，a＝，數(shù){lga}前項等于（）A．6B5C4D3分已知面角﹣﹣為°AB，⊥l，為垂足∈l，ACD＝°，則異直線AB與CD所角余弦值為）A．

12分函y＝（x）的圖與數(shù)＝g（）圖關(guān)于線+y對，yf（x）反數(shù)（）A．yg（x）

B＝g（x

C．y﹣g（）

．＝﹣（）二填本大共小，小5分13分）

的開中

的數(shù)數(shù)作答）14分）x滿約束條件，zx+4y最值為．15分）直l和l是圓x+2的條切線，l與l的交為3l與l的角正切等．數(shù)a在區(qū)

，函數(shù)a的值圍是．三解題1710分△的內(nèi)、、的對分別為a、、，知3a＝，A＝，B．1812分）等差數(shù){}前n項和，知＝13，為數(shù)，且≤．（1）{}通公式（2），求數(shù){}前n項和T．19分圖，棱中，點A在面內(nèi)射D在AC上ACB＝90°＝，＝＝．（）明：；（）直線與面BCC1B的距離，二面角﹣的小

*n*n20分設(shè)個工作日、乙丙人使某種備概率別.60.5、0.4，人是否需用設(shè)備相獨立．（）同一作至少3人使用備概率（）X表同一工作需使用設(shè)的人數(shù)，的學望．分）知拋線：y＝2（＞）焦為F直線＝4與軸的交點為，C的點為，|．（）C的方；（）的直l相于B兩點若的直分線l′相于、兩，A、B、四在同圓，求l的程2212分）函數(shù)f（）ln+1）﹣

（＞（）論f（x）單性（）a＝，a＝（明：＜a≤n

2014年國統(tǒng)高考學試卷（理科（大綱）考答試題一選題（大共小，每題分1分設(shè)＝A．1+3i

，共軛數(shù)（）B﹣﹣3iC．1+3iD1﹣i【析】直接復代數(shù)式除法算簡，z的共可．【答解

＝，∴

．故：．【評】本題查數(shù)代形的除運，考了數(shù)的本念，基題．2分設(shè)合M＝{x﹣﹣＜0}，N＝{|0≤≤5}，則N＝）A4]B[0，）

C．[﹣，0）

D1，【析】求解元次不式簡集M，后直接利交集運算解．【答】解：﹣﹣4＜0，＜x＜4．∴＝{x﹣3﹣＜0}＝{﹣1＜＜，又＝{|0x5}∴∩N＝{﹣＜x4}∩{|0≤≤5}＝[0，故：．【評】本題查交集其算，查一元次等式解，是礎(chǔ)．3分設(shè)＝°＝cos55°＝tan35°則）A．a(chǎn)＞b＞cBb＞＞ac＞a

D＞a＞【析可得＝sin35°，易得

＞sin35，綜可．【答】解：誘公式得b＝°＝cos（°﹣°）sin35°，由弦數(shù)的調(diào)可知b＞，而∴c＞b＞a

＞sin35＝，

22故：．【評】本題查角函值小的較涉及導式和角數(shù)的調(diào)，屬礎(chǔ)題4分若量、滿＝+）⊥）⊥，|＝）A．21D．【析由條件利兩個向量直的質(zhì)可得＝0，此得．【答解：由題可得+＝

+

＝1+

＝0，∴＝﹣；（2+＝2

+

＝﹣

＝0，∴

＝2，則＝，故：．【評】本題要查兩向垂直性，兩向垂直則們的量等于，屬基題．5分有名醫(yī)5名醫(yī)生，從選出名醫(yī)1名醫(yī)生成個醫(yī)小組則同的法有（）A．種

B70種

C．種

D種【析】根據(jù)意分2步分析，從6名男醫(yī)中2人，再5名女醫(yī)中出人由合數(shù)式次求每步的況目，分計數(shù)理算可答．【答解：根據(jù)意，從6名醫(yī)生中選人有

＝種法再5名女醫(yī)中出1人有＝種選法，則同選法有15×＝75種；故：．【評】本題查步計原的應(yīng)，意區(qū)排、組的同．6分已橢圓：

+

＝1（＞）的左右焦點為F，離心率

，過F的線l于A、B兩點，eq\o\ac(△,AF)eq\o\ac(△,)B的長為

，C方程（）

22xxx22xxx1xxA．

+

＝1+＝1C．

+

＝1+

＝1【析利用eq\o\ac(△,)的周長為b，即可出橢圓的程．【答解：∵eq\o\ac(△,AF)eq\o\ac(△,)B的長

，出＝，據(jù)離率，

，得＝，求出∵eq\o\ac(△,AF)eq\o\ac(△,)B周長|+|AF＝a＝4a，∴4＝∴a＝

，，∵心∴∴b＝

，，c＝1，＝，∴圓的程

+

＝1．故：．【評】本題查圓的義方程考橢圓幾性質(zhì)考學生計能力屬于礎(chǔ)．7分曲yA．2

在（1，1）切的斜率等（）Be2．1【析】求函的數(shù)，用數(shù)的何義即求對應(yīng)切斜率【答】解：數(shù)導數(shù)f′x＝+＝），當＝時f′1）＝2，即線＝

在（1，1）切的斜kf′1）＝，故：．【評】本題要查導的何意，接求數(shù)導數(shù)解本題關(guān)，比基礎(chǔ)8分正棱錐的頂都在同一面上，若棱錐的高4，面長為2，該球的

122122表積（）A．

．16

C．

D【析四棱錐﹣ABCD的接的球心在的高O上，為O，出，OO，解球半徑求球的面．【答解：設(shè)球半徑R，∵錐高為4，面邊長為，∴＝）（

），∴＝，∴的面積）＝．

故：．【評】本題查的表積球的接何體題考查算力，基題．9分已雙線C的離率為2，點為F、，在C上，F(xiàn)A＝，則∠AF＝（）A．

【析】根據(jù)曲的定，及余定建立程系即得結(jié)論【答】解：雙線的心率為2，∴＝，即c2a，點A在曲上，則FA﹣A＝2a，又FA＝FA，∴得FA＝4a，F(xiàn)＝2a，F(xiàn)F＝，則由余弦定

理得

∠AFF＝＝

482348234345＝

．故：．【評】本題要查雙線定義運，利離率的義余弦理解決題的鍵考查生計算力10分）比數(shù){}，，a＝，數(shù){lga}前項等于（）A．6B5C4D3【析】利用比列的質(zhì)得＝a＝a＝a＝．再用對的運算性即得．【答】解：數(shù){}等比數(shù)列a＝2，＝，∴aa＝aa＝aa＝aa＝10．∴+…lga＝lg（?…?a）＝4lg10＝4．故：．【評】本題查等比列性質(zhì)對的運性，屬基題．分已知面角﹣﹣為°AB，⊥l，為垂足∈l，ACD＝°，則異直線AB與CD所角余弦值為）A．

【析首先出面角的平角，然后構(gòu)造出異直與CD所角，用直角角和余定，求問的答．【答解：如圖過A點做⊥，BE⊥，足，點做AFCD，點做EF⊥AE連接，∵⊥l∴∠＝°∵∥又∠ACD°

∴∠FAC＝°∴∠＝°在eq\o\ac(△,Rt)中，設(shè)AE＝，

，在eq\o\ac(△,Rt)AEF中則

，在eq\o\ac(△,Rt)中，＝a，∴面線ABCD所的角即是，∴∠＝＝＝．

故：．【評】本題要查了面和異直所成角關(guān)鍵構(gòu)二面的面角異面線成的，查了生空間象力和圖力，于題．12分函y＝f（x的圖與數(shù)＝g（）圖關(guān)于線+y對，yf（x）反數(shù)（）A．yg（x）

B＝g（x

C．y﹣g（）

D＝﹣g（x【析設(shè)（xy為＝（x的反函數(shù)象上任一點關(guān)y的對稱P′y）一點在＝x）的象上P′，）于直xy＝0的稱點″﹣，﹣y）＝（x圖上，入析式形可得．【答解設(shè)Pxy為＝f（x）的反數(shù)圖象上任意一點則P關(guān)y的對點′，）一點在＝（）圖象，又函y＝f（）圖象與函y＝（）的圖關(guān)直線+y對，∴P′（，）關(guān)于直x+0的對點P″﹣，﹣y在＝（）象，∴有y＝（＝﹣g（﹣）∴y＝f（x的反數(shù)為：＝﹣（﹣）故：D．

2rr+1r2rr+1r【評】本題查函數(shù)性和對性屬中題二、空(大題小題每題分13分）

的開中的系數(shù)數(shù)作）【析先求出二式展式通項式再令x的指數(shù)等，得r的值，即求展開中x的系數(shù)．【答＝）

的開的通公為＝??，

?令＝

﹣4＝2，得r，故開中的數(shù)

＝70，故案：．【評】本題要查二式理的用二項系的性，項式開的通公式求開式某的系，于中題14分）x滿約束條件，zx+4y最值為5．【析】由約條作出行，化標數(shù)為線程的截，由得最優(yōu)，聯(lián)方組求最解的標代入標數(shù)得案【答解：由約條件

作可域如，聯(lián)，解得C（，1

22222222化標數(shù)＝為線方的截式

．由可，當線

過點，線在y軸的距最大z最大時max＝×＝．故案：5．【評】本題查單的性劃，查數(shù)形合解題想法，中題．15分）直l和l是+＝的兩切線，若l與l的交點為1，3l與l的角正切等．【析設(shè)l與l的夾為，由l與l的交（1，）在圓外，由角角形的角關(guān)求

的的據(jù)＝，計求結(jié)果【答解：設(shè)l與l的角，由l與l的交點（，）在圓外，且A與心O之間距為

＝，圓半為

，∴＝∴＝∴tan2＝

＝

，＝，＝，故案．【評】本題要查直和相切性，直三形中變關(guān)系同三角數(shù)的本系、倍的正公的應(yīng)，于中題16分）函數(shù)f（x）cos2xasinx在間（

，）是減函，則a取范圍是（∞，2]【析利用二倍的余弦公化為弦然后＝sinx換元，據(jù)出的x的圍出t的圍結(jié)合次函數(shù)的象的開口向及對稱的位置列求的范．【答】解：f（x）cos2+sinx＝+asinx，令t＝sinx，

44則函化為＝﹣t+at．∵x（，）f（x為減數(shù)，則＝﹣2+at在，）為減函數(shù)∵y＝2t+at+1的象口向，對稱方程為．∴，解：a≤．∴a的取范圍是（∞，2]答案為∞．【評】本題查合函的調(diào)性考了換法關(guān)鍵由元后數(shù)減函求得次數(shù)的稱的位，中檔．三解題1710分△的內(nèi)、、的對分別為a、、，知3a＝，A＝，B．【析由acosC＝2cosA利用弦理可3sinAcosC＝Ccos，利同的三函基本系可得tC，用B＝﹣（AC）]＝（A）可出．【答】解：3acosCA，由弦理可cos＝2sinCcos，∴＝2tanC，∵＝，∴2tanC＝×＝，解得．∴＝tan[﹣AC）]＝tan（A+C）﹣＝＝﹣1，∵B（，∴B＝【評】本題查正弦理同角三函數(shù)本系式兩和差正公式誘導式基礎(chǔ)識基本能法，查推理力計算力屬于檔．1812分）等差數(shù){}前n項和，知＝13，為數(shù)，且≤．

44444411（1）{}通公式（2），求數(shù){}前n項和T．（）過≤得≥≤0，用＝為數(shù)可得＝﹣，進而得論（2）通過＝13﹣，離母可得＝（

﹣項加可．【答1）等差數(shù){}，由≤得a≥0，a≤0，又a＝，∴，得≤≤﹣，∵a為數(shù)，＝4，∴{}通項為：a＝174n；（2）＝﹣，∴b＝＝＝﹣（﹣于＝+b……b＝[＝（＝

﹣﹣．

））

﹣）……+﹣）]【評】本題查數(shù)列通及求，查并相法，意題方的累，于中題19分圖，棱C中，在平面內(nèi)射D在AC上ACB＝90°＝，＝＝．（）明：；（）直線與面BCC1B的距離，二面角﹣的小

111111111【析】（Ⅰ由知數(shù)結(jié)線面直判定性可得（）輔助可FD為二角﹣﹣C的面，解角形由反角函數(shù)可得【答Ⅰ）∵D⊥面ABC平面C，∴面⊥面，又BC⊥AC∴⊥平CC，結(jié)C由面AA為菱形得⊥AC，又⊥BCC∩∴AC⊥平ABC平BC，∴AC⊥；（）⊥面，平B，∴面⊥面BCC，作A⊥CC，為垂足，得E⊥平面B，又線AA∥面BCC，∴E直與平面B的離即∵A為∠的平分線，作DF⊥，為足，結(jié)，又得AB⊥DFAD，∴⊥平面DF，AF平面ADF∴⊥，∴∠AFD為二角﹣AB﹣C的面，

，由∴DF＝

＝1知DAC中，＝，

iiii∴tan∠A1＝，∴面A﹣﹣C的大小【評】本題查面角求，作并明二角平面是決問的鍵，中檔．20分設(shè)個工作日、乙丙人使某種備概率別.60.5、0.4，人是否需用設(shè)備相獨立．（）同一作至少3人使用備概率（）X表同一工作需使用設(shè)的人數(shù)，的學望．【析】記A表事：一工日丙需使用設(shè)備i，1，2，表事件：甲需設(shè)，C表事，丁需要備D表示件：同一作日至少人使設(shè)備把4個都使用設(shè)備概率人有3個使用備的概率加，即得求．（）X的能取值為，1，，3，4，別求，再用數(shù)期公式算可．【答】解：題可得同工作至人使用備的概為0.6×××（﹣）×0.5×0.5×0.4+0.6×1﹣0.5）××××﹣）××0.5××（1﹣0.4）＝0.31（）X的可能取值為0，1，2，3，4PX）＝（1﹣）××（1﹣）＝P（＝1）×0.5×（1﹣）+（1﹣0.6）××0.4+﹣0.6）××

×（1﹣0.4）X＝）＝PA?B）＝0.6×0.4＝，PX＝3）＝D﹣PX＝4）0.25，（X＝2）（＝0）P（X＝1）P（＝3）（＝4）1﹣0.25﹣﹣＝0.38．

22故學望EX＝×0.06+1××0.38+3×0.25+4×0.06＝【評】本題要查了立件的率數(shù)學望關(guān)鍵找獨立事，計要有心屬于題分）知拋線：y＝2（＞）焦為F直線＝4與軸的交點為，C的點為，|．（）C的方；（）的直l相于B兩點若的直分線l′相于、兩，A、B、四在同圓，求l的程（）點的標為，4點坐標入物線C的方程求＝，據(jù)PQ求的，可C的程（）l的程＝（≠入拋線程化，用韋定理、中公式弦公式得長|．直l′方代入物方程簡利用達理、長式．于MN垂直平線，點圓價于AE＝BE＝，此求m值可得直線l的程．【答Ⅰ）設(shè)Q的標x，4點的坐標入物：y＝（＞0可，點．

又＝+，QF＝|∴＝×，得＝，或＝2（舍去

故C的程為y＝4．（）題意得直線l坐軸不垂直x的焦（1，設(shè)l的方為＝my+1m0代拋線方可y﹣4my﹣＝，然別式eq\o\ac(△,＝)eq\o\ac(△,)m＞0，y+＝m，y?＝．∴的點坐標為D（m，2m），弦長AB＝＝4（m

﹣|＝

*n*n又線l′斜為﹣m，∴直l的方程為

+2m+3．過F直線l與相