2023年高考數(shù)學(xué)專題19正、余弦定理的應(yīng)用黃金解題模板

專題19正、余弦定理的應(yīng)用【高考地位】正余弦定理是三角函數(shù)中有關(guān)三角知識的繼續(xù)與開展，進(jìn)一步揭示了任意三角形的邊與角之間的關(guān)系，其邊角轉(zhuǎn)換功能在求解三角形及判斷三角形形狀時(shí)有著重要應(yīng)用.在高考各種題型均有出現(xiàn)如選擇題、填空題和解答題，其試題難度屬中檔題.【方法點(diǎn)評】類型一判斷三角形的形狀使用情景：邊與三角函數(shù)之間的等式關(guān)系解題模板：第一步運(yùn)用正弦定理或余弦定理將等式全部轉(zhuǎn)化為都是角或都是邊的等式；第二步利用三角函數(shù)的圖像及其性質(zhì)或者邊與邊之間的等式關(guān)系得出所求的三角形的形狀；第三步得出結(jié)論.例1在中，，那么一定是〔〕A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形【答案】A【變式演練1】在中，角所對的邊分別為，假設(shè)，那么為．A．鈍角三角形B．直角三角形C．銳角三角形D．等邊三角形【答案】A【解析】試題分析：根據(jù)定理：,那么,根據(jù),所以,所以,整理為：,三角形中,所以,那么．考點(diǎn)：1．正弦定理；2．解斜三角形．【變式演練2】在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，假設(shè)，且，，成等比數(shù)列，那么一定是〔〕A．不等邊三角形B．鈍角三角形C．等腰直角三角形D．等邊三角形【答案】D考點(diǎn)：1．等比數(shù)列；2．解三角形．【變式演練3】在中，假設(shè)，那么的形狀一定是〔〕A．銳角三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形D．等腰三角形【答案】D考點(diǎn)：正余弦定理解三角形【變式演練4】在△ABC中，假設(shè)2cosBsinA＝sinC，那么△ABC的形狀一定是〔〕A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等邊三角形【答案】C【解析】試題分析：2cosBsinA＝sinC=sin〔A+B〕=sinAcosB+cosAsinB,所以sinAcosB-cosAsinB=0，所以sin〔A-B〕=0，所以A=B，三角形為等腰三角形考點(diǎn)：三角函數(shù)公式類型二解三角形中的邊和角使用情景：三角形中解題模板：第一步直接運(yùn)用正弦或余弦定理通常使用的條件判斷是運(yùn)用正弦定理還是余弦定理；第二步利用相應(yīng)的正弦、余弦定理的計(jì)算公式即可得出所求的結(jié)論.例2在銳角中，角的對邊分別為，假設(shè)，，那么的取值范圍〔〕A.B.C.D.【答案】B,故答案選【點(diǎn)評】在解三角形中求范圍問題往往需要轉(zhuǎn)化為角的問題，利用輔助角公式，結(jié)合角的范圍求得最后結(jié)果。在邊角互化中，注意化簡和誘導(dǎo)公式的運(yùn)用。:例3設(shè)的內(nèi)角，，所對的邊長分別為，，，假設(shè)，，，那么〔〕A.B.C.D.或【答案】C【變式演練3】△中，，，，假設(shè)三角形有兩解，那么的取值范圍是〔〕A．B．C.D．【答案】C【解析】試題分析：由題意得，，要使得三角形有兩解，那么滿足，解得，應(yīng)選C.考點(diǎn)：三角形解的個(gè)數(shù)的判定.【變式演練4】在中，角的對邊為，假設(shè)，那么角為〔〕A．B．C．D．【答案】A【解析】試題分析：因?yàn)椋捎嘞叶ɡ?，可得，又，所以，?yīng)選A．考點(diǎn)：余弦定理．【變式演練5】在中，，那么〔〕A．B．C.D．【答案】D考點(diǎn)：正弦定理與余弦定理.類型三解決與面積有關(guān)問題使用情景：三角形中解題模板：第一步主要利用正、余弦定理求出三角形的根本元素如角與邊；第二步結(jié)合三角形的面積公式直接計(jì)算其面積.例4中，,在邊上，且,.當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，那么的外接圓半徑為〔〕A.B.C.D.【答案】C【解析】因?yàn)樗缘拿娣e最大時(shí),由題可知，,,可得,所以,由正弦定理可得，故，應(yīng)選C.例5在中，內(nèi)角的對邊分別為，且，假設(shè)，那么的面積為____________．【答案】【變式演練6】在△中，，，分別為角，，的對邊，如果，，成等差數(shù)列，，△的面積為,那么b為〔〕A．B．C．D．【答案】B【解析】試題分析：成等差數(shù)列,,即,又因?yàn)槊娣e為,,由,得,,由余弦定理得,,解得,.應(yīng)選B.考點(diǎn)：1.余弦定理；2.面積公式.【變式演練7】頂點(diǎn)在單位圓上的中，角所對的邊分別為．假設(shè)，，那么．【答案】考點(diǎn)：余弦定理；正弦定理【變式演練8】在中，角、、所對的邊分別為、、，．〔1〕求及的面積；〔2〕求．【答案】〔1〕；〔2〕．【高考再現(xiàn)】1.【2023全國I卷文，11】△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c．，a=2，c=，那么C=A．B．C．D．【答案】B【解析】試題分析：由題意得，即，所以．由正弦定理得，即，得，應(yīng)選B．【考點(diǎn)】解三角形【名師點(diǎn)睛】在解有關(guān)三角形的題目時(shí)，要有意識地考慮用哪個(gè)定理更適宜，或是兩個(gè)定理都要用，要抓住能夠利用某個(gè)定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式時(shí)，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，那么考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，那么要考慮兩個(gè)定理都有可能用到．2.【2023山東，理9】在中，角，，的對邊分別為，，．假設(shè)為銳角三角形，且滿足，那么以下等式成立的是〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】A【解析】試題分析：所以，選A.【考點(diǎn)】1.三角函數(shù)的和差角公式2.正弦定理.【名師點(diǎn)睛】此題較為容易，關(guān)鍵是要利用兩角和差的三角函數(shù)公式進(jìn)行恒等變形.首先用兩角和的正弦公式轉(zhuǎn)化為含有，，的式子，用正弦定理將角轉(zhuǎn)化為邊，得到.解答三角形中的問題時(shí)，三角形內(nèi)角和定理是經(jīng)常用到的一個(gè)隱含條件，不容無視.3.【2023高考新課標(biāo)3理數(shù)】在中，，邊上的高等于,那么〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】C4.【2023高考天津理數(shù)】在△ABC中，假設(shè),BC=3，,那么AC=〔〕〔A〕1 〔B〕2 〔C〕3 〔D〕4【答案】A【解析】試題分析：由余弦定理得,選A.考點(diǎn)：余弦定理【名師點(diǎn)睛】1.正、余弦定理可以處理四大類解三角形問題，其中兩邊及其一邊的對角，既可以用正弦定理求解也可以用余弦定理求解．2．利用正、余弦定理解三角形其關(guān)鍵是運(yùn)用兩個(gè)定理實(shí)現(xiàn)邊角互化，從而到達(dá)知三求三的目的．5.【2023高考廣東，文5】設(shè)的內(nèi)角，，的對邊分別為，，．假設(shè)，，，且，那么〔〕A．B．C．D．【答案】B【考點(diǎn)定位】余弦定理．【名師點(diǎn)晴】此題主要考查的是余弦定理，屬于容易題．解題時(shí)要抓住關(guān)鍵條件“〞，否那么很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤．此題也可以用正弦定理解，但用正弦定理求角時(shí)要注意檢驗(yàn)有兩角的情況，否那么很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤．解此題需要掌握的知識點(diǎn)是余弦定理，即．6.【2023浙江，14】△ABC，AB=AC=4，BC=2．

點(diǎn)D為AB延長線上一點(diǎn)，BD=2，連結(jié)CD，那么△BDC的面積是______，cos∠BDC=_______．【答案】【解析】【考點(diǎn)】解三角形【名師點(diǎn)睛】利用正、余弦定理解決實(shí)際問題的一般思路：〔1〕實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后，量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中，可以利用正弦定理或余弦定理求解；〔2〕實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后，量與未知量涉及兩個(gè)或兩個(gè)以上三角形，這時(shí)需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，再逐步解其他三角形，有時(shí)需要設(shè)出未知量，從幾個(gè)三角形中列出方程〔組〕，解方程〔組〕得出所要的解．7.【2023全國III文，15】△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.C=60°，b=，c=3，那么A=_________.【答案】75°【考點(diǎn)】正弦定理【名師點(diǎn)睛】解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而到達(dá)解決問題的目的.其根本步驟是：第一步：定條件，即確定三角形中的和所求，在圖形中標(biāo)出來，然后確定轉(zhuǎn)化的方向.第二步：定工具，即根據(jù)條件和所求合理選擇轉(zhuǎn)化的工具，實(shí)施邊角之間的互化.第三步：求結(jié)果.8.【2023高考新課標(biāo)2理數(shù)】的內(nèi)角的對邊分別為，假設(shè)，，，那么．【答案】9.【2023高考重慶，文13】設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為,且,那么c=________.【答案】4【解析】由及正弦定理知：,又因?yàn)?所以，由余弦定理得：，所以;故填：4.【考點(diǎn)定位】正弦定理與余弦定理.【名師點(diǎn)睛】此題考查正弦定理與余弦定理的應(yīng)用，先由正弦定理將轉(zhuǎn)化為3a=2b結(jié)合即可求得b的值，再用余弦定理即可求解.此題屬于根底題，注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性及最后結(jié)果還需開方.10.【2023天津理，25】在中，內(nèi)角所對的邊分別為.，，.〔Ⅰ〕求和的值；〔Ⅱ〕求的值.【答案】(1).(2)【解析】試題分析：利用正弦定理“角轉(zhuǎn)邊〞得出邊的關(guān)系，再根據(jù)余弦定理求出，進(jìn)而得到，由轉(zhuǎn)化為，求出，進(jìn)而求出，從而求出的三角函數(shù)值，利用兩角差的正弦公式求出結(jié)果.〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕及，得，所以，.故.考點(diǎn)：正弦定理、余弦定理、解三角形【名師點(diǎn)睛】利用正弦定理進(jìn)行“邊轉(zhuǎn)角〞尋求角的關(guān)系，利用“角轉(zhuǎn)邊〞尋求邊的關(guān)系，利用余弦定理借助三邊關(guān)系求角，利用兩角和差公式及二倍角公式求三角函數(shù)值.利用正、余弦定理解三角形問題是高考高頻考點(diǎn)，經(jīng)常利用三角形內(nèi)角和定理，三角形面積公式，結(jié)合正、余弦定理解題.12.【2023天津文，15】在中，內(nèi)角所對的邊分別為.，.〔I〕求的值；〔II〕求的值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】試題分析〔Ⅰ〕首先根據(jù)正弦定理代入得到，再根據(jù)余弦定理求得；〔Ⅱ〕根據(jù)〔Ⅰ〕的結(jié)論和條件，根據(jù)求，和以及正弦定理求得，再求，以及，最后代入求的值.〔Ⅱ〕解：由〔Ⅰ〕，可得，代入，得.由〔Ⅰ〕知，A為鈍角，所以.于是，，故.【考點(diǎn)】1.正余弦定理；2.三角恒等變換.【名師點(diǎn)睛】高考中經(jīng)常將三角變換與解三角形知識綜合起來命題，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，那么考慮用正弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化；以上特征都不明顯時(shí)，那么要考慮兩個(gè)定理都有可能用到．而三角變換中主要是“變角、變函數(shù)名和變運(yùn)算形式〞，其中的核心是“變角〞，即注意角之間的結(jié)構(gòu)差異，彌補(bǔ)這種結(jié)構(gòu)差異的依據(jù)就是三角公式13.【2023全國III理，17】的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，，．〔1〕求c；〔2〕設(shè)為邊上一點(diǎn)，且，求的面積．【解析】〔1〕由得，即，又，∴，得.由余弦定理.又∵代入并整理得，故.〔2〕∵，由余弦定理.∵，即為直角三角形，那么，得.由勾股定理.又，那么，.14.【2023山東，文17】在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,b=3,,S△ABC=3,求A和a.【答案】【解析】又，所以，由余弦定理，得，所以.【考點(diǎn)】解三角形【名師點(diǎn)睛】正、余弦定理是應(yīng)用極為廣泛的兩個(gè)定理,它將三角形的邊和角有機(jī)地聯(lián)系起來,從而使三角與幾何產(chǎn)生聯(lián)系,為求與三角形有關(guān)的量(如面積、外接圓、內(nèi)切圓半徑和面積等)提供了理論依據(jù),也是判斷三角形形狀、證明三角形中有關(guān)等式的重要依據(jù)．其主要方法有：化角法,化邊法,面積法,運(yùn)用初等幾何法．注意體會其中蘊(yùn)涵的函數(shù)與方程思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想及分類討論思想．15.【2023全國II文，16】的內(nèi)角的對邊分別為,假設(shè),那么【答案】16.【2023北京理，15】在△ABC中，=60°，c=a.〔Ⅰ〕求sinC的值；〔Ⅱ〕假設(shè)a=7，求△ABC的面積.【答案】〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕.【解析】試題分析：〔Ⅰ〕根據(jù)正弦定理求的值；〔Ⅱ〕根據(jù)條件可知根據(jù)〔Ⅰ〕的結(jié)果求，再利用求解，最后利用三角形的面積.【考點(diǎn)】1.正余弦定理；2.三角形面積；3.三角恒等變換.【名師點(diǎn)睛】高考中經(jīng)常將三角變換與解三角形知識綜合起來命題，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，那么考慮用正弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化；以上特征都不明顯時(shí)，那么要考慮兩個(gè)定理都有可能用到．而三角變換中主要是“變角、變函數(shù)名和變運(yùn)算形式〞，其中的核心是“變角〞，即注意角之間的結(jié)構(gòu)差異，彌補(bǔ)這種結(jié)構(gòu)差異的依據(jù)就是三角公式17.【2023全國I卷理，16】的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，的面積為．〔1〕求；〔2〕假設(shè)，，求的周長．此題主要考查三角函數(shù)及其變換，正弦定理，余弦定理等根底知識的綜合應(yīng)用.

〔1〕面積.且由正弦定理得，由得.

〔2〕由〔1〕得，

又，，

由余弦定理得①由正弦定理得，②由①②得，即周長為18.【2023年高考北京理數(shù)】在ABC中，.〔1〕求的大??；〔2〕求的最大值.【答案】〔1〕；〔2〕.【解析】考點(diǎn)：1.三角恒等變形；2.余弦定理.【名師點(diǎn)睛】正、余弦定理是應(yīng)用極為廣泛的兩個(gè)定理，它將三角形的邊和角有機(jī)地聯(lián)系起來，從而使三角與幾何產(chǎn)生聯(lián)系，為求與三角形有關(guān)的量(如面積、外接圓、內(nèi)切圓半徑和面積等)提供了理論依據(jù)，也是判斷三角形形狀、證明三角形中有關(guān)等式的重要依據(jù)．其主要方法有：化角法，化邊法，面積法，運(yùn)用初等幾何法．注意體會其中蘊(yùn)涵的函數(shù)與方程思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想及分類討論思想．19.【2023高考新課標(biāo)1卷】的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,〔I〕求C；〔II〕假設(shè)的面積為,求的周長．【答案】〔I〕〔II〕【解析】〔II〕由,．又,所以．由及余弦定理得,．故,從而．所以的周長為．考點(diǎn)：正弦定理、余弦定理及三角形面積公式【名師點(diǎn)睛】三角形中的三角變換常用到誘導(dǎo)公式,,就是常用的結(jié)論,另外利用正弦定理或余弦定理處理?xiàng)l件中含有邊或角的等式,?？紤]對其實(shí)施“邊化角〞或“角化邊.〞20.【2023高考山東理數(shù)】在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，〔Ⅰ〕證明：a+b=2c〔Ⅱ〕求cosC的最小值.【答案】〔Ⅰ〕見解析；〔Ⅱ〕考點(diǎn)：1.和差倍半的三角函數(shù)；2.正弦定理、余弦定理；3.根本不等式.【名師點(diǎn)睛】此類題目是解三角形問題中的典型題目，可謂相當(dāng)經(jīng)典.解答此題，關(guān)鍵在于能利用三角公式化簡三角恒等式，利用正弦定理實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，到達(dá)證明目的；三角形中的求角問題，往往要利用余弦定理用邊表示角的函數(shù).此題覆蓋面較廣，能較好的考查考生的根本運(yùn)算求解能力及復(fù)雜式子的變形能力等.21.【2023高考浙江理數(shù)】〔此題總分值14分〕在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.b+c=2acos〔I〕證明：A=2B；〔II〕假設(shè)△ABC的面積，求角A的大小.【答案】〔I〕證明見解析；〔II〕或．〔II〕由得，故有，因，得．又，，所以．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．綜上，或．考點(diǎn)：1、正弦定理；2、兩角和的正弦公式；3、三角形的面積公式；4、二倍角的正弦公式．【思路點(diǎn)睛】〔I〕用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角，進(jìn)而用兩角和的正弦公式轉(zhuǎn)化為含有，的式子，根據(jù)角的范圍可證；〔II〕先由三角形的面積公式及二倍角公式可得含有，的式子，再利用三角形的內(nèi)角和可得角的大?。?2.【2023年高考四川理數(shù)】在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,且.〔I〕證明：；〔II〕假設(shè)，求.【答案】〔Ⅰ〕證明詳見解析；〔Ⅱ〕4.〔Ⅱ〕由，b2+c2–a2=bc，根據(jù)余弦定理，有cosA==．所以sinA==．由〔Ⅰ〕，sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB，所以sinB=cosB+sinB，故．考點(diǎn)：正弦定理、余弦定理、商數(shù)關(guān)系、平方關(guān)系.【名師點(diǎn)睛】此題考查正弦定理、余弦定理、商數(shù)關(guān)系等根底知識，考查學(xué)生的分析問題的能力和計(jì)算能力.在解三角形的應(yīng)用中，但凡遇到等式中有邊又有角時(shí)，可用正弦定理進(jìn)行邊角互化，一種是化為三角函數(shù)問題，一般是化為代數(shù)式變形問題．在角的變化過程中注意三角形的內(nèi)角和為這個(gè)結(jié)論，否那么難以得出結(jié)論．23.【2023高考新課標(biāo)2，理17】中，是上的點(diǎn)，平分，面積是面積的2倍．(Ⅰ)求；(Ⅱ)假設(shè)，，求和的長．【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)．【解析】(Ⅰ)，，因?yàn)?，【考點(diǎn)定位】1、三角形面積公式；2、正弦定理和余弦定理．【名師點(diǎn)睛】此題考查了三角形的面積公式、角分線、正弦定理和余弦定理，由角分線的定義得角的等量關(guān)系，由面積關(guān)系得邊的關(guān)系，由正弦定理得三角形內(nèi)角正弦的關(guān)系；分析兩個(gè)三角形中和互為相反數(shù)的特點(diǎn)結(jié)合條件，利用余弦定理列方程，進(jìn)而求．【反應(yīng)練習(xí)】1．【河南省中原名校(豫南九校)2023-2023學(xué)年高二上學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)〔文〕試題】在中，內(nèi)角，，所對的邊分別是，，，，，那么〔〕A.B.C.D.【答案】B2．【陜西省西安市長安區(qū)第五中學(xué)2023屆高三上學(xué)期第二次模擬考試數(shù)學(xué)〔理〕試題】三個(gè)內(nèi)角所對的邊為，且，那么角等于〔〕A.B.C.D.或【答案】A【解析】由正弦定理可得：，那么，又，所以，應(yīng)選A。3．【安徽省十大名校2023屆高三11月聯(lián)考數(shù)學(xué)〔文〕試題】在中，角的對邊分別為，，那么〔〕A.1B.2C.3D.【答案】C【解析】因?yàn)椋?，又，即，解得，?yīng)選C.4．【全國名校大聯(lián)考2023-2023年度高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)〔文〕試題】某新建的信號發(fā)射塔的高度為，且設(shè)計(jì)要求為：29米29.5米.為測量塔高是否符合要求，先取與發(fā)射塔底部在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)觀測點(diǎn)，測得，，米，并在點(diǎn)處的正上方處觀測發(fā)射塔頂部的仰角為30°，且米，那么發(fā)射塔高〔〕A.米B.米C.米D.米【答案】A【解析】過點(diǎn)E作，垂足為，那么米，，在中，由正弦定理得：米.在中，〔米〕.所以〔米〕，符合設(shè)計(jì)要求.應(yīng)選A.6．【河北省衡水中學(xué)2023屆高三9月大聯(lián)考數(shù)學(xué)〔文〕試題】的內(nèi)角，，的對邊分別是，，，且，假設(shè)，那么的取值范圍為〔〕A.B.C.D.【答案】B7．【河南省許平汝2023-2023學(xué)年高二上學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題】在斜中，角的對邊分別為，，那么〔〕A.B.C.D.【答案】B8.【河南省中原名校(豫南九校)2023-2023學(xué)年高二上學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)〔文〕試題】在中，，，是的中點(diǎn)，，那么等于__________．【答案】【解析】延長至N，使，連接，那么四邊形為平行四邊形，，在中，，在中，，，.9．【河南省漯河市高級中學(xué)2023屆高三上學(xué)期第三次模擬考試〔期中〕數(shù)學(xué)〔文〕試題】在中，內(nèi)角的對邊分別為，，，那么的取值范圍是__________．【答案】【解析】，得，，，那么，得，解得，又，的范圍是。10．【遼寧省莊河市高級中學(xué)、沈陽市第二十中學(xué)2023屆高三上學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)〔理〕試題】在中，角所對的邊分別為，且，，那么的最小值為__________.【答案】11．【廣西賀州市桂梧高中2023屆高三上學(xué)期第四次聯(lián)考數(shù)學(xué)〔理〕試題】的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，.，且，有以下結(jié)論：①；