理論力學(xué)修改

理論力學(xué)修改第一頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日課本及內(nèi)容力學(xué)與理論力學(xué)（下冊(cè)）中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)國(guó)家基礎(chǔ)科學(xué)人才培養(yǎng)基地物理學(xué)叢書作者：秦敢，向守平科學(xué)出版社，2008其中，上冊(cè)以力學(xué)為主，下冊(cè)以分析力學(xué)為主，是理論力學(xué)課程的主要內(nèi)容。第二頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日力學(xué)內(nèi)容質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)質(zhì)點(diǎn)的位置、速度、加速度，軌跡質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)質(zhì)點(diǎn)的受力，由初始位置和速度確定之后的運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)系力學(xué)多個(gè)質(zhì)點(diǎn)體系的守恒量，內(nèi)力和外力非慣性參考系（平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)）剛體的平面運(yùn)動(dòng)（角速度，角動(dòng)量，轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能，一些簡(jiǎn)單應(yīng)用（如有心力場(chǎng)，碰撞，振動(dòng)等）第三頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的描述：位置、速度、加速度隨時(shí)間的變化軌跡坐標(biāo)系：直角坐標(biāo)系（x,y,z）柱坐標(biāo)系(r,j,z)（極坐標(biāo)系）(r,q)球坐標(biāo)系(r,q,j)其他正交曲線坐標(biāo)系自然坐標(biāo)系力學(xué)內(nèi)容第四頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日其他一些應(yīng)用課題有心力場(chǎng)（萬(wàn)有引力和行星運(yùn)動(dòng)，帶電粒子散射）碰撞（兩體碰撞，散射截面）振動(dòng)（阻尼振動(dòng)，受迫振動(dòng)，多維小振動(dòng)）帶電粒子的運(yùn)動(dòng)狹義相對(duì)論非線性力學(xué)流體力學(xué)連續(xù)介質(zhì)體系的力學(xué)第五頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日分析力學(xué)內(nèi)容約束與虛功原理拉格朗日力學(xué)達(dá)朗貝爾原理，拉格朗日方程，泛函變分和哈密頓原理，運(yùn)動(dòng)積分、對(duì)稱性和守恒定律哈密頓力學(xué)正則方程，正則變換，泊松括號(hào)，哈密頓-雅克比方程剛體的歐拉運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)第六頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日分析力學(xué)的基礎(chǔ)以牛頓三定律的經(jīng)典力學(xué)為理論基礎(chǔ)應(yīng)用數(shù)學(xué)方法建立完整的理論體系得到一些原理性的結(jié)果有些結(jié)果推廣到非經(jīng)典的領(lǐng)域（如相對(duì)論和量子力學(xué)）更加自然第七頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日分析力學(xué)與牛頓力學(xué)方法比較分析力學(xué)牛頓力學(xué)優(yōu)點(diǎn)處理方法流程規(guī)范善于復(fù)雜的體系處理約束越多方程數(shù)越少直觀，易于理解解算簡(jiǎn)單問題比較方便缺點(diǎn)不夠直觀對(duì)于簡(jiǎn)單問題的處理顯得麻煩常常需要具體靈活的分析約束越多方程數(shù)越多越繁瑣第八頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日直角坐標(biāo)系坐標(biāo)：(x,y,z)yxzo第九頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日直角坐標(biāo)系中的矢量運(yùn)算點(diǎn)乘：叉乘：矢量的表示和愛因斯坦求和約定：第十頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日直角坐標(biāo)系的矢量運(yùn)算舉例證明：其中：可證：第十一頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日柱坐標(biāo)系坐標(biāo)：xyzorp第1次課第十二頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日球坐標(biāo)系坐標(biāo)：zpxyor坐標(biāo)轉(zhuǎn)換可用單位并矢點(diǎn)乘：第十三頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日球坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)的關(guān)系通過求導(dǎo)可得球坐標(biāo)中：zpxyor第十四頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日曲線坐標(biāo)系坐標(biāo)：xyzop稱為拉梅系數(shù)。曲線長(zhǎng)度滿足第十五頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日約束與自由度一個(gè)自由質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的自由度為3在有約束的情況下，運(yùn)動(dòng)的自由度有所減少：約束質(zhì)點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，自由度為2約束質(zhì)點(diǎn)沿軌道運(yùn)動(dòng)，自由度為1自由度是描述物體運(yùn)動(dòng)所需的獨(dú)立變量個(gè)數(shù)約束可使變量之間變得不獨(dú)立，從而每個(gè)約束使系統(tǒng)的自由度減1。第十六頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日約束與自由度一般情況下，約束為k個(gè)方程假設(shè)約束有k個(gè)。對(duì)于n個(gè)質(zhì)點(diǎn)，3n個(gè)坐標(biāo)中，有k個(gè)約束，則自由度為s=3n-k，從理論上說，可以用s個(gè)獨(dú)立變量來(lái)描述系統(tǒng)。這些獨(dú)立變量描述系統(tǒng)，在分析力學(xué)中對(duì)應(yīng)于由這些自變量組成一個(gè)函數(shù)（系統(tǒng)函數(shù)）。第十七頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日約束的類型約束方程分類，依照含不含速度，分為：完整約束或幾何約束，非完整約束運(yùn)動(dòng)約束或微分約束，如果可以積分，可將微分約束轉(zhuǎn)化為幾何約束；依照是否顯含時(shí)間，分為：穩(wěn)定約束，非穩(wěn)定約束；依照是否為等號(hào)，分為：不等號(hào)時(shí)是可解約束，等號(hào)是不可解約束。第十八頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日約束的類型完整約束（幾何約束）穩(wěn)定的幾何約束不穩(wěn)定的幾何約束不完整約束且不可積分成完整約束，也稱為微分約束?？山饧s束：或或雙面可解第十九頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日可積分的條件非完整約束是否可以通過乘以某個(gè)函數(shù)變?yōu)榭煞e分的？若使必須即則反之亦然第二十頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日不可解和可解約束x2+y2=l2x2+y2≤l2OO(x,y)(x,y)第二十一頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日完整約束使得自由度減少，一般的完整約束可寫為方程變分之后，可成為線性變分，形如約束的線性變分第二十二頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日完整約束使得自由度減少，非完整約束中，一般不可積分，因此不影響?yīng)毩⒆兞康膫€(gè)數(shù)，但如果是線性約束，能影響廣義坐標(biāo)變分的獨(dú)立性。線性非完整約束形如可導(dǎo)致變分約束（注意到dt=0）可化為線性變分的非完整約束第2次課作業(yè)：1.1，1.2，1.4第二十三頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日廣義坐標(biāo)用s個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)來(lái)描述系統(tǒng)，這些獨(dú)立變量稱為廣義坐標(biāo)，而這些坐標(biāo)的數(shù)目即為系統(tǒng)的自由度。對(duì)應(yīng)滿足約束條件的質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)位置，有對(duì)于可解約束，是將其視為不可解約束來(lái)處理，如果發(fā)生離開約束的情況，就放棄約束，增加一個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)，重新處理。第二十四頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日廣義坐標(biāo)的選用各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的真實(shí)坐標(biāo)可以入選系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)。n個(gè)質(zhì)點(diǎn)的系統(tǒng)，真實(shí)坐標(biāo)有3n個(gè)，但廣義坐標(biāo)只有s=3n-k個(gè)。由于存在k個(gè)約束，廣義坐標(biāo)的個(gè)數(shù)較少，需要選擇使用。廣義坐標(biāo)也可以選用其他參數(shù)。選取的原則是：能夠方便地表示系統(tǒng)每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的幾何位置。即表達(dá)式越簡(jiǎn)潔越好第二十五頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日虛位移

假想系統(tǒng)的各質(zhì)點(diǎn)瞬時(shí)發(fā)生了微小的符合約束條件的位移，稱為虛位移。位移發(fā)生在與約束面相切的方向，而約束力是發(fā)生在與約束面垂直的方向。用廣義坐標(biāo)表示了各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位置之后，虛位移可以看作當(dāng)廣義坐標(biāo)任意變化之后，各個(gè)質(zhì)點(diǎn)位置隨之變動(dòng)而產(chǎn)生的位移。廣義坐標(biāo)的變化可以任意選取，但真實(shí)坐標(biāo)的變化因?yàn)橛屑s束存在而不能任意選取。第二十六頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日理想約束約束力是與約束的切線方向相垂直的，有其中是虛位移習(xí)慣上，將虛位移視為變分，實(shí)位移視為微分。分析力學(xué)中處理的約束情況絕大多數(shù)（或者說默認(rèn)為）是理想約束。對(duì)于不是理想約束的情況，分析力學(xué)常用的方法是不成立的。第二十七頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日考慮空間曲面的約束，取3維空間直角坐標(biāo)為廣義坐標(biāo)，曲面的幾何約束為對(duì)于曲面上相鄰的任意點(diǎn)，相距dr，有即與曲面的切面垂直。同時(shí)，約束力也與曲面的切面垂直，因而兩者平行，滿足關(guān)系其中c是常數(shù)，R是約束力。理想約束第二十八頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日理想約束兩質(zhì)點(diǎn)A和B安置在剛性輕桿兩端，桿可繞中央的O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)。在質(zhì)點(diǎn)A上施加一個(gè)力F，考慮兩質(zhì)點(diǎn)所受到的約束力，是否一定與虛位移方向垂直？是否為理想約束？這個(gè)例子，雖然每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的約束力并不與虛位移垂直，可驗(yàn)證其仍是理想約束。AOBF第二十九頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日虛位移和真實(shí)的微小位移的差別1.虛位移是瞬時(shí)完成的（dt=0），而實(shí)位移需要一小段時(shí)間（dt≠0）。2.虛位移在滿足約束的條件下可以任意選取，并未真是發(fā)生，而實(shí)位移一般與質(zhì)點(diǎn)的真實(shí)運(yùn)動(dòng)相關(guān)。3.虛位移的方向無(wú)論是穩(wěn)定約束還是非穩(wěn)定約束，都是沿著約束的切線方向，而實(shí)位移在非穩(wěn)定約束時(shí)，不一定沿著約束的切線方向。（例如，在膨脹著的氣球上爬行的小蟲）第三十頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日虛功原理系統(tǒng)處于平衡時(shí)，每個(gè)質(zhì)點(diǎn)所受合力為0考慮虛位移所做的功，有對(duì)于理想約束，約束力所作虛功為0。從而在虛位移下主動(dòng)力做的功總和也為0，即第三十一頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日虛功原理虛功原理能使我們處理系統(tǒng)的平衡問題。此時(shí)，我們只要關(guān)注系統(tǒng)的主動(dòng)力的虛功為0的事實(shí)。而約束力在方程中消失，我們不必去解算。顯然，這是系統(tǒng)處于平衡的必要條件。對(duì)于不可解的(穩(wěn)定)約束，這個(gè)條件可以證明也是充分條件（約束如果不是穩(wěn)定的，就不會(huì)有靜力平衡的情況出現(xiàn)）。第三十二頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日虛功原理使用廣義坐標(biāo)，方程可以化為：由于廣義坐標(biāo)是獨(dú)立變量，因此有必要定義廣義力方程化為第三十三頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日由于廣義坐標(biāo)的獨(dú)立性，可得對(duì)于保守力體系，則虛功原理第三十四頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)于保守力體系，虛功原理可化為則系統(tǒng)的勢(shì)能達(dá)到極值，極小值時(shí)平衡是穩(wěn)定的，極大值時(shí)平衡是不穩(wěn)定的虛功原理第三十五頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日雙連桿的平衡問題勻質(zhì)的雙連桿一端固定在頂部，另一端受到水平方向恒定的力，求平衡時(shí)兩桿的角度。求約束力時(shí)，可將約束力看成主動(dòng)力，同時(shí)解約束，增加自由度，然后求解。（本書29頁(yè)。秦家樺，285頁(yè)。陳世民，170頁(yè)。金尚年，46頁(yè)。）虛功原理舉例Fq1q2l1l2第3次課作業(yè)：第三十六頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日求解解：第三十七頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)A弧中兩球的平衡問題半徑為R的固定圓弧上，有兩個(gè)同樣大小但質(zhì)量不同的勻質(zhì)小球，其半徑為R/3，求平衡時(shí)兩球的位置。這個(gè)問題用虛功原理或勢(shì)能最小原理。虛功原理舉例Rq1q2第三十八頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日求解解：這里三個(gè)球心正好構(gòu)成正三角形。平衡時(shí)，小球組的質(zhì)心正好在鉛垂線上，是最低的。第三十九頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日求約束面的形狀一個(gè)均質(zhì)桿一端靠在光滑的墻壁，另一端所在的約束面是什么形狀才能使桿在任何位置都能平衡？（本書第10頁(yè)）用勢(shì)能最小原理，當(dāng)虛位移發(fā)生時(shí)，桿的重心高度應(yīng)該不變。虛功原理舉例yqxO第四十頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日達(dá)朗貝爾原理考慮動(dòng)態(tài)情況，這時(shí)可以將系統(tǒng)中的每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的加速運(yùn)動(dòng)看成在局部的非慣性參考系下的靜力平衡問題，需要加上慣性力，因此第四十一頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日達(dá)朗貝爾原理進(jìn)一步深化由于廣義坐標(biāo)的獨(dú)立性，從達(dá)朗貝爾原理可進(jìn)一步推出第四十二頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日拉格朗日方程的由來(lái)注意到由同時(shí)將廣義速度與廣義坐標(biāo)視為不同的變量，可推得第四十三頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日拉格朗日方程因此，得到拉格朗日方程其中T是系統(tǒng)質(zhì)點(diǎn)的總動(dòng)能第四十四頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日保守力體系的拉格朗日方程對(duì)于保守力，由于拉格朗日方程成為其中L=T-V是系統(tǒng)的拉格朗日量。第四十五頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日拉格朗日方程方法的長(zhǎng)處拉格朗日方程依然是從牛頓力學(xué)導(dǎo)出的，其方程與牛頓力學(xué)給出的結(jié)果必然相同。拉格朗日方程方法適合處理具有復(fù)雜約束的系統(tǒng)。廣義坐標(biāo)的優(yōu)選可使得約束的表達(dá)式更加簡(jiǎn)單。約束使自由度減少，從而使方程數(shù)減少，未知量減少，自然消去了很多不需要知道的約束力未知數(shù)。拉格朗日方法是使用能量作為分析對(duì)象的，而能量是標(biāo)量，處理方便；另外，能量在各種物理過程中普遍存在并相互轉(zhuǎn)化，可方便地推廣應(yīng)用到其他物理領(lǐng)域。而牛頓力學(xué)是使用矢量分析，受坐標(biāo)變換影響大，且矢量有較多的分量，處理較繁瑣。第四十六頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日拉格朗日方程解法步驟確定系統(tǒng)自由度選擇廣義坐標(biāo)將各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位置矢量用廣義坐標(biāo)表達(dá)計(jì)算各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的速度給出系統(tǒng)的總動(dòng)能如果是保守系，給出勢(shì)能，如果不是保守系，給出廣義力相應(yīng)得到拉格朗日方程組結(jié)合初始條件求解第四十七頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日實(shí)例rm1m2qOxz連線穿孔兩小球的運(yùn)動(dòng)自由度為2廣義坐標(biāo)r，q。r1=rer，r2=(r-L)ez第4次課作業(yè)：1.6，1.8，1.13，1.14第四十八頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日哈密頓原理作用量的定義體系從時(shí)刻t1到時(shí)刻t2的運(yùn)動(dòng)過程中，定義其作用量為哈密頓原理告訴我們，系統(tǒng)從t1演化到t2的所有可能路徑中，系統(tǒng)將沿著使作用量取極值的那條路徑移動(dòng)?！翱赡苈窂健笆侵笍V義坐標(biāo)qi關(guān)于時(shí)間t的所有連續(xù)可微的函數(shù)關(guān)系qi(t)，且在初始時(shí)刻t1和終了時(shí)刻t2的位置是已知的確定值。第四十九頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日變分法求極值哈密頓原理告訴我們，求解真實(shí)運(yùn)動(dòng)過程（得到坐標(biāo)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系）就是尋求作用量函數(shù)達(dá)到極值的問題。對(duì)于自變量為“函數(shù)”的函數(shù)極值問題，可以使用變分法。為了求S的極值，使函數(shù)q(t)稍作改變，改變量為l*dq(t)，其中dq(t)在兩端為0且連續(xù)可導(dǎo)，l為系數(shù)參量。第五十頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日變分法求極值函數(shù)q(t)變成q(t)+l*d(t)，這時(shí)積分值S也可以看成是參數(shù)l的函數(shù)。如果函數(shù)q(t)可以使S取到極值，同樣必須在l=0時(shí)，S(l)取極值。即第五十一頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日變分法求極值積分得（注意到ddq=ddq）由于dq(t)在兩端為0且其他點(diǎn)的任意性，從而必須有第五十二頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日變分法求極值S取極值時(shí)，所需滿足的條件正是拉格朗日方程。反之，真實(shí)的過程滿足拉格朗日方程，能使作用量函數(shù)S取到極值。以上過程也能直接用變分法進(jìn)行：第五十三頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日變分法求極值的其他例子最速下降線問題。上下兩端點(diǎn)固定，求哪種曲線的軌道能使質(zhì)點(diǎn)從上端點(diǎn)由靜止在最短時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)到下端點(diǎn)？第五十四頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日變分法求極值的其他例子最速下降線問題，解為擺線。令q為曲線上的切線與x軸的夾角，則Xyq第五十五頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日變分法求極值的其他例子懸鏈線問題，解為雙曲余弦線。Xy第五十六頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日光線行進(jìn)時(shí)間為極值（通常是極小值）的路徑。變分法求極值的其他例子Xy第五十七頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日單位球面上短程線問題。

a代表切線et與經(jīng)線eq夾角。這說明由于z軸選取的任意性，erxet必須為常矢量。且短程線在與之垂直的平面內(nèi)。變分法求極值的其他例子zp1xyorp2第五十八頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日事實(shí)上，可積分求解球面上短程線問題：是過零點(diǎn)的平面方程，應(yīng)該是同時(shí)過始末兩點(diǎn)，且與球面相交所得的圓。變分法求極值的其他例子第5次課作業(yè)：1.16，1.18，1.20，1.21第五十九頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日條件變分問題積分約束條件下的變分問題舉例：由一條長(zhǎng)度為L(zhǎng)且始末兩點(diǎn)是x軸上固定點(diǎn)的曲線與x軸圍成最大面積。通用的處理方法：將約束條件乘以參數(shù)l，加到被積函數(shù)之中，使之取極值。參數(shù)的某些取值可以使S取到極值。Xy第六十頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日條件變分問題令q為曲線切線與x軸的夾角，則Xy第六十一頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日與哈密頓原理類似的其他原理莫培督原理。應(yīng)用于保守力體系。等能而不等時(shí)的變分為0。由哈密頓原理：上式中的廣義動(dòng)量p和哈密頓函數(shù)H以后再介紹。為了強(qiáng)調(diào)是等能變分而不是等時(shí)的，變分符號(hào)用D代替d：第六十二頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日莫培督原理進(jìn)一步，通過將動(dòng)能T改寫，有：這即是莫培督原理的變分形式。第六十三頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日莫培督原理舉例，求拋體運(yùn)動(dòng)yxa第六十四頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日與哈密頓原理類似的其他原理費(fèi)馬原理應(yīng)用于幾何光學(xué)。光線沿用時(shí)最短的路徑前進(jìn)平衡體系能量最?。ㄖ亓?shì)能，靜電能，磁場(chǎng)能量），如果沒達(dá)到最小，可經(jīng)過一段時(shí)間的調(diào)整，最后達(dá)到最小。而哈密頓原理和費(fèi)馬原理的最小值取得是瞬時(shí)的。第六十五頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日從哈密頓原理看拉格朗日函數(shù)的

相加性兩個(gè)相互獨(dú)立體系組成統(tǒng)一體系：LA=TA-VA，LB=TB-VB，則L=LA+LB由于兩系統(tǒng)相互獨(dú)立，必須兩項(xiàng)都為0第六十六頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日拉格朗日函數(shù)可以加上任一個(gè)函數(shù)f(q,t)的時(shí)間全微商，不影響結(jié)果。因?yàn)槿⒎值姆e分是定值，對(duì)作用量的變分沒有貢獻(xiàn)。由于始末端固定，f的變分為0也可以直接驗(yàn)證滿足拉格朗日方程。從哈密頓原理看拉格朗日函數(shù)的

非唯一性第六十七頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日直接驗(yàn)證：為了簡(jiǎn)便，拉格朗日函數(shù)中的時(shí)間全微分項(xiàng)可以適當(dāng)去除。從哈密頓原理看拉格朗日函數(shù)的

非唯一性第六十八頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日解題實(shí)例螺旋線上的珠子軌道方程為已知陳世民，P25例1.5第六十九頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日解題實(shí)例在豎直平面內(nèi)的彈簧擺q第七十頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日解題實(shí)例在豎直平面內(nèi)的兩個(gè)繩連重物第6次課作業(yè)：1.24，1.25，1.26，1.28MMm第七十一頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日拉格朗日函數(shù)與運(yùn)動(dòng)積分一般情況下，拉格朗日方程為s個(gè)二階微分方程（s為自由度），求解之后，有2s個(gè)積分常數(shù)。這些積分常數(shù)需要初始條件（t=0時(shí)的廣義坐標(biāo)和廣義速度）確定，得到有時(shí)，某個(gè)Ci可以表示為廣義坐標(biāo)和廣義速度的組合，在運(yùn)動(dòng)過程中保持守恒，成為運(yùn)動(dòng)積分：第七十二頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日拉格朗日函數(shù)與運(yùn)動(dòng)積分廣義動(dòng)量的定義：拉格朗日方程成為類似牛頓定律的方程循環(huán)坐標(biāo)：如果拉格朗日函數(shù)中不顯含有某個(gè)廣義坐標(biāo)，則此坐標(biāo)成為循環(huán)坐標(biāo)。循環(huán)坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的廣義動(dòng)量守恒，是運(yùn)動(dòng)積分。第七十三頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日拉格朗日函數(shù)與廣義能量當(dāng)拉格朗日函數(shù)不顯含時(shí)間時(shí)，能夠得到的運(yùn)動(dòng)積分是廣義能量H。第七十四頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日拉格朗日函數(shù)與廣義能量對(duì)于幾何約束，可以求速度表達(dá)式為：動(dòng)能表達(dá)式中所含的廣義速度的第七十五頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日拉格朗日函數(shù)與廣義能量此時(shí)，L不顯含t時(shí)，有守恒量對(duì)于穩(wěn)定的幾何約束，T=T2，H=T+V是機(jī)械能。這里著重指出的是，如果約束是不穩(wěn)定的，系統(tǒng)的機(jī)械能并不守恒，守恒的是廣義能量H。第七十六頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日廣義能量舉例求解一個(gè)彈簧振子在一個(gè)以w角速度繞z軸旋轉(zhuǎn)的、在xy平面內(nèi)的光滑管中的運(yùn)動(dòng)。與機(jī)械能守恒不同qzxy第七十七頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日相對(duì)論中的光速不變性，要求光在運(yùn)動(dòng)時(shí)的空間和時(shí)間的參量變化保持下式不變（都為0）：推而廣之，我們要求在相對(duì)論中，質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)產(chǎn)生的ds在不同參考系中也保持不變。同時(shí)我們知道在普通三維空間中，兩點(diǎn)之間的間距|dr|在不同參考系中都保持不變，因此，只要將時(shí)間變成第4維，運(yùn)動(dòng)位移成為4維向量而ds正比于它在4維空間中的間距|dr(4)|，也能保持不變。相對(duì)論時(shí)的拉格朗日函數(shù)第七十八頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日如何描述一個(gè)自由質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，是最基本最簡(jiǎn)單的問題。對(duì)此，我們希望給出相對(duì)論時(shí)空中的自由質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的作用量函數(shù)。因?yàn)樽饔昧亢瘮?shù)是標(biāo)量，標(biāo)量不會(huì)因選取不同的坐標(biāo)系而變化，而對(duì)于自由運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，我們能構(gòu)造出的具有這種不變性的量?jī)H僅是它運(yùn)動(dòng)時(shí)的4維間距，是僅知的標(biāo)量。因此，取為了能在低速情況下回到經(jīng)典的拉格朗日函數(shù)，必須取恰當(dāng)?shù)南禂?shù)相對(duì)論時(shí)的拉格朗日函數(shù)第七十九頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日這樣，我們得到了相對(duì)論時(shí)的拉格朗日函數(shù)，并能驗(yàn)證它在低速情況下能回到經(jīng)典力學(xué)的拉格朗日函數(shù)（僅相差一個(gè)常數(shù)）：從而，質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量為與經(jīng)典情況相比，產(chǎn)生了質(zhì)量增加的效果。相對(duì)論時(shí)的拉格朗日函數(shù)第八十頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日保守場(chǎng)中，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為：這即是質(zhì)點(diǎn)的受力方程動(dòng)能相對(duì)論時(shí)的拉格朗日函數(shù)第八十一頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日質(zhì)能公式：這里b是歸一化速度，g是相對(duì)論因子。拉格朗日函數(shù)這時(shí)并不是動(dòng)能減勢(shì)能。有了拉格朗日函數(shù)，相對(duì)論的運(yùn)動(dòng)過程都已經(jīng)得到解決。具體運(yùn)用到各個(gè)方面，可以與各個(gè)經(jīng)典物理的結(jié)果作比較分析。相對(duì)論時(shí)的拉格朗日函數(shù)第八十二頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日4維時(shí)空的“位移”：位移的絕對(duì)值是4維空間的標(biāo)量，不隨選取不同的坐標(biāo)系而變化。對(duì)于另外一個(gè)以勻速v0運(yùn)動(dòng)的慣性系，經(jīng)典力學(xué)給出伽利略變換：我們需要尋找4維時(shí)空的變換，使得在低速時(shí)是伽利略變換，且保持4維矢量的模不變。相對(duì)論的時(shí)空變換第八十三頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日兩個(gè)慣性系之間的4維時(shí)空的坐標(biāo)進(jìn)行變換時(shí)，由于起始時(shí)間和原點(diǎn)重合，因而時(shí)空坐標(biāo)原點(diǎn)也重合。因?yàn)閤'=x-v0t=x+ibict，這里b=v0/c，可看作位置（x，ict）在x'坐標(biāo)軸上的投影（點(diǎn)乘積）。故x'軸的向量平行于(1，ib)，歸一化為(g，igb)，這里g=(1-b2)-1/2相對(duì)論的時(shí)空變換xict'x'ictx'=x-v0t(x,ict)而時(shí)間軸（ict')與空間軸(x')應(yīng)該相“垂直”，才能保證"長(zhǎng)度"不變，故時(shí)間軸向量為（-igb，g)，從而得到洛侖茲變換：第八十四頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日因?yàn)閐t

是4維空間的標(biāo)量，是時(shí)空坐標(biāo)變換時(shí)的不變量，用它代替dt求速度時(shí)，可得

4維空間的速度向量u(4)=(dr,icdt)/dt=g(v,ic)4維向量：動(dòng)量-能量mu(4)=(p,iE/c)它們都遵從洛侖茲變換。如它們都有不變的模相對(duì)論的時(shí)空變換第7次課作業(yè)：1.30，1.33，1.36，1.37第八十五頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日拉格朗日函數(shù)的空間均勻性拉格朗日函數(shù)的空間均勻性指當(dāng)將系統(tǒng)進(jìn)行一個(gè)微小的平移之后，拉格朗日量不改變。由dr的任意性得到動(dòng)量守恒。第八十六頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日拉格朗日函數(shù)的空間各向同性拉格朗日函數(shù)的空間各向同性指當(dāng)將系統(tǒng)進(jìn)行一個(gè)微小的轉(zhuǎn)動(dòng)之后，拉格朗日量不改變。由dw的任意性得到角動(dòng)量守恒?？臻g均勻性可看作x,y,z是循環(huán)坐標(biāo)，各向同性可看作j是循環(huán)坐標(biāo)。第八十七頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日帶電粒子在電磁場(chǎng)中的拉格朗日函數(shù)在相對(duì)論中，我們?nèi)?維時(shí)空的位移向量為空間的電磁場(chǎng)同樣是由4維的電磁場(chǎng)勢(shì)能向量描述：描述帶電粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的作用量函數(shù)dS還需要有一個(gè)標(biāo)量部分，這個(gè)標(biāo)量要有描述粒子運(yùn)動(dòng)位移的成份，也要有描述電磁場(chǎng)的成份。此時(shí)，dr(4)?(A,ij/c)符合要求。兩個(gè)4維向量點(diǎn)乘，得到不隨坐標(biāo)變化的標(biāo)量。另外還要乘以粒子的電荷e。第八十八頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日帶電粒子在電磁場(chǎng)中的拉格朗日函數(shù)在相對(duì)論中，可取作用量函數(shù)為而對(duì)于低速情況，可取普通的動(dòng)能代替拉格朗日函數(shù)的第一項(xiàng)。當(dāng)然也可以不替換。得到拉格朗日函數(shù)拉格朗日方程：第八十九頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日帶電粒子在電磁場(chǎng)中的拉格朗日方程x分量為拉格朗日方程：利用得到洛侖茲力方程第九十頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)方程的4維形式用4維向量重新寫拉格朗日函數(shù)和方程：得到Fji是電磁場(chǎng)張量。方程在4維時(shí)空坐標(biāo)變換下形式不變。第九十一頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)方程的4維形式矩陣形式：矩陣[Fji]是反對(duì)稱的，求本征值方程|Fji-lI|=0時(shí)，是關(guān)于l2的一元二次方程。由于本征值在坐標(biāo)變換時(shí)的不變性，因而方程系數(shù)也是不變的。第九十二頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)方程的4維形式其中，是標(biāo)量，以后在電磁場(chǎng)的拉格朗日函數(shù)中需要用到。另一個(gè)系數(shù)E?B也是不變的，但它是贗標(biāo)量（考慮時(shí)間反向的運(yùn)動(dòng)，速度反向，電場(chǎng)不變而磁場(chǎng)反向，因而E?B反號(hào)，而真標(biāo)量應(yīng)該不變。）第8次課作業(yè)：1.29，1.34，1.38，1.39第九十三頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日兩體碰撞兩體問題是質(zhì)點(diǎn)相互作用中最簡(jiǎn)單最基本的過程。大到太陽(yáng)和地球的相互作用，小到原子核之間的散射碰撞，都可以簡(jiǎn)化為兩體問題。兩體問題可以約化為單質(zhì)點(diǎn)的有心力問題。用兩點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心位置rc和兩點(diǎn)間的位移r代替兩質(zhì)點(diǎn)的位置r1，r2。第九十四頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日兩體碰撞的拉格朗日函數(shù)定義m=m1m2/(m1+m2)是約化質(zhì)量，可解得從而拉格朗日函數(shù)可寫為rm2m1r1r2rc第九十五頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日兩體碰撞是有心力作用下的平面運(yùn)動(dòng)利用拉格朗日函數(shù)的相加性，分解為一個(gè)質(zhì)量為（m1+m2）的自由質(zhì)點(diǎn)，與一個(gè)質(zhì)量為m的在勢(shì)能V(r)中運(yùn)動(dòng)的粒子。牛頓第三定律告訴我們，兩質(zhì)點(diǎn)的相互作用是沿著r

方向的，因此勢(shì)能V(r)產(chǎn)生的作用力是有心力。有心力作用時(shí)，力矩為0，因而角動(dòng)量

J=rxmv守恒。以角動(dòng)量的方向?yàn)閦軸，因?yàn)閞垂直于J，質(zhì)點(diǎn)可限制在xy平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。第九十六頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日兩體碰撞的方程約化質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的拉格朗日函數(shù)：相應(yīng)的拉格朗日方程：角動(dòng)量守恒可寫為b是瞄準(zhǔn)距離，v0是初始速度Jrzxy第九十七頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日彈性碰撞與非彈性碰撞彈性碰撞時(shí)，相互作用力是保守力，機(jī)械能守恒。約化質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的初速度與末速度相等。這意味著它的速率不變但運(yùn)動(dòng)方向可能改變。|v1'-v2'|=|v1-v2|非彈性碰撞時(shí)，有耗散作用力將一部分機(jī)械能轉(zhuǎn)變成熱能，因而其末速率比初速率小，兩者比例為參數(shù)e。e=1是彈性碰撞，而非彈性碰撞時(shí)e<1。|v1'-v2'|=e|v1-v2|第九十八頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日彈性碰撞與非彈性碰撞一般來(lái)說，碰撞之后的速度表示為v1'=vc+|v1-v2|em2/(m1+m2)v2'=vc-|v1-v2|em1/(m1+m2)其中vc=(m1v1+m2v2)/(m1+m2)是質(zhì)心的速度，e

是不超過1的向量，代表質(zhì)點(diǎn)在質(zhì)心系里碰撞之后的方向，其大小代表速度的恢復(fù)率。對(duì)于彈性碰撞，其數(shù)值為1，對(duì)于非彈性碰撞，其數(shù)值小于1。第九十九頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日平方反比力的碰撞對(duì)于平方反比力，假設(shè)F(r)=k/r2，k的符號(hào)決定是斥力或者是引力。對(duì)時(shí)間積分：從而qeqerAB第一百頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日平方反比力碰撞的偏轉(zhuǎn)角代入各個(gè)矢量由此得到偏轉(zhuǎn)角這里b是瞄準(zhǔn)距離，

b0是偏轉(zhuǎn)90°的瞄準(zhǔn)距離qABb第一百零一頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日微分散射截面通過散射過程，某一小塊立體角dW（可以看作是單位球上的一塊小面積）與某塊入射面積ds對(duì)應(yīng)起來(lái)，微分散射截面就是指ds/dW。由偏轉(zhuǎn)角和瞄準(zhǔn)距離的關(guān)系就能得到散射截面。盧瑟福散射實(shí)驗(yàn)BqAb第一百零二頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日微分散射截面平方反比力的散射截面為剛性球的散射截面qb第一百零三頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日碰撞速度的圖示質(zhì)心系中，m1和m2的初始速度為v1，v2~（m2，m1）碰撞之后速度為v'1，v'2，~（em2,em1）質(zhì)心速度為vc還原到實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系里，末速度為v'1，v'2v1v2v'1v'2v'2Lv'1LvC第9次課第一百零四頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日實(shí)驗(yàn)室參考系的偏轉(zhuǎn)角考慮實(shí)驗(yàn)室參考系中，初始時(shí)m2是靜止的。畫出速度v1c，v2c，v'1c，v'2c，v'1，v'2，vc長(zhǎng)度比例m2，m1，em2,em1,??，??，m1qLq第一百零五頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日實(shí)驗(yàn)室參考系的微分散射截面只要求出實(shí)驗(yàn)室參考系與質(zhì)心系的立體角之比，就能利用質(zhì)心系的微分散射截面公式。由得第一百零六頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日實(shí)驗(yàn)室參考系的微分散射截面考慮質(zhì)量比a=m1/m2<<1，=1，>>1的三種情況。a<<1a=1a>>1第一百零七頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日實(shí)驗(yàn)室參考系的微分散射截面對(duì)于盧瑟福散射，考慮a=m1/m2<<1，=1，>>1的三種情況。a<<1第一百零八頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日實(shí)驗(yàn)室參考系的微分散射截面a=1a>>1第一百零九頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日實(shí)驗(yàn)室參考系的動(dòng)能交換碰撞之后m1的動(dòng)能平均值為（剛性球模型）考慮質(zhì)量比a=m1/m2<<1，=1，>>1的三種情況，a=1時(shí)碰撞交換走的動(dòng)能最大。第一百一十頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日碰撞問題舉例平面上兩個(gè)小球的彈性碰撞，m2初始速度為0。證明1、若m1=m2時(shí)碰撞之后兩小球的運(yùn)動(dòng)方向相互垂直。2、若m1>m2時(shí)，偏轉(zhuǎn)角最大為多少？qLqqqL第一百一十一頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日相對(duì)論高能粒子的碰撞以p1，E1，p'1，E'1和p2，E2，p'2，E'2

分別代表m1和m2

質(zhì)點(diǎn)在碰撞前、后的動(dòng)量和能量，運(yùn)用動(dòng)量守恒和能量守恒，有由于碰撞是平面問題，可以看作p'1x，p'1y，p'2x，p'2y，四個(gè)未知量，最后一個(gè)方程給出了能量E的表達(dá)，E視為已知。需求解的方程只有3個(gè)（動(dòng)量2個(gè)能量1個(gè)）還需要一個(gè)條件，如偏轉(zhuǎn)角，或其中一個(gè)粒子的末動(dòng)能等。第一百一十二頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日相對(duì)論碰撞例題能量為Ei的光子被質(zhì)量為me的靜止電子所散射。散射后光子能量為Ef并偏轉(zhuǎn)q

，證明這幾個(gè)量有關(guān)系1-cosq=mec2(1/Ef-1/Ei)證：第一百一十三頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日相對(duì)論碰撞例題一個(gè)靜止的p+介子衰變成m+子和中微子。三者靜止質(zhì)量分別是mp0，mm0和0。求m子和中微子的動(dòng)能。第10次課第一百一十四頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日微振動(dòng)各個(gè)質(zhì)點(diǎn)在平衡位置附近作微振動(dòng)。廣義坐標(biāo)一般為qi=qi(0)+qi(1)，其中0階量是常量，是平衡時(shí)的位置，而1階量是振動(dòng)的變量。在解微振動(dòng)的問題時(shí)，要重新取廣義坐標(biāo)使得qi(0)=0。因?yàn)橛衅胶馕恢?，因此是穩(wěn)定約束，動(dòng)能都是廣義速度的二階齊次項(xiàng)：T=T2。第一百一十五頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日微振動(dòng)勢(shì)能對(duì)勢(shì)能V(q)在平衡位置附近進(jìn)行小量展開取V(0)=0，平衡點(diǎn)上又有?V/?qi=0，并記kij=?2V/?qi?qj|0，且保留到2階小量。寫為矩陣二次型形式：由于在平衡點(diǎn)V取極小值0，因此V≥0，是正定的。第一百一十六頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日微振動(dòng)的拉格朗日函數(shù)對(duì)動(dòng)能T同樣記為這里m

的各個(gè)分量一般是位置q的函數(shù)，但我們對(duì)動(dòng)能只保留到2階小量，只取平衡點(diǎn)上計(jì)算m，因此得到的m

為常量。拉格朗日函數(shù)為第一百一十七頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日微振動(dòng)的拉格朗日方程拉格朗日方程為這是一個(gè)線性常微分方程組，即如果q(A)和q(B)

都是方程的解，則q(C)=aq(A)+bq(B)也是方程的解。因此，q的運(yùn)動(dòng)盡管可能出現(xiàn)多種頻率的振動(dòng)，我們可以把每一個(gè)頻率的振動(dòng)單獨(dú)分解出來(lái)研究。對(duì)于頻率為w

的振動(dòng)（無(wú)論sin，cos），得到線性方程組：第一百一十八頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日微振動(dòng)的久期方程q=0顯然是方程的解。若要得到非0解，必須滿足久期方程：對(duì)于不滿足這個(gè)久期方程的頻率，線性方程組只有0解，意味著該頻率的振動(dòng)不存在。反之，能夠出現(xiàn)的振動(dòng)頻率必須滿足久期方程，且能從線性方程組解得一組成比例的非0振幅qw（但總比例待定）。滿足久期方程的頻率叫本征（簡(jiǎn)正）頻率，對(duì)應(yīng)的qw叫本征（簡(jiǎn)正）向量。第一百一十九頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日微振動(dòng)的本征振動(dòng)用qwT

乘以線性方程，可知：由于m和k

都是正定的實(shí)對(duì)稱二次型矩陣，w2

也是非負(fù)的。因此，本征頻率都是實(shí)數(shù)。事實(shí)上，w2

也是矩陣m-1k

的本征值，而qw正是對(duì)應(yīng)的本征向量，滿足：由于久期方程是關(guān)于w2

的一元s次方程，應(yīng)該有s個(gè)根，前面已經(jīng)說了這些根都是非負(fù)實(shí)數(shù)，因此對(duì)應(yīng)s個(gè)本征頻率的振動(dòng)。第一百二十頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日微振動(dòng)的本征坐標(biāo)廣義坐標(biāo)q隨時(shí)間的變化是由這s個(gè)本征頻率的振動(dòng)的線性組合。即：其中，常數(shù)Aj

和aj

依初始條件待定。事實(shí)上，上式可以改寫為：這里引入了本征坐標(biāo)x，它的每一個(gè)坐標(biāo)分量對(duì)應(yīng)一個(gè)頻率的振動(dòng)，它與廣義坐標(biāo)q

之間的線性變換是矩陣s，由本征向量排列而成。本征坐標(biāo)x

可由x=s-1q

求得，以x為新的廣義坐標(biāo)則能得到單一頻率的振動(dòng)。第一百二十一頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日微振動(dòng)的本征坐標(biāo)反之，用新的廣義坐標(biāo)x替換q，可得到關(guān)于本征坐標(biāo)x的方程。首先注意到其中，w2是以s個(gè)w2j

構(gòu)成的對(duì)角矩陣。因此：這樣關(guān)于本征坐標(biāo)x的方程就是非常簡(jiǎn)單的形式了。第11次課第一百二十二頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日微振動(dòng)實(shí)例耦合擺問題：q1q2第一百二十三頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日微振動(dòng)實(shí)例三原子問題：第一百二十四頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日微振動(dòng)實(shí)例三原子問題：w=0相當(dāng)于不動(dòng)（或勻速運(yùn)動(dòng)）。對(duì)應(yīng)的解為第一百二十五頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日微振動(dòng)實(shí)例雙單擺問題：q1q2第一百二十六頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日阻尼振動(dòng)物體在運(yùn)動(dòng)過程中經(jīng)常遇到阻尼。阻尼力與物體運(yùn)動(dòng)速度有關(guān)。常見的有：摩擦阻尼（與速度無(wú)關(guān)）。粘滯阻尼（與速度v成正比）。尾流阻尼（與速度平方成正比）。波阻尼等與速度關(guān)系復(fù)雜的類型。這里處理與速度v成正比的粘滯阻尼。第一百二十七頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日耗散函數(shù)粘滯阻尼力：阻尼的廣義力：這里耗散函數(shù)F定義為第一百二十八頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日帶耗散的拉格朗日方程耗散函數(shù)是非負(fù)的。耗散現(xiàn)象使得系統(tǒng)的機(jī)械能喪失。有阻尼時(shí)的拉格朗日方程：化為矩陣形式：第12次課第一百二十九頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日方程組求解使用試探解elt

能方便的求出本征振動(dòng)頻率和阻尼率。其中，如果是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，l就是純虛數(shù)。若要q有非0解，方程的系數(shù)行列式必須為0。這樣就得到一個(gè)關(guān)于l的一元2s次方程。為了研究根l的性質(zhì)，用非0解qT乘以原方程得由于三個(gè)系數(shù)都是非負(fù)的，可知：l的實(shí)部非負(fù)，與c成正比。l若是復(fù)數(shù)，則與其共軛l*一同出現(xiàn)。此一元二次方程的兩個(gè)解具有同一個(gè)本征向量。第一百三十頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日本征值和本征坐標(biāo)記每個(gè)本征值lj對(duì)應(yīng)本征向量為qlj，j=1,2,..,s。同時(shí)具有同樣這個(gè)本征向量還有另一個(gè)本征值lj+s。則最后整體的解為對(duì)應(yīng)實(shí)根lj的系數(shù)Aj是實(shí)數(shù)，對(duì)應(yīng)復(fù)根lj的系數(shù)Aj是復(fù)數(shù)，但必須滿足Aj=A*j+s

，lj+s=l*j+s（共軛關(guān)系），使兩者相加之后為實(shí)數(shù)。本征坐標(biāo)同樣可以通過線性變換得到第一百三十一頁(yè)，共一百四十九頁(yè)，2022年，8月28日阻尼振動(dòng)實(shí)例被3根彈簧連接的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)，具有阻尼。第一百