河北省秦皇島市大巫嵐中學(xué)高二數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析

河北省秦皇島市大巫嵐中學(xué)高二數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.若a＞b，則下列不等式正確的是（） A． B．a(chǎn)3＞b3 C．a(chǎn)2＞b2 D．a(chǎn)＞|b|參考答案：B【考點(diǎn)】不等關(guān)系與不等式． 【專題】證明題． 【分析】用特殊值法，令a=﹣1，b=﹣2，代入各個選項(xiàng)檢驗(yàn)可得即可得答案． 【解答】解：∵a＞b，令a=﹣1，b=﹣2，代入各個選項(xiàng)檢驗(yàn)可得： =﹣1，=﹣，顯然A不正確． a3=﹣1，b3=﹣6，顯然B正確．

a2=1，b2=4，顯然C不正確． a=﹣1，|b|=2，顯然D不正確． 故選B． 【點(diǎn)評】通過給變量取特殊值，舉反例來說明某個命題不正確，是一種簡單有效的方法．2.已知ab≠0，點(diǎn)M（a，b）是圓x2+y2=r2內(nèi)一點(diǎn)，直線m是以點(diǎn)M為中點(diǎn)的弦所在的直線，直線l的方程是ax+by=r2，則下列結(jié)論正確的是（）A．m∥l，且l與圓相交 B．l⊥m，且l與圓相切C．m∥l，且l與圓相離 D．l⊥m，且l與圓相離參考答案：C【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．

【分析】求圓心到直線的距離，然后與a2+b2＜r2比較，可以判斷直線與圓的位置關(guān)系，易得兩直線的關(guān)系．【解答】解：以點(diǎn)M為中點(diǎn)的弦所在的直線的斜率是，直線m∥l，點(diǎn)M（a，b）是圓x2+y2=r2內(nèi)一點(diǎn)，所以a2+b2＜r2，圓心到ax+by=r2，距離是＞r，故相離．故選C．【點(diǎn)評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，兩條直線的位置關(guān)系，是基礎(chǔ)題．3.圓關(guān)于原點(diǎn)對稱的圓的方程為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A4.將點(diǎn)M的極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo)是(

)A. B. C.(5,5) D.(－5,－5)參考答案：A本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化由點(diǎn)M的極坐標(biāo)，知極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為，所以的直角坐標(biāo)為即故正確答案為A5.已知拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線與圓x2+y2-6x-7=0相切,則p的值為(

)A.

B.1

C.2

D.4參考答案：C

略6.已知函數(shù)的定義域?yàn)?且奇函數(shù).當(dāng)時,=--1,那么函數(shù),當(dāng)時,的遞減區(qū)間是(

)

A.

B.

C.

D.參考答案：C略7.在等比數(shù)列中，，前項(xiàng)和為，若數(shù)列

也是等比數(shù)列，則等于（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C略8.不等式的解集為，則不等式的解集為（

）A、

B、

C、

D、參考答案：A提示：得，由題知方程的二根為-1和3，易得：9.若直線：與：互相垂直，則實(shí)數(shù)a的值為（

）

A.或6

B.或

C.

D.3或6參考答案：A略10.已知，則除以15的余數(shù)為（

）A.1 B.3 C.4 D.2參考答案：A【分析】將化為，展開后可知除第一項(xiàng)外，其余各項(xiàng)均能被整除，從而可知余數(shù)為.【詳解】由題意知：可知在展開式中，除第一項(xiàng)外，其余各項(xiàng)均能被整除除以的余數(shù)為本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查余數(shù)的求解問題，關(guān)鍵是能夠被除數(shù)表示為與除數(shù)有關(guān)的二項(xiàng)式的形式，從而可根據(jù)展開式確定余數(shù).二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若雙曲線的離心率為，則兩條漸近線的方程為____參考答案：略12.已知拋物線方程為的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為拋物線C上任意一點(diǎn)，若點(diǎn)，則的最小值為

參考答案：413.若△ABC中，AC=，A=45°，C=75°，則BC=．參考答案：【考點(diǎn)】正弦定理．【分析】由已知利用三角形內(nèi)角和定理可求B，進(jìn)而利用正弦定理即可解得BC的值．【解答】解：∵AC=，A=45°，C=75°，B=180°﹣A﹣C=60°，∴由正弦定理，可得：BC===．故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．14.參考答案：7略15.曲線在點(diǎn)處的切線傾斜角為__________。參考答案：略16.如下圖，在直角梯形ABCD中，沿BD將△ABD折起，使得平面ABD⊥平面CBD，則CD與平面ABC所成的角的大小為

▲

．參考答案：17.已知復(fù)數(shù),則

.參考答案：5三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某校高一年級學(xué)生全部參加了體育科目的達(dá)標(biāo)測試，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取40名學(xué)生的測試成績，整理數(shù)據(jù)并按分?jǐn)?shù)段[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]進(jìn)行分組，假設(shè)同一組中的每個數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，則得到體育成績的折線圖（如下）．（1）體育成績大于或等于70分的學(xué)生常被稱為“體育良好”，已知該校高一年級有1000名學(xué)生，試估計(jì)高一全校中“體育良好”的學(xué)生人數(shù)；（2）為分析學(xué)生平時的體育活動情況，現(xiàn)從體積成績在[60，70）和[80，90）的樣本學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求在抽取的2名學(xué)生中，至少有1人體育成績在[60，70）的概率；（3）假設(shè)甲、乙、丙三人的體育成績分別為a，b，c，且分別在[70，80），[80，90），[90，100]三組中，其中a，b，c∈N，當(dāng)數(shù)據(jù)a，b，c的方差s2最小時，寫出a，b，c的值．（結(jié)論不要求證明）（注：s2=[（x）2+（x2﹣）2+…+（x）2]，其中為數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)）參考答案：【考點(diǎn)】極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差；頻率分布折線圖、密度曲線；列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率．【分析】（1）由折線圖求出樣本中體育成績大于或等于70分的學(xué)生人數(shù)，由此能求出該校高一年級學(xué)生中，“體育良好”的學(xué)生人數(shù)．（2）設(shè)“至少有1人體育成績在[60，70）”為事件A，由對立事件概率計(jì)算公式能求出至少有1人體育成績在[60，70）的概率．（3）當(dāng)數(shù)據(jù)a，b，c的方差s2最小時，a，b，c的值分別是79，84，90或79，85，90．【解答】解：（1）由折線圖得樣本中體育成績大于或等于70分的學(xué)生有30人，∴該校高一年級學(xué)生中，“體育良好”的學(xué)生人數(shù)大約有：1000×=750人．（2）設(shè)“至少有1人體育成績在[60，70）”為事件A，由題意，得P（A）=1﹣=1﹣，∴至少有1人體育成績在[60，70）的概率是．（3）∵甲、乙、丙三人的體育成績分別為a，b，c，且分別在[70，80），[80，90），[90，100]三組中，其中a，b，c∈N，∴當(dāng)數(shù)據(jù)a，b，c的方差s2最小時，a，b，c的值分別是79，84，90或79，85，90．19.已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2﹣3x在x=±1處取得極值．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）過點(diǎn)A（2，2）作曲線y=f（x）的切線，求此切線方程．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到關(guān)于a，b的方程組，解出即可；（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算切線的斜率，求出切線方程即可．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=3ax2+2bx﹣3，依題意，f'（1）=f'（﹣1）=0，即，解得a=1，b=0．（Ⅱ）：∵f′（x）=3x2﹣3，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（t，t3﹣3t），則切線方程為y﹣（t3﹣3t）=3（t2﹣1）（x﹣t），∵切線過點(diǎn)P（2，2），∴2﹣（t3﹣3t）=3（t2﹣1）（2﹣t），化簡得t3﹣3t2+4=0，∴t=﹣1或t=2，∴切線的方程：y=2或9x﹣y﹣16=0．20.設(shè)函數(shù).（I）求函數(shù)的最小值；（Ⅱ）若，且，求證：；（Ⅲ）若，且，求證：.K*s#5u參考答案：21.解：（I），…1分令，得，所以在遞減，在遞增.…2分所以.…3分（Ⅱ）…5分由（I）知當(dāng)時，，又，，∴∴.……………7分

（Ⅲ）用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：1°當(dāng)時，由（Ⅱ）可知，不等式成立；K*s#5u2°假設(shè)()時不等式成立，即若，且時，不等式成立…8分現(xiàn)需證當(dāng)()時不等式也成立，即證：若，且時，不等式成立.……………9分證明如下：設(shè)，則......①同理

.....②由①+②得：又由（Ⅱ）令，則，其中，則有∴∴

∴當(dāng)時，原不等式也成立.K*s#5u綜上，由1°和2°可知，對任意的原不等式均成立.

21.在△ABC中，∠B=45°，AC=，cosC=，（1）求BC的長；（2）若點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，求中線CD的長度．參考答案：【考點(diǎn)】三角形中的幾何計(jì)算．【分析】（1）先由cosC求得sinC，進(jìn)而根據(jù)sinA=sin求得sinA，再由正弦定理知求得BC．（2）先由正弦定理知求得AB，進(jìn)而可得BD，再在△ACD中由余弦定理求得CD．【解答】解：（1）由由正弦定理知（2）由余弦定理知=22.某市旅游部門開發(fā)一種旅游紀(jì)念品，每件產(chǎn)品的成本是15元，銷售價是20元，月平均銷售a件，通過改進(jìn)工藝，產(chǎn)品的成本不變，質(zhì)量和技術(shù)含金量提高，市場分析的結(jié)果表明，如果產(chǎn)品的銷售價提高的百分率為x（0＜x＜1），那么月平均銷售量減少的百分率為x2．記改進(jìn)工藝后，旅游部門銷售該紀(jì)念品的月平均利潤是y（元）．（Ⅰ）寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；（Ⅱ）改進(jìn)工藝后，確定該紀(jì)念品的售價，使旅游部門銷售該紀(jì)念品的月平均利潤最大．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)的表示方法；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】（I）由題易知每件產(chǎn)品的銷售價為20（1+x），則月平均銷售量為a（1﹣x2）件，利潤則是二者的積去掉成本即可．（II）由（1）可知，利潤函數(shù)是一元三次函數(shù)關(guān)系，可以對其求導(dǎo)解出其最值．【解答】解：（I）改進(jìn)工藝后，每件產(chǎn)品的銷售價為20（